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Function-Based Minimal Linear Codes over Galois Rings $\mathrm{GR}(p^{n}, \ell)$ : Minimality Criteria and Infinite Constructions

यह शोध पत्र शून्य विभाजकों (zero divisors) द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय चुनौतियों को दूर करके, परिमित क्षेत्रों (finite fields) से गैलवा रिंगों (Galois rings) तक रैखिक कोडों के लिए न्यूनता मानदंडों (minimality criteria) और लंबाई सीमाओं (length bounds) का विस्तार करता है, और $\mathrm{GR}(p^{n}, \ell)$ पर न्यूनतम रैखिक कोडों के अनंत परिवारों का निर्माण करने के लिए इन परिष्कृत शर्तों का उपयोग करता है।

मूल लेखक: Biplab Chatterjee, Sihem Mesnager, Ratnesh Kumar Mishra, Makhan Maji, Kalyan Hansda

प्रकाशित 2026-03-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Biplab Chatterjee, Sihem Mesnager, Ratnesh Kumar Mishra, Makhan Maji, Kalyan Hansda

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक मास्टर आर्किटेक्ट हैं जो एक गुप्त तिजोरी प्रणाली (secret vault system) डिजाइन कर रहे हैं। इस प्रणाली में, आपके पास लोगों का एक बड़ा समूह है (जिन्हें "कोडवर्ड्स" कहा जाता है), और प्रत्येक व्यक्ति के पास दरवाजों के एक विशिष्ट सेट की एक अनूठी चाबी है।

लक्ष्य एक ऐसी प्रणाली डिजाइन करना है जहाँ प्रत्येक चाबी "न्यूनतम" (minimal) हो।

"न्यूनतम" (Minimal) का क्या अर्थ है?

एक चाबी को उन दरवाजों की सूची के रूप में सोचें जिन्हें वह खोल सकती है।

चाबी A दरवाज़े {1, 2, 3} खोलती है।
चाबी B दरवाज़े {1, 2} खोलती है।

यदि चाबी A वह सब कुछ खोलती है जो चाबी B खोलती है (और उससे भी अधिक), तो चाबी A "अनावश्यक" (redundant) या "कवर करने वाली" (covering) है। एक मिनिमल लीनियर कोड (Minimal Linear Code) में, यह वर्जित है। प्रत्येक चाबी को दरवाजों का एक ऐसा अनूठा संयोजन खोलना चाहिए जिसे कोई अन्य चाबी पूरी तरह से दोहरा न सके। यदि दो चाबियाँ दरवाजों का एक ही सेट खोलती हैं, तो वे अनिवार्य रूप से एक ही चाबी होनी चाहिए (बस उनका रंग या आकार अलग हो सकता है)।

हम इसकी परवाह क्यों करते हैं? क्योंकि सीक्रेट शेयरिंग (Secret Sharing) में (जैसे 5 जनरलों के बीच परमाणु लॉन्च कोड को विभाजित करना), आप जानना चाहते हैं कि तिजोरी खोलने के लिए वास्तव में किसकी आवश्यकता है। यदि आपके पास अनावश्यक चाबियाँ हैं, तो नियम जटिल हो जाते हैं। मिनिमल कोड सुनिश्चित करते हैं कि नियम बिल्कुल स्पष्ट हों।

बड़ा बदलाव: "फील्ड्स" (Fields) से "रिंग्स" (Rings) तक

लंबे समय तक, गणितज्ञों ने इन तिजोरियों को फाइनाइट फील्ड्स (Finite Fields) का उपयोग करके बनाया।

उपमा: एक फील्ड को एक पूरी तरह से चिकने, घर्षण रहित आइस रिंक (बर्फ के मैदान) की तरह समझें। यदि आप एक पक (puck) को धकेलते हैं, तो वह पूरी तरह से फिसलता है। आप किसी भी गैर-शून्य संख्या से हमेशा भाग दे सकते हैं। यह सरल और अनुमानित है।

लेकिन इस शोध पत्र के लेखकों ने गैलोइस रिंग्स (Galois Rings) का उपयोग करके तिजोरियाँ बनाने का निर्णय लिया।

उपमा: एक रिंग को एक ऊबड़-खाबड़, कीचड़ भरे निर्माण स्थल की तरह समझें।
- यहाँ, आपके पास जीरो डिविज़र्स (Zero Divisors) होते हैं। कल्पना करें कि एक "चिपचिपा कीचड़" (जीरो डिविज़र्स) है जो एक चलती हुई वस्तु को रोक सकता है, भले ही वह शून्य न हो। यदि आप किसी संख्या को इस कीचड़ से गुणा करते हैं, तो वह शून्य में बदल सकती है।
- यह गणित को बहुत कठिन बना देता है। आप स्वतंत्र रूप से भाग नहीं दे सकते। इसकी संरचना "चेन-जैसी" है, जिसका अर्थ है कि चीजें पूरी तरह से गायब होने से पहले कीचड़ (आइडियल्स/ideals) की परतों में फंसी रहती हैं।

वह समस्या जिसे लेखकों ने हल किया

शोध पत्र पूछता है: "हम इस ऊबड़-खाबड़, कीचड़ भरे निर्माण स्थल पर एक आदर्श, न्यूनतम तिजोरी प्रणाली कैसे डिजाइन करें?"

पिछले शोधकर्ताओं (जैसे वू एट अल.) ने यह पता लगा लिया था कि चिकने आइस रिंक (Fields) पर इसे कैसे किया जाए। उन्होंने एक चतुर तरीका इस्तेमाल किया: उन्होंने चाबियों को एक फंक्शन (Function - एक रेसिपी) का उपयोग करके परिभाषित किया।

रेसिपी: "एक संख्या लें, उसे इस फॉर्मूले में डालें, और वह आपको बताएगा कि कौन से दरवाजे खोलने हैं।"

इस पेपर के लेखकों ने पूछा: "क्या हम इसी रेसिपी ट्रिक का उपयोग कीचड़ भरे निर्माण स्थल पर कर सकते हैं?"

समाधान: "रूट वर्ड" (Root Word) फ़िल्टर

लेखकों ने अव्यवस्था को सरल बनाने का एक शानदार तरीका खोजा। उन्होंने महसूस किया कि भले ही निर्माण स्थल कीचड़ भरा है, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण चाबियाँ वे हैं जो "साफ" (कीचड़ में फंसी नहीं) हैं।

उन्होंने इन्हें रूट वर्ड्स (Root Words) कहा।

रूपक: कल्पना करें कि कीचड़ भरे स्थल में ऊपर एक "साफ ज़ोन" है। यदि कोई चाबी साफ ज़ोन में है, तो वह एक सामान्य आइस रिंक की चाबी की तरह व्यवहार करती है। यदि वह कीचड़ में फंसी है, तो वह एक "जीरो डिवाइज़र" है।
खोज: लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप यह सुनिश्चित करते हैं कि सभी साफ चाबियाँ (Root Words) न्यूनतम हैं, तो पूरी प्रणाली न्यूनतम है। आपको कीचड़ में फंसे चाबियों के कारण होने वाली समस्याओं की चिंता करने की आवश्यकता नहीं है, जब तक कि साफ चाबियाँ सटीक हैं।

उन्होंने कोड कैसे बनाए

उन्होंने एक फंक्शन-आधारित निर्माण (Function-Based Construction) का उपयोग किया।

फंक्शन: उन्होंने एक गणितीय रेसिपी (फंक्शन) बनाई जो मानचित्र पर एक स्थान लेता है और एक संख्या देता है।
नियम: उन्होंने इस रेसिपी के लिए सख्त नियम निर्धारित किए:
- यदि आप इसे एक "छोटा" इनपुट (कम दरवाजे) देते हैं, तो इसे एक "साफ" संख्या आउटपुट करनी चाहिए।
- यदि आप इसे एक "बड़ा" इनपुट (सभी दरवाजे) देते हैं, तो इसे स्थिति के आधार पर शून्य या एक विशिष्ट "कीचड़ भरा" नंबर आउटपुट करना चाहिए।
परिणाम: इन नियमों का पालन करके, उन्होंने इन आदर्श तिजोरी प्रणालियों के अनंत परिवारों (infinite families) को उत्पन्न किया। तिजोरी चाहे कितनी भी बड़ी क्यों न हो जाए, प्रणाली न्यूनतम और सुरक्षित बनी रहती है।

यह क्यों मायने रखता है

बेहतर सुरक्षा: ये कोड सीक्रेट शेयरिंग और सुरक्षित मतदान (Secure Voting) के लिए आवश्यक हैं। यदि आप ब्लॉकचेन या सुरक्षित चुनाव में वोट दे रहे हैं, तो आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि वोटों का कोई समूह अनजाने में छोटे समूह के अधिकारों को कवर न कर ले। मिनिमल कोड इस भ्रम को रोकते हैं।
पोस्ट-क्वांटम भविष्य: जैसे-जैसे हम क्वांटम कंप्यूटरों की ओर बढ़ रहे हैं, पारंपरिक एन्क्रिप्शन टूट सकता है। ये "रिंग-आधारित" कोड अगली पीढ़ी के क्रिप्टोग्राफी का हिस्सा हैं जो क्वांटम कंप्यूटरों के लिए तोड़ना कठिन है।
दुनिया का सामान्यीकरण: उन्होंने एक नियम लिया जो एक सरल दुनिया (Fields) में काम करता था और सिद्ध किया कि यह एक जटिल, अव्यवस्थित दुनिया (Rings) में भी काम करता है। यह हाईवे पर गाड़ी चलाने के नियम को यह सिद्ध करने जैसा है कि यह गड्ढों वाले अराजक, बरसाती शहर में भी काम करेगा।

सारांश

लेखकों ने "मिनिमल कोड्स" (गुप्त तिजोरियों के लिए पूरी तरह से अद्वितीय चाबियाँ) के बारे में एक जटिल गणितीय समस्या को हल किया और इसे गैलोइस रिंग्स (Galois Rings) नामक एक कठिन प्रकार की संख्या प्रणाली के लिए हल किया।

उन्होंने यह किया:

यह महसूस करके कि यदि "साफ" चाबियाँ काम करती हैं, तो पूरी प्रणाली काम करती है।
इन चाबियों को उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाने वाले "फंक्शन" (रेसिपी) के लिए नए नियम बनाकर।
यह सिद्ध करके कि यह अनंत संख्या में तिजोरी के आकारों के लिए काम करता है।

यह भविष्य के लिए अधिक सुरक्षित, कुशल और मजबूत संचार प्रणालियों के निर्माण के द्वार खोलता है, विशेष रूप से क्वांटम कंप्यूटिंग के युग में।

यहाँ शोध पत्र "Function-Based Minimal Linear Codes over Galois Rings $GR(p^n, \ell)$ : Minimality Criteria and Infinite Constructions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र गैलोइस रिंग्स (Galois rings) $GR(p^n, \ell)$ पर मिनिमल लीनियर कोड्स (minimal linear codes) के निर्माण और लक्षण वर्णन को संबोधित करता है।

संदर्भ: मिनिमल लीनियर कोड्स, सीक्रेट शेयरिंग स्कीम्स (secret sharing schemes), मल्टीपार्टी कंप्यूटेशन (MPC), और सुरक्षित सूचना वितरण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि मिनिमल कोडवर्ड्स एक्सेस स्ट्रक्चर में मिनिमल क्वालिफाइड सबसेट्स (minimal qualified subsets) के अनुरूप होते हैं।
अंतराल (Gap): जबकि परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर मिनिमल कोड्स का अध्ययन व्यापक रूप से किया गया है (विशेष रूप से Wu et al. द्वारा फंक्शन-आधारित निर्माणों के माध्यम से), गैलोइस रिंग्स पर इनका विस्तार जीरो डिवाइडर्स (zero divisors), गैर-तुच्छ आइडियल्स (non-trivial ideals) और एक समृद्ध मॉड्यूल संरचना के कारण काफी जटिल है।
उद्देश्य: लेखकों का लक्ष्य है:
1. $GR(p^n, \ell)$ पर एक लीनियर कोड के मिनिमल होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करना।
2. फंक्शन-आधारित निर्माण ढांचे (finite fields से) को गैलोइस रिंग्स के लिए सामान्यीकृत करना।
3. ऐसे मिनिमल कोड्स की लंबाई पर स्पष्ट सीमाएँ (bounds) प्राप्त करना और उनके अनंत परिवारों का निर्माण करना।

2. कार्यप्रणाली और सैद्धांतिक ढांचा (Methodology and Theoretical Framework)

लेखक गैलोइस रिंग्स की बीजगणितीय जटिलताओं को समझने के लिए मॉड्यूल थ्योरी (module theory), फ्रोबेनियस द्वैतता (Frobenius duality), और वैल्यूएशन विश्लेषण (valuation analysis) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

A. $GR(p^n, \ell)$ की बीजगणितीय संरचना

चेन रिंग गुण (Chain Ring Properties): $GR(p^n, \ell)$ एक परिमित स्थानीय चेन रिंग है जिसका मैक्सिमल आइडियल $\langle p \rangle$ और रेसिड्यू फील्ड (residue field) $\mathbb{F}_q$ (जहाँ $q=p^\ell$ ) है।
जीरो डिवाइडर्स बनाम यूनिट्स (Zero Divisors vs. Units): तत्वों को यूनिट्स (जो $p \pmod p$ के सापेक्ष गैर-शून्य हैं) या जीरो डिवाइडर्स ( $p$ के गुणज) के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यह द्वैतता मिनिमलिटी मानदंडों की जटिलता को संचालित करती है।
रूट वर्ड्स (Root Words): एक वेक्टर $v \in GR(p^n, \ell)^m$ को रूट वर्ड तब कहा जाता है यदि उसके कम से कम एक घटक एक यूनिट हो (अर्थात $v \not\in p GR(p^n, \ell)^m$ )। रूट वर्ड्स वेक्टर स्पेस में गैर-शून्य वेक्टर्स की तरह व्यवहार करते हैं, जबकि नॉन-रूट वर्ड्स टॉर्शन (torsion) प्रदर्शित करते हैं।

B. ऑर्थोगोनल मॉड्यूल्स के माध्यम से मिनिमलिटी मानदंड

मुख्य सैद्धांतिक उपकरण एक कोडवर्ड के सपोर्ट और उसके ऑर्थोगोनल मॉड्यूल $v^\perp$ के बीच का संबंध है।

द्वैतता (Duality): चूंकि $GR(p^n, \ell)$ एक फ्रोबेनियस रिंग है, इसलिए डबल-ऑर्थोगोनलिटी प्रॉपर्टी $(C^\perp)^\perp = C$ लागू होती है।
लक्षण वर्णन (Characterization): एक लीनियर कोड $C$ मिनिमल है यदि और केवल यदि प्रत्येक गैर-शून्य कोडवर्ड के लिए, परिभाषित सेट के भीतर एननिहिलेटर्स (annihilators) द्वारा जनित सबमॉड्यूल, संबंधित वेक्टर के पूर्ण ऑर्थोगोनल मॉड्यूल के बराबर होता है।
मुख्य प्रमेय (Theorem 17): $m \ge 2$ के लिए, एक कोड मिनिमल है यदि और केवल यदि इसके सभी रूट वर्ड्स मिनिमल हैं। यह वैश्विक मिनिमलिटी समस्या को विशिष्ट "रूट" वेक्टर्स के विश्लेषण तक सीमित कर देता है, जिससे प्रभावी रूप से सभी टॉर्शन तत्वों की जांच करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

C. फंक्शन-आधारित निर्माण (Function-Based Construction)

लेखक एक फंक्शन $f: GR(p^n, \ell)^m \to GR(p^n, \ell)$ से प्राप्त जनरेटर मैट्रिक्स का उपयोग करके कोड $C_f$ का निर्माण करते हैं।

जनरेटर मैट्रिक्स: इसकी पंक्तियाँ फंक्शन के मूल्यांकन और आइडेंटिटी मैप (identity map) के अनुरूप होती हैं।
सिंक्रोनाइज़ेशन स्थितियाँ: मिनिमलिटी सुनिश्चित करने के लिए, फंक्शन $f$ $f$ को लीनियर फॉर्म $w \cdot x$ $w \cdot x$ के साथ विशिष्ट "सिंक्रोनाइज़ेशन" स्थितियों को पूरा करना चाहिए।
- यूनिट केस: $f(\beta_i) = w \cdot \beta_i$ ।
- जीरो-डिवाइजर केस: $p^r f(\beta_i) = w \cdot \beta_i$ (जो जीरो डिवाइडर के वैल्यूएशन को दर्शाता है)।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

1. पूर्ण मिनिमलिटी लक्षण वर्णन

लेखक $GR(p^n, \ell)$ पर मिनिमलिटी के लिए एक कठोर आवश्यक और पर्याप्त शर्त प्रदान करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि $m \ge 2$ के लिए, पूरे कोड की मिनिमलिटी केवल रूट वर्ड्स के व्यवहार द्वारा निर्धारित होती है। यह पिछले परिणामों को $\mathbb{Z}_{p^n}$ से व्यापक श्रेणी के गैलोइस रिंग्स तक सामान्यीकृत करता है।

2. रूट वर्ड्स का वर्गीकरण

विश्लेषण निर्मित कोड्स में पाँच अलग-अलग प्रकार के रूट वर्ड्स की पहचान करता है, जिनमें से प्रत्येक के लिए फंक्शन $f$ पर विशिष्ट शर्तें आवश्यक हैं:

$c(u, 0)$ : यूनिट स्केलर, शून्य वेक्टर।
$c(u, v)$ : यूनिट स्केलर, रूट वर्ड वेक्टर।
$c(u, v)$ : यूनिट स्केलर, नॉन-रूट वर्ड वेक्टर।
$c(0, v)$ : शून्य स्केलर, रूट वर्ड वेक्टर।
$c(d, v)$ : जीरो-डिवाइजर स्केलर, रूट वर्ड वेक्टर।

3. कोड लंबाई पर नए निचली सीमाएँ (Lower Bounds)

लेखक $m$ -डायमेंशनल मिनिमल लीनियर कोड $GR(p^n, \ell)$ के लिए स्पष्ट निचली सीमाएँ प्राप्त करते हैं:

$m \ge 3$ के लिए: $k > (m-1)q^n + q^{n-m}$ ।
$m = 2$ के लिए: $n$ पर निर्भर विशिष्ट सीमाएँ (जैसे, $n \ge 3$ के लिए $k > q^n + q^{n-2} + 1$ )।
ये सीमाएँ विशिष्ट मामलों में टाइट (tight) दिखाई गई हैं, जो $n=1$ के लिए ज्ञात परिमित क्षेत्रों के परिणामों से मेल खाती हैं।

4. मिनिमल कोड्स के अनंत परिवार

व्युत्पन्न मानदंडों का उपयोग करते हुए, लेखक मिनिमल कोड्स के कई अनंत परिवारों का निर्माण करते हैं:

सामान्य फंक्शन निर्माण: वे विशिष्ट वेट (weight) और यूनिट-कंपोनेंट स्थितियों वाले फंक्शन को परिभाषित करते हैं (Theorem 40 और Theorem 43) ताकि मिनिमलिटी सुनिश्चित की जा सके।
पॉलीनोमियल निर्माण: विलगित मोनोमियल सपोर्ट (disjoint monomial supports) वाले मल्टीवेरिएट पॉलिनोमिअल्स का उपयोग करके एक ठोस परिवार का निर्माण किया गया है (Theorem 45)। यह मिनिमल कोड्स उत्पन्न करने का एक आसानी से सत्यापन योग्य तरीका प्रदान करता है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

Theorem 17: स्थापित करता है कि $m \ge 2$ के लिए, रूट वर्ड्स की मिनिमलिटी की जांच करना पूरे कोड के लिए पर्याप्त है।
Proposition 24: सिद्ध करता है कि $m=2$ के लिए, मिनिमल लंबाई ठीक $k(2; GR(p^n, \ell)) = q^n + q^{n-1}$ है, जो $\mathbb{Z}_{p^n}$ के परिणाम का सामान्यीकरण है।
Theorem 40 & 43: फंक्शन $f$ पर पर्याप्त स्थितियाँ (यूनिट इनवेरिएंस और विशिष्ट हैमिंग वेट वाले वेक्टर्स पर विशिष्ट मान शामिल करते हुए) प्रदान करते हैं ताकि परिणामी कोड $C_f$ मिनिमल हो।
Theorem 45: यह प्रदर्शित करता है कि $f(x) = \sum a_i g_i(x)$ जैसे पॉलिनोमियल्स, जिनके सपोर्ट विलगित हैं और विशिष्ट एक्सपोनेंट बाधाएं हैं, मिनिमल कोड्स प्रदान करते हैं।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

एकीकरण (Unification): यह कार्य परिमित क्षेत्रों और गैलोइस रिंग्स के बीच मिनिमलिटी सिद्धांत को एकीकृत करता है, यह दिखाते हुए कि "रूट वर्ड" की अवधारणा चेन रिंग्स में मिनिमलिटी को नियंत्रित करने वाला मौलिक इनवेरिएंट है।
बीजगणितीय अंतर्दृष्टि: यह स्पष्ट करता है कि जीरो डिवाइडर्स और वैल्यूएशन फिल्ट्रेशन (valuation filtration) कैसे कोड संरचना को प्रभावित करते हैं। विशेष रूप से, यह दिखाता है कि जबकि जीरो डिवाइडर्स टॉर्शन पेश करते हैं, वे रूट वर्ड विश्लेषण ( $m \ge 2$ के लिए) के अलावा कोई नई मिनिमलिटी बाधाएँ उत्पन्न नहीं करते हैं।
क्रिप्टोग्राफिक अनुप्रयोग: रिंग-आधारित अल्फाबेट्स पर मिनिमल कोड्स के स्पष्ट अनंत परिवार प्रदान करके, यह शोध पत्र निम्नलिखित के लिए नए मार्ग खोलता है:
- सीक्रेट शेयरिंग स्कीम्स: रिंग-आधारित वर्णमालाओं पर अधिक लचीले एक्सेस स्ट्रक्चर।
- पोस्ट-क्वांटम क्रिप्टोग्राफी: रिंग-आधारित निर्माण लैटिस-आधारित स्कीम्स के लिए प्रासंगिक हैं।
- विकेंद्रीकृत प्रणालियाँ: ब्लॉकचेन और सुरक्षित वोटिंग जैसे अनुप्रयोग जहाँ रिंग संरचनाएँ स्वाभाविक हैं।
भविष्य की दिशाएँ: यह शोध पत्र वेट डिस्ट्रीब्यूशन, फ्यू-वेट कोड्स (few-weight codes), और सामान्य फ्रोबेनियस रिंग्स तक विस्तार के खुले प्रश्नों को रेखांकित करता है, जो कोडिंग थ्योरी के क्षेत्र में भविष्य के अनुसंधान के लिए एक रोडमैप सेट करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सफलतापूर्वक परिमित क्षेत्र-आधारित कोडिंग थ्योरी और रिंग-आधारित बीजगणित के बीच के अंतर को पाटता है, जो गैलोइस रिंग्स पर मिनिमल लीनियर कोड्स के लिए एक मजबूत सैद्धांतिक ढांचा और व्यावहारिक निर्माण विधियाँ प्रदान करता है।