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Disordered Ground States of Ergodic Quantum Spin Systems

यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि यादृच्छिक स्थानीय अंतःक्रियाओं वाले एर्गोडिक क्वांटम स्पिन सिस्टम (ergodic quantum spin systems) थर्मोडायनामिक सीमा में हमेशा प्रणाली की समरूपता (symmetry) साझा करने वाली अव्यवस्थित ग्राउंड स्टेट्स (disordered ground states) रखते हैं, जो कि लगभग-निश्चित (almost-sure) अव्यवस्थित लिब-रॉबिन्सन बाउंड्स (Lieb-Robinson bounds) और नए माप-सिद्धांत संबंधी उपकरणों (measure-theoretic tools) का उपयोग करके प्राप्त किया गया एक परिणाम है, जो आगे संबद्ध GNS हैमिल्टनियन स्पेक्ट्रम की नियतत्ववादी प्रकृति (deterministic nature) को सूचित करता है।

मूल लेखक: Eric B. Roon, Jeffrey H. Schenker

प्रकाशित 2026-03-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Eric B. Roon, Jeffrey H. Schenker

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अरबों छोटे, घूमते हुए गियरों (क्वांटम स्पिन) से बनी एक विशाल, जटिल मशीन के व्यवहार को समझने की कोशिश कर रहे हैं। एक आदर्श दुनिया में, हर गियर एक जैसा होता है और मशीन एक अनुमानित, लयबद्ध पैटर्न के साथ चलती है। इसे भौतिक विज्ञानी "ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट" (translation-invariant) सिस्टम कहते हैं।

लेकिन वास्तविक दुनिया अव्यवस्थित है। कुछ गियर थोड़े जंग लगे हुए हैं, कुछ अलग धातु के बने हैं, और कुछ यादृच्छिक (random) आवृत्तियों पर कंपन कर रहे हैं। यह डिसऑर्डर (disorder) है।

एरिक बी. रूण और जेफरी एच. शेंकर द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र एक बड़े सवाल को संबोधित करता है: यदि आप यादृच्छिक, अस्त-व्यस्त हिस्सों वाली एक विशाल क्वांटम मशीन बनाते हैं, तो क्या आप अभी भी यह अनुमान लगा सकते हैं कि अनंत रूप से बड़ी होने पर यह कैसे व्यवहार करेगी?

यहाँ उनके आविष्कार का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: अराजकता बनाम व्यवस्था (Chaos vs. Order)

दशकों से, भौतिकविदों को पता है कि यदि आपके पास एक यादृच्छिक प्रणाली है (जैसे एक जंगल जहाँ हर पेड़ अलग प्रजाति का है), तो स्थानीय व्यवहार अराजक होता है। हालाँकि, यादृच्छिक तरंगों की दुनिया में (जैसे प्रकाश या अव्यवस्थित सामग्री में इलेक्ट्रॉन), एक प्रसिद्ध नियम है: भले ही सामग्री यादृच्छिक हो, अंतिम रेसिपी अक्सर एक जैसी ही होती है।

उदाहरण के लिए, यदि आपके पास लाखों यादृच्छिक पासे (dice) फेंके जाते हैं, तो औसत परिणाम हमेशा 3.5 होता है। यह शोध पत्र पूछता है: क्या जटिल क्वांटम मशीनों के लिए भी यह "औसत निकालना" (averaging out) काम करता है? विशेष रूप से, क्या यादृच्छिक, अस्त-व्यस्त हिस्सों वाला एक सिस्टम विशाल होने पर एक स्थिर, अनुमानित अवस्था में सेटल हो जाता है?

2. मुख्य घटक: "एर्गोडिसिटी" (Ergodicity)

लेखक एर्गोडिसिटी नामक एक अवधारणा का उपयोग करते हैं। इसे इस प्रकार समझें:

कल्पना करें कि आप एक विशाल, अनंत जंगल में चल रहे हैं।
यदि जंगल एर्गोडिक है, तो इसका अर्थ है कि चाहे आप कहीं से भी चलना शुरू करें, यदि आप पर्याप्त समय तक चलते हैं, तो आप अंततः जंगल के हर प्रकार के पेड़ और हर प्रकार की चट्टान को देख लेंगे। लंबे समय में जंगल हर दृष्टिकोण से एक जैसा ही दिखता है।
उनके गणित में, वे मानते हैं कि मशीन के हिस्सों की "यादृच्छिकता" (randomness) इस निष्पक्ष, "एर्गोडिक" तरीके से वितरित है। ऐसा नहीं है कि बायां हिस्सा अव्यवस्थित है और दायां हिस्सा साफ है; अव्यवस्था पूरे ब्रह्मांड में समान रूप से फैली हुई है।

3. खोज: "ग्राउंड स्टेट" (Ground State) खोजना

प्रत्येक भौतिक प्रणाली अपनी सबसे कम ऊर्जा अवस्था में स्थिर होना चाहती है, जिसे ग्राउंड स्टेट कहा जाता है। इसे ऐसे समझें जैसे एक गेंद पहाड़ी से नीचे लुढ़कती है जब तक कि वह तल तक न पहुँच जाए।

पुरानी समस्या: एक अव्यवस्थित प्रणाली में, "पहाड़ी का निचला हिस्सा" इस बात पर निर्भर कर सकता है कि आप कहाँ हैं। यदि आप गेंद को थोड़ा सा खिसकाते हैं, तो निचला हिस्सा पूरी तरह से अलग दिख सकता है। यह पूरे मशीन के लिए एक एकल "ग्राउंड स्टेट" को परिभाषित करना कठिन बनाता है।
नया परिणाम: लेखक सिद्ध करते हैं कि इस यादृच्छिकता के बावजूद, पूरी मशीन के लिए हमेशा एक स्थिर, अनुमानित "ग्राउंड स्टेट" मौजूद होता है।
उपमा: एक स्टेडियम में भीड़ की कल्पना करें, जहाँ प्रत्येक व्यक्ति एक टॉर्च पकड़े हुए है और उसे यादृच्छिक रूप से हिला रहा है। व्यक्तिगत रूप से, रोशनी अराजक है। लेकिन यदि आप पूरे स्टेडियम को अंतरिक्ष से देखते हैं, तो प्रकाश का पैटर्न वास्तव में एक स्थिर, अनुमानित चमक है। लेखकों ने सिद्ध किया कि यह "स्थिर चमक" (ग्राउंड स्टेट) मौजूद है और यह स्वयं यादृच्छिकता के समान नियमों का पालन करती है।

4. जादुई उपकरण: "लीब-रॉबिन्सन स्पीड लिमिट" (Lieb-Robinson Speed Limit)

इसे सिद्ध करने के लिए, उन्होंने लीब-रॉबिन्सन बाउंड्स नामक एक उपकरण का उपयोग किया।

रूपक: कल्पना करें कि भीड़ में एक अफवाह फैल रही है। एक क्वांटम प्रणाली में, सूचना (या एक "अफवाह") एक निश्चित गति सीमा से तेज़ यात्रा नहीं कर सकती, भले ही वह प्रणाली क्वांटम हो।
लेखकों ने दिखाया कि एक अस्त-व्यस्त, यादृच्छिक प्रणाली में भी, यह गति सीमा (लग लगभग हमेशा) बनी रहती है। क्योंकि सूचना अनंत गति से यात्रा नहीं कर सकती, इसलिए मशीन के एक कोने की "अव्यवस्था" पूरी मशीन की स्थिरता को तुरंत खराब नहीं कर सकती। यह उन्हें यह सिद्ध करने की अनुमति देता है कि सिस्टम एक स्थिर अवस्था में सेटल हो जाता है।

5. बड़ा प्रतिफल: एक नियतात्मक स्पेक्ट्रम (Deterministic Spectrum)

उनके परिणाम का सबसे रोमांचक हिस्सा स्पेक्ट्रम के बारे में है। भौतिकी में, "स्पेक्ट्रम" उस संगीत के नोट्स की तरह है जो एक मशीन बजा सकती है।

आश्चर्य: भले ही मशीन को यादृच्छिक, अस्त-व्यस्त हिस्सों के साथ बनाया गया है, लेकिन जो नोट्स वह बजा सकती है वे नियतात्मक (deterministic) हैं।
उपमा: दो अलग-अलग बैंड की कल्पना करें। एक बैंड के पास पूरी तरह से ट्यून किए गए वाद्य यंत्र हैं; दूसरे के पास ऐसे वाद्य यंत्र हैं जो यादृच्छिक रूप से थोड़े बेसुरे (out of tune) हैं। आप उम्मीद कर सकते हैं कि वे पूरी तरह से अलग गाने बजाएंगे। लेकिन यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि "बेसुरापन" समान रूप से फैला हुआ है (एर्गोडिक), तो दोनों बैंड बिल्कुल एक ही सेट के नोट्स बजाएंगे। बड़ी तस्वीर में यादृच्छिकता खुद को रद्द कर देती है।

सारांश

साधारण शब्दों में, यह शोध पत्र कहता है:

"चिंता न करें यदि आपकी क्वांटम प्रणाली अस्त-व्यस्त और यादृच्छिक है। जब तक अव्यवस्था निष्पक्ष रूप से समान रूप से फैली हुई है, सिस्टम अंततः एक स्थिर, अनुमानित अवस्था में सेटल हो जाएगा। इसके अलावा, यह सिस्टम जो 'संगीत' (ऊर्जा स्तर) बजाएगा, वह सभी के लिए एक जैसा होगा, चाहे अव्यवस्था के विशिष्ट यादृच्छिक विवरण कुछ भी हों। हमने यह सिद्ध किया है कि इन प्रणालियों में सूचना की एक गति सीमा होती है, जो अराजकता को हावी होने से रोकती है।"

यह एक मौलिक परिणाम है जो भौतिकविदों को यह समझने में मदद करता है कि डिसऑर्डर सुपरकंडक्टर्स या मैग्नेटिक चेन्स जैसी सामग्रियों को कैसे प्रभावित करता है, जिससे उन्हें यह विश्वास मिलता है कि एक अराजक दुनिया में भी, एक अंतर्निहित व्यवस्था मौजूद है।

यहाँ एरिक बी. रून और जेफरी एच. शेंकर के शोध पत्र "Disordered Ground States of Ergodic Quantum Spin Systems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र विस्केंद्रित (disordered) क्वांटम स्पिन प्रणालियों के गणितीय सिद्धांत में एक मौलिक अंतराल को संबोधित करता है। जबकि रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटर्स (random Schrödinger operators) के संदर्भ में यह सुस्थापित है कि एर्गोडिक विस्केंद्रण (ergodic disorder) कुल हैमिल्टनियन के लिए एक नियत (deterministic) स्पेक्ट्रम की ओर ले जाता है, यह परिणाम थर्मोडायनामिक सीमा (thermodynamic limit) में क्वांटम स्पिन प्रणालियों के लिए कठोरता से विस्तारित नहीं किया गया था।

विशेष रूप से, लेखक निम्नलिखित लक्ष्यों को प्राप्त करने का प्रयास करते हैं:

सांख्यिकीय अनुवाद अपरिवर्तनीयता (statistical translation invariance/ergodicity) को संतुष्ट करने वाले रैंडम स्थानीय अंतःक्रियाओं (random local interactions) वाले क्वांटम स्पिन प्रणालियों के लिए एर्गोडिक विस्केंद्रित ग्राउंड स्टेट्स (ergodic disordered ground states) के अस्तित्व को सिद्ध करना।
यह प्रदर्शित करना कि इन ग्राउंड स्टेट्स से जुड़े GNS हैमिल्टनियन (बल्क डायनेमिक्स का जनरेटर) का स्पेक्ट्रम नियत (deterministic) है (अर्थात, विशिष्ट विस्केंद्रण यथार्थ/realization पर स्वतंत्र है)।
आवश्यक कार्यात्मक विश्लेषणात्मक उपकरणों (functional analytic tools) को औपचारिक रूप देना, विशेष रूप से $C^*$ -एल्जेब्रा पर रैंडम स्टेट्स और अनंत-आयामी स्थानों में मापन योग्यता (measurability) के संबंध में, जो पहले साहित्य में अनुपलब्ध थे।

2. गणितीय ढांचा और प्रारंभिक विवरण (Mathematical Framework and Preliminaries)

लेखक पूर्णांक जाली (integer lattice) $\mathbb{Z}^\nu$ पर क्वांटम स्पिन प्रणालियों के ढांचे के भीतर कार्य करते हैं:

एल्जेब्रिक संरचना: प्रणाली को एक क्वाजी-लोकल (quasi-local) $C^*$ -एल्जेब्रा $\mathcal{A}_{\mathbb{Z}^\nu}$ पर परिभाषित किया गया है, जो स्थानीय एल्जेब्रा $\mathcal{A}_\Lambda$ (मैट्रिक्स एल्जेब्रा के टेंसर उत्पाद) के संघ (union) के नॉर्म पूर्णता (norm completion) से निर्मित है।
विस्केंद्रित अंतःक्रिया (Disordered Interaction): वे एक रैंडम स्थानीय अंतःक्रिया $\{h_\omega(Z)\}_{Z \Subset \mathbb{Z}^\nu}$ पर विचार करते हैं, जहाँ $Z$ जाली के परिमित उपसमुच्चय हैं। यह माना गया है कि अंतःक्रिया पर्याप्त तेजी से क्षय (decay) होती है, जिसे $F$ -नॉर्म (जिसे [43] में प्रस्तुत किया गया है) द्वारा मापा जाता है, जो दूरी के साथ अंतःक्रिया के क्षय को नियंत्रित करता है।
एर्गोडिसिटी (Ergodicity): विस्केंद्रण को एक प्रायिकता स्थान $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ और माप-संरक्षण मानचित्रों (measure-preserving maps) के समूह क्रिया $\{\vartheta_x\}_{x \in \mathbb{Z}^\nu}$ के माध्यम से परिभाषित किया गया है। अंतःक्रिया अनुवाद सहप्रसरण (translation covariance) की स्थिति को संतुष्ट करती है:
$\tau_x h_\omega(Z) = h_{\vartheta_x \omega}(Z+x)$
जहाँ $\tau_x$ एल्जेब्रा पर अनुवाद ऑटोमोर्फिज्म (translation automorphism) है।

3. कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र ऑपरेटर एल्जेब्रिक तकनीकों, एर्गोडिक थ्योरी और संभाव्य कार्यात्मक विश्लेषण (probabilistic functional analysis) के संयोजन का उपयोग करता है।

A. रैंडम स्टेट्स का औपचारिकीकरण

कार्यप्रणाली का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रैंडम स्टेट्स (प्रायिकता स्थान से $C^*$ -एल्जेब्रा के ड्यूल तक फलन $\omega \mapsto \phi_\omega$ ) को कठोरता से परिभाषित करना है।

Weak- $\infty$ Measurability: लेखक एक रैंडम स्टेट को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित करते हैं जहाँ प्रत्येक स्थानीय अवलोकन योग्य (observable) $a$ के लिए $\omega \mapsto \phi_\omega(a)$ बोरेल मापने योग्य (Borel measurable) है।
वेक्टर मेजर्स और Riesz-Markov-Kakutani: स्टेट्स के अनुक्रमों के सीमाओं को संभालने के लिए, वे weak- $\infty$ संस्करण के Riesz-Markov-Kakutani प्रमेय (प्रपोजिशन A.10) को सिद्ध करते हैं। यह स्थापित करता है कि Bochner स्पेस $L^1(\mathcal{A}_{\mathbb{Z}^\nu})$ पर एक धनात्मक रैखिक फलन को एक weak- $\infty$ -मापने योग्य रेडोन-निकोडिम व्युत्पन्न (एक रैंडम स्टेट) द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि मानक Bochner मापने योग्यता गैर-परावर्ती (non-reflexive) स्थानों जैसे $C^*$ -एल्जेब्रा के ड्यूल के लिए बहुत अधिक कठोर है।

B. क्वासी-लोकैलिटी और Lieb-Robinson बाउंड्स

लेखक विस्केंद्रित प्रणालियों के लिए अनुकूलित Lieb-Robinson bounds का उपयोग करते हैं।

वे दिखाते हैं कि यदि अंतःक्रिया का $F$ -नॉर्म लगभग निश्चित रूप से (almost surely) परिमित है, तो डायनेमिक्स एक नियत वेग (deterministic velocity) के साथ Lieb-Robinson बाउंड का पालन करते हैं।
यह समय विकास (Heisenberg dynamics) $\alpha_t^\omega$ के लिए थर्मोडायनामिक सीमा के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है, जो परिमित आयतन के अनुक्रमों से स्वतंत्र एक वैश्विक डायनेमिक्स $\alpha_{t;\omega}$ की ओर अभिसरित होता है।

C. ग्राउंड स्टेट्स का निर्माण

ग्राउंड स्टेट्स के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, लेखक एक कार्यात्मक विश्लेषणात्मक औसत तर्क (functional analytic averaging argument) का उपयोग करते हैं:

परिमित-आयतन ग्राउंड स्टेट्स के एक अनुक्रम से शुरुआत करते हैं।
जाली में बड़े बॉल्स (balls) पर स्थानिक औसत (spatial averaging/Cesàro means) लागू करते हैं।
ड्यूल स्पेस में यूनिट बॉल की अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस (sequential compactness) का उपयोग करके एक अभिसारी उप-अनुक्रम (convergent subsequence) निकालते हैं।
महत्वपूर्ण रूप से, वे विस्केंद्रण की एर्गोडिसिटी का उपयोग यह दिखाने के लिए करते हैं कि सीमा स्टेट (limit state) सहप्रसरण स्थिति $\psi_\omega \circ \tau_x = \psi_{\vartheta_x \omega}$ को संतुष्ट करती है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

प्रमेय A: एर्गोडिक विस्केंद्रित ग्राउंड स्टेट्स का अस्तित्व

कथन: किसी भी एर्गोडिक स्थानीय अंतःक्रिया के लिए जिसका $F$ -नॉर्म परिमित है, ग्राउंड स्टेट्स $\{\psi_\omega\}_{\omega \in \Omega}$ का एक weak- $\infty$ -मापने योग्य परिवार मौजूद है जिससे:

प्रत्येक $\psi_\omega$ ग्राउंड स्टेट की स्थिति (डायनेमिक्स के जनरेटर की धनात्मकता) को संतुष्ट करता है।
यह परिवार सहप्रसरण (covariant) है: $\psi_\omega \circ \tau_x = \psi_{\vartheta_x \omega}$ लगभग निश्चित रूप से।
महत्व: यह सिद्ध करता है कि विस्केंद्रित स्पिन प्रणालियों के "बल्क" ग्राउंड स्टेट सेक्टर्स अंतर्निहित विस्केंद्रण की एर्गोडिसिटी को विरासत में प्राप्त करते हैं, जो कि एक ऐसा गुण है जिसे पहले केवल विशिष्ट मॉडलों के लिए माना गया या सिद्ध किया गया था।

प्रमेय B: GNS हैमिल्टनियन का नियत स्पेक्ट्रम (Deterministic Spectrum)

कथन: मान लीजिए $\psi_\omega$ एक सहप्रसरण ग्राउंड स्टेट है। मान लीजिए $(H_\omega, \pi_\omega, \Psi_\omega)$ संबद्ध GNS प्रतिनिधित्व है। डायनेमिक्स को लागू करने वाले यूनिटरी ग्रुप का जनरेटर $H_\omega$ इस प्रकार संतुष्ट करता है:
$H_{\vartheta_x \omega} = U_x^* H_\omega U_x$
जहाँ $U_x$ वे यूनिटरी ऑपरेटर्स हैं जो प्रतिनिधित्वों को इंटरट्विन (intertwine) करते हैं। फलस्वरूप, $H_\omega$ का स्पेक्ट्रम (जिसमें एसेन्शियल, डिस्क्रीट, कंटीन्यूअस और पॉइंट स्पेक्ट्रा शामिल हैं) नियत (deterministic) है (लगभग निश्चित रूप से स्थिर है)।
महत्व: यह क्लासिक Pastur-Kirsch-Martinelli प्रमेय (जो रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटर्स के लिए ज्ञात है) को क्वांटम स्पिन प्रणालियों के परिवेश में विस्तारित करता है। यह निहित करता है कि मैक्रोस्कोपिक स्पेक्ट्रल गुण (जैसे कि स्पेक्ट्रल गैप की उपस्थिति) रैंडम वेरिएबल्स नहीं हैं, बल्कि विस्केंद्रण के सांख्यिकीय वितरण द्वारा निर्धारित निश्चित स्थिरांक हैं।

अनुप्रयोग: विस्केंद्रित XY और XXZ मॉडल

लेखक अपने परिणामों को अनुवाद-अपरिवर्तनीय मॉडलों (जैसे कि XY चेन में रैंडम ट्रांसवर्स फील्ड जोड़ना) के रैंडम विक्षोभ (perturbations) पर लागू करते हैं।

वे इन मॉडलों के बल्क स्पेक्ट्रम के नियत होने को सिद्ध करते हैं।
1D चेन्स के पिछले प्रमाणों के विपरीत, जो Jordan-Wigner transformation (स्पिन्स को फर्मियॉन्स में मैप करना) पर निर्भर थे, यह प्रमाण स्वैच्छिक आयामों $\nu$ और सामान्य अंतःक्रियाओं में कार्य करता है और पूरी तरह से ऑपरेटर एल्जेब्रिक विधियों पर निर्भर करता है।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

कठोर आधार (Rigorous Foundation): यह शोध पत्र पहला कठोर प्रमाण प्रदान करता है कि विस्केंद्रण में एर्गोडिसिटी, सामान्य क्वांटम स्पिन प्रणालियों के लिए एर्गोडिक ग्राउंड स्टेट्स और नियत स्पेक्ट्रा के अस्तित्व को सुनिश्चित करती है, जिससे साहित्य में एक "रिक्त स्थान" भर जाता है।
सामान्यीकरण (Generalization): यह 1D मॉडलों (जो अक्सर फर्मियोनाइजेशन के माध्यम से हल किए जा सकते हैं) के परिणामों को स्वैच्छिक आयामों और सामान्य अंतःक्रियाओं तक विस्तारित करता है, बशर्ते वे $F$ -नॉर्म क्षय की स्थिति को पूरा करते हों।
नए गणितीय उपकरण: weak- $\infty$ Riesz-Markov-Kakutani प्रमेय का विकास और गैर-परावर्ती बेनच स्पेस (विशेष रूप से $C^*$ -एल्जेब्रा के ड्यूल) में मापने योग्यता को संभालने की क्षमता, विस्केंद्रित प्रणालियों के साथ काम करने वाले गणितीय भौतिकी समुदाय के लिए नए उपकरण प्रदान करती है।
Many-Body Localization (MBL) के लिए निहितार्थ: हालांकि यह शोध पत्र MBL पर ध्यान केंद्रित नहीं करता है, लेकिन नियत स्पेक्ट्रम और एर्गोडिक ग्राउंड स्टेट्स की स्थापना MBL के विश्लेषण के लिए एक आवश्यक आधार प्रदान करती है, जहाँ एर्गोडिसिटी का टूटना केंद्रीय विशेषता है।

संक्षेप में, रून और शेंकर ने रैंडम श्रोडिंगर ऑपरेटर्स और क्वांटम स्पिन प्रणालियों के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाट दिया है, यह सिद्ध करते हुए कि विस्केंद्रित क्वांटम मैग्नेट के "बल्क" गुण नियत हैं और थर्मोडायनामिक सीमा में सुस्पष्ट हैं।