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Sampling-Horizon Neural Operator Predictors for Nonlinear Control under Delayed Inputs

यह शोध पत्र विलंबित इनपुट और नमूनाकृत मापों वाले गैररेखीय प्रणालियों के लिए दो न्यूरल-ऑपरेटर-आधारित प्रेडिक्टर-फीडबैक डिज़ाइनों का प्रस्ताव करता है, जो प्रत्यक्ष त्रुटि स्केलिंग के साथ समान नमूनाकरण और प्रवर्धित त्रुटि संवेदनशीलता के साथ गैर-समान नमूनाकरण के बीच एक समझौता (ट्रेड-ऑफ) प्रदान करते हैं, जबकि अर्ध-वैश्विक व्यावहारिक स्थिरता और रोबोटिक मैनिपुलेटर नियंत्रण में 25 गुना कम्प्यूटेशनल गति वृद्धि प्राप्त करते हैं।

मूल लेखक: Luke Bhan, Peter Quawas, Miroslav Krstic, Yuanyuan Shi

प्रकाशित 2026-04-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Luke Bhan, Peter Quawas, Miroslav Krstic, Yuanyuan Shi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कार चला रहे हैं, लेकिन इसमें एक अजीब मोड़ है: आप आँखों पर पट्टी बाँधकर गाड़ी चला रहे हैं।

हर बार जब आप सड़क को देखते हैं (अपने सेंसर चेक करते हैं) हैं, तो आपको केवल वही दिखता है जो एक पल पहले कार की स्थिति थी। इसके अलावा, जब आप स्टीयरिंग व्हील घुमाने का निर्णय लेते हैं (एक कंट्रोल इनपुट लागू करते हैं), तो वह क्रिया तुरंत नहीं होती; पहियों को हिलने में कुछ सेकंड का समय लगता है। यह विलंबित नियंत्रण प्रणालियों (delayed control systems) की दुनिया है। यह इंजीनियरों के लिए एक बुरा सपना है क्योंकि यदि आप उस स्थान के आधार पर गाड़ी चलाने की कोशिश करते हैं जहाँ कार थी, तो आपकी दुर्घटना होने की संभावना बढ़ जाती है।

इसे ठीक करने के लिए, स्मार्ट ड्राइवर एक "मानसिक मानचित्र" (mental map) का उपयोग करते हैं। वे भविष्यवाणी करते हैं: "यदि मैं अभी यहाँ हूँ, और मैं स्टीयरिंग घुमाता हूँ, तो मैं 5 सेकंड में कहाँ होऊँगा?" वे उस भविष्य के स्थान की ओर स्टीयरिंग घुमाते हैं, न कि वर्तमान स्थान की ओर। इसे प्रिडिक्टर फीडबैक (Predictor Feedback) कहा जाता है।

समस्या: मानसिक मानचित्र बनाना बहुत कठिन है

वास्तविक दुनिया में, इस "भविष्य के स्थान" की गणना करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह ऐसा है जैसे 100 मील प्रति घंटे की रफ्तार से गाड़ी चलाते समय अपने दिमाग में एक जटिल गणितीय पहेली को हल करना।

यह धीमा है: गणित करने में बहुत समय लगता है, जिससे कार बहुत देर से प्रतिक्रिया करती है।
यह अव्यवस्थित है: वास्तविक दुनिया में, आपको एक आदर्श, निरंतर वीडियो फीड नहीं मिलता है। आपके सेंसर में खराबी आ सकती है, या आपको हर 0.1 सेकंड में सड़क का केवल एक स्नैपशॉट मिल सकता है। पारंपरिक गणितीय तरीके इन "अंतरालों" (gaps) के साथ संघर्ष करते हैं।

समाधान: "AI को-पायलट"

इस शोध पत्र के लेखकों (ल्यूक भान, पीटर क्वावास, मिरोस्लाव क्रस्टिक और युआनयुआन शी) ने एक न्यूरल ऑपरेटर (Neural Operator) का उपयोग करके एक नए प्रकार का AI को-पायलट बनाया है।

एक न्यूरल ऑपरेटर को एक मानक AI के रूप में न समझें जो तथ्यों को याद करता है, बल्कि इसे एक अति-बुद्धिमान अनुवादक के रूप में समझें। यह भौतिकी (physics) की "भाषा" सीखता है। हर बार शून्य से गणितीय पहेली को हल करने के बजाय, इसने पहले ही लाखों बार अभ्यास किया है। जब आप इसे वर्तमान स्थिति देते हैं, तो यह तुरंत उत्तर "बोल" देता है: "अगले कुछ सेकंड में आप बिल्कुल यहाँ होंगे।"

उन्होंने इसका परीक्षण एक 6-भुजाओं वाले रोबोटिक हाथ (एक विशाल यांत्रिक हाथ की तरह) पर किया। रोबोट को सिग्नल में देरी और "खराब" सेंसर के बावजूद सटीक रूप से चलना था।

को-पायलट का उपयोग करने के दो तरीके

यह पत्र बताता है कि यह AI कैसे मदद करता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि आपके सेंसर कितने विश्वसनीय हैं:

रणनीति 1: "सख्त शेड्यूल" (यूनिफॉर्म सैंपलिंग)

परिदृश्य: आपके सेंसर पूरी तरह से काम करते हैं और ठीक हर 0.05 सेकंड में एक स्नैपशॉट देते हैं।
AI का काम: AI एक क्रिस्टल बॉल (भविष्य बताने वाला गोला) की तरह कार्य करता है। यह वर्तमान स्नैपशॉट को देखता है और तुरंत अगले 0.05 सेकंड के लिए रोबोट द्वारा लिए जाने वाले पूरे पथ की भविष्यवाणी करता है।
समझौता (Trade-off): यह बहुत सटीक और तेज़ है, लेकिन इसके लिए आपके सेंसर का समयबद्ध होना अनिवार्य है। यदि आपके सेंसर एक भी बीट छोड़ देते हैं, तो क्रिस्टल बॉल टूट जाएगी।

रणनीति 2: "लचीला शेड्यूल" (नॉन-यूनिफॉर्म सैंपलिंग)

परिदृश्य: आपके सेंसर थोड़े अविश्वसनीय हैं। कभी-कभी वे हर 0.02 सेकंड में एक स्नैपशॉट देते हैं, तो कभी हर 0.1 सेकंड में।
AI का काम: AI एक GPS नेविगेटर की तरह कार्य करता है। यह केवल अगला कदम (अगले क्षण में आप कहाँ होंगे) की भविष्यवाणी करता है। फिर, रोबोट का अपना आंतरिक भौतिक इंजन (physics engine) अगले सेंसर स्नैपशॉट के आने तक "ड्राइव" करने का काम संभाल लेता है।
समझौता (Trade-off): यह बहुत अधिक लचीला है और अव्यवस्थित, अनियमित डेटा को संभाल सकता है। हालाँकि, क्योंकि रोबोट को स्नैपशॉट के बीच खुद "ड्राइव" करना पड़ता है, इसलिए AI की भविष्यवाणी में कोई भी छोटी त्रुटि बढ़ सकती है (जैसे कि स्टीयरिंग की एक छोटी गलती बड़ी विचलन में बदल जाना)। इसे सफल बनाने के लिए AI को अत्यधिक सटीक होना आवश्यक है।

परिणाम: गति और स्थिरता

टीम ने इन विचारों का परीक्षण अपने रोबोटिक हाथ पर किया। यहाँ क्या हुआ:

सटीकता: रोबोट ने देरी और शोर वाले सेंसरों के बावजूद अपने लक्ष्य को पूरी तरह से ट्रैक किया।
गति: यह सबसे बड़ी जीत है। भविष्य के पथ की गणना करने के पुराने तरीके में लगभग 25 मिलीसेकंड (रोबोटिक्स में एक लंबा समय) लगते थे। नया AI को-पायलट इसे केवल 1 मिलीसेकंड में कर देता है। यह 25 गुना की तेजी है।
सुरक्षा: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि भले ही AI 100% सटीक न हो (जो कि कभी नहीं होता), रोबोट स्थिर रहेगा और दुर्घटनाग्रस्त नहीं होगा, जब तक कि AI "पर्याप्त अच्छा" है।

बड़ी तस्वीर

यह शोध पत्र एक नए प्रकार के ऑटोपायलट के आविष्कार जैसा है जो उन प्रणालियों के लिए है जो प्रतिक्रिया देने में धीमी हैं और जिनकी दृष्टि खराब है।

पुराना तरीका: वास्तविक समय में जटिल कैलकुलस (calculus) करने की कोशिश करना (धीमा, नाजुक)।
नया तरीका: पैटर्न के आधार पर भविष्य को "जानने" के लिए एक AI को प्रशिक्षित करना (तेज़, मजबूत)।

यह इंजीनियरों को एक विकल्प देता है: क्या आप एक ऐसा सिस्टम चाहते हैं जो सुपर-फास्ट है लेकिन जिसके लिए सटीक टाइमिंग की आवश्यकता है (रणनीति 1)? या एक ऐसा जो लचीला है और अव्यवस्थित डेटा को संभाल सकता है लेकिन जिसके लिए थोड़ा अधिक स्मार्ट AI की आवश्यकता है (रणनीति 2)? दोनों ही मामलों में, रोबोट अब देरी के बावजूद बिना लड़खड़ाए चल सकता है।

यहाँ शोध पत्र "Sampling-Horizon Neural Operator Predictors for Nonlinear Control under Delayed Inputs" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र दो व्यावहारिक बाधाओं वाले नॉनलीनियर सिस्टम्स (nonlinear systems) के नियंत्रण को संबोधित करता है:

इनपुट विलंब (Input Delays): कंट्रोल इनपुट $U(t)$ एक स्थिर लेकिन संभावित रूप से लंबे विलंब $D$ के साथ सिस्टम डायनेमिक्स को प्रभावित करता है।
सैंपल्ड मेजरमेंट्स (Sampled Measurements): स्टेट मेजरमेंट्स $X(t)$ निरंतर उपलब्ध नहीं होते हैं, बल्कि केवल विशिष्ट सैंपलिंग क्षणों $\{T_i\}$ पर देखे जाते हैं। ये मेजरमेंट्स शोर (noise), अनियमित अंतराल या अस्थायी ड्रॉपआउट के अधीन हो सकते हैं।

मुख्य चुनौती:
मानक प्रिडिक्टर फीडबैक (predictor feedback) एक ज्ञात रणनीति है जो इनपुट विलंब की भरपाई करने के लिए भविष्य के स्टेट $X(t+D)$ की भविष्यवाणी करने और इस भविष्यवाणी पर एक नाममात्र (nominal) कंट्रोल लॉ लागू करने का उपयोग करती है। हालाँकि, पारंपरिक प्रिडिक्टर फीडबैक के लिए ऑनलाइन एक इंप्लिसिट ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन (ODE) को हल करना आवश्यक होता है। इसमें न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन और क्रमिक सन्निकटन (successive approximations) शामिल हैं, जिससे निम्नलिखित समस्याएं उत्पन्न होती हैं:

उच्च कम्प्यूटेशनल लागत: यह वास्तविक समय (real-time) में कार्यान्वयन को कठिन बना देता है, विशेष रूप से 'स्टिफ' (stiff) डायनेमिक्स या बड़े विलंब के मामले में।
सैंपल्ड डेटा के साथ असंगतता: अधिकांश सैद्धांतिक प्रिडिक्टर फॉर्मुलेशन निरंतर स्टेट उपलब्धता की धारणा पर आधारित होते हैं, जबकि वास्तविक दुनिया के सेंसर डिस्क्रीट और संभावित रूप से गैर-समान (non-uniform) सैंपल प्रदान करते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक ऑनलाइन तेज़ इन्फरेंस (inference) सक्षम करने के लिए प्रिडिक्टर फीडबैक लॉ को ऑफलाइन अनुमानित करने हेतु एक न्यूरल ऑपरेटर (Neural Operator - NO) आधारित फ्रेमवर्क का प्रस्ताव करते हैं। वे सैंपल्ड मेजरमेंट्स और विलंबित इनपुट्स की हाइब्रिड प्रकृति को संभालने के लिए दो अलग-अलग आर्किटेक्चर पेश करते हैं।

A. गणितीय सूत्र (Mathematical Formulation)

सिस्टम को इस प्रकार मॉडल किया गया है:
$\dot{X}(t) = f(X(t), U(t-D))$
कंट्रोल लॉ एक हाइब्रिड प्रिडिक्टर दृष्टिकोण का उपयोग करता है जहाँ इनपुट $U(t) = \kappa(\hat{Z}(t))$ है, और $\hat{Z}(t)$ प्रेडिक्टेड स्टेट ट्रजेक्टरी है।

B. दो प्रस्तावित डिज़ाइन (Two Proposed Designs)

शोध पत्र सैंपलिंग धारणाओं के आधार पर दो कार्यान्वयन रणनीतियों के बीच अंतर करता है:

केस 1: सैंपलिंग-होराइजन प्रेडिक्शन ऑपरेटर (यूनिफॉर्म सैंपलिंग)

धारणा: मेजरमेंट्स यूनिफॉर्म अंतराल ( $T_{i+1} - T_i = h$ ) पर लिए जाते हैं।
तंत्र: एक एकल न्यूरल ऑपरेटर $\hat{\mathcal{M}}$ वर्तमान स्टेट $X(T_i)$ और इनपुट हिस्ट्री $U_i$ को सीधे अगले पूरे सैंपलिंग अंतराल $[T_i, T_{i+1})$ के लिए प्रेडिक्टेड स्टेट ट्रजेक्टरी $\hat{Z}(s)$ में मैप करता है।
लाभ: एरर बाउंड (error bound) सीधे न्यूरल ऑपरेटर के एप्रोक्सिमेशन एरर के साथ स्केल करता है।
सीमा: इसके लिए सख्ती से यूनिफॉर्म सैंपलिंग की आवश्यकता होती है।

केस 2: प्रिडिक्टर एप्रोक्सिमेशन (बाउंडेड/नॉन-यूनिफॉर्म सैंपलिंग)

धारणा: मेजरमेंट्स गैर-यूनिफॉर्म अंतराल पर उपलब्ध होते हैं, बशर्ते कि सैंपल्स के बीच का अंतर $h$ द्वारा सीमित हो ( $T_{i+1} - T_i \leq h$ )।
तंत्र: एक न्यूरल ऑपरेटर $\hat{\mathcal{P}}$ केवल प्रिडिक्टर (जो $X(T_i)$ और इनपुट हिस्ट्री के आधार पर प्रारंभिक स्थिति $\hat{Z}(T_i)$ की गणना करता है) को अनुमानित करता है। इसके बाद सैंपल्स के बीच की स्टेट ट्रजेक्टरी $\hat{Z}(s)$ को क्लोज्ड-लूप ODE $\dot{\hat{Z}} = f(\hat{Z}, \kappa(\hat{Z}))$ को संख्यात्मक रूप से इंटीग्रेट करके जेनरेट किया जाता है।
लाभ: यह लचीला है; यह अनियमित सैंपलिंग और मिसिंग डेटा को समायोजित कर सकता है।
सीमा: एप्रोक्सिमेशन एरर सैंपल्स के बीच निरंतर ODE इवोल्यूशन द्वारा बढ़ाया (amplify) जाता है, जिसके लिए स्थिरता बनाए रखने के लिए अधिक सटीक न्यूरल ऑपरेटर की आवश्यकता होती है।

C. सैद्धांतिक आधार (Theoretical Foundation)

न्यूरल ऑपरेटर्स: लेखक फूरियर न्यूरल ऑपरेटर्स (Fourier Neural Operators) जैसे आर्किटेक्चर का उपयोग करते हैं, जिन्हें फंक्शन स्पेस के बीच मैपिंग सीखने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिससे वे अनंत-आयामी (infinite-dimensional) प्रिडिक्टर ऑपरेटर्स को अनुमानित कर सकते हैं।
स्थिरता विश्लेषण (Stability Analysis): लयापुनोव विश्लेषण (Lyapunov analysis) और इनपुट-टू-स्टेट स्टेबिलिटी (ISS) थ्योरी का उपयोग करते हुए, लेखक सेमी-ग्लोबल प्रैक्टिकल स्टेबिलिटी (Semi-Global Practical Stability) सिद्ध करते हैं।
- सिस्टम स्टेट एक रेसिडुअल बाउंड की ओर अभिसरित (converge) होता है जो न्यूरल ऑपरेटर एप्रोक्सिमेशन एरर ( $\epsilon$ ) द्वारा निर्धारित होता है।
- ट्रेड-ऑफ: केस 2 सैंपलिंग लचीलापन प्रदान करता है लेकिन इंटर-सैंपल अंतराल के दौरान एरर प्रोपेगेशन को $e^{C_f(1+C_\kappa)h}$ के कारक से बढ़ा देता है, जबकि केस 1 में सीधा एरर स्केलिंग है लेकिन कठोर सैंपलिंग आवश्यकताएं हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

नवीन आर्किटेक्चर: प्रिडिक्टर फीडबैक और व्यावहारिक सैंपल्ड-डेटा सिस्टम के बीच के अंतर को पाटने के लिए दो विशिष्ट न्यूरल-ऑपरेटर प्रिडिक्टर-फीडबैक डिज़ाइनों का विकास।
कठोर स्थिरता गारंटी: न्यूरल ऑपरेटर एप्रोक्सिमेशन एरर और सैंपलिंग विशेषताओं पर निर्भर स्पष्ट बाउंड के साथ सेमी-ग्लोबल प्रैक्टिकल स्टेबिलिटी की स्थापना।
सैंपलिंग लचीलापन बनाम सटीकता ट्रेड-ऑफ: एक औपचारिक विश्लेषण जो यह दर्शाता है कि यूनिफॉर्म सैंपलिंग धारणा को ढीला करने (केस 2) के लिए एरर प्रोपेगेशन की भरपाई करने हेतु उच्च एप्रोक्सिमेशन सटीकता की आवश्यकता होती है।
कम्प्यूटेशनल दक्षता: न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन को न्यूरल ऑपरेटर इन्फरेंस से बदलकर कम्प्यूटेशनल लेटेंसी को काफी कम करने का प्रदर्शन।

4. संख्यात्मक परिणाम (Numerical Results)

इन विधियों को डिलेड टॉर्क कंट्रोल के साथ एक 6-लिंक नॉनलीनियर रोबोटिक मैनिपुलेटर (xArm6) पर मान्य किया गया।

सेटअप: सिस्टम में 12 स्टेट डायमेंशन (6 लिंक्स के लिए पोजीशन और वेलोसिटी) और विलंब $D=0.2s$ था। ट्रेनिंग डेटा एक हाई-प्रिसिजन न्यूमेरिकल प्रिडिक्टर का उपयोग करके जेनरेट किया गया था।
प्रदर्शन:
- ट्रैकिंग: दोनों न्यूरल ऑपरेटर दृष्टिकोणों ने एक साइनुसोइडल रेफरेंस ट्रजेक्टरी को सफलतापूर्वक ट्रैक किया, जो एक हाई-प्रिसिजन न्यूमेरिकल बेसलाइन के तुल्य था।
- मजबूती (Robustness): कंट्रोलर्स ने मेजरमेंट्स में गॉसियन नॉइज़ और केस 2 में रैंडमाइज्ड नॉन-यूनिफॉर्म सैंपलिंग इंटरवल्स को सफलतापूर्वक संभाला।
- स्पीडअप: न्यूरल ऑपरेटर्स ने बेसलाइन न्यूमेरिकल प्रिडिक्टर की तुलना में 25× कम्प्यूटेशनल स्पीडअप प्राप्त किया।
  - न्यूरल ऑपरेटर इन्फरेंस: ~1 ms (GPU)।
  - न्यूमेरिकल इंटीग्रेशन: ~25 ms।

5. महत्व (Significance)

यह कार्य वास्तविक दुनिया की रोबोटिक्स और औद्योगिक स्वचालन (industrial automation) में उन्नत नियंत्रण प्रणालियों की तैनाती के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ:

लेटेंसी महत्वपूर्ण है: 25× स्पीडअप प्रिडिक्टर फीडबैक को हाई-फ्रीक्वेंसी कंट्रोल लूप्स के लिए व्यवहार्य बनाता है, जो पहले कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन थे।
डेटा अपूर्ण है: नॉन-यूनिफॉर्म सैंपलिंग को संभालने की क्षमता (केस 2) कंट्रोल स्ट्रैटेजी को नेटवर्क जिटर, सेंसर ड्रॉपआउट या एसिंक्रोनस हार्डवेयर के प्रति मजबूत बनाती है।
सुरक्षा सर्वोपरि है: यह शोध डेटा-संचालित नियंत्रण के लिए कठोर गणितीय गारंटी (स्थिरता बाउंड) प्रदान करता है, जो "ब्लैक-बॉक्स" ह्यूरिस्टिक्स से आगे बढ़कर प्रमाणित न्यूरल कंट्रोल आर्किटेक्चर की ओर ले जाता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र नॉनलीनियर सिस्टम्स के लिए विलंब और सैंपल्ड मेजरमेंट्स के साथ प्रिडिक्टर फीडबैक की सैद्धांतिक शक्ति को एक व्यावहारिक, कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल और मजबूत फ्रेमवर्क में सफलतापूर्वक अनुवादित करता है।