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On $u$ -Multiple Zeta Values in Positive Characteristic

यह शोधपत्र कार्लिट्ज़ मॉड्यूल (Carlitz module) के माध्यम से $u$ -ब्रैकेट्स, परिमित बहु-हार्मोनिक $u$ -श्रृंखलाओं और $u$ -बहु-जेटा मानों को शास्त्रीय $q$ -सादृश्यों के फलन क्षेत्र सादृश्यों (function field analogs) के रूप में प्रस्तुत करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि कार्लिट्ज़ टोरशन बिंदुओं पर उनके सीमा मान ठाकुर के बहु-जेटा मानों और परिमित बहु-जेटा मानों को पुनः प्राप्त करते हैं, साथ ही धनात्मक और गैर-धनात्मक दोनों सूचकांकों पर इन मानों के बीच स्पष्ट संबंध स्थापित करते हैं।

मूल लेखक: Hung-Chun Tsui

प्रकाशित 2026-04-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hung-Chun Tsui

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शेफ हैं जो एक बहुत ही खास सूप, जिसे "ज़ेटा सूप" (Zeta Soup) कहा जाता है, की रेसिपी को बेहतर बनाने की कोशिश कर रहे हैं।

मानक गणित (वास्तविक दुनिया) की दुनिया में, यह सूप बहुत ही विशिष्ट क्रम में अनंत संख्या में सामग्रियों को जोड़कर बनाया जाता है। इसे मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू (Multiple Zeta Value) कहा जाता है। यह एक प्रसिद्ध, स्वादिष्ट लेकिन पेचीदा व्यंजन है जिसका अध्ययन गणितज्ञ दशकों से कर रहे हैं।

हालाँकि, यह शोध पत्र एक अलग रसोई के बारे में है: पॉजिटिव कैरेक्टरिस्टिक किचन (Positive Characteristic Kitchen)। यह एक समानांतर ब्रह्मांड है जहाँ अंकगणित के नियम थोड़े अलग हैं (सोचिए "मॉड्यूलर" सामग्रियों के साथ खाना पकाने के बारे में जहाँ संख्याएँ एक घड़ी की तरह घूमकर वापस आती हैं)। इस रसोई में, मानक रेसिपी सीधे काम नहीं करती है। हमें इस सूप को बनाने के लिए एक नए तरीके की आवश्यकता है।

यहाँ बताया गया है कि कैसे लेखक, हंग-चुन सुई (Hung-Chun Tsui), इस समस्या को हल करते हैं, जिसमें वे कुछ रचनात्मक उपमाओं का उपयोग करते हैं:

1. समस्या: "q" बनाम "u"

वास्तविक दुनिया में, गणितज्ञ अक्सर एक उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे "q-अनलॉग" (q-analog) कहा जाता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक मानक रूलर (संख्या 1) है। एक "q-अनलॉग" एक ऐसा रूलर है जो थोड़ा लचीला या खिंचने वाला है। यदि आप इसे बिल्कुल सही तरीके से खींचते हैं (जैसे-जैसे $q$ 1 के करीब पहुँचता है), तो यह सामान्य रूलर की तरह वापस आ जाता है। यह गणितज्ञों को इस सूप का अध्ययन करने में मदद करता है, इसे थोड़े विकृत लेंस के माध्यम से देखकर।

इस शोध पत्र में, लेखक एक नया उपकरण पेश करते हैं जिसे "u-ब्रैकेट" (u-bracket) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना करें कि कार्लिट्ज़ मॉड्यूल (एक जटिल गणितीय इंजन) एक जादुई ब्लेंडर है।
"u-ब्रैकेट" इस ब्लेंडर की एक विशेष सेटिंग है। केवल संख्याओं को मिलाने के बजाय, यह उन्हें एक चर (variable) $u$ का उपयोग करके मिलाता है।
जब $u$ को 0 पर सेट किया जाता है, तो ब्लेंडर एक सामान्य रसोई की तरह कार्य करता है (जो हमें "ठाकुर के ज़ेटा मान" देता है)।
जब $u$ को एक विशिष्ट "टॉर्शन पॉइंट" (एक विशेष, जादुई सामग्री) पर सेट किया जाता है, तो ब्लेंडर एक नया, परिमित (finite) संस्करण बनाता है।

2. दो सीमाएँ: "समय यात्रा" और "स्नैपशॉट"

सबसे रोमांचक हिस्सा यह दिखाना है कि यह नया "u-सूप" दो अलग-अलग दुनियाओं को कैसे जोड़ता है। लेखक यह सिद्ध करते हैं कि यदि आप इस परिमित "u-सूप" को दो अलग-अलग तरीकों से देखते हैं, तो आपको दो प्रसिद्ध परिणाम प्राप्त होते हैं:

एनालिटिक लिमिट (समय यात्रा - The Analytic Limit):
कल्पive करें कि आपके पास जादुई ब्लेंडर से बना एक परिमित कटोरा सूप है। जैसे-जैसे आप ब्लेंडर के डायल को धीरे-धीरे घुमाते हैं (चर $u$ को बदलते हुए) और जैसे-जैसे "समय" (पॉलिनोमियल की डिग्री) अनंत की ओर बढ़ता है, सूप बदल जाता है।
- परिणाम: यह ठाकुर मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू में बदल जाता है। यह फंक्शन फील्ड की दुनिया का "अनंत, पूर्ण सूप" है।
- रूपक: यह एक फूल के खिलने के टाइम-लैप्स वीडियो को देखने जैसा है। आप एक कली (परिमित श्रेणी) से शुरू करते हैं और उसे एक पूर्ण फूल (अनंत श्रेणी) में विकसित होते देखते हैं।
अल्जेब्रिक लिमिट (स्नैपशॉट - The Algebraic Limit):
अब, कल्पना करें कि आप उसी परिमित कटोरे सूप को एक विशिष्ट फिल्टर के माध्यम से देखकर (एक अभाज्य संख्या/प्राइम नंबर के मॉड्युलो लेकर) एक "स्नैपशॉट" लेते हैं।
- परिणाम: यह फिनाइट मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू में बदल जाता है। यह सूप का एक "स्नैपशॉट" है जो केवल एक परिमित, मॉड्यूलर दुनिया में मौजूद होता है।
- रूपक: यह चलती हुई कार की फोटो लेने जैसा है। फोटो खुद कार नहीं है, लेकिन यह उसके एक विशिष्ट, जमे हुए क्षण को कैद करती है जो अलग नियमों का पालन करती है।

यह क्यों शानदार है?
वास्तविक दुनिया में, गणितज्ञों को संदेह था कि इस प्रकार के दोनों सूप (अनंत वाला और परिमित स्नैपशॉट) आपस में जुड़े हुए हैं, लेकिन वे इसे आसानी से सिद्ध नहीं कर सके। यह शोध पत्र एक पुल (bridge) (u-सीरीज) बनाता है जो दिखाता है कि वे वास्तव में एक ही सिक्के के दो पहलू हैं। यह ऐसा है जैसे यह पता लगाना कि आपका "समय यात्रा" वाला संस्करण और "स्नैपशॉट" वाला संस्करण वास्तव में एक ही रेसिपी से बने हैं, बस उन्हें अलग तरह से देखा जा रहा है।

3. गुप्त रेसिपी: "शफल" (The Shuffle)

गणितज्ञ सामग्रियों को मिलाना पसंद करते हैं। यदि आपके पास दो कटोरे सूप हैं, तो आप उन्हें आपस में मिला सकते हैं।

वास्तविक दुनिया में, उन्हें मिलाने के लिए एक नियम का पालन किया जाता है जिसे "शफल रिलेशन" (Shuffle Relation) कहा जाता है। यह ताश की दो गड्डियों को फेंटने जैसा है; क्रम मायने रखता है, लेकिन उनके आपस में मिलने के कुछ विशिष्ट तरीके होते हैं।
लेखक सिद्ध करते हैं कि यह नया "u-सップ" क्लासिक सूप के ठीक उसी शफल नियमों का पालन करता है।
जादुिक ट्रिक: क्योंकि u-सूप इन नियमों का पालन करता है, इसलिए लेखक इसका उपयोग नई रेसिपी बनाने के लिए कर सकते हैं। यह देखकर कि $u$ चर को बदलने पर सूप कैसे बदलता है, वे ऐसे सूत्र (formulas) निकाल सकते हैं जो "धनात्मक" सामग्रियों (सामान्य संख्याएं) को "गैर-धनात्मक" सामग्रियों (अजीब, नकारात्मक संख्याएं जो आमतौर पर रेसिपी को खराब कर देती हैं) से जोड़ते हैं।

4. बड़ी तस्वीर: आपको इसकी परवाह क्यों करनी चाहिए?

यह शोध पत्र एक मास्टर शेफ द्वारा खोजी गई एक नई तकनीक की तरह है जो उन्हें निम्नलिखित कार्य करने की अनुमति देती है:

गणित की दो अलग-अलग भाषाओं के बीच अनुवाद करना (अनंत दुनिया और परिमित दुनिया के बीच)।
यह सिद्ध करना कि दो चीजें जो अलग दिखती थीं, वास्तव में एक ही हैं।
नई गणितीय रेसिपी (संबंध) बनाना जो पहले पाना असंभव था।

संक्षेप में:
लेखक ने एक जादुई ब्लेंडर (u-ब्रैकेट) बनाया है जो परिमित मात्रा में सामग्रियों को ले सकता है और, इस बात पर निर्भर करते हुए कि आप उन्हें कैसे देखते हैं, या तो उन्हें एक पूर्ण, अनंत सूप में बदल सकता है या एक परिमित सूप के जमे हुए स्नैपशॉट में। इस ब्लेंडर का अध्ययन करके, उन्होंने सिद्ध किया कि ये दोनों सूप गहराई से जुड़े हुए हैं और उन्होंने उन्हें मिलाकर पूरी तरह से नए गणितीय स्वाद बनाने का एक तरीका खोजा है।

यह "फंक्शन फील्ड्स के अंकगणित" को समझने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम है, जो अनिवार्य रूप से एक समानांतर ब्रह्मांड में संख्याओं के अध्ययन को संदर्भित करता है जहाँ नियम थोड़े अलग हैं, लेकिन पैटर्न की सुंदरता वैसी ही बनी रहती है।

यहाँ हंग-चुन सुई (Hung-Chun Tsui) के शोध पत्र "On u-Multiple Zeta Values in Positive Characteristic" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का विवरण और संदर्भ

यह शोध पत्र शास्त्रीय $q$ -अनुरूप (q-analogs) मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ (MZVs) के सिद्धांत के फलन क्षेत्र (function field) समकक्ष के विकास को संबोधित करता है।

शास्त्रीय संदर्भ: शास्त्रीय संख्या सिद्धांत में, $q$ -अनुरूप मानक सूत्रों (जैसे फैक्टोरियल और ज़ेटा वैल्यूज़) को विकृत (deform) करते हैं ताकि मूल सिद्धांत को $q \to 1$ होने पर पुनः प्राप्त किया जा सके। बाचमैन, ताकेयामा और तासाका (2018) के हालिया कार्य ने स्थापित किया कि रूट्स ऑफ यूनिटी (roots of unity) पर मूल्यांकित परिमित मल्टीपल हार्मोनिक $q$ -श्रंखलाओं के "सीमा" (limits) दोनों परिमित मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ (बीजगणितीय सीमा) और सिमेट्रिक मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ (विश्लेषणात्मक सीमा) प्रदान करते हैं, जो कानेको-ज़ागियर अनुमान (Kaneko–Zagier conjecture) के लिए साक्ष्य प्रदान करते हैं।
फलन क्षेत्र संदर्भ: $\mathbb{F}_r(\theta)$ पर फलन क्षेत्रों की अंकगणित में, पूर्णांकों की भूमिका बहुपदों (polynomials) द्वारा निभाई जाती है और गुणात्मक समूह (multiplicative group) की भूमिका कार्लिट्ज मॉड्यूल (Carlitz module) द्वारा निभाई जाती है। ठाकुर ने इस परिवेश में मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ ( $\zeta_A(s)$ ) को परिभाषित किया है।
अंतराल (The Gap): जबकि ठाकुर के MZVs और फलन क्षेत्र पर परिमित MZVs का व्यापक अध्ययन किया गया है, शास्त्रीय $q$ -अनुरूप सिद्धांत (विशेष रूप से एक विरूपण पैरामीटर (deformation parameter) के माध्यम से जो विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय सीमाओं को जोड़ता है) के समान एक एकीकृत ढांचा अनुपस्थित था।

उद्देश्य: कार्लिट्ज मॉड्यूल के माध्यम से $u$ -मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ और परिमित मल्टीपल हार्मोनिक $u$ -श्रंखलाओं को पेश करना, जो $q$ -अनुरूपों के फलन क्षेत्र समकक्ष के रूप में कार्य करते हैं, और उनके गुणों, सीमाओं और बीजगणितीय संबंधों की जांच करना।

2. कार्यप्रणाली और परिभाषाएँ

लेखक इस सिद्धांत का निर्माण कार्लिट्ज मॉड्यूल $C$ का उपयोग करके करते हैं, जो $\mathbb{F}_r(\theta)$ के बीजगणितीय समापन के पूर्ण (completion) के एडिटिव ग्रुप पर कार्य करता है, जिसे $C_\infty$ द्वारा दर्शाया गया है।

मुख्य परिभाषाएँ:

$u$ -ब्रैकेट ( $u$ -Bracket): एक औपचारिक चर (formal variable) $u$ और एक बहुपद $a \in A$ के लिए, $u$ -ब्रैकेट को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$[a]_u := \frac{C_a(u)}{u} \in C_\infty[[u]]$
जहाँ $C_a(u)$ कार्लिट्ज क्रिया (Carlitz action) है। जैसे-जैसे $u \to 0$ , $[a]_u \to a$ , जिससे शास्त्रीय बहुपद अनुरूप प्राप्त होता है।
परिमित मल्टीपल हार्मोनिक $u$ -श्रंखला ( $H_{<d}(s; u)$ ): इसे डिग्री प्रतिबंधों के साथ मोनिक बहुपदों (monic polynomials) के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो मानक बहुपद हर (denominator) $a^s$ के स्थान पर $u$ -ब्रैकेट $[a]_u^s$ का उपयोग करता है:
$H_{<d}(s; u) = \sum_{d > \deg a_1 > \dots > \deg a_m \ge 0} \frac{1}{[a_1]_u^{s_1} \cdots [a_m]_u^{s_m}}$
$u$ -मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ ( $\zeta_u(s)$ ): इसे डिग्री सीमा $d \to \infty$ के रूप में परिमित श्रंखला के सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\zeta_u(s) = \lim_{d \to \infty} H_{<d}(s; u)$
इन्हें $u$ के औपचारिक पावर सीरीज़ या ड्रिफेल्ड अपर-हाफ प्लेन (Drinfeld upper-half plane) पर रिजिड एनालिटिक फंक्शन के रूप में देखा जाता है।

विश्लेषणात्मक उपकरण:

कार्लिट्ज टोरशन पॉइंट्स (Carlitz Torsion Points): लेखक इन श्रंखलाओं का मूल्यांकन $\lambda_n = \exp_C(\tilde{\pi}/n)$ पर करते हैं, जहाँ $\tilde{\pi}$ कार्लिट्ज अवधि (period) है। ये बिंदु शास्त्रीय सिद्धांत में रूट्स ऑफ यूनिटी की भूमिका निभाते हैं।
$r$ -शफल संबंध ( $r$ -Shuffle Relations): पेपर में प्रतीकों $x_k$ द्वारा जनित फ्री मोनोइड पर $r$ -शफल उत्पाद ( $*$ ) की एक आगमनात्मक (inductive) परिभाषा का उपयोग किया गया है, जिसे धनात्मक विशेषता (positive characteristic) के अनुकूल बनाया गया है (इसमें बाइनोमियल गुणांकों से प्राप्त $\Delta_{i,j}$ शामिल हैं)।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

A. शास्त्रीय सीमाओं से जुड़ाव (प्रमेय 1.6 और 1.7)

पेपर सिद्ध करता है कि $u$ -श्रंखलाएं ठाकुर के MZVs और फलन क्षेत्र पर परिमित MZVs के बीच एक सेतु (bridge) के रूप में कार्य करती हैं, जो शास्त्रीय $q$ -अनुरूप परिणामों की नकल करती हैं:

विश्लेषणात्मक सीमा (Analytic Limit): जैसे-जैसे टोरशन पॉइंट $n$ की डिग्री $\infty$ की ओर बढ़ती है, टोरशन पॉइंट $\lambda_n$ पर परिमित $u$ -श्रंखला का मूल्यांकन ठाकुर के मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू $\zeta_A(s)$ के बराबर होता है।
$\lim_{\deg n \to \infty} H_{<\deg n}(s; \lambda_n) = \zeta_A(s)$
बीजगणितीय सीमा (Algebraic Limit): टोरशन पॉइंट $\lambda_v$ (एक अपरिवर्तनीय बहुपद $v$ के लिए) के सापेक्ष रिडक्शन (reduction) लेने पर फलन क्षेत्र पर परिमित मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू $\zeta_{A_K}(s)$ प्राप्त होता है।
$\zeta_{A_K}(s) = \left( H_{<\deg v}(s; \lambda_v) \pmod{\lambda_v} \right)_v$

B. यूलर-कार्लिट्ज प्रकार के सूत्र (Euler–Carlitz Type Formulas)

लेखक कार्लिट्ज टोरशन पॉइंट्स पर परिमित $u$ -श्रंखला के लिए एक यूलर-कार्लिट्ज सूत्र व्युत्पन्न करते हैं। $r$ -इवन पूर्णांकों $s$ (जहाँ $(r-1) \mid s$ ) के लिए:
$\frac{H_{<\deg n}(s; \lambda_n)}{(n\lambda_n)^s} = \frac{dBC_s(n)}{\Gamma_{s+1}}$
जहाँ $dBC_s(n)$ डीजेनरेट बर्नौली-कार्लिट्ज संख्याएँ (degenerate Bernoulli–Carlitz numbers) हैं। सीमा लेने पर यह शास्त्रीय यूलर-कार्लिट्ज सूत्र $\zeta_A(s)$ को पुनः प्राप्त करता है और $r$ -इवन पूर्णांकों पर परिमित MZVs के शून्य होने को सिद्ध करता है।

C. औपचारिक पावर सीरीज़ विस्तार (प्रमेय 1.8)

पेपर $\zeta_u(s)$ का $u$ के रूप में एक स्पष्ट विस्तार प्रदान करता है:
$\zeta_u(s) = \sum_{N=0}^\infty \gamma_N(s) u^{N(r-1)}$
महत्वपूर्ण रूप से, यह दिखाया गया है कि गुणांक $\gamma_N(s)$ ठाकुर के मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ (गैर-धनात्मक सूचकांकों सहित) के $K$ -रैखिक संयोजन हैं। यह विरूपण पैरामीटर और अंतर्निहित अंकगणितीय मानों के बीच एक सीधा संबंध स्थापित करता है।

D. हासे-श्मिट डेरिवेशंस और नए संबंध (प्रमेय 1.9)

औपचारिक विस्तार के गुणांकों का विश्लेषण करके, लेखक सूचकांकों के बीजगणित पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के एक परिवार $(D_N)_{N \ge 0}$ को परिभाषित करते हैं।

परिणाम: ये ऑपरेटर ठाकुर के MZVs के रियलाइजेशन मैप (realization map) पर एक हासे-श्मिट डेरिवेशन (Hasse–Schmidt derivation) बनाते हैं।
महत्व: यह ठाकुर के MZVs (धनात्मक और गैर-धनात्मक दोनों सूचकांकों पर) के बीच स्पष्ट बीजगणितीय संबंध उत्पन्न करने के लिए एक व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।
- उदाहरण: पेपर MZVs के उत्पादों को शिफ्ट किए गए सूचकांकों (जैसे, $s_i - (r-1)$ ) वाले योगों से जोड़ने वाले विशिष्ट पहचानों (identities) को व्युत्पन्न करता है, जो ज्ञात शफल संबंधों को गैर-धनात्मक तर्कों (arguments) तक विस्तारित करता है।

4. महत्व और प्रभाव

सीमाओं का एकीकरण: यह कार्य सफलतापूर्वक बाचमैन-ताकेयामा-तासा (BTT) परिणामों के फलन क्षेत्र समकक्ष को स्थापित करता है, यह दिखाते हुए कि एक एकल वस्तु ( $u$ -श्रंखला) धनात्मक विशेषता में विश्लेषणात्मक (ठाकुर के MZVs) और बीजगणितीय (परिमित MZVs) दृष्टिकोणों को एकीकृत करती है।
गैर-धनात्मक सूचकांकों का विस्तार: एक प्रमुख योगदान गैर-धनात्मक सूचकांकों को व्यवस्थित रूप से संभालने की क्षमता है। व्युत्पन्न हासे-श्मिट डेरिवेशंस गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर MZVs से संबंधित संबंध उत्पन्न करने की अनुमति देते हैं, जो पहले धनात्मक सूचकांकों से संरचित तरीके से जुड़ना कठिन था।
अनुमानों के लिए साक्ष्य: परिणाम कानेको-ज़ागियर अनुमान के फलन क्षेत्र संस्करण के लिए संरचनात्मक साक्ष्य प्रदान करते है, यह सुझाव देते हुए कि फलन क्षेत्र पर परिमित MZVs द्वारा संतुष्ट बीजगणितीय संबंध, "बाइनरी रिलेशंस" ढांचे के माध्यम से ठाकुर के MZVs के साथ निकटता से जुड़े हुए हैं।
रिजिड एनालिटिक ज्योमेट्री: पेपर यह प्रदर्शित करता है कि इन $u$ -MZVs को ड्रिफेल्ड अपर-हाफ प्लेन पर रिजिड एनालिटिक फंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, जो उनके विश्लेषणात्मक गुणों (जैसे शून्य, ध्रुव और $t$ -विस्तार) के अध्ययन के लिए नए मार्ग खोलता है।

निष्कर्ष

हंग-चुन सुई का पेपर धनात्मक विशेषता में मल्टीपल ज़ेटा वैल्यूज़ के लिए एक मजबूत विरूपण सिद्धांत (deformation theory) पेश करता है। कार्लिट्ज मॉड्यूल के माध्यम से $u$ -ब्रैकेट और $u$ -श्रंखलाओं को परिभाषित करके, लेखक एक ऐसा ढांचा तैयार करते हैं जो न केवल ज्ञात परिणामों (ठाकुर के MZVs, परिमित MZVs, यूलर-कार्लिट्ज सूत्र) को सीमाओं के रूप में पुनः प्राप्त करता है, बल्कि हासे-श्मिट डेरिवेशंस के माध्यम से गैर-धनात्मक सूचकांकों वाले एक समृद्ध नए बीजगणितीय संबंधों का भी सृजन करता है। यह कार्य फलन क्षेत्र ज़ेटा मानों के अंकगणितीय ढांचे और उनके परिमित विशेषता अंकगणित के साथ संबंध की समझ को महत्वपूर्ण रूप से आगे बढ़ाता है।