🔢 mathematics

An order-reversing embedding of Turing degrees into Arthur-Nimue-Merlin degrees

यह शोध पत्र ट्यूरिंग डिग्रियों (Turing degrees) का आर्थर-निमूए-मर्लिन डिग्रियों (Arthur-Nimue-Merlin degrees) में एक क्रम-विपरीत एम्बेडिंग (order-reversing embedding) निर्मित करता है, जो "सह-ट्यूरिंग डिग्रियों" (co-Turing degrees) के एक नए वर्ग को परिभाषित करता है और इस सामान्यीकृत ढांचे के भीतर स्वाभाविक रूप से एम्बेडेड ट्यूरिंग डिग्रियों के साथ उनके क्रम-सिद्धांत संबंधी संबंध का विश्लेषण करता है।

मूल लेखक: Jean Abou Samra, David Alexander Madore

प्रकाशित 2026-03-23

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Jean Abou Samra, David Alexander Madore

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: एक नए प्रकार का गणितीय खेल

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। मानक कंप्यूटर विज्ञान (ट्यूरिंग डिग्री) की दुनिया में, आपके पास एक मर्त्य (मान लीजिए आर्थर) और एक जादुई ओरेकल (मरलिन) है।

आर्थर बुद्धिमान है लेकिन सीमित है; वह केवल प्रश्न पूछ सकता है और सरल प्रोग्राम चला सकता है।
मरलिन सब कुछ जानता है लेकिन केवल "हाँ" या "नहीं" बताकर उत्तर दे सकता है, वह आर्थर को एक ऐसी मशीन देता है जो "हाँ" होने पर रुक जाती है और "नहीं" होने पर अनंत काल तक चलती रहती है।

इस मानक दुनिया में, यदि आर्थर के पास पर्याप्त शक्तिशाली मरलिन हो, तो वह लगभग किसी भी चीज़ का उत्तर खोज सकता है। "ट्यूरिंग डिग्री" इन मरलिन्स के लिए एक रैंकिंग सिस्टम की तरह हैं। कुछ मरलिन्स कमजोर होते हैं (वे केवल सरल गणितीय समस्याओं को हल कर सकते हैं), और कुछ सुपर-स्ट्रॉन्ग होते हैं (वे "हाल्टिंग प्रॉब्लम" को हल कर सकते हैं, जो कि परम अनसुलझी पहेली है)।

यह शोध पत्र इस खेल का एक नया, अधिक अराजक संस्करण पेश करता है।

नया खेल: आर्थर, निमू और मरलिन

लेखक इस खेल में एक तीसरा खिलाड़ी जोड़ते हैं: निमू।

आर्थर (द मर्टल): अभी भी वही है जो समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा है।
मरलिन (द एडवर्सरी): "विलेन" या बुरा पात्र। वह आर्थर को धोखा देना चाहता है।
निमू (द एली): "अच्छी पात्र"। वह आर्थर की मदद करना चाहती है।

यहाँ यह नया खेल कैसे काम करता है:

आर्थर एक प्रश्न पूछता है।
निमू ओरेकल द्वारा दिए गए मेनू से संभावित उत्तरों का एक सेट (समूह) चुन सकती है। वह वह सेट चुनती है जो आर्थर के लिए सबसे अधिक सहायक हो। (यह "एंजेलिक नॉन-डिटरमिनिज्म" है—सबसे अच्छा परिदृश्य)।
मरलिन फिर उस सेट को देखता है और आर्थर को देने के लिए उसमें से एक विशिष्ट उत्तर चुनता है। वह वह चुनता है जो आर्थर के लिए सबसे अधिक भ्रमित करने वाला या हानिकारक हो। (यह "डेमोनिक नॉन-डिटरमिनिज्म" है—सबसे खराब परिदृश्य)।
आर्थर को अपनी समस्या हल करने के लिए उसी एक उत्तर का उपयोग करना होता है।

"आर्थर-निमू-मरलिन डिग्री" (या T3 डिग्री) इन सुपर-ओरेकल्स के लिए एक नया रैंकिंग सिस्टम है। यह पुराने वाले की तुलना में बहुत अधिक जटिल परिदृश्य है क्योंकि इसमें एक मददगार दोस्त और एक चालाक दुश्मन दोनों शामिल हैं।

मुख्य खोज: "को-ट्यूरिंग" दर्पण

लेखकों ने पुराने जगत (ट्यूरिंग डिग्री) और इस नए, अराजक जगत (T3 डिग्री) के बीच के संबंध के बारे में कुछ अद्भुत खोजा है।

उन्होंने किसी भी मानक ट्यूरिंग डिग्री (मरलिन की शक्ति के एक विशिष्ट स्तर) को नए जगत में मैप करने का एक तरीका खोजा है। लेकिन यहाँ एक मोड़ है: मैप उल्टा है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास कठिनाई की एक सीढ़ी है।
- नीचे, एक "कमजोर" मरलिन है जो केवल सरल पहेलियाँ हल कर सकता है।
- ऊपर, एक "सुपर" मरलिन है जो सब कुछ हल कर सकता है।
खोज: जब आप इस सीढ़ी को नए खेल (निमू और मरलिन के साथ) में अनुवादित करते हैं, तो क्रम उलट जाता है।
- सबसे कमजोर मानक मरलिन नए खेल में सबसे शक्तिशाली खिलाड़ी बन जाता है।
- सबसे शक्तिशाली मानक मरलिन नए खेल में सबसे कमजोर खिलाड़ी बन जाता है।

लेखक इन नए, उलटे संस्करणों को "को-ट्यूरिंग डिग्री" कहते हैं। यह मानक पदानुक्रम को दर्पण में देखने जैसा है: शीर्ष नीचे हो जाता है, और नीचे शीर्ष हो जाता है।

दो प्रश्नों की "पहेली"

यह समझने के लिए कि यह क्यों होता है, शोध पत्र एक पहेली से शुरू होता है:

परिदृश्य A: मरलिन आपको एक मशीन देता है जो रुक जाती है यदि पवित्र प्याला (Grail) महल में है। आप इसे आसानी से समझ सकते हैं।
परिदृश्य B: मरलिन आपको दो मशीनें देता है। यदि उत्तर "हाँ" है, तो दोनों रुक जाती हैं या दोनों ही नहीं रुकतीं। यदि उत्तर "नहीं" है, तो ठीक एक मशीन रुकती है।

परिदृश्य B में, आप केवल उन्हें देखकर यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि कौन सी मशीन "हाँ" वाली है और कौन सी "नहीं" वाली है। आपको एक रणनीति की आवश्यकता है। शोध पत्र सिद्ध करता है कि इस नए खेल में, एक प्रश्न पूछना और फिर उसके विपरीत (हाँ/नहीं का जोड़ा) पूछना ही एकमात्र चाल है जो वास्तव में काम करती है। यही सीमा इस "ऑर्डर-रिवर्सिंग" (क्रम-उलटने वाले) प्रभाव को लागू करती है।

"अदृश्य दीवार"

शोध पत्र इस बात की भी जांच करता है कि क्या होता है जब आप एक मानक मरलिन (ट्यूरिंग डिग्री) की तुलना एक को-ट्यूरिंग मरलिन से करने का प्रयास करते हैं।

परिणाम: वे पूरी तरह से असंगत हैं।

यदि आपके पास एक मानक मरलिन है जो सब कुछ हल कर सकता है (सिवाय सबसे कठिन चीजों के), और आप एक को-ट्यूरिंग मरलिन का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो को-ट्यूरिंग मरलिन बेकार है। यह अपने ही शहर में नेविगेट करने के लिए दूसरे ग्रह के मानचित्र का उपयोग करने जैसा है।
वे केवल तभी एक-दूसरे से "बात" कर सकते हैं जब उनमें से एक पूरी तरह से बेकार (जीरो डिग्री) हो।

यह क्यों मायने रखता है?

आप पूछ सकते हैं, "हमें एक मददगार परी और एक धोखेबाज के साथ खेल की आवश्यकता क्यों है?"

गणितीय सुंदरता: यह खेल केवल एक बनावटी पहेली नहीं है। यह एक बहुत ही उन्नत गणितीय ब्रह्मांड, जिसे "इफेक्टिव टोपोस" कहा जाता है, की संरचना का वर्णन करता है। यह ब्रह्मांड एक ऐसी जगह है जहाँ गणित पूरी तरह से इस बात पर आधारित है कि कंप्यूटर क्या कर सकते हैं।
तर्क (Logic) को समझना: शोध पत्र में उल्लेखित "लॉवरे-टियरनी टोपोलॉजीज़" अलग-अलग "तर्क के नियमों" की तरह हैं जो इस ब्रह्मांड में मौजूद हो सकते हैं। लेखक दिखाते हैं कि "को-ट्यूरिंग डिग्री" विशिष्ट, दिलचस्प तर्क नियमों के अनुरूप हैं जो मानक कंप्यूटर तर्क के बिल्कुल विपरीत हैं।
नए दृष्टिकोण: क्रम को उलट कर, लेखक हमें दिखाते हैं कि मानक कंप्यूटिंग में "कठिन" समस्याओं को इस नए, अराजक दुनिया में "आसान" समस्याओं के रूप में देखा जा सकता है, और इसके विपरीत भी। यह महसूस करने जैसा है कि यदि आप दूसरी तरफ से देखते हैं, तो एक पर्वत एक घाटी बन जाता है।

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने उन्नत गणित को मॉडल करने के लिए एक मददगार सहयोगी और एक चालाक दुश्मन के साथ एक नया खेल बनाया, और उन्होंने खोजा कि यदि वे मानक कंप्यूटर शक्ति को इस नए खेल में अनुवादित करते हैं, तो सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर सबसे कमजोर बन जाते हैं, और सबसे कमजोर सबसे शक्तिशाली बन जाते हैं, जिससे हमारी सामान्य समझ की एक पूर्ण "दर्पण छवि" (mirror image) बन जाती है।

यहाँ जीन अबौ सैमरा और डेविड अलेक्जेंडर मैडोर द्वारा लिखित शोध पत्र "An order-reversing embedding of Turing degrees into Arthur–Nimue–Merlin degrees" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण और संदर्भ

यह शोध पत्र शास्त्रीय ट्यूरिंग डिग्री ( $T_0$ ) और अधिक सामान्य आर्थर-न्यूमी-मर्लिन (ANM) डिग्री ( $T_3$ ) के बीच संरचनात्मक संबंध को संबोधित करता है।

पृष्ठभूमि: ANM डिग्री को किहारा द्वारा इफेक्टिव टोपोस (effective topos) पर लॉवर-टायनी टोपोलॉजी (Lawvere–Tierney topologies) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट (partially ordered set) का एक ठोस विवरण प्रदान करने के लिए पेश किया गया था। ये डिग्री ट्यूरिंग डिग्री का सामान्यीकरण करती हैं, जो ऑरेकल प्रश्नों में गैर-निश्चयवाद (non-determinism) के दो रूपों को शामिल करती हैं:
- एंजेलिक गैर-निश्चयवाद (न्यूमी): एक परोपकारी एजेंट जो खिलाड़ी के लिए विकल्पों के "सर्वश्रेष्ठ" सेट को चुनता है।
- डेमोनिक गैर-निश्चयवाद (मर्लिन): एक प्रतिकूल एजेंट जो प्रदान किए गए विकल्पों में से "सबसे खराब" विशिष्ट मान चुनता है।
श्रेणीक्रम (The Hierarchy): लेखक ऑरेकल प्रकारों की एक श्रेणी परिभाषित करते हैं:
- $T_0$ : मानक ट्यूरिंग ऑरेकल ( $N \to N$ )।
- $T_1$ : आंशिक फलन (Partial functions) ( $N \rightharpoonup N$ )।
- $T_2$ : आंशिक बहु-मान फलन (Partial multivalued functions) ( $N \rightharpoonup \mathcal{P}(N)$ ), जो डेमोनिक गैर-निश्चयवाद को पेश करता है।
- $T_3$ : सेट के सेट वाले फलन ( $N \to \mathcal{P}(\mathcal{P}(N))$ ), जो एंजेलिक और डेमोनिक दोनों प्रकार के गैर-निश्चयवाद को पेश करता है।
मुख्य प्रश्न: मानक ट्यूरिंग डिग्री इस सामान्यीकृत जालक (lattice) के भीतर कहाँ स्थित हैं? विशेष रूप से, क्या ट्यूरिंग डिग्री को ANM डिग्री में इस तरह एम्बेड किया जा सकता है जो एक द्वैत या "को-" (co-) संरचना को प्रकट करे? लेखक यह जांचते हैं कि क्या ट्यूरिंग डिग्री से ANM डिग्री में एक ऐसा मानचित्रण मौजूद है जो मानक क्रम को उलट देता है ( $d_1 \le d_2 \implies \text{coT}(d_1) \ge \text{coT}(d_2)$ ) और ये "को-ट्यूरिंग" (co-Turing) डिग्री मानक ट्यूरिंग डिग्री के साथ कैसे परस्पर क्रिया करती हैं।

2. कार्यप्रणाली

लेखक गेम-थ्योरेटिक रिड्यूसिबिलिटी (game-theoretic reducibility), कंप्यूटेबिलिटी थ्योरी (computability theory), और टोपोस थ्योरी (topos theory) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

रिडक्शन गेम (The Reduction Game): मुख्य तंत्र तीन खिलाड़ियों वाला एक खेल है जिसमें शामिल हैं:
- आर्थर: एक कंप्यूटेबल खिलाड़ी जो कंप्यूटेबल रणनीतियों तक सीमित है।
- न्यूमी: एक एंजेलिक सहयोगी जो सेट $G \in g(n)$ चुनता है।
- मर्लिन: एक डेमोनिक विरोधी जो मान $v \in G$ चुनता है।
- जीतने की स्थिति: आर्थर और न्यूमी तब जीतते हैं जब आर्थर प्रारंभिक चुनौती और मर्लिन के मूव्स के आधार पर एक सही अंतिम मान घोषित कर सकता है। रिड्यूसिबिलिटी ( $f \preceq g$ ) एक जीतने वाली रणनीति के अस्तित्व द्वारा परिभाषित होती है जो आर्थर+न्यूमी के लिए हो।
प्रॉमिस प्रॉब्लम्स (Promise Problems) और कोडिंग/डिकोडिंग ऑरेकल:
- लेखक डिकोडिंग ऑरेकल ( $d_{P,Q}$ ) पेश करते हैं जो दो विलगित (disjoint) सेट $P$ और $Q$ के बीच अंतर करने की प्रॉमिस समस्या को हल करते हैं।
- वे कोडिंग ऑरेकल ( $c_{P,Q}$ ) पेश करते हैं जो एक बिट (0 या 1) को $P$ या $Q$ के रूप में एनकोड करता है।
- एक प्रमुख तकनीकी उपकरण प्रॉमिस समस्या $(P \times Q, Q \times P)$ का विश्लेषण है, जो एक प्रश्न और उसके निषेध (negation) को एक साथ पूछने के अनुरूप है।
टोपोस-थ्योरेटिक पुनर्व्याख्या: खंड 7 में, लेखक इफेक्टिव टोपोस पर लॉवर-टायनी टोपोलॉजी का उपयोग करके इन निर्माणों की पुनर्व्याख्या करते हैं। वे ऑरेकल को टोपोलॉजी $J$ में मैप करते हैं और "को-ट्यूरिंग" डिग्री को परिभाषित करने के लिए शीफिफिकेशन (sheafification) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। विशेष रूप से, वे को-ट्यूरिंग डिग्री को दोहरे-निषेध शीफिफिकेशन (double-negation sheafification) में दो-तत्व सेट के शीफिफिकेशन को सघन (dense) बनाने वाले सबसे छोटे टोपोलॉजी से जोड़ते हैं।

3. प्रमुख योगदान

को-ट्यूरिंग डिग्री की परिभाषा:
लेखक एक मैपिंग $\text{coT}: \mathcal{D}_{T_0} \to \mathcal{D}_{T_3}$ (ट्यूरिंग डिग्री से $T_3$ डिग्री तक) को परिभाषित करते हैं। ट्यूरिंग डिग्री $a = [A]_{T_0}$ के लिए, $\text{coT}(a)$ को कोडिंग ऑरेकल $c_{H^A_0, H^A_1}$ की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $H^A_i$ उन प्रोग्रामों के इंडेक्स का सेट है जो ऑरेकल $A$ दिए जाने पर आउटपुट $i$ के साथ समाप्त होते हैं।
ऑर्डर-रिवर्सिंग एम्बेडिंग (Order-Reversing Embedding):
मुख्य परिणाम (प्रमेय 5.8) यह सिद्ध करता है कि मैपिंग $\text{coT}$ एक ऑर्डर-रिवर्सिंग एम्बेडिंग है।
$[A]_{T_0} \le [B]_{T_0} \iff \text{coT}([A]_{T_0}) \ge \text{coT}([B]_{T_0})$
यह स्थापित करता है कि ट्यूरिंग डिग्री का ढांचा ANM डिग्री के एक "शंकु" (cone) के समरूप (isomorphic) है, लेकिन क्रम उल्टा है।
अतुलनीयता (Incomparability) का परिणाम:
लेखक सिद्ध करते हैं कि किसी भी गैर-शून्य ट्यूरिंग डिग्री $a$ और किसी भी गैर-शून्य ट्यूरिंग डिग्री $b$ के लिए, को-ट्यूरिंग डिग्री $\text{coT}(a)$ , $T_3$ जालक के भीतर $b$ के साथ अतुलनीय (incomparable) है।
$\text{coT}(a) \not\le b \quad \text{और} \quad \text{coT}(a) \not\ge b \quad (\text{यदि } a, b > 0)$
इसका तात्पर्य यह है कि को-ट्यूरिंग डिग्री आर्थर को पहले से ही कंप्यूट करने योग्य कार्यों से परे कोई नई शक्ति प्रदान नहीं करती है, न ही वे "सर्वज्ञता" (omniscience) प्रदान करती हैं जब तक कि मूल डिग्री निरर्थक (trivial) न हो।
जालक संरचना विश्लेषण (Lattice Structure Analysis):
लेखक $T_1, T_2,$ और $T_3$ स्तरों के बीच मीट (meet) और जॉइन (join) ऑपरेशन्स का विश्लेषण करते हैं।
- वे सिद्ध करते हैं कि $T_1$ डिग्री एक ऐसा जालक बनाते हैं जहाँ दो $T_0$ डिग्री का मीट शून्य तभी होता है जब उनमें से एक शून्य हो (प्रमेय 3.6)।
- वे दिखाते हैं कि $T_2$ और $T_3$ डिग्री वितरणात्मक जालक (distributive lattices) और हेयटिंग बीजगणित (Heyting algebras) बनाते हैं, जबकि $T_1$ डिग्री नहीं।
टोपोस-थ्योरेटिक लक्षण वर्णन:
यह शोध पत्र इन परिणामों का एक सिंथेटिक व्याख्या प्रदान करता है। को-ट्यूरिंग डिग्री उस सबसे छोटे लॉवर-टायनी टोपोलॉजी के अनुरूप है जो दो-तत्व सेट के $j$ -शीफिफिकेशन को दोहरे-निषेध शीफिफिकेशन में सघन बनाती है।

4. मुख्य परिणाम

प्रमेय 4.17 (मुख्य तकनीकी लेम्मा): एक कोडिंग ऑरेकल $c_{P,Q}$ "सर्वज्ञ" (omniscient) है (अर्थात डिग्री $\omega$ के समरूप) यदि और केवल यदि प्रॉमिस समस्या $(P \times Q, Q \times P)$ निर्णायक (decidable) है। यह मनमानी जानकारी संचारित करने की क्षमता को एक विशिष्ट "दोहरे-प्रश्न" (double-query) प्रॉमिस समस्या की निर्णायकता से जोड़ता है।
प्रमेय 5.8: मैपिंग $a \mapsto \text{coT}(a)$ ट्यूरिंग डिग्री का $T_3$ डिग्री में एक ऑर्डर-रिवर्सिंग एम्बेडिंग है।
प्रमेय 6.4:
- यदि $\text{coT}(a) \ge b$ एक ट्यूरिंग डिग्री $b$ के लिए है, तो या तो $a=0$ या $b=0$ है।
- $\text{coT}(a)$ कभी भी गैर-शून्य ट्यूरिंग डिग्री $b$ के बराबर या उससे कम नहीं हो सकता।
प्रमेय 3.6: $T_1$ डिग्री में, गैर-शून्य $T_0$ डिग्री के कोई मिनिमल पेयर्स (minimal pairs) नहीं होते हैं। यदि $f \in T_1$ और $g \in T_0$ का मीट 0 है, तो उनमें से एक को 0 होना चाहिए।

5. महत्व

संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: यह शोध पत्र कंप्यूटेबिलिटी के ढांचे में एक गहरा द्वैत प्रकट करता है। जबकि ट्यूरिंग डिग्री कार्यों को कंप्यूट करने की जटिलता का प्रतिनिधित्व करते हैं, "को-ट्यूरिंग" डिग्री "सूचना छिपाने" (information hiding) या "प्रतिकूल एनकोडिंग" (adversarial encoding) के एक रूप का प्रतिनिधित्व करती हैं जो मूल जटिलता के संरचनात्मक रूप से द्वैत है।
क्षेत्रों को जोड़ना: यह सफलतापूर्वक शास्त्रीय कंप्यूटेबिलिटी थ्योरी (ट्यूरिंग डिग्री, हाल्टिंग समस्या) को कैटेगोरिकल लॉजिक (इफेक्टिव टोपोस, लॉवर-टायनी टोपोलॉजी) के साथ जोड़ता है। गेम-थ्योरेटिक परिभाषाओं को इफेक्टिव टोपोस में टोपोलॉजिकल गुणों के समतुल्य दिखाया गया है।
गैर-निश्चयवाद का स्पष्टीकरण: यह कार्य एंजेलिक (न्यूमी) और डेमोनिक (मर्लिन) गैर-निश्चयवाद की विशिष्ट भूमिकाओं को स्पष्ट करता है। यह दिखाता है कि एंजेलिक गैर-निश्चयवाद को पेश करना ( $T_2$ से $T_3$ की ओर बढ़ना) ट्यूरिंग डिग्री के अतुलनीय डिग्री का निर्माण करने की अनुमति देता है, जिससे एक समृद्ध संरचना बनती है जहाँ शास्त्रीय डिग्री एक विशिष्ट, क्रम-उलटे शंकु (cone) के रूप में स्थित हैं।
पहेली का समाधान: यह शोध पत्र प्रस्तावना में पूछी गई पहेली को हल करता है कि क्या एक प्रश्न और उसके निषेध को पूछना मनमाने बूलियन समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। यह सिद्ध करता है कि जबकि यह ट्रिक विशिष्ट प्रॉमिस समस्याओं के लिए काम करती है (जो $\omega$ की सर्वज्ञ डिग्री की ओर ले जाती है), यह सामान्य मामलों के लिए विफल हो जाती है, और "को-ट्यूरिंग" डिग्री उन सीमाओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जो बिना निरर्थकता (triviality) के पतन के ऐसी द्वैत-क्वेरी रणनीतियों द्वारा प्राप्त की जा सकती हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक ऐसा कठोर ढांचा बनाता है जहाँ "को-ट्यूरिंग" डिग्री ट्यूरिंग डिग्री के दर्पण प्रतिबिंब के रूप में कार्य करती हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि हालांकि वे संरचनात्मक रूप से समरूप (उल्टे क्रम में) हैं, वे कंप्यूटेशनल ब्रह्मांड के एक विशिष्ट, अतुलनीय क्षेत्र में स्थित हैं।