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Canonical Byte-String Encoding for Finite-Ring Cryptosystems

यह शोध पत्र परिमित-वलय (finite-ring) क्रिप्टोसिस्टम के लिए एक कैनोनिकल बेस-m कोडेक प्रस्तुत करता है जो एक अनुकूलित rANS-आधारित प्रणाली का उपयोग करके बाइट स्ट्रिंग्स को अवशेष सूचियों (residue lists) में मैप करता है, जिसमें सटीक डिकोडिंग, प्रत्यय सहनशीलता (suffix tolerance) के लिए लंबाई-पूर्वफिक्स्ड हेडर, और इसकी शुद्धता एवं सीमाओं को सत्यापित करने वाले एक मशीन-चेक्ड लीन 4 (Lean 4) औपचारिक रूप (formalization) के साथ एक रस्ट (Rust) कार्यान्वयन शामिल है।

मूल लेखक: Kyrylo Riabov, Serhii Kryvyi

प्रकाशित 2026-03-25

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Kyrylo Riabov, Serhii Kryvyi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अपने एक मित्र को एक गुप्त संदेश भेजने की कोशिश कर रहे हैं जो एक बहुत ही अजीब शहर में रहता है। इस शहर में, लोग केवल सिक्कों (coins) का उपयोग करते हैं, कागजी नोटों का नहीं। इसके अलावा, इस शहर का एक सख्त नियम है: आप एक समय में केवल एक निश्चित संख्या में ही सिक्के रख सकते हैं (मान लीजिए, अधिकतम 50 सिक्के)।

हालाँकि, आपका संदेश मानक कागज (डेटा के बाइट्स जैसे टेक्स्ट, इमेज या कोड) पर लिखा गया है। आप अपने मित्र को कागज का ढेर थमा नहीं सकते; आपको शहर के सुरक्षित क्षेत्र में प्रवेश करने से पहले उस कागज को सिक्कों के ढेर में बदलना होगा।

यह कागज उस रूपांतरण (conversion) को करने वाली एक परफेक्ट मशीन बनाने के बारे में है।

समस्या: "पेपर-टू-कॉइन" मिसमैच (मेल न खाना)

उन्नत क्रिप्टोग्राफी (विशेष रूप से "रिंग-मैपिंग क्रिप्टोसिस्टम") की दुनिया में, कंप्यूटरों को सामान्य डेटा (जैसे आपका ईमेल या फोटो) को ऐसे नंबरों में बदलने की आवश्यकता होती है जो एक गणितीय "रिंग" (संख्याओं का एक घेरा) के भीतर फिट हो सकें।

पुराना तरीका: लोग पहले इन मशीनों को हाथ से बनाते थे, हर एक प्रोजेक्ट के लिए अपने खुद के नियम बनाते थे। यह ऐसा था जैसे आप अपने गैरेज में मिले रैंडम ईंटों से एक पुल बनाने की कोशिश कर रहे हों। यह छोटे प्रोजेक्ट्स के लिए तो काम करता था, लेकिन यह अव्यवस्थित था और आसानी से टूट सकता था।
नया तरीका: यह शोध पत्र एक मानकीकृत, सार्वभौमिक मशीन प्रस्तावित करता है जिसे Base-m-len Codec कहा जाता है। यह एक फैक्ट्री असेंबली लाइन की तरह है जो किसी भी आकार के कागज (एक निश्चित आकार तक) को सिक्कों के एक आदर्श ढेर में बदल देती है, चाहे सिक्के का आकार (modulus) कुछ भी हो।

यह मशीन कैसे काम करती है (एक उपमा/एनालॉजी)

इस मशीन के तीन अलग-अलग भाग हैं, जो इसके "वायर फॉर्मेट" (डेटा का वह रूप जैसा वह यात्रा करता है) का निर्माण करते हैं:

आईडी कार्ड (द लेंथ हेडर):
मशीन शुरू होने से पहले, यह देखता है कि आपके पास कितने पन्ने हैं और यह लिख देता है कि आपके पास ठीक कितने पन्ने हैं। यह इस संख्या को एक निश्चित आकार के बॉक्स में लिखता है।

क्यों? ताकि दूसरी ओर की मशीन को पता चल सके कि उसे पढ़ना कब बंद करना है। यह लिफाफे पर "20 पन्ने" लिखने जैसा है ताकि प्राप्तकर्ता उन पन्नों की तलाश में न रहे जो मौजूद ही नहीं हैं।

ब्लूप्रिंट (द स्टेट हेडर):
मशीन अपने आंतरिक गियर्स (गियरों) का एक "स्नैपशॉट" भी लिखती है। यह एक दूसरा निश्चित-आकार का बॉक्स है।

क्यों? यह सुनिश्चित करता है कि यदि मशीन बीच में रुक जाती है या यदि अंत में कुछ अतिरिक्त कचरा (extra junk) बच जाता है, तो भी यह समझ सके कि इसे वास्तव में कहाँ रुकना था। यह एक "चेकपॉइंट" मार्कर की तरह है।

कॉइन स्ट्रीम (द पेलोड):
अब, मशीन आपके कागज को पन्ना-दर-पन्ना लेकर लेती है और उसे सिक्कों की एक धारा (stream) में बदल देती है।

जादुई ट्रिक: यह केवल साधारण गणित नहीं करता। यह एक चतुर तकनीक का उपयोग करता है (जो rANS नामक डेटा कंप्रेशन तकनीक से ली गई है) जो एक स्लाइडिंग स्केल की तरह काम करती है।
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक बाल्टी है। आप उसमें एक पन्ने का टेक्स्ट डालते हैं। यदि बाल्टी बहुत भर जाती है, तो आप मुट्ठी भर सिक्के निकालते हैं और उन्हें एक लाइन में रखते हैं। आप तब तक यह प्रक्रिया जारी रखते हैं जब तक कि बाल्टी बिल्कुल सही स्थिति में न आ जाए, फिर आप अगला पन्ना उसमें डाल देते हैं।
परिणाम स्वरूप, सिक्कों की एक लंबी लाइन मिलती है जो आपके मूल टेक्स्ट का सटीक प्रतिनिधित्व करती है।

यह विशेष क्यों है?

1. यह "कैनोनिकल" (मानक) है
इससे पहले, हर कोई अपनी खुद की कॉइन-कन्वर्जन मशीन बनाता था। यदि आप व्यक्ति A को संदेश भेजते थे, तो हो सकता है कि उन्हें आपसे अलग मशीन की आवश्यकता हो। यह शोध पत्र कहता है, "आइए हम सभी इस विशिष्ट मशीन का उपयोग करें।" अब, इस प्रोटोकॉल को चलाने वाला कोई भी कंप्यूटर किसी भी अन्य कंप्यूटर से बात कर सकता है, चाहे वे किसी भी भाषा या सिस्टम का उपयोग करते हों।

2. यह "सहनशील" (सफिक्स टॉलरेंस) है
कल्पना कीजिए कि आप एक संदेश भेजते हैं, लेकिन डिलीवरी ट्रक गलती से अंत में कुछ अतिरिक्त सिक्के गिरा देता है।

पुरानी मशीनें: भ्रमित हो सकती हैं, यह मान सकती हैं कि संदेश लंबा है, और क्रैश हो सकती हैं।
यह मशीन: "आईडी कार्ड" (लेंथ हेडर) को देखती है, ठीक उतने ही सिक्कों को गिनती है, और फिर कहती है, "ठीक है, मेरे पास मेरा संदेश है। मैं अतिरिक्त सिक्कों को अनदेखा कर दूँगी।" यह अविश्वसनीय रूप से मजबूत है।

3. यह सिद्ध है कि यह परफेक्ट है (लीन 4 फॉर्मलाइजेशन)
सबसे प्रभावशाली हिस्सा यह है कि लेखकों ने केवल कोड नहीं लिखा; उन्होंने Lean 4 नामक एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके एक गणितीय प्रमाण भी लिखा।

इसे ऐसे समझें जैसे कोई वकील सिर्फ यह नहीं कहता कि "मैं वादा करता हूँ कि यह पुल सुरक्षित है।" बल्कि, उनके पास एक कंप्यूटर है जिसने गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि जब तक नियमों का पालन किया जाता है, तब-तक यह पुल कितनी भी कारों के आने पर कभी नहीं गिरेगा।
उन्होंने सिद्ध किया कि यदि आप एक संदेश डालते हैं, तो मशीन आपको बिल्कुल वही संदेश, बिना किसी त्रुटि के वापस देगी।

"रियल वर्ल्ड" चेक

लेखकों ने Rust नामक प्रोग्रामिंग भाषा में इस मशीन का एक वर्किंग वर्जन भी बनाया है। उन्होंने इसे एक आधुनिक कंप्यूटर (Apple M3 चिप) पर टेस्ट किया।

गति (Speed): यह तेज़ है। यह पुराने, बोझिल तरीकों की तुलना में डेटा को बहुत तेज़ी से प्रोसेस कर सकता है।
दक्षता (Efficiency): बड़े कॉइन साइज के लिए, यह लगभग उतना ही कुशल है जितना कि सीधे कागज भेजना (1 कॉइन प्रति पेज), लेकिन फिर भी यह सुरक्षा सुविधाओं को बनाए रखता है।

सारांश

यह शोध पत्र एक सार्वभौमिक, गणितीय रूप से सिद्ध अनुवादक पेश करता है जो सामान्य डिजिटल डेटा को अगले स्तर के एन्क्रिप्शन सिस्टम के लिए आवश्यक विशिष्ट संख्या प्रारूप में बदल देता है। यह एक सुरक्षित संचार के लिए पूरे विश्व के लिए एक मानक एडॉप्टर प्लग बनाने जैसा है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि डेटा खोए बिना, दूषित हुए बिना या गलत समझे बिना एक क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम से दूसरे में जा सके।

संक्षेप में: यह एक बहुत ही विशिष्ट उच्च-सुरक्षा गणितीय एन्क्रिप्शन के लिए "USB-C पोर्ट" है।

यहाँ क्यिरिलो रियाबोव (Kyrylo Riabov) और सेरही क्रिवी (Serhii Kryvyi) के शोध पत्र "Canonical Byte-String Encoding for Finite-Ring Cryptosystems" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

फाइनाइट-रिंग क्रिप्टोसिस्टम्स (जैसे कि फॉर्मेट-प्रिजर्विंग एन्क्रिप्शन, मल्टी-पार्टी कम्प्यूटेशन और फुली होमोमॉर्फिक एन्क्रिप्शन में उपयोग किए जाने वाले) $\mathbb{Z}_m$ (पूर्णांकों के मॉड्यूलो $m$ ) के भीतर गणितीय तत्वों पर कार्य करते हैं। हालाँकि, वास्तविक दुनिया का डेटा मनमाने बाइट स्ट्रिंग्स (जैसे UTF-8 टेक्स्ट या बाइनरी फाइलें) के रूप में होता है।

वर्तमान कार्यान्वयन अक्सर अवशेषों (residues) को बाइट्स से मैप करने के लिए हस्तनिर्मित वर्णमाला (alphabets) या छोटे निश्चित प्रतीक तालिकाओं (symbol tables) पर निर्भर करते हैं। इस दृष्टिकोण में एक कैनोनिकल, सामान्य-उद्देश्यीय प्रतिनिधित्व परत (canonical, general-purpose representation layer) का अभाव है, जो बीजगणितीय एन्क्रिप्शन चरण शुरू होने से पहले किसी भी लंबाई ( $2^{64}$ बाइट्स तक) के मनमाने डेटा को संभाल सके। यह शोध पत्र एक नियत (deterministic), स्व-सीमांकित (self-delimiting) कोडेक की आवश्यकता को संबोधित करता है जो बिना किसी अस्पष्टता या सूचना की हानि के बाइट स्ट्रिंग्स को $\mathbb{Z}_m$ के अवशेषों की सूचियों में मैप कर सके।

2. कार्यप्रणाली: बेस- $m$ -लेन् कोडेक (Methodology: The Base- $m$ -Len Codec)

लेखक एक नया कोडेक प्रस्तावित करते हैं जिसे base- $m$ -len कहा जाता है, जो एक बाइट स्ट्रिंग को $\mathbb{Z}_m$ में अवशेषों की एक स्ट्रीम में परिवर्तित करता है। इसका डिज़ाइन rANS (range Asymmetric Numeral Systems) से प्रेरित है, लेकिन इसे संभावabilistic एंट्रॉपी कोडिंग के बजाय नियत, यूनिफॉर्म बाइट-टू-रेसिड्यू ट्रांसडक्शन के लिए अनुकूलित किया गया है।

वायर फॉर्मेट (Wire Format)

एन्कोडेड आउटपुट तीन विशिष्ट घटकों से बना होता है:

लंबाई का प्रीफिक्स (Length Prefix): मूल बाइट स्ट्रिंग की लंबाई ($|bytes|$) का एक निश्चित-चौड़ाई वाला एन्कोडिंग।
स्टेट प्रीफिक्स (State Prefix): अंतिम पेलोड स्टेट का एक निश्चित-चौड़ाई वाला एन्कोडिंग।
पेलोड स्ट्रीम (Payload Stream): इनपुट बाइट्स को प्रोसेस करके उत्पन्न अवशेषों का एक अनुक्रम।

एन्कोडिंग एल्गोरिदम (Encoding Algorithm)

हेडर गणना (Header Calculation): दिए गए मॉड्यूलस $m$ के लिए, सिस्टम एक चौड़ाई $k = \min \{j \in \mathbb{N}_0 : m^j \ge 2^{64}\}$ की गणना करता है। लंबाई और अंतिम स्टेट दोनों को ठीक $k$ लिटिल-एंडियन बेस- $m$ अंकों का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है।
पेलोड ट्रांसडक्शन (Payload Transduction): एन्कोडर इनपुट बाइट्स को विपरीत क्रम (reverse order) में प्रोसेस करता है। यह एक स्टेट वेरिएबल $x$ बनाए रखता है, जो एक विशिष्ट निचली सीमा $L$ पर इनिशियलाइज़ किया गया है। प्रत्येक बाइट $b$ के लिए, स्टेट को $x \leftarrow 256x + b$ के माध्यम से अपडेट किया जाता है। प्रत्येक अपडेट से पहले, एन्कोडर अंक ( $x \mod m$ ) उत्सर्जित करता है और स्टेट को पुनर्गठित (renormalize) करता है ( $x \leftarrow \lfloor x/m \rfloor$ ) जब तक कि स्टेट एक एन्कोडर थ्रेशोल्ड से नीचे न आ जाए।
आउटपुट (Output): उत्सर्जित पेलोड अंकों को एक FIFO (First-In-First-Out) स्ट्रीम बनाने के लिए रिवर्स किया जाता है।

डिकोडिंग एल्गोरिदम (Decoding Algorithm)

हेडर पार्सिंग (Header Parsing): डिकोडर घोषित लंबाई $\ell$ को पुनः प्राप्त करने के लिए पहले $k$ अंकों को पढ़ता है। यदि $\ell = 0$ है, तो यह तुरंत खाली स्ट्रिंग लौटा देता है।
स्टेट इनिशियलाइजेशन (State Initialization): अगले $k$ अंकों को पढ़ा जाता है ताकि प्रारंभिक पेलोड स्टेट का पुनर्निर्माण किया जा सके।
कौशलपूर्वक, डिकोडर $\ell$ बार पुनरावृत्ति करता है। प्रत्येक चरण में, यह एक बाइट ( $x \mod 256$ ) निकालता है, स्टेट को अपडेट करता है ( $x \leftarrow \lfloor x/256 \rfloor$ ), और स्टेट को वापस डिकोडर लोअर बाउंड तक ऊपर लाने के लिए नए पेलोड अंकों का उपभोग करता है।
सफिक्स टॉलरेंस (Suffix Tolerance): महत्वपूर्ण रूप से, डिकोडर ठीक $\ell$ बाइट्स के पुनर्निर्माण के बाद रुक जाता है। स्ट्रीम में शेष रहने वाले किसी भी वैध अवशेष अंक (एक "सफिक्स") को अनदेखा कर दिया जाता है, जिससे कोडेक अतिरिक्त डेटा के प्रति सुदृढ़ (robust) बनता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

कैनोनिकल कोडेक परिभाषा: शोध पत्र एक मॉड्यूलस-पैरामीटराइज्ड, कैनोनिकल बाइट-टू-रेसिड्यू कोडेक को परिभाषित करता है, जो base- $m$ -len वायर फॉर्मेट पर केंद्रित है।
औपचारिक सत्यापन (Formal Verification - Lean 4): लेखक Lean 4 में एक मशीन-चेक्ड फॉर्मलाइजेशन प्रदान करते हैं। इसमें शामिल हैं:
- फिक्स्ड-विड्थ प्रीफिक्स इन्वर्जन (यह गारंटी देना कि लंबाई और स्टेट को पूरी तरह से पुनः प्राप्त किया जा सकता है)।
- पेलोड-स्टेट बाउंड्स (यह सुनिश्चित करना कि स्टेट कभी भी $2^{64}$ से अधिक न हो)।
- एंड-टू-एंड स्ट्रीम करेक्टनेस (यह सिद्ध करना कि Decode(Encode(bytes)) == bytes)।
- सफिक्स टॉलरेंस का प्रमाण (सिद्ध करना कि डिकोडिंग अतिरिक्त अंकों को अनदेखा करती है)।
रेफरेंस इम्प्लीमेंटेशन: एक उच्च-प्रदर्शन Rust लाइब्रेरी (sym-adv-encoding) जो UTF-8 फ्रंटएंड और बेंचमार्किंग सूट के साथ कोडेक को लागू करती है।
जटिलता विश्लेषण (Complexity Analysis): कोडेक $O(n)$ समय और $O(1)$ वर्किंग स्टेट में संचालित होता है (I/O बफ़र्स को छोड़कर), जिससे यह स्ट्रीमिंग अनुप्रयोगों के लिए रैखिक और कुशल बन जाता है।

4. परिणाम और प्रदर्शन (Results and Performance)

सटीकता (Correctness): Lean 4 फॉर्मलाइजेशन गणितीय रूप से गारंटी देता है कि किसी भी समर्थित मॉड्यूलस $m$ (जहाँ $2 \le m$ और $256 \le \text{decoderLowerBound}(m)$ ) और किसी भी बाइट स्ट्रिंग की लंबाई $< 2^{64}$ के लिए, राउंडट्रिप सटीक है।
दक्षता (Efficiency): एक Apple M3 Pro मशीन पर बेंचमार्क दिखाते हैं कि नेटिव Rust कार्यान्वयन सटीक BigUint रेडिक्स-कन्वर्जन बेसलाइन की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करता है।
- उदाहरण: $m=257$ के साथ 1 KiB को एनकोड करने पर 217.0 MiB/s प्राप्त होता है, जबकि BigUint बेसलाइन के लिए यह 25.2 MiB/s है।
- डिकोडिंग और भी तेज़ है, जो समान कॉन्फ़िगरेशन के लिए 640.5 MiB/s तक पहुँच जाती है।
ओवरहेड (Overhead): शोध पत्र मॉड्यूलस के आकार और ओवरहेड के बीच के संबंध का विश्लेषण करता है। बड़े मॉड्यूली पेलोड दर को कम करते हैं (जैसे-जैसे $m \to 256$ होता है, यह 1 अवशेष प्रति बाइट के करीब पहुँच जाता है) लेकिन फिक्स्ड हेडर का आकार बढ़ा देते है। $m=257$ के लिए, पेलोड दर $\approx 0.9993$ अंक प्रति बाइट है, जिसमें 16 अंकों का फिक्स्ड हेडर है।

5. महत्व और सीमाएँ (Significance and Limitations)

महत्व:

मानकीकरण (Standardization): यह फाइनाइट-रिंग प्रोटोकॉल के लिए एक लापता "ग्लू" (glue) लेयर प्रदान करता है, जिससे मनमाने डेटा को कस्टम, त्रुटि-पूर्ण मैपिंग के बिना सुरक्षित रूप से $\mathbb{Z}_m$ डोमेन में ले जाया जा सकता है।
औपचारिक विश्वास (Formal Trust): मशीन-चेक्ड प्रमाण महत्वपूर्ण क्रिप्टोग्राफिक इंफ्रास्ट्रक्चर के लिए उच्च स्तर का आश्वासन प्रदान करते हैं, जो कोडेक कार्यान्वयनों में दुर्लभ है।
व्यावहारिकता (Practicality): प्रदर्शन बेंचमार्क प्रदर्शित करते हैं कि यह सैद्धांतिक संरचना वास्तविक दुनिया के उच्च-थ्रूपुट अनुप्रयोगों के लिए व्यवहार्य है।

सीमाएँ और सुरक्षा संदर्भ:

सुरक्षा प्रिमिटिव नहीं है: कोडेक नियत (deterministic) और सार्वजनिक है; यह गोपनीयता, अखंडता या प्रमाणिकता (confidentiality, integrity, or authenticity) प्रदान नहीं करता है। इसे एक क्रिप्टोग्राफिक प्रोटोकॉल द्वारा लपेटा जाना चाहिए।
लंबाई का रिसाव (Length Leakage): वायर फॉर्मेट स्पष्ट रूप से इनपुट की सटीक बाइट लंबाई प्रकट करता है। यदि लंबाई छिपाने की आवश्यकता है, तो प्रोटोकॉल स्तर पर पैडिंग लागू की जानी चाहिए।
कार्यान्वयन का दायरा: औपचारिक प्रमाण अमूर्त विनिर्देश (abstract specification) को कवर करते हैं, न कि निम्न-स्तरीय Rust कार्यान्वयन विवरणों (जैसे मेमोरी आवंटन, पार्सर हार्डनिंग) को, जो इंजीनियरिंग की जिम्मेदारियाँ बनी रहती हैं।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र फाइनाइट-रिंग क्रिप्टोसिस्टम्स के लिए बाइट-टू-रेसिड्यू प्रतिनिधित्व की समस्या को सफलतापूर्वक अलग और हल करता है, जो एक गणितीय रूप से सत्यापित, उच्च-प्रदर्शन और कैनोनिकल समाधान प्रदान करता है जो कच्चे डेटा और बीजगणितीय एन्क्रिप्शन के बीच के अंतर को पाटता है।