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Learning Neural Network Controllers with Certified Robust Performance via Adversarial Training

यह शोधपत्र एक एडवर्सरियल ट्रेनिंग विधि प्रस्तुत करता है जो नॉनलीनियर डायनेमिकल सिस्टम्स पर रोबस्ट क्लोज्ड-लूप परफॉरमेंस को औपचारिक रूप से गारंटी देने के लिए न्यूरल नेटवर्क कंट्रोलर्स और डिसिपेटिविटी सर्टिफिकेट्स को संयुक्त रूप से सिंथेसाइज करता है, जिससे लीनियर मैट्रिक्स इनइक्वेलिटी-आधारित दृष्टिकोणों की तुलना में 78 गुना तक बड़े सर्टिफाइड रोबस्ट रीजन प्राप्त किए जाते हैं।

मूल लेखक: Neelay Junnarkar, Yasin Sonmez, Murat Arcak

प्रकाशित 2026-04-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Neelay Junnarkar, Yasin Sonmez, Murat Arcak

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को अपने हाथ पर झाडू संतुलित करना (एक इनवर्टेड पेंडुलम) सिखा रहे हैं। आप चाहते हैं कि रोबोट इतना कुशल हो कि वह कभी झाडू न गिराए, भले ही कोई उसे धक्का दे, हवा चले, या रोबोट के अपने सेंसर थोड़े गलत हों।

इंजीनियरिंग की दुनिया में, इसे रोबस्ट कंट्रोल (Robust Control) कहा जाता है। समस्या यह है कि आधुनिक "न्यूरल नेटवर्क" वाले रोबोट अविश्वसनीय रूप से स्मार्ट होते हैं और तेजी से सीखते हैं, लेकिन वे थोड़े "ब्लैक बॉक्स" जैसे भी होते हैं। हमें हमेशा पता नहीं होता कि वे एक निर्णय क्यों ले रहे हैं, और हम यह प्रमाण नहीं दे सकते कि वे किसी खतरनाक स्थिति में कभी विफल नहीं होंगे।

यह शोध पत्र हमें सिखाने का एक नया तरीका प्रस्तुत करता है कि इन रोबोटों को कैसे प्रशिक्षित किया जाए ताकि हम गणितीय रूप से गारंटी दे सकें कि वे सुरक्षित रहेंगे, भले ही चीजें गलत हो जाएं।

यहाँ उनके तरीके का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "ब्लैक बॉक्स" बनाम "सेफ्टी नेट"

न्यूरल नेटवर्क (मस्तिष्क): यह एक प्रतिभाशाली छात्र की तरह है जो प्रयास और त्रुटि (trial and error) से सीखता है। वह झाडू को संतुलित करने में बहुत अच्छा हो जाता है, लेकिन यदि आप उससे पूछें, "आपने अपना हाथ बाईं ओर क्यों हिलाया?" तो वह शायद बस कह देगा, "मुझे ऐसा लगा।" हम बिना प्रमाण के अस्पताल या सेल्फ-ड्राइविंग कार में इस पर भरोसा नहीं कर सकते।
पुराना तरीका (LMI): इंजीनियर पहले रोबोट के मस्तिष्क को एक बुनियादी, रैखिक (linear) गणितीय समस्या में सरल बनाकर सुरक्षा सिद्ध करने की कोशिश करते थे। यह एक जटिल, घूमते हुए तूफान को केवल एक सीधी रेखा का उपयोग करके वर्णित करने जैसा है। यह सुरक्षित है, लेकिन यह बहुत अधिक रूढ़िवादी (conservative) है। यह कहता है, "हम रोबोट पर तभी भरोसा कर सकते हैं जब हवा बहुत कम चल रही हो," जो रोबोट की क्षमता को बर्बाद करता है।
नया लक्ष्य: हम रोबोट के मस्तिष्क को बहुत अधिक सरल बनाए बिना यह सिद्ध करना चाहते हैं कि वह सुरक्षित है, ताकि हम बड़ी, अव्यवस्थित वास्तविक दुनिया की स्थितियों में भी उस पर भरोसा कर सकें।

2. समाधान: दो टूल्स का मिलकर काम करना

लेखक इसे हल करने के लिए दो शक्तिशाली उपकरणों को मिलाते हैं:

टूल A: "स्ट्रेस-टेस्ट मशीन" (α,β-CROWN)

इसे एक सुपर-फास्ट वीडियो गेम सिम्युलेटर के रूप में सोचें।

यह क्या करता है: यह रोबोट के जटिल मस्तिष्क को लेता है और पलक झपकते ही लाखों "क्या होगा अगर" (what-if) परिदृश्यों को चलाता है। यह हवा, धक्के और सेंसर की त्रुटियों के सटीक संयोजन को खोजकर रोबोट को तोड़ने की कोशिश करता है जो झाडू गिरा दे।
उपमा: कल्पना कीजिए कि एक सुरक्षा गार्ड बैंक के वॉल्ट (तिजोरी) में घुसने की कोशिश कर रहा है। यदि गार्ड हर संभव संयोजन को आज़माने के बाद भी वॉल्ट खोलने का कोई तरीका नहीं ढूंढ पाता, तो वॉल्ट को "सुरक्षित" प्रमाणित किया जाता है। यह टूल रोबोट के तर्क के लिए अंतिम सुरक्षा गार्ड है।

टूल B: "सेफ्टी सर्टिफिकेट" (Dissipativity & QCs)

इसे एक गणितीय "ऊर्जा बजट" या सुरक्षा जाल (safety net) के रूप में समझें।

यह क्या करता है: यह एक नियम निर्धारित करता है: "जब तक रोबोट इस विशिष्ट ऊर्जा क्षेत्र के भीतर रहता है, वह गिर नहीं सकता।"
उपमा: कल्पना कीजिए कि रोबोट एक रस्सी (tightrope) पर चल रहा है। "सर्टिफिकेट" एक विशाल, अदृश्य सुरक्षा जाल है जो फैलता और सिकुड़ता है। लक्ष्य इस जाल को यथासंभव बड़ा बनाना है ताकि रोबोट के पास गिरने के बिना हिलने-डुलने के लिए पर्याप्त जगह हो।
अनिश्चितता को संभालना: यह शोध पत्र "अनजानों" (जैसे हवा का एक झोंका जिसे हमने अनुमानित नहीं किया था) से भी निपटता है। वे अज्ञातों के चारों ओर एक "बाड़ा" लगाने के लिए क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स (QCs) नामक टूल का उपयोग करते हैं। उन्हें यह नहीं पता कि हवा कहाँ लगेगी, लेकिन वे जानते हैं कि हवा एक निश्चित सीमा से अधिक तेज नहीं होगी।

3. सीक्रेट सॉस: "एडवर्सरियल ट्रेनिंग" (Adversarial Training)

यह सबसे रचनात्मक हिस्सा है। आमतौर पर, आप एक रोबोट को कार्य करने के लिए प्रशिक्षित करते हैं, और फिर आप जांचते हैं कि क्या वह सुरक्षित है। यह शोध पत्र इन दोनों को एक साथ करता है।

खेल: "बिल्ली और चूहे" के खेल की कल्पना करें।
- बिल्ली (रोबोट): झाडू को संतुलित करने और सुरक्षा जाल के भीतर रहने की कोशिश करती है।
- चूहा (एडवर्सरी/विरोधी): कमजोर बिंदु (counterexample) खोजकर रोबोट को सुरक्षा जाल से बाहर धकेलने की कोशिश करता है।
प्रक्रिया:
1. चूहा रोबोट को तोड़ने की कोशिश करता है।
2. रोबोट उस टूट-फूट से सीखता है और मजबूत होता है।
3. सुरक्षा जाल (सर्टिफिकेट) भी नए, मजबूत रोबोट को कवर करने के लिए खुद को नया आकार देता है।
4. वे हजारों बार इसे दोहराते हैं।
परिणाम: अंत में, रोबोट इतना मजबूत हो जाता है, और सुरक्षा जाल इतना सटीक आकार ले लेता है, कि चूहा वास्तव में इसे तोड़ने का कोई तरीका नहीं ढूंढ पाता।

4. परिणाम: एक बड़ी छलांग

लेखकों ने इसका परीक्षण एक सिम्युलेटेड इनवर्टेड पेंडुलम (झाडू संतुलित करने वाला रोबोट) पर किया।

पुराना तरीका (LMI): केवल एक बहुत ही छोटे क्षेत्र के लिए सुरक्षा की गारंटी दे सकता था। यह यह कहने जैसा था, "रोबोट केवल तभी सुरक्षित है यदि वह बिल्कुल स्थिर खड़ा हो।"
नया तरीका:
- केवल "स्ट्रेस-टेस्ट मशीन" का उपयोग करने से (बिना प्रशिक्षण के) सुरक्षित क्षेत्र 51 गुना बड़ा हो गया।
- रोबोट और सुरक्षा जाल दोनों को एक साथ प्रशिक्षित करने से सुरक्षित क्षेत्र पुराने तरीके की तुलना में 78 गुना बड़ा हो गया।

सारांश

इसे इस तरह सोचें:
अतीत में, यह सिद्ध करने के लिए कि एक कार सुरक्षित है, हमने एक छोटा, धीमा टेस्ट ट्रैक बनाया और कहा, "यदि यह यहाँ दुर्घटनाग्रस्त नहीं होती है, तो यह सुरक्षित है।"
यह शोध पत्र कहता है, "आइए एक विशाल, वास्तविक बाधा दौड़ (obstacle course) बनाएं। आइए एक रोबोट को इसे चलाना सीखने दें जबकि एक सुपर-कंप्यूटर हर मोड़ पर इसे दुर्घटनाग्रस्त करने की कोशिश करे। यदि रोबोट सुपर-कंप्यूटर के सबसे बुरे हमलों में भी जीवित रहता है, तो हम गणितीय रूप से सिद्ध कर सकते हैं कि वह वास्तविक दुनिया के लिए सुरक्षित है।"

मुख्य बात: उन्होंने AI कंट्रोलर्स को न केवल "स्मार्ट", बल्कि अराजक, वास्तविक दुनिया के वातावरण में सिद्ध रूप से सुरक्षित (provably safe) बनाने का एक तरीका खोजा है, जिससे पुराने तरीकों की तुलना में सुरक्षा क्षेत्र में लगभग 80 गुना विस्तार हुआ है।

यहाँ शोध पत्र "Learning Neural Network Controllers with Certified Robust Performance via Adversarial Training" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

न्यूरल नेटवर्क (NN) नियंत्रक (controllers) नॉनलीनर डायनेमिकल सिस्टम्स पर उत्कृष्ट अनुभवजन्य प्रदर्शन (empirical performance) प्रदर्शित करते हैं, लेकिन उनमें सुरक्षा-महत्वपूर्ण तैनाती (safety-critical deployment) के लिए आवश्यक औपचारिक गारंटी (formal guarantees) का अभाव होता है। जबकि हाल के कार्यों ने 'नोमिनल स्टेबिलिटी' (nominal stability) को संबोधित किया है, बाहरी विक्षोभों (external disturbances) और मॉडल अनिश्चितता (model uncertainty) की उपस्थिति में रोबस्ट परफॉरमेंस (स्थिरता और विक्षोभ क्षीणन/disturbance attenuation) को प्रमाणित करना एक महत्वपूर्ण चुनौती बनी हुई है।

मौजूदा सत्यापन विधियाँ एक ट्रेड-ऑफ का सामना करती हैं:

इंटीग्रल क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स (IQCs) के साथ लीनियर मैट्रिक्स इनइक्वेलिटीज (LMIs): ये गणनात्मक रूप से कुशल हैं लेकिन नॉनलिनैरिटीज़ को क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स के साथ सीमित करके महत्वपूर्ण रूढ़िवादिता (conservativeness) पेश करती हैं।
सटीक सत्यापन (जैसे, $\alpha,\beta$ -CROWN): यह ज्ञात नॉनलिनैरिटीज़ के लिए टाइट बाउंड्स प्रदान करता है, लेकिन जटिल अनिश्चितता सेट्स के साथ जुड़ने पर या कंट्रोलर सिंथेसिस के लिए उपयोग किए जाने पर स्केल करने में संघर्ष करता है।

मुख्य समस्या एक NN कंट्रोलर और एक रोबस्ट डिसिपेटिविटी सर्टिफिकेट (robust dissipativity certificate) को संयुक्त रूप से संश्लेषित (synthesize) करना है, जो अनिश्चितता के तहत क्लोज्ड-लूप प्रदर्शन की औपचारिक गारंटी दे सके, जबकि पारंपरिक LMI-आधारित दृष्टिकोणों में निहित रूढ़िवादिता को कम कर सके।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक ऐसा ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो एडवर्सरियल ट्रेनिंग (Adversarial Training) को $\alpha,\beta$ -CROWN के साथ फॉर्मल वेरिफिकेशन (Formal Verification) के माध्यम से जोड़ता है। यह दृष्टिकोण दो तकनीकों की पूरक शक्तियों का लाभ उठाता है:

$\alpha,\beta$ -CROWN: ज्ञात नॉनलीनर डायनेमिक्स (जैसे, NN एक्टिवेशन, प्लांट नॉनलिनैरिटीज़ जैसे $\sin(\theta)$ ) के प्रत्यक्ष और सटीक विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है।
क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स (QCs): विशेष रूप से गैर-पैरामीट्रिक मॉडल अनिश्चितताओं (जैसे, गेन बाउंड्स, सेक्टर बाउंड्स) को चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

A. सैद्धांतिक आधार: रोबस्ट डिसिपेटिविटी (Robust Dissipativity)

सिस्टम को एक नोमिनल प्लांट, एक NN कंट्रोलर और एक अनिश्चितता ऑपरेटर $\Delta$ के फीडबैक इंटरकनेक्शन के रूप में मॉडल किया गया है। लक्ष्य एक बाउंडेड सेट $(X, D, \Delta)$ पर रोबस्ट डिसिपेटिविटी को प्रमाणित करना है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

रोबस्ट फॉरवर्ड इनवेरिएंस (RFI): सिस्टम स्टेट सभी समय के लिए एक बाउंडेड सबलेवल सेट $\Omega_{V,\rho}$ के भीतर रहता है।
डिसिपेशन इनइक्वेलिटी (Dissipation Inequality): एक स्टोरेज फंक्शन $V(x)$ संतुष्ट करता है $V(x_K) - V(x_0) \leq \sum s(d_k, e_k)$ , जो प्रदर्शन सीमाओं (जैसे, $\ell_2$ -gain या पासिविटी) को सुनिश्चित करता है।

लेखक पर्याप्त स्थितियाँ (थ्योरम 1) व्युत्पन्न करते हैं जिन्हें $\alpha,\beta$ -CROWN के माध्यम से सत्यापित किया जा सकता है। इन शर्तों के लिए एक स्टोरेज फंक्शन $V$ और QC मल्टीप्लायर्स खोजने की आवश्यकता होती ताकि विशिष्ट लॉजिकल इम्प्लिकेशंस सभी स्टेट्स के लिए सत्य हों।

B. एडवर्सरियल ट्रेनिंग एल्गोरिदम (Adversarial Training Algorithm)

सिंथेसिस प्रक्रिया (एल्गोरिदम 1) में दो चरण शामिल हैं: ट्रेनिंग और वेरिफिकेशन।

1. आर्किटेक्चर (Architecture):

कंट्रोलर: एक रिकरेंट इमप्लिसिट न्यूरल नेटवर्क (RINN), जिसे LMI इनिशियलाइजेशन और रोबस्टनेस विश्लेषण के लिए अनुकूलता के कारण चुना गया है।
स्टोरेज फंक्शन ( $V_\phi$ ): एक हाइब्रिड फंक्शन जो एक क्वाड्रेटिक टर्म ( $x^T P x$ ) और एक न्यूरल नेटवर्क मॉड्यूलेशन टर्म ( $1 + \alpha \tanh(\psi(x))$ ) को जोड़ता है। यह सर्टिफिकेट को एक मानक क्वाड्रेटिक ल्यपुनोव फंक्शन के रूप में शुरू करने और फिर एक अधिक एक्सप्रेसिव नॉन-क्वाड्रेटिक शेप में विकसित होने की अनुमति देता है।

2. ट्रेनिंग लूप (Training Loop):
ट्रेनिंग कुल लॉस फंक्शन $L_{total}$ को कम करती है जो तीन टर्म्स से बना है:

सैंपल लॉस ( $L_{sample}$ ): समान रूप से सैंपल किए गए स्टेट्स पर डिसिपेटिविटी कंडीशन के उल्लंघन को दंडित करता है।
एडवर्सरियल लॉस ( $L_{adv}$ ): "वर्स्ट-केस" काउंटर-एग्जम्पल्स (वे स्टेट्स जहाँ स्थिति विफल हो जाती है) खोजने के लिए प्रोजेक्टेड ग्रेडिएंट डिसेंट (PGD) का उपयोग करता है और उन्हें दंडित करता है। यह नेटवर्क को विशिष्ट कमजोरियों के खिलाफ सख्त बनाने के लिए निर्देशित करता है।
एंकर लॉस ( $L_{anchor}$ ): वर्तमान सत्यापित सीमा के ठीक बाहर स्थित "एंकर" स्टेट्स पर स्टोरेज फंक्शन वैल्यू को दंडित करके प्रमाणित क्षेत्र को विस्तारित करने के लिए प्रोत्साहित करता है।

3. डोमेन एक्सपेंशन (Domain Expansion):
एक बार वर्तमान बाउंडिंग बॉक्स के लिए स्थिति संतुष्ट हो जाने के बाद, एल्गोरिदम ट्रैजेक्टरीज को सिम्युलेट करता है ताकि एक बड़ा रिच करने योग्य सेट (reachable set) मिल सके, बाउंडिंग बॉक्स को अपडेट किया जाए, और प्रशिक्षण जारी रखा जा सके।

4. फॉर्मल वेरिफिकेशन (Formal Verification):
ट्रेनिंग के बाद, अंतिम पैरामीटर्स फिक्स कर दिए जाते हैं। लेखक लेवल सेट $\rho$ पर बाइनरी सर्च (बाइसेक्शन) करने के लिए $\alpha,\beta$ -CROWN का उपयोग करते हैं ताकि उस अधिकतम वॉल्यूम को खोजा जा सके जहाँ रोबस्ट डिसिपेटिविटी की शर्तें सख्ती से लागू होती हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

संयुक्त सिंथेसिस फ्रेमवर्क: NN कंट्रोलर्स और डिसिपेटिविटी सर्टिफिकेट्स को सह-प्रशिक्षित (co-train) करने की एक नवीन विधि, जो फिक्स्ड-कंट्रोलर वेरिफिकेशन से आगे बढ़ती है।
हाइब्रिड वेरिफिकेशन स्ट्रैटेजी: शुद्ध LMI/IQC दृष्टिकोणों की उच्च रूढ़िवादिता से बचने के लिए $\alpha,\beta$ -CROWN (नॉनलीन डायनेमिक्स के लिए) और QCs (अनिश्चितता के लिए) को सफलतापूर्वक एकीकृत करना।
कंट्रोल के लिए एडवर्सरियल ट्रेनिंग: कंट्रोल सिंथेसिस डोमेन में एडवर्सरियल ट्रेनिंग तकनीकों (PGD) को अनुकूलित करना, जिसका उपयोग रोबस्ट डिसिपेटिविटी कंडीशन के काउंटर-एग्जम्पल्स के माध्यम से कंट्रोलर और सर्टिफिकेट दोनों के सीखने को निर्देशित करने के लिए किया जाता है।
नवीन स्टोरेज फंक्शन: एक हाइब्रिड स्टोरेज फंक्शन का डिज़ाइन जो एक क्वाड्रेटिक फॉर्म के रूप में शुरू होता है (LMI के माध्यम से वार्म-स्टार्ट किया गया) और नॉनलीनर करेक्शन सीखता है, जिससे बड़े प्रमाणित क्षेत्र संभव होते हैं।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

इस पद्धति का परीक्षण दो परिदृश्यों के तहत एक टॉर्क-एक्टुएटेड इनवर्टेड पेंडुलम पर किया गया था:

परिदृश्य A: $\ell_2$ -Gain Bound (डिस्टरबेंस एटेनुएशन)

लक्ष्य: स्टेट स्पेस के उस वॉल्यूम को अधिकतम करना जहाँ सिस्टम विक्षोभों (disturbances) को कम करता है।
परिणाम:
- LMI बेसलाइन: प्रमाणित वॉल्यूम = 0.16।
- ट्रेनिंग से पहले ( $\alpha,\beta$ -CROWN का उपयोग करके): LMI से 51.2 गुणा बड़ा।
- फिक्स्ड कंट्रोलर (ट्रेन्ड सर्टिफिकेट): LMI से 67.5 गुणा बड़ा।
- संयुक्त प्रशिक्षण (कंट्रोलर + सर्टिफिकेट): LMI बेसलाइन से 78.1 गुणा बड़ा।
- महत्व: संयुक्त प्रशिक्षण ने "ट्रेनिंग से पहले" के वेरिफिकेशन की तुलना में 1.52 $\times$ और केवल सर्टिफिकेट को प्रशिक्षित करने की तुलना में 1.16 $\times$ सुधार प्रदान किया।

परिदृश्य B: रोबस्ट स्टेबिलिटी (मॉडल अनिश्चितता)

लक्ष्य: गैर-पैरामीट्रिक अनिश्चितता (सेक्टर-बाउंड गेन वेरिएशन) के तहत स्थिरता को प्रमाणित करना।
परिणाम:
- LMI बेसलाइन: 0.80।
- संयुक्त प्रशिक्षण: LMI से 10.2 गुणा बड़ा।
- सुधार: संयुक्त प्रशिक्षण ने "ट्रेनिंग से पहले" के बेसलाइन की तुलना में 1.35 $\times$ सुधार दिया।

कंप्यूटेशन टाइम (Computation Time):
हालांकि प्रस्तावित विधि अधिक गणनात्मक रूप से गहन है (LMI के सेकंडों के मुकाबले मिनटों से घंटों तक), यह ट्रेड-ऑफ काफी बड़े प्रमाणित सुरक्षा क्षेत्रों को प्रदान करता है, जो व्यावहारिक तैनाती के लिए महत्वपूर्ण है।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

यह शोध पत्र नियंत्रण सिद्धांत (control theory) में एक महत्वपूर्ण अंतर को संबोधित करता है: सुरक्षा-महत्वपूर्ण वातावरण में NN कंट्रोलर्स को प्रमाणित करने के लिए स्केलेबल, गैर-रूढ़िवादी (non-conservative) विधियों का अभाव।

रूढ़िवादिता में कमी: ज्ञात नॉनलिनैरिटीज़ के लिए $\alpha,\beta$ -CROWN का उपयोग करके, यह विधि शुद्ध IQC-आधारित LMI विधियों की "ढीली" (loose) सीमाओं से बचती है, जिसके परिणामस्वरूप 78 गुना तक बड़े प्रमाणित क्षेत्र प्राप्त होते हैं।
स्केलेबिलिटी: एडवर्सरियल ट्रेनिंग दृष्टिकोण सिस्टम को जटिल, नॉन-कॉन्वेक्स सर्टिफिकेट सीखने की अनुमति देता है जिन्हें मानक कॉनवेक्स ऑप्टिमाइजेशन (LMI) नहीं खोज सकता।
व्यावहारिक प्रभाव: यह ढांचा उच्च-प्रदर्शन वाले NN कंट्रोलर्स को विक्षोभों और मॉडल त्रुटियों के विरुद्ध गणितीय रूप से कठोर गारंटी के साथ सुरक्षा-महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों (जैसे, रोबोटिक्स, स्वायत्त वाहन) में तैनात करने का मार्ग प्रदान करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि गणना का समय अधिक है, प्रमाणित सुरक्षित ऑपरेटिंग क्षेत्र में पर्याप्त वृद्धि इस दृष्टिकोण को वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के लिए श्रेष्ठ बनाती है जहाँ सुरक्षा एनवेलप को अधिकतम करना सर्वोपरि है। भविष्य के कार्य पूर्ण इंटीग्रल क्वाड्रेटिक कंस्ट्रेंट्स (IQCs) तक इस ढांचे को विस्तारित करने का लक्ष्य रखते हैं।