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Solving the Two-dimensional single stock size Cuting Stock Problem with SAT and MaxSAT

यह शोध पत्र टू-डायमेंशनल सिंगल स्टॉक साइज कटिंग स्टॉक समस्या के लिए एक SAT-आधारित ढांचे को प्रस्तुत करता है जो डिमांड एक्सपेंशन, ओरिएंटेशन एलिमिनेशन और विभिन्न सॉल्विंग रणनीतियों का उपयोग करता है ताकि बेंचमार्क इंस्टेंस पर अनुकूलता (optimality) प्रमाणित करने और गैप्स को कम करने में OR-Tools, CPLEX और Gurobi जैसे वाणिज्यिक सॉल्वर की तुलना में महत्वपूर्ण रूप से बेहतर प्रदर्शन किया जा सके।

मूल लेखक: Tuyen Van Kieu, Chi Linh Hoang, Khanh Van To

प्रकाशित 2026-04-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Tuyen Van Kieu, Chi Linh Hoang, Khanh Van To

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल फर्नीचर फैक्ट्री चलाते हैं। हर दिन, आपको एक बड़ा ऑर्डर मिलता है: 50 मेज, 30 कुर्सियाँ और 20 बुकशेल्फ़। आपके पास प्लाईवुड की एक जैसी, विशाल शीटों से भरा एक गोदाम है। आपका लक्ष्य क्या है? पैसे बचाने और बर्बादी को कम करने के लिए कम से कम कितनी शीटों से उन सभी वस्तुओं को काटा जा सकता है।

यह टू-डायमेंशनल सिंगल स्टॉक साइज कटिंग स्टॉक प्रॉब्लम (2D-CSSP) है। यह सुनने में सरल लगता है, लेकिन यह कंप्यूटरों के लिए एक दुःस्वप्न है। क्यों? क्योंकि यदि आपके पास 50 मेज हैं, तो कंप्यूटर को न केवल यह तय करना होगा कि उन्हें कहाँ रखना है, बल्कि यह भी कि उन 50 एक जैसी मेजों में से कौन सी कहाँ जाएगी। संभावनाओं की संख्या पॉपकॉर्न मशीन की तरह विस्फोट कर जाती है जो "न्यूक्लियर" सेटिंग पर हो।

यह पेपर इस पहेली को हल करने का एक नया तरीका पेश करता है जो SAT (बूलियन सैटिस्फिएबिलिटी) नामक एक प्रकार के लॉजिक इंजन का उपयोग करता है। यहाँ उनके समाधान का विवरण दिया गया है, जिसे रोजमर्रा के उदाहरणों के साथ समझाया गया है।

1. पुराना तरीका बनाम नया तरीका

पुराना तरीका (कमर्शियल सॉल्वर): इस पहेली को हल करने के लिए एक बहुत ही बुद्धिमान लेकिन बहुत ही शाब्दिक (literal) रोबोट से पूछने की कल्पना करें, "क्या मैं 10 शीटों पर 50 मेजें फिट कर सकता हूँ?" रोबोट कोशिश करता है, विफल होता है, और कहता है "नहीं।" फिर आप पूछते हैं, "11 शीटों के साथ कैसा रहेगा?" वह फिर से कोशिश करता है। यह धीमा है, और अक्सर रोबोट एक लूप में फंस जाता है, यह साबित करने में असमर्थ होता है कि उसने सबसे अच्छा उत्तर ढूंढ लिया है, केवल एक "काफी अच्छा" उत्तर ही दे पाता है।
नया तरीका (SAT दृष्टिकोण): लेखकों ने एक कस्टम लॉजिक इंजन बनाया है जो इस समस्या को लॉजिक सुडोकू के एक विशाल खेल की तरह मानता है। केवल नंबरों का अनुमान लगाने के बजाय, इंजन नियमों (clauses) का एक सेट बनाता है जो भौतिक दुनिया का वर्णन करते हैं: "यदि मेज A यहाँ है, तो मेज B वहाँ नहीं हो सकती।"

2. गुप्त नुस्खा: "कंडीशनल" नियम

इस पेपर में सबसे बड़ी सफलता यह है कि वे "कॉपी" की समस्या को कैसे संभालते हैं।

समस्या: यदि आपके पास 50 एक जैसी कुर्सियाँ हैं, तो कंप्यूटर आमतौर पर उन्हें 50 अद्वितीय व्यक्तियों के रूप में मानता है, जिससे नियमों का एक बड़ा ढेर लग जाता है।
समाधान: लेखकों ने महसूस किया कि आपको दो कुर्सियों के आपस में टकराने की चिंता करने की आवश्यकता तभी है जब वे प्लाईवुड की एक ही शीट पर हों।
- उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक पार्टी आयोजित कर रहे हैं। आपको इस बात की चिंता करने की ज़रूरत नहीं है कि कमरा नंबर 1 का मेहमान कमरे नंबर 100 के मेहमान से टकरा जाए। आपको केवल तभी चिंता करनी है जब वे एक ही कमरे में हों।
- नया इंजन केवल तभी "टकराव रोकने" वाले नियमों को सक्रिय करता है जब दो वस्तुओं को एक ही शीट पर असाइन किया जाता है। यह लॉजिक को साफ और प्रबंधनीय रखता है।

3. "स्मार्ट" शॉर्टकट (सिमेट्री ब्रेकिंग)

जब आपके पास 50 एक जैसी कुर्सियाँ होती हैं, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कुर्सी #1 बाईं ओर है और कुर्सी #2 दाईं ओर है, या इसके विपरीत। वे एक जैसी दिखती हैं।

समस्या: कंप्यूटर घंटों तक दोनों परिदृश्यों की जांच करने में बर्बाद करता है, यह सोचकर कि वे अलग हैं।
समाधान: लेखकों ने "सिमेट्री ब्रेकिंग" नियम जोड़े हैं।
- उदाहरण: यह एक लाइब्रेरियन को यह बताने जैसा है, "यदि आपके पास दो एक जैसी किताबें हैं, तो हमेशा कम संख्या वाली किताब को बाईं शेल्फ पर रखें।" यह कंप्यूटर को डुप्लिकेट परिदृश्यों को अनदेखा करने और केवल अद्वितीय व्यवस्थाओं पर ध्यान केंद्रित करने के लिए मजबूर करता है।
"रोटेशन" का तरीका: उन्होंने एक नियम भी जोड़ा कि "यदि एक कुर्सी आड़ा होने के कारण फिट नहीं बैठती, लेकिन खड़ा होने पर फिट बैठती है, तो उसे खड़ा होने के लिए मजबूर करें।" यह कंप्यूटर के सोचने शुरू करने से पहले ही असंभव विकल्पों को हटा देता है।

4. सबसे अच्छा उत्तर खोजने के लिए तीन रणनीतियाँ

टीम ने अपने लॉजिक इंजन का उपयोग करके न्यूनतम शीटों की संख्या खोजने के लिए तीन अलग-अलग तरीकों का परीक्षण किया:

बाइनरी सर्च (नॉन-इन्क्रीमेंटल): 1 और 100 के बीच संख्या का अनुमान लगाने जैसा। "क्या यह 50 है? नहीं। क्या यह 25 है? हाँ। क्या यह 12 है?" यह तेज़ है लेकिन हर बार नया नंबर अनुमान लगाने पर अपना सारा काम फेंक देता है।
मेमोरी कीपर (इन्क्रीमेंटल SAT): अधिकांश मामलों में यही विजेता है। एक जासूस की कल्पना करें जो रहस्य सुलझा रहा है। यदि वे सोमवार को यह साबित करते हैं कि एक संदिग्ध निर्दोष है, तो वे उस तथ्य को याद रखते हैं।
- जब कंप्यूटर 10 शीटों पर वस्तुओं को फिट करने की कोशिश करता है और विफल हो जाता है, तो वह सीखता है कि वह क्यों विफल हुआ (जैसे, "ये तीन चौड़ी वस्तुएं कभी एक साथ फिट नहीं हो सकतीं")। जब यह 11 शीटों के लिए प्रयास करता है, तो यह उस सबक को तुरंत याद रखता है। यह शून्य से शुरुआत नहीं करता; यह अपनी पिछली विफलताओं पर निर्माण करता है।
वन-शॉट वेगर (MaxSAT): यह एक ही विशाल छलांग में सटीक संख्या के लिए हल करने की कोशिश करता है। यह शक्तिशाली है लेकिन कभी-कभी गणित के विशाल आकार से अभिभूत हो जाता है, जैसे एक ही बार में पूरी पिज्जा खाने की कोशिश करना।

5. परिणाम: कौन जीता?

लेखकों ने 30 कठिन वास्तविक दुनिया की पहेलियों का उपयोग करके अपने सिस्टम का परीक्षण दुनिया के सर्वश्रेष्ठ कमर्शियल सॉफ्टवेयर (जैसे Google OR-Tools, CPLEX और Gurobi) के विरुद्ध किया।

फैसला: उनका नया SAT-आधारित सिस्टम एक प्रभावी चैंपियन था।
- पूर्णता का प्रमाण: जबकि कमर्शियल सॉफ्टवेयर अक्सर एक "अच्छा" समाधान ढूंढ सकते थे, वे अक्सर यह सिद्ध नहीं कर पाते थे कि वह सबसे अच्छा था। नए SAT सिस्टम ने कमर्शियल दिग्गजों की तुलना में 2 से 3 गुना अधिक पहेलियों के लिए इष्टतम (optimal) समाधान सिद्ध किया।
- दक्षता: इसने कम बर्बादी (कम ऑप्टिमैलिटी गैप) के साथ बेहतर समाधान खोजे।
- ट्विस्ट: दिलचस्प बात यह है कि जब वस्तुओं को रोटेट (घुमाया) नहीं जा सकता था, तब "मेमोरी कीपर" (इन्क्रीमेंटल) दृष्टिकोण सबसे अच्छा था। लेकिन जब वस्तुओं को रोटेट किया जा सकता था (जिससे गणित बहुत बड़ा हो गया), तो "बाइनरी सर्च" दृष्टिकोण वास्तव में बेहतर प्रदर्शन करता था क्योंकि मेमोरी बहुत सारे नियमों के साथ बहुत अधिक अव्यवस्थित हो गई थी।

मुख्य निष्कर्ष

यह पेपर दिखाता है कि एक विनिर्माण समस्या को शुद्ध लॉजिक पहेली के रूप में मानकर और अपनी पिछली गलतियों से सीखने के लिए "मेमोरी" का उपयोग करके, हम पारंपरिक तरीकों की तुलना में बहुत तेज़ी से और अधिक सटीकता से जटिल कटिंग समस्याओं को हल कर सकते हैं। यह एक कैलकुलेटर को अपग्रेड करने जैसा है जो केवल नंबर जोड़ता है, एक सुपर-इंटेलिजेंट असिस्टेंट में जो पहेली की कहानी को समझता है।

संक्षेप में: उन्होंने प्लाईवुड काटने का एक स्मार्ट, अधिक तार्किक तरीका बनाया है जो पैसे बचाता है, बर्बादी को कम करता है और हर बार यह साबित करता है कि यह सबसे अच्छा तरीका है।

यहाँ शोध पत्र "Solving the Two-Dimensional Single Stock Size Cutting Stock Problem with SAT and MaxSAT" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या की परिभाषा

यह शोध पत्र टू-डायमेंशनल सिंगल स्टॉक साइज कटिंग स्टॉक प्रॉब्लम (2D-CSSP) को संबोधित करता है।

उद्देश्य: कुल उपयोग की जाने वाली शीटों की संख्या को कम करते हुए, विशिष्ट मांगों को पूरा करने के लिए समान कच्चे स्टॉक शीटों से आयताकार वस्तुओं (rectangular items) को काटना।
इनपुट: आइटम प्रकारों की एक सूची $T = \{(w_t, h_t, d_t)\}$ , जहाँ $w_t$ और $h_t$ आयाम हैं और $d_t$ मांग (आवश्यक प्रतियों की संख्या) है। शीट का आकार $W \times H$ है।
जटिलता: यह समस्या NP-hard है। यह टू-डायमेंशनल बिन पैकिंग प्रॉब्लम (2D-BPP) का सामान्यीकरण है। 2D-CSSP में विशिष्ट चुनौती मांगों का गुणात्मक प्रभाव (multiplicative effect of demands) है: यदि किसी आइटम प्रकार की मांग अधिक है, तो यह कई समान प्रतियाँ बनाता है, जिससे एक विशाल सर्च स्पेस और महत्वपूर्ण समरूपता (symmetry/interchangeability of identical copies) उत्पन्न होती है।
बाधाएं (Constraints): वस्तुओं को ओवरलैप (overlap) के बिना, शीट की सीमाओं के भीतर रखा जाना चाहिए, और वैकल्पिक रूप से उन्हें 90 डिग्री पर घुमाया (rotate) जा सकता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक SAT-आधारित फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो समस्या को बूलियन सैटिस्फिएबिलिटी (SAT) और वेटेड पार्शियल MaxSAT में एनकोड करता है।

A. SAT एनकोडिंग रणनीति

पारंपरिक मिक्स्ड इंटीजर प्रोग्रामिंग (MIP) के विपरीत, जो उच्च मांग के साथ खराब प्रदर्शन करता है, SAT दृष्टिकोण निम्नलिखित का उपयोग करता है:

डिमांड एक्सपेंशन (Demand Expansion): आइटम प्रकारों को अमूर्त चरों (abstract variables) के रूप में मानने के बजाय, मांगों का विस्तार किया जाता है। यदि आइटम प्रकार $t$ की मांग $d_t$ है, तो इसे $d_t$ अलग-अलग प्रतियों ( $c_{t,1}, \dots, c_{t,d_t}$ ) के रूप में माना जाता है।
चर (Variables):
- शीट असाइनमेंट ( $s_{c,j}$ ): एक बूलियन चर जो यह दर्शाता है कि क्या प्रति $c$ को शीट $j$ को सौंपा गया है।
- निर्देशांक (Order Encoding): शीट के आयामों के सापेक्ष चरों की संख्या को रैखिक रखने के लिए $x_c$ और $y_c$ के लिए 'ऑर्डर एनकोडिंग' का उपयोग किया जाता है।
- रोटेशन ( $R_c$ ): 90-डिग्री रोटेशन के लिए बूलियन फ्लैग।
- सापेक्ष स्थिति (Relative Position): "लेफ्ट ऑफ" (left of) और "बेलो" (below) संबंधों के लिए चर।
कंडीशनल नॉन-ओवरलैप बाधाएं (Conditional Non-Overlap Constraints): यह मुख्य नवाचार है। नॉन-ओवरलैप बाधाएं शीट असाइनमेंट पर कंडीशनल (सशर्त) हैं।
- मानक एनकोडिंग सभी जोड़ों के लिए नॉन-ओवरलैप लागू करती है।
- यह एनकोडिंग नॉन-ओवरलैप केवल तभी लागू करती है जब दो प्रतियां एक ही शीट को सौंपी गई हों ( $\neg s_{c,j} \lor \neg s_{c',j} \lor \text{non-overlap}$ )। यह अलग-अलग शीटों पर मौजूद प्रतियों के लिए सक्रिय बाधाओं की संख्या को नाटकीय रूप से कम कर देता है।
सिमेट्री ब्रेकिंग (Symmetry Breaking): समान प्रतियों से उत्पन्न होने वाले कॉम्बिनेटोरियल विस्फोट को संभालने के लिए, चार नियम लागू किए जाते हैं:
- लार्ज आइटम कंस्ट्रेंट्स: यदि आइटम अगल-बगल में फिट नहीं हो सकते, तो सापेक्ष स्थितियों को स्थिर (fix) कर दिया जाता है।
- सेम-साइज़ ऑर्डरिंग: समानता (permutation) सिमेट्री को तोड़ने के लिए एक ही प्रकार की प्रतियों के बीच एक सख्त क्रम लागू किया जाता है।
- इनफीज़िबल-ओरिएंटेशन एलिमिनेशन: यदि कोई आइटम केवल एक ही ओरिएंटेशन में शीट में फिट बैठता है, तो रोटेशन वेरिएबल को तुरंत फिक्स कर दिया जाता है।
- शीट ऑर्डरिंग: $k!$ रीलेबलिंग सिमेट्री को समाप्त करने के लिए शीटों का उपयोग इंडेक्स क्रम (1, 2, 3...) में किया जाता है।

B. समाधान दृष्टिकोण (Solving Approaches)

लेखक न्यूनतम शीटों की संख्या ( $k$ ) खोजने के लिए तीन रणनीतियों की तुलना करते हैं:

बाइनरी सर्च के साथ नॉन-इन्क्रीमेंटल SAT: प्रत्येक संभावित $k$ के लिए बाइनरी सर्च का उपयोग करके SAT फॉर्मूला को शुरू से फिर से बनाया जाता है।
बाइनरी सर्च के साथ इंक्रीमेंटल SAT: ऊपरी सीमा ($UB$) के लिए फॉर्मूला का निर्माण करता है। यह सॉल्वर धारणाओं (solver assumptions) का उपयोग करता है ताकि वर्तमान परीक्षण $k$ से परे की शीटों को "डिसेबल" किया जा सके। महत्वपूर्ण रूप से, विफल प्रयासों (UNSAT) के दौरान सीखी गई कॉन्फ्लिक्ट क्लॉज़ (conflict clauses) को बरकरार रखा जाता है और अगले पुनरावृत्तियों के लिए पुनः उपयोग किया जाता है, जो प्रभावी रूप से सर्च स्पेस को छोटा करता है।
वेटेड पार्शियल MaxSAT: समस्या को एक एकल अनुकूलन कार्य के रूप में एनकोड किया जाता है जहाँ उपयोग की गई शीटों की संख्या को कम करना एक 'सॉफ्ट ऑब्जेक्टिव' है।

3. प्रमुख योगदान

2D-CSSP के लिए पहला SAT एनकोडिंग: लेखक इस विशिष्ट समस्या के लिए पहला डिक्लेरेटिव लॉजिक-आधारित फॉर्मूलेशन प्रस्तुत करते हैं, जो मांग-प्रेरित सिमेट्री और कंडीशनल बाधाओं की अनूठी चुनौती को संबोधित करता है।
इनफीज़िबल-ओरिएंटेशन नियम: एक सामान्य नियम जो रोटेशन वेरिएबल्स को फिक्स करता है जब केवल एक ओरिएंटेशन शीट में फिट बैठता है, जो स्ट्रिप पैकिंग के पिछले कार्यों का विस्तार करता है।
समाधान रणनीतियों का अनुभवजन्य विश्लेषण: अध्ययन यह प्रकट करता है कि अनुकूलतम SAT रणनीति समस्या की संरचना पर निर्भर करती है:
- बिना रोटेशन के: इंक्रीमेंटल SAT बेहतर है क्योंकि ज्यामितीय असंभवताओं (जैसे, "तीन चौड़े आइटम एक शीट पर फिट नहीं हो सकते") से सीखी गई कॉन्फ्लिक्ट क्लॉज़, विभिन्न शीट गणनाओं के लिए वैध रहती हैं।
- रोटेशन के साथ: नॉन-इन्क्रीमेंटल SAT बेहतर प्रदर्शन करता है। रोटेशन फॉर्मूला के आकार को काफी बढ़ा देता है (क्लॉज़ ~3x बढ़ जाते हैं), जिससे इंक्रीमेंटल सॉल्विंग में क्लॉज़ डेटाबेस बहुत बड़ा और "नॉइज़ी" हो जाता है, जिससे क्लॉज़ पुन: उपयोग का लाभ कम हो जाता है।
व्यापक बेंचमार्किंग: Cui–Zhao बेंचमार्क सुइट पर औद्योगिक सॉल्वर (OR-Tools, CPLEX, Gurohi) के विरुद्ध एक बड़े पैमाने पर तुलना।

4. प्रयोगात्मक परिणाम

प्रयोग 30 इंस्टेंस (7–21 आइटम प्रकार, 45 तक मांग) पर 1,800 सेकंड की समय सीमा के साथ किए गए।

ऑप्टिमैलिटी सर्टिफिकेशन (Optimality Certification):
- SAT दृष्टिकोण: 16 इंस्टेंस (नो रोटेशन) और 18 इंस्टेंस (विद रोटेशन) के लिए अनुकूलतमता प्रमाणित की।
- कमर्शियल सॉल्वर: सर्वश्रेष्ठ कमर्शियल सॉल्वर (OR-Tools CP) ने केवल 7 इंस्टेंस (नो रोटेशन) और 6 इंस्टेंस (विद रोटेशन) को प्रमाणित किया।
- परिणाम: SAT दृष्टिकोण ने किसी भी कमर्शियल सॉल्वर की तुलना में 2 से 3 गुना अधिक इंस्टेंस को प्रमाणित रूप से अनुकूल (provably optimal) घोषित किया।
ऑप्टिमैलिटी गैप्स:
- SAT दृष्टिकोण ने काफी कम गैप प्राप्त किया (उदाहरण के लिए, रोटेशन के साथ 3.24% बनाम OR-Tools के लिए 4.63%)।
- MIP सॉल्वर (CPLEX, Gurohi) गैप >13% के साथ संघर्ष करते हैं और बहुत कम इंस्टेंस प्रमाणित कर पाते हैं।
प्रदर्शन की बारीकियां:
- OR-Tools CP अक्सर बेस्ट नोन सॉल्यूशन (BKS) से मेल खाने वाले व्यवहार्य (feasible) समाधान खोजने में तेज़ था, लेकिन अनुकूलता सिद्ध (prove) करने में विफल रहा।
- SAT सॉल्वर ने CDCL (Conflict-Driven Clause Learning) इंजन के माध्यम से मजबूत ऑप्टिमैलिटी सर्टिफिकेट प्रदान किए।
- इंक्रीमेंटल SAT कॉम्पैक्ट फॉर्मूला (नो रोटेशन) के लिए सबसे तेज़ था, जबकि नॉन-इन्क्रीमेंटल SAT रोटेशन द्वारा सर्च स्पेस के विस्तार के दौरान अधिक मजबूत (robust) था।

5. महत्व

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि SAT-आधारित विधियाँ 2D कटिंग स्टॉक समस्या के लिए अत्याधुनिक कमर्शियल MIP और CP सॉल्वर्स की तुलना में अत्यधिक प्रतिस्पर्धी और अक्सर श्रेष्ठ हैं, विशेष रूप से जब आइटम की मांग अधिक हो।

सैद्धांतिक प्रभाव: यह ज्यामितीय पैकिंग और बूलियन सैटिस्फिएबिलिटी के बीच के अंतर को पाटता है, यह दिखाता है कि कैसे CDCL इंजन क्लॉज़ पुन: उपयोग और कंडीशनल बाधाओं के माध्यम से मांग संरचनाओं (समान प्रतियों) का प्रभावी ढंग से लाभ उठा सकते हैं।
व्यावहारिक प्रभाव: विनिर्माण उद्योगों (स्टील, ग्लास, टेक्सटाइल) के लिए, वर्तमान कमर्शियल टूल्स की तुलना में अधिक इंस्टेंस पर अनुकूलता को सिद्ध करने की क्षमता एक बड़ी प्रगति है। यह निर्माताओं को केवल ह्यूरिस्टिक्स (heuristics) पर निर्भर रहने के बजाय न्यूनतम अपव्यय (waste) सुनिश्चित करने की अनुमति देता है।
भविष्य की दिशाएँ: लेखक टाइट लोअर बाउंड्स, हाइब्रिड कॉलम-जनरेशन दृष्टिकोण (जहाँ SAT प्राइसिंग सब-प्रॉब्लम को हल करता है), और हेट्रोजेनियस स्टॉक साइज़ तक ढांचे के विस्तार की खोज करने का सुझाव देते हैं।

संक्षेप में, यह पेपर 2D-CSSP के लिए एक नया स्टेट-ऑफ-द-आर्ट स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि अनुकूलित SAT एनकोडिंग समाधान की गुणवत्ता और अनुकूलता प्रमाणन दोनों में सामान्य-उद्देश्य वाले औद्योगिक सॉल्वर्स से बेहतर प्रदर्शन कर सकते हैं।