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Bridging Computational Fluid Dynamics Algorithm and Physics-Informed Learning: SIMPLE-PINN for Incompressible Navier-Stokes Equations

यह शोध पत्र SIMPLE-PINN प्रस्तुत करता है, जो एक नवीन फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क फ्रेमवर्क है जो उच्च रेनॉल्ड्स नंबर और लंबी समय अवधि वाले जटिल इनकम्प्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स समस्याओं के लिए अत्यधिक सटीक, पूर्णतः डेटा-मुक्त समाधान प्राप्त करने हेतु प्रशिक्षण अस्थिरता को दूर करने और अभिसरण को त्वरित करने के लिए SIMPLE एल्गोरिदम से प्रेरित वेग और दबाव सुधार पदों को एकीकृत करता है।

मूल लेखक: Chang Wei, Yuchen Fan, Chin Chun Ooi, Jian Cheng Wong, Heyang Wang, Pao-Hsiung Chiu

प्रकाशित 2026-03-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chang Wei, Yuchen Fan, Chin Chun Ooi, Jian Cheng Wong, Heyang Wang, Pao-Hsiung Chiu

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक सुपर-स्मार्ट रोबोट को यह सिखाने की कोशिश कर रहे हैं कि पाइपों में, पुलों के चारों ओर, या यहाँ तक कि एक जेट इंजन के अंदर पानी कैसे बहता है। यह कंप्यूटेशनल फ्लूइड डायनेमिक्स (CFD) का काम है।

पारंपरिक रूप से, हम इन समस्याओं को "ब्रूट फोर्स" गणित का उपयोग करके हल करते हैं: हम स्थान को लाखों छोटे लेगो ब्रिक्स (एक ग्रिड) में विभाजित करते हैं और प्रत्येक ब्रिक में प्रवाह की गणना करते हैं। यह सटीक है, लेकिन धीमा है और इसके लिए विशाल सुपरकंप्यूटर की आवश्यकता होती है।

यहाँ PINNs (फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स) आते हैं। ये एक अलग प्रकार के रोबोट की तरह हैं। ग्रिड का उपयोग करने के बजाय, वे "शिक्षार्थी" (learners) हैं। आप उन्हें भौतिकी के नियम (जैसे न्यूटन के नियम) और कुछ सीमा स्थितियाँ (boundary conditions) देते हैं, और वे पूरे प्रवाह पैटर्न का एक साथ अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं। यह एक छात्र को चरण-दर-चरण अंकगणित करने के बजाय, अवधारणा को समझकर पूरी गणितीय समस्या हल करने के लिए कहने जैसा है।

समस्या:
हालांकि PINNs बहुत अच्छे हैं, लेकिन वे फ्लूइड (तरल) समस्याओं को हल करने में, विशेष रूप से जब तरल तेजी से चलता है या विक्षोभ (turbulent) पैदा करता है, तो काफी खराब प्रदर्शन करते हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप अपने हाथ पर एक झाडू को संतुलित करने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप केवल इसे सीधा रखने की कोशिश करेंगे (त्रुटि को कम करने के लिए), तो यह डगमगाएगा और गिर जाएगा। फ्लूइड डायनेमिक्स में, "झाडू" गति (वेग) और दबाव के बीच का संबंध है। यदि गति बढ़ती है, तो दबाव कम होना चाहिए, और इसके विपरीत। मानक PINNs अक्सर इस संबंध को गलत कर देते हैं, जिससे सिमुलेशन क्रैश हो जाता है या बेतुके परिणाम देता है। वे गति और दबाव को अलग-अलग सीखने की कोशिश करते हैं, लेकिन वे एक-दूसरे से बात करना भूल जाते हैं।

समाधान: SIMPLE-PINN
इस शोध पत्र के लेखकों ने SIMPLE-PINN नामक एक नया फ्रेमवर्क बनाया है। इसे समझने के लिए, इसके नाम को देखें: SIMPLE का अर्थ है सेमी-इम्प्लिसिट मेथड फॉर प्रेशर-लिंक्ड इक्वेशंस। यह एक प्रसिद्ध, पुराना एल्गोरिदम है जिसका उपयोग दशकों से पारंपरिक CFD विशेषज्ञों द्वारा गति-दबाव संतुलन को ठीक करने के लिए किया जाता रहा है।

लेखकों ने पूछा, "क्या होगा यदि हम न्यूरल नेटवर्क को इस पुराने-स्कूल के 'बैलेंसिंग ट्रिक' का उपयोग करना सिखा सकें?"

उन्होंने इसे कैसे किया, इसके लिए सरल उपमाओं का उपयोग किया गया है:

1. "सुधार" तंत्र (कोच)

पुराने-स्कूल के तरीके में, यदि गति और दबाव तालमेल से बाहर हो जाते हैं, तो कंप्यूटर एक "सुधार" (correction) की गणना करता है और उन्हें वापस सही जगह पर लाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक डांस पार्टनर (गति) और एक लीड (दबाव) है। यदि वे एक-दूसरे के पैरों पर पैर रखते हैं, तो एक कोच (SIMPLE एल्गोरिदम) बीच में आता है, कहता है, "रुको, तुम तालमेल से बाहर हो! गति, थोड़ा पीछे हटो; दबाव, थोड़ा आगे झुको," और वे अपनी चाल को ठीक करते हैं।
नवाचार: मानक PINNs में यह कोच नहीं होता। वे बस अनुमान लगाते हैं और उम्मीद करते हैं। SIMPLE-PINN इस कोच को सीधे रोबोट के मस्तिष्क में बनाता है। हर बार जब रोबोट कोई अनुमान लगाता है, तो वह एक "करेक्शन लॉस" (दंड स्कोर) की गणना करता है कि गति और दबाव कितनी अच्छी तरह एक साथ नृत्य कर रहे हैं। यदि वे तालमेल से बाहर हैं, तो दंड बहुत अधिक होता है, जो रोबोट को तुरंत संबंध को ठीक करने के लिए मजबूर करता है।

2. "हाइब्रिड" रणनीति (स्विस आर्मी नाइफ)

तरल पदार्थ अक्सर अजीब आकृतियों के चारों ओर बहते हैं, जैसे कि एक मुड़ा हुआ हवाई जहाज का पंख या एक ऊबड़-खाबड़ चट्टान।

समस्या: "ब्रूट फोर्स" गणित (फाइनाइट वॉल्यूम मेथड) खुले स्थानों में बहुत अच्छा काम करता है लेकिन टेढ़े-मेढ़े किनारों के पास भ्रमित हो जाता है। "लर्निंग" विधि (ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन) लचीली है लेकिन यह अपूर्ण हो सकती है।
समाधान: SIMPLE-PINN एक स्विस आर्मी नाइफ है।
- तरल के खुले, सुरक्षित क्षेत्रों में, यह मजबूत, ग्रिड-आधार वाले गणित (फाइनाइट वॉल्यूम) का उपयोग करता है क्योंकि यह स्थिर है।
- बिल्कुल टेढ़े-मेढ़े किनारों या दीवारों के पास, यह घुमावों को पूरी तरह से संभालने के लिए लचीले "लर्निंग" गणित (ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन) पर स्विच हो जाता है।
- यह दोनों के बीच सहजता से मेल कराता है, जिससे दोनों तरफ के सर्वश्रेष्ठ लाभ मिलते हैं।

3. "टाइम ट्रैवल" ट्रिक (कोई टाइम विंडो नहीं)

एक लंबे समय (जैसे 100 सेकंड में भंवर बनना देखना) के दौरान तरल का अनुकरण करना आमतौर पर AI के लिए एक दुःस्वप्न होता है। आमतौर पर, आपको समय को छोटे टुकड़ों (विंडोज) में तोड़ना पड़ता है, एक को हल करना पड़ता है, फिर अगले को शुरू करने के लिए उस परिणाम का उपयोग करना पड़ता है। यदि आप पहले विंडो में छोटी सी गलती करते हैं, तो त्रुटियां एक बर्फ के गोले (snowball) की तरह बढ़ती जाती हैं, जिससे पूरा सिमुलेशन खराब हो जाता है।

ब्रेकथ्रू: SIMPLE-PINN बिना टुकड़ों में बदले एक ही समय में पूरे टाइमलाइन को देख सकता है। यह एक पूरी किताब को एक बार में पढ़ने जैसा है बजाय इसके कि आप एक पन्ना पढ़ें, किताब बंद करें, और अगले पन्ने के लिए कहानी याद करने की कोशिश करें। यह इसे जटिल, दीर्घकालिक घटनाओं (जैसे 100 सेकंड के लिए सिलेंडर के पीछे भंवरों का निकलना) को बिना त्रुटियों के जमा हुए सिम्युलेट करने की अनुमति देता है।

यह क्यों मायने रखता है (परिणाम)

शोध पत्र दिखाता है कि यह नया "कोच" और "स्विस आर्मी नाइफ" दृष्टिकोण गेम-चेंजर है:

गति: इसने एक अत्यंत कठिन उच्च-गति प्रवाह (रेनॉल्ड्स नंबर 20,000) को केवल 448 सेकंड में हल किया। यह 8 मिनट से भी कम समय है! अन्य तरीकों ने या तो विफल होने का सामना किया या घंटों का समय लिया।
सटीकता: इसने एक सिलेंडर के पीछे घूमने वाले "वॉर्टेक्स स्ट्रीट्स" की सटीक भविष्यवाणी की, जिसे पिछले AI मॉडल करने में संघर्ष कर रहे थे।
बहुमुखी प्रतिभा: यह साधारण बॉक्स से लेकर जटिल हवाई जहाज के पंखों और यहाँ तक कि ताप-चालित तरल अस्थिरताओं तक सब कुछ पर काम कर सका।

संक्षेप में

SIMPLE-PINN एक प्रतिभाशाली लेकिन अनाड़ी छात्र (न्यूरल नेटवर्क) को एक अनुभवी कोच (SIMPLE एल्गोरिदम) और एक मल्टी-टूल (हाइब्रिड रणनीति) देने जैसा है। कोच यह सुनिश्चित करता है कि वे बलों को संतुलित करने के मामले में मौलिक गलतियाँ न करें, और मल्टी-टूल उन्हें किसी भी आकार या बाधा को संभालने की अनुमति देता है। परिणाम एक ऐसा सॉल्वर है जो इंजीनियरिंग और विज्ञान की सबसे कठिन फ्लूइड डायनेमिक्स समस्याओं को हल करने के लिए तेज़, स्थिर और सटीक है।

यहाँ शोध पत्र "Bridging Computational Fluid Dynamics Algorithm and Physics-Informed Learning: SIMPLE-PINN for Incompressible Navier-Stokes Equations" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क्स (PINNs) बड़े लेबल वाले डेटासेट के बिना आंशिक अंतर समीकरणों (Partial Differential Equations - PDEs) को हल करने के लिए एक आशाजनक उपकरण के रूप में उभरे हैं। हालाँकि, जब इन्हें असंपीड्य नेवियर-स्टोक्स (N-S) समीकरणों पर लागू किया जाता है, विशेष रूप से उच्च रेनॉल्ड्स संख्या (Re) या जटिल ज्यामिति (complex geometries) के मामले में, तो मानक PINNs महत्वपूर्ण चुनौतियों का सामना करते हैं:

प्रशिक्षण अस्थिरता और धीमी अभिसरण (Training Instability & Slow Convergence): कन्वेक्शन टर्म्स की तीव्र नॉन-लिनियरिटी और वेग (velocity) एवं दबाव (pressure) के बीच का कड़ा जुड़ाव एक अत्यधिक नॉन-कॉन्वेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन लैंडस्केप बनाता है।
वेग-दबाव अलगाव (Velocity-Pressure Decoupling): मानक PINNs अक्सर वैश्विक स्तर पर निरंतरता समीकरण ( $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ ) को सख्ती से लागू करने में विफल रहते हैं, जिससे गैर-भौतिक समाधान उत्पन्न होते हैं जहाँ अनसैंपल किए गए बिंदुओं पर द्रव्यमान संरक्षण (mass conservation) का उल्लंघन होता है।
ज्यामितीय सीमाएँ (Geometric Limitations): पारंपरिक फाइनाइट वॉल्यूम मेथड (FVM) विविक्तकरण (discretization) स्टेंसिल निर्भरता के कारण अनियमित सीमाओं (जैसे एयरफॉइल, जटिल बाधाएं) के साथ संघर्ष करते हैं, जबकि शुद्ध ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन (AD) स्टिफ ग्रेडिएंट्स के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा और कम स्थिर हो सकता है।
दीर्घकालिक भविष्यवाणी (Long-term Prediction): मौजूदा विधियों को अक्सर अनस्टेडी फ्लो (unsteady flows) को सिम्युलेट करने के लिए टाइम-विंडोइंग (समय को छोटे खंडों में विभाजित करना) की आवश्यकता होती है, जिससे त्रुटियों का संचय (error accumulation) होता है।

2. कार्यप्रणाली: SIMPLE-PINN फ्रेमवर्क (Methodology: The SIMPLE-PINN Framework)

लेखक SIMPLE-PINN का प्रस्ताव करते हैं, जो एक नवीन फ्रेमवर्क है जो शास्त्रीय संख्यात्मक एल्गोरिदम (विशेष रूप से SIMPLE एल्गोरिदम) को PINNs के साथ जोड़ता है। मुख्य नवाचार सेमी-इम्प्लिसिट मेथड फॉर प्रेशर-लिंक्ड इक्वेशन्स (SIMPLE) से प्रेरित वेग और दबाव सुधार लॉस टर्म्स (velocity and pressure correction loss terms) का व्युत्पन्न है।

मुख्य कार्यप्रणाली घटक:

करेक्शन लॉस फंक्शन ( $L_{RC}$ ):
- केवल PDE रेसिडुअल्स पर निर्भर रहने के बजाय, यह फ्रेमवर्क मोमेंटम और निरंतरता रेसिडुअल्स से व्युत्पन्न स्पष्ट सुधार पदों (correction terms) को पेश करता है।
- व्युत्पत्ति (Derivation): लेखक एक सरलीकृत FVM का उपयोग करके N-S समीकरणों को विविक्त (discretize) करते हैं। इटरेशन $n$ पर रेसिडुअल्स का विश्लेषण करके और यह मानकर कि $n+1$ पर भौतिक बाधाएं संतुष्ट हैं, वे दबाव ( $p$ ) और वेग ( $u, v$ ) सुधारों के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं।
- न्यूरल नेटवर्क्स के लिए सन्निकटन (Approximation for NNs): इन सुधारों को न्यूरल नेटवर्क्स के अनुकूल बनाने के लिए (जो भविष्य के इटरेशन वेरिएबल्स $n+1$ $n + 1$ या जटिल पड़ोसी स्टेंसिल तक सीधे नहीं पहुँच सकते), लेखक निम्नलिखित का उपयोग करते हैं:
  1. टेलर एक्सपेंशन और एक्सट्रपलेशन (Taylor Expansion & Extrapolation): पड़ोसी योगदान और अगले इटरेशन मानों (जैसे $u^{n+1} \approx 2u^n - u^{n-1}$ ) का अनुमान लगाने के लिए।
  2. रिलैक्सेशन फैक्टर्स (Relaxation Factors): सुधार अपडेट को स्थिर करने के लिए $\alpha_p, \alpha_u, \alpha_v$ पेश किए जाते हैं।
- करेक्शन लॉस को एक $L_1$ नॉर्म पेनल्टी के रूप में तैयार किया गया है जो यह सुनिश्चित करता है कि इटरेशन $n$ से $n+1$ तक का अपडेट व्युत्पन्न सुधार भौतिकी (correction physics) का पालन करता है।
हाइब्रिड डिफरेंशिएशन स्ट्रैटेजी (AD + FVM):
- जटिल ज्यामिति (जैसे एयरफॉइल, वर्गाकार सिलेंडर) को संभालने के लिए, यह फ्रेमवर्क एक हाइब्रिड दृष्टिकोण का उपयोग करता है:
  - आंतरिक बिंदु (Interior Points): दक्षता और संरक्षण गुणों के लिए सरलीकृत FVM विविक्तकरण का उपयोग करता है।
  - सीमा के निकट बिंदु (Near-Boundary Points): जब FVM स्टेंसिल डोमेन के बाहर चले जाते हैं, तो यह ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन (AD) का उपयोग करता है। यह बल्क फ्लो में FVM की मजबूती बनाए रखते हुए ज्यामितीय लचीलेपन को सुरक्षित करता है।
आर्किटेक्चर (Architecture):
- इनपुट के लिए फ्रीक्वेंसी एनीलिंग मैपिंग के साथ मल्टी-लेयर पर्सेप्ट्रॉन (MLP) का उपयोग करता है।
- साझा हिडन लेयर्स के बाद वेग ( $u, v$ ) और दबाव ( $p$ ) के लिए विशिष्ट आउटपुट ब्रांचेस।
- एडम ऑप्टिमाइज़र (Adam optimizer) के साथ वॉर्मअप कोसाइन डिके लर्निंग रेट का उपयोग करके प्रशिक्षित किया गया है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

एल्गोरिद्मिक एकीकरण (Algorithmic Integration): सफलतापूर्वक शास्त्रीय SIMPLE एल्गोरिदम के वेग-दबाव कपलिंग तंत्र को एक डिफरेंशिएबल लॉस फंक्शन में बदल दिया है, जो मानक PINNs की "ब्लैक बॉक्स" सीमा को पार करता है।
डेटा-मुक्त उच्च-Re समाधान (Data-Free High-Re Solution): लिड-ड्रिवन कैविटी फ्लो के लिए Re = 20,000 पर पहला पूर्णतः डेटा-मुक्त PINN समाधान प्राप्त किया, जो एक ऐसा क्षेत्र है जहाँ अधिकांश PINNs विफल हो जाते हैं या जिन्हें भारी लेबल वाले डेटा की आवश्यकता होती है।
दीर्घकालिक अनस्टेडी भविष्यवाणी (Long-Term Unsteady Prediction): निरंतर समय डोमेन ( $t=0$ से $100$) पर बिना टाइम-विंडोइंग के अनस्टेडी वोर्टेक्स शेडिंग (Kármán vortex street) को सिम्युलेट करने की क्षमता प्रदर्शित करता है, जो त्रुटि संचय से जूझ रहे मौजूदा PINN तरीकों की तुलना में एक महत्वपूर्ण प्रगति है।
मल्टीफिजिक्स क्षमता (Multiphysics Capability): मोमेंटम और ऊर्जा समीकरणों को युग्मित करने वाले रेले-टेलर इंस्टेबिलिटी (Ra = $10^6$ ) को सफलतापूर्वक हल करता है, जो जटिल थर्मल-फ्लुइड इंटरैक्शन को कैप्चर करता है।
ज्यामितीय लचीलापन (Geometric Flexibility): NACA0012 एयरफॉइल और वर्गाकार सिलेंडरों के सरणियों सहित जटिल ज्यामिति पर हाइब्रिड AD/FVM रणनीति को मान्य करता है, जो शुद्ध AD या शुद्ध FVM दृष्टिकोणों की तुलना में शार्प कॉर्नर्स के पास तीव्र ग्रेडिएंट्स को हल करने में बेहतर सटीकता दिखाता है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

फ्रेमवर्क को छह बेंचमार्क समस्याओं पर मान्य किया गया:

बेंचमार्क केस	मुख्य उपलब्धि	प्रदर्शन मेट्रिक्स
Lid-Driven Cavity (Re=20k)	इस Re पर पहला PINN समाधान।	448s प्रशिक्षण समय; सापेक्ष $L_2$ त्रुटि $\approx 3.65 \times 10^{-2}$ (वेग)। FFV-PINN से बेहतर जो अभिसरण में विफल रहा।
Wavy Channel (Re=100)	जटिल ज्यामिति हैंडलिंग।	सापेक्ष $L_2$ त्रुटि $\approx 3.91 \times 10^{-3}$ ; प्रशिक्षण समय 219s।
NACA0012 Airfoil	घुमावदार सीमाएँ और दबाव ग्रेडिएंट्स।	हाइब्रिड AD/FVM ने गैर-AD की तुलना में वेग त्रुटि को >1 ऑर्डर ऑफ मैग्नीट्यूड कम किया। सक्शन पीक्स को सटीक रूप से कैप्चर किया।
3 Square Cylinders	कई बाधाएं और शार्प कॉर्नर्स।	जटिल वोर्टेक्स इंटरैक्शन और वेक इंटरफेरेंस को सफलतापूर्वक कैप्चर किया। प्रशिक्षण समय 335s (ओपन) / 451s (चैनल)।
Unsteady Cylinder (Re=100)	दीर्घकालिक भविष्यवाणी ( $t=0-100$ )।	बिना टाइम-विंडोइंग के पूर्ण Kármán vortex street के विकास को कैप्चर किया। MSE $\approx 10^{-3}$ ।
Rayleigh-Taylor (Ra= $10^6$ )	मल्टीफिजिक्स (थर्मल-फ्लुइड)।	निरंतर समय सिमुलेशन ( $t=0-6$ ) बिना अपघटन के। SOAP-आधारित PINN (जिसमें टाइम-विंडोइंग का उपयोग किया गया था) की तुलना में 9x अधिक कुशल।

तुलना: SIMPLE-PINN ने अभिसरण की गति, उच्च Re पर सटीकता और दीर्घकालिक अनस्टेडी सिमुलेशन में स्थिरता के मामले में अत्याधुनिक वेरिएंट्स (जैसे JAXPI, PirateNet, SOAP, FFV-PINN) की तुलना में लगातार बेहतर प्रदर्शन किया।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

पैराडाइम शिफ्ट (Paradigm Shift): यह शोध पत्र केवल लॉस फंक्शन्स में PDE रेसिडुअल्स को शामिल करने से आगे बढ़कर है। यह प्रदर्शित करता है कि कैसे शास्त्रीय संख्यात्मक अंतर्दृष्टि (जैसे दबाव-वेग सुधार तंत्र) को स्थिरता और अभिसरण में नाटकीय सुधार के लिए न्यूरल नेटवर्क लॉस टर्म्स के रूप में गणितीय रूप से पुनर्गठित किया जा सकता है।
इंजीनियरिंग उपयोगिता (Engineering Applicability): उच्च-Re प्रवाह और जटिल ज्यामिति को कुशलतापूर्वक हल करके, SIMPLE-PINN अकादमिक PINN अनुसंधान और एयरोस्पेस, सिविल और मैकेनिकल इंजीनियरिंग में व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों के बीच के अंतर को पाटता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): बिना टाइम-विंडोइंग के दीर्घकालिक अनस्टेडी प्रवाह को सिम्युलेट करने की क्षमता, ट्रांजिएंट फ्लुइड डायनेमिक्स में PINNs के लिए नई संभावनाएं खोलती है, जो पारंपरिक टाइम-मार्चिंग स्कीमों से जुड़े कम्प्यूटेशनल ओवरहेड को कम कर सकती है।
भविष्य की क्षमता (Future Potential): लेखक नोट करते हैं कि "कन्स्ट्रेंट करेक्शन" का अंतर्निहित सिद्धांत अन्य युग्मित भौतिक प्रणालियों (जैसे सॉलिड मैकेनिक्स, इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म) तक विस्तारित किया जा सकता है जहाँ संरक्षण नियम और डाइवर्जेंस-फ्री स्थितियाँ महत्वपूर्ण हैं।

निष्कर्षतः, SIMPLE-PINN जटिल, नॉन-लीनियर और उच्च-रेनॉल्ड्स संख्या वाले फ्लुइड डायनेमिक्स समस्याओं के लिए फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड लर्निंग को एक मजबूत, प्रतिस्पर्धी और विश्वसनीय सॉल्वर बनाने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है।