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Anytime Analysis on BinVal: Adaptive Parameters Help

यह शोध पत्र BinVal फलन पर इवोल्यूशनरी और एस्टीमेशन-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन एल्गोरिदम के एनीटाइम प्रदर्शन का विश्लेषण करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि जहाँ मानक एल्गोरिदम समस्या के आकार पर लॉगरिदमिक निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, वहीं स्व-समायोजन योग्य उत्परिवर्तन दरें (self-adjusting mutation rates) निकट-इष्टतम निश्चित-लक्ष्य रन समय को सक्षम करती हैं जो स्ट्रिंग लंबाई $n$ से स्वतंत्र हैं और सभी महत्वपूर्ण बिट उपसमुच्चयों के लिए एक साथ बने रहते हैं।

मूल लेखक: Timo Kötzing, Jurek Sander

प्रकाशित 2026-04-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Timo Kötzing, Jurek Sander

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल जिग्सॉ पहेली (jigsaw puzzle) को हल करने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन इसमें एक मोड़ है: टुकड़े केवल आकार के नहीं हैं; उनके अलग-अलग "वजन" भी हैं। कुछ टुकड़े इतने भारी (महत्वपूर्ण) हैं कि यदि आप उन्हें सही कर लेते हैं, तो पूरा चित्र 90% पूर्ण दिखाई देता है, भले ही किनारों पर छोटे, हल्के टुकड़े अभी भी गायब हों।

यह वह परिदृश्य है जिसका यह शोध पत्र अन्वेषण करता है। यह देखता है कि कंप्यूटर एल्गोरिदम (विशेष रूप से "इवोल्यूशनरी एल्गोरिदम") उन समस्याओं को कैसे हल करते हैं जहाँ समाधान के कुछ हिस्से दूसरों की तुलना में बहुत अधिक महत्वपूर्ण होते हैं। शोधकर्ता इसे "बाइनरी वैल्यू" (Binary Value) समस्या कहते हैं, लेकिन आइए इसे "गोल्डन बिट्स" (Golden Bits) समस्या कहें।

यहाँ उनके निष्कर्षों का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है।

समस्या: "भारी" पहेली

$n$ लाइट स्विचों (बिट्स) की एक स्ट्रिंग की कल्पना करें।

पहला स्विच (सबसे बायां वाला) एक विशाल बल्ब को नियंत्रित करता है। यदि वह चालू है, तो कमरा रोशन है।
दूसरा स्विच एक थोड़े छोटे बल्ब को नियंत्रित करता है।
अंतिम स्विच एक बहुत छोटे LED को नियंत्रित करता है।

लक्ष्य सभी स्विचों को चालू करना है। लेकिन वास्तविक दुनिया में, आपको अक्सर सभी की आवश्यकता नहीं होती है। आपको बस पहले कुछ "गोल्डन बिट्स" को चालू करने की आवश्यकता होती है ताकि एक "पर्याप्त अच्छा" परिणाम मिल सके। इसे एनीटाइम एनालिसिस (Anytime Analysis) कहा जाता है: किसी भी समय, अभी, समाधान कितना अच्छा है?

शोधकर्ताओं ने पूछा: एक एल्गोरिदम कितनी तेज़ी से पहले $k$ महत्वपूर्ण स्विचों को खोज सकता है?

दावेदार

पेपर तीन अलग-अलग "रणनीतियों" (एल्गोरिदम) का परीक्षण करता है जो इन स्विचों को चालू करने के लिए उपयोग की जाती हैं:

1. मानक रणनीति: "एक ही आकार सबके लिए" वाला दृष्टिकोण

एल्गोरिदम: निश्चित म्यूटेशन दर (fixed mutation rate) के साथ (1+1) EA।
उपमा: एक अनाड़ी कार्यकर्ता की कल्पना करें जो स्विचों को बेतरतीब ढंग से बदलता है। उसका एक नियम है: "मैं जितने $n$ स्विचों को देखता हूँ, उनमें से ठीक 1 स्विच को बदलूँगा।"

समस्या: यदि आपके पास दस लाख स्विच ( $n=1,000,000$ ) हैं लेकिन आपको केवल पहले 10 ( $k=10$ ) की आवश्यकता है, तो यह कार्यकर्ता अभी भी दस लाख में से 1 स्विच बदल रहा है। वह अंत में स्थित छोटे, महत्वहीन स्विचों को बदलने में समय बर्बाद कर रहा है।
परिणाम: उसे उन पहले 10 स्विचों को खोजने में बहुत समय लगता है (जो $n$ के समानुपाती है)। यह एक अखरोट तोड़ने के लिए हथौड़े का उपयोग करने जैसा है, लेकिन हथौड़ा इतना बड़ा है कि उसे घुमाने में ही बहुत समय लग जाता है।

2. अनुमान लगाने की रणनीति: "स्मार्ट लर्नर" (sig-cGA)

एल्गोरिदम: एक एस्टिमेशन ऑफ डिस्ट्रीब्यूशन एल्गोरिदम (sig-cGA)।
उपमा: यह कार्यकर्ता अधिक स्मार्ट है। केवल अनुमान लगाने के बजाय, वह एक नोटबुक रखता है। वह देखता है कि कौन से स्विच सबसे अच्छे समाधानों में "On" रहने की प्रवृत्ति रखते हैं और उन्हें बदलने की अपनी संभावना को अपडेट करता है।

सुधार: वह अनाड़ी कार्यकर्ता की तुलना में तेज़ी से सीखता है। उसे हर बार पूरे दस लाख स्विचों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है; वह महत्वपूर्ण स्विचों पर ध्यान केंद्रित करता है।
परिणाम: वह बहुत तेज़ है (जो $k \times \log n$ के समानुपाती है)। हालांकि, उसके पास पहेली के कुल आकार ( $n$ ) से संबंधित कुछ "बोझ" भी रहता है। यदि पहेली बहुत बड़ी हो जाती है, तो वह थोड़ा धीमा हो जाता है।

3. अनुकूलन रणनीति: "स्व-समायोजित प्रो" (Self-Adjusting Pro)

एल्गोरिदम: स्व-समायोजित म्यूटेशन दर के साथ (1+1) EA।
उपमा: यह प्रतिभाशाली कार्यकर्ता है। उसके पास कोई निश्चित नियम नहीं है।

वह कैसे काम करता है:
- यदि वह एक स्विच को बदलने की कोशिश करता है और परिणाम खराब हो जाता है (उसने एक "अच्छे" स्विच को "ऑफ" कर दिया), तो वह सोचता है, "ओह, मैं बहुत अधिक चीजें बदल रहा हूँ! मुझे अधिक सावधान होने की आवश्यकता है।" इसलिए, वह धीमा हो जाता है और कम स्विच बदलता है।
- यदि वह एक स्विच को बदलने की कोशिश करता है और परिणाम बेहतर होता है, तो वह सोचता है, "बहुत बढ़िया! मैं सही रास्ते पर हूँ। चलिए इस गति को बनाए रखते हैं।" इसलिए, वह अगले वाले को तेज़ी से खोजने के लिए थोड़ा तेज़ हो जाता है।
जादू: वह सहज रूप से "स्वीट स्पॉट" (सही संतुलन) पा लेता है। जब वह पहले कुछ महत्वपूर्ण स्विचों को खोज रहा होता है, तो वह एक समय में बहुत कम स्विच बदलता है (उच्च सटीकता)। जैसे-जैसे वह लक्ष्य के करीब पहुँचता है, वह स्वचालित रूप से खुद को समायोजित करता है।
परिणाम: यह विजेता है। उसकी गति केवल इस बात पर निर्भर करती है कि आपको कितने स्विच चाहिए ( $k$ ), न कि पहेली के कुल आकार ( $n$ ) पर। यदि पहेली में एक अरब स्विच भी हों, और आपको केवल पहले 10 की आवश्यकता हो, तो भी वह उन्हें अविश्वसनीय रूप से तेज़ी से खोज लेता है।

बड़ी खोज

यह पेपर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि अनुकूलित पैरामीटर (Adaptive Parameters) मदद करते हैं।

पुराना तरीका: पहले $k$ बिट्स को खोजने के लिए, गति कुल आकार $n$ पर निर्भर करती है। (यदि $n$ बहुत बड़ा है तो धीमा)।
नया तरीका: एल्गोरिदम को सफलता या विफलता के आधार पर अपनी "बदलने की गति" को स्वयं समायोजित करने देने से, गति $n$ से स्वतंत्र हो जाती है। यह केवल $k$ पर निर्भर करती है।

कार की उपमा:

निश्चित दर (Fixed Rate): कार को 100 मील प्रति घंटे पर क्रूज कंट्रोल सेट करके चलाना। यदि आप एक छोटी सी जगह में पार्क करने की कोशिश कर रहे हैं (पहले कुछ बिट्स खोजना), तो आप टकरा जाएंगे क्योंकि आप पर्याप्त रूप से धीमा नहीं हो सकते। यदि आप देश भर में यात्रा कर रहे हैं, तो आप तेज़ हैं।
स्व-समायोजित (Self-Adjusting): एक ड्राइवर जो सड़क को देखता है। यदि सड़क चौड़ी है, तो वह तेज़ हो जाता है। यदि वह एक तंग मोड़ (पहले कुछ बिट्स) देखता है, तो वह पूरी तरह से नेविगेट करने के लिए तुरंत धीमा हो जाता है। वह अपने गंतव्य तक तेज़ी से पहुँचता है क्योंकि वह एक पूर्व निर्धारित योजना के बजाय तात्कालिक इलाके के अनुसार खुद को ढालता है।

यह क्यों मायने रखता है?

वास्तविक दुनिया में, हमें अक्सर पूर्ण समाधान की आवश्यकता नहीं होती; हमें बस जल्दी से एक "पर्याप्त अच्छा" समाधान चाहिए होता है।

उदाहरण: मेडिकल डायग्नोसिस AI में, आपको हर लक्षण पर 100% निश्चितता की आवश्यकता नहीं हो सकती है। आपको जीवन बचाने के लिए शीर्ष 3 महत्वपूर्ण लक्षणों की पहचान करने की आवश्यकता है।
मुख्य बात: ऐसे एल्गोरिदम जो अपने व्यवहार को "स्व-समायोजित" कर सकते हैं, वे इन "पर्याप्त अच्छे" परिदृश्यों में बहुत बेहतर होते हैं। वे विवरणों पर तब तक समय बर्बाद नहीं करते जब तक कि उन्हें वास्तव में इसकी आवश्यकता न हो।

सारांश

यह पेपर दिखाता है कि यदि आप चाहते हैं कि कोई एल्गोरिदम किसी समाधान के सबसे महत्वपूर्ण हिस्सों को तेज़ी से खोजे, तो उसे एक निश्चित नियम न दें। उसे अपनी गलतियों और सफलताओं से मौके पर ही सीखने दें। ऐसा करने से, यह अविश्वसनीय रूप से कुशल हो जाता है, समस्या के विशाल आकार को अनदेखा करता है और पूरी तरह से तात्कालिक लक्ष्य पर ध्यान केंद्रित करता है।

यहाँ टिमो कोत्ज़िंग और जुरेक सैंडर के शोध पत्र "Anytime Analysis on BinVal: Adaptive Parameters Help" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या की परिभाषा और प्रेरणा

यह शोध पत्र रैंडमाइज्ड सर्च ह्यूरिस्टिक्स (RSH) के एनीटाइम परफॉरमेंस (anytime performance) को संबोधित करता है, जो विशेष रूप से फिक्स्ड-टारगेट रन टाइम एनालिसिस (fixed-target run time analysis) पर केंद्रित है। पारंपरिक विश्लेषणों के विपरीत, जो वैश्विक इष्टतम (global optimum) खोजने के अपेक्षित समय (fixed-time) को मापते हैं, एनीटाइम विश्लेषण यह मूल्यांकन करता है कि एक एल्गोरिदम अपने निष्पादन के दौरान एक विशिष्ट गुणवत्ता थ्रेशोल्ड (target) तक कितनी तेज़ी से पहुँचता है।

संदर्भ: कई व्यावहारिक परिदृश्यों में, अनुकूलन प्रक्रिया (optimization process) के शुरुआती चरणों में सबसे महत्वपूर्ण प्रगति होती है, और सटीक वैश्विक इष्टतम खोजना या तो अव्यवहार्य है या अनावश्यक है।
चुनौती: लेखक बाइनरी वैल्यू (BinVal) फंक्शन पर एल्गोरिदम का विश्लेषण करते हैं। BinVal बिट्स को इस प्रकार भार (weights) देता है कि सबसे महत्वपूर्ण बिट (MSB) का भार सभी कम महत्वपूर्ण बिट्स के योग से अधिक होता है ( $BinVal(x) = \sum 2^{n-i}x_i$ )।
लक्ष्य: उद्देश्य पहले $k$ सबसे महत्वपूर्ण बिट्स (जहाँ $k \in o(n)$ ) को एक साथ सभी $k$ के लिए अनुकूलित करने के लिए आवश्यक फिटनेस मूल्यांकनों (fitness evaluations) की संख्या को सीमित करना है। महत्वपूर्ण बात यह है कि एल्गोरिदम को $k$ का पूर्व ज्ञान नहीं होता है; प्रदर्शन किसी भी मनमाने लक्ष्य $k$ के लिए मान्य होना चाहिए।
अंतराल (Gap): मानक एल्गोरिदम जैसे कि $1/n$ के फिक्स्ड म्यूटेशन रेट के साथ $(1+1)$ इवोल्यूशनरी एल्गोरिदम (EA) का रन टाइम $\Theta(n \log k)$ होता है। छोटे लक्ष्यों $k$ के लिए यह $n$ पर रैखिक निर्भरता अक्षम है, क्योंकि एल्गोरिदम अप्रासंगिक लोअर-ऑर्डर बिट्स को अनुकूलित करने में या वर्तमान ब्लॉक के बिट्स के लिए उप-इष्टतम म्यूटेशन रेट का उपयोग करने में समय बर्बाद करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक टाइट अपर और लोअर बाउंड्स प्राप्त करने के लिए ड्रिफ्ट एनालिसिस (drift analysis) (मल्टीप्लिकेटिव और एडिटिव दोनों) का उपयोग करते हैं। वे तीन अलग-अलग एल्गोरिदम वेरिएंट का विश्लेषण करते हैं:

स्टैंडर्ड $(1+1)$ EA: एक फिक्स्ड म्यूटेशन रेट $\chi = 1/n$ का उपयोग करता है।
sig-cGA (Significance-based Compact Genetic Algorithm): एक एस्टीमेशन-ऑफ-डिस्ट्रीब्यूशन एल्गोरिदम (EDA) जो फ्रीक्वेंसी वेक्टर्स बनाए रखता है और विजेताओं के इतिहास में महत्वपूर्ण सांख्यिकीय विचलन के आधार पर उन्हें अपडेट करता है।
एडैप्टिव म्यूटेशन रेट वेरिएंट्स:
- आइडियलाइज्ड एडजस्टिंग MR (Idealized Adjusting MR): एक ओरेकल-आधारित एल्गोरिदम जिसे वर्तमान अनुकूलित लीडिंग बिट्स की संख्या का पता होता है और वह वर्तमान बिट ब्लॉक के लिए सैद्धांतिक रूप से इष्टतम मान ( $1/2^r$ ) निर्धारित करता है।
- सेल्फ-एडजस्टिंग MR (Self-Adjusting MR): एक यथार्थवादी वेरिएंट जो $k$ या वर्तमान स्थिति के पूर्व ज्ञान के बिना, जनरेट किए गए ऑफस्प्रिंग (offspring) के स्वीकृत या अस्वीकृत होने के आधार पर म्यूटेशन रेट को मल्टीप्लिकेटिवली ( $a$ या $b$ ) अपडेट करता है।

प्रमुख तकनीकी नवाचार:

कंबाइंड पोटेंशियल फंक्शन्स (Combined Potential Functions): सेल्फ-एडजस्टिंग EA के लिए, लेखक एक नवीन पोटेंशियल फंक्शन $\mathcal{h}(x, \chi)$ डिजाइन करते हैं जो बिट स्ट्रिंग के अनुकूलन प्रोग्रेस (अनऑप्टिमाइज्ड बिट्स के भारित योग का उपयोग करके) और वर्तमान म्यूटेशन रेट $\chi$ की इष्टतम दर से दूरी को जोड़ता है। यह समाधान की गुणवत्ता और पैरामीटर अनुकूलन दोनों का एक साथ विश्लेषण करने की अनुमति देता है।
फेज-आधारित विश्लेषण (Phase-Based Analysis): अनुकूलन प्रक्रिया को उन चरणों (phases) में विभाजित किया गया है जहाँ अनुकूलित लीडिंग बिट्स की संख्या दोगुनी हो जाती है। यह BinVal के लिए इष्टतम म्यूटेशन रेट रणनीति के अनुरूप है।
BinVal की विशिष्टताओं को संभालना: OneMax या LeadingOnes के विपरीत, BinVal में "रिग्रेशंस" (regressions) की अनुमति है जहाँ एक म्यूटेंट को तब भी स्वीकार किया जा सकता है जब कुल 1s की संख्या कम हो जाती है (एक अधिक महत्वपूर्ण बिट के बदलने के कारण)। लेखक ऐसे पोटेंशियल फंक्शन्स डिजाइन करते हैं जो इन एक्सपोनेंशियल वेट्स को ध्यान में रखते हैं ताकि ड्रिफ्ट कंडीशंस बनी रहें।

3. मुख्य योगदान और परिणाम

यह शोध पत्र पहले $k$ बिट्स को अनुकूलित करने के लिए बाउंड्स की एक व्यापक तालिका प्रदान करता है:

A. स्टैंडर्ड $(1+1)$ EA (फिक्स्ड रेट)

परिणाम: $\Theta(n \log k)$ ।
विश्लेषण: लेखक यह पुष्टि करने के लिए टाइट प्रूफ प्रदान करते हैं कि फिक्स्ड रेट $1/n$ उप-इष्टतम है। $n$ पर निर्भरता अपरिहार्य है क्योंकि म्यूटेशन रेट $k \ll n$ वाले विशिष्ट ब्लॉक को कुशलतापूर्वक बदलने के लिए बहुत छोटा है।

B. sig-cGA (EDA)

परिणाम: $\Theta(k \log n)$ ।
विश्लेषण: sig-cGA $n$ पर निर्भरता को रैखिक से लॉगरिदमिक में बदलकर स्टैंडर्ड EA से बेहतर प्रदर्शन करता है। हालांकि, इसमें अभी भी $n$ पर निर्भरता बनी रहती है क्योंकि इसके सिग्निफिकेंस थ्रेशोल्ड और फ्रीक्वेंसी अपडेट मैकेनिज्म समस्या के आकार के साथ स्केल करते हैं।

C. एडजस्टिंग म्यूटेशन रेट के साथ आइडियलाइज्ड $(1+1)$ EA

परिणाम: $\Theta(k \log k)$ ।
विश्लेषण: म्यूटेशन रेट को $1/2^r$ (जहाँ $2^r$ वर्तमान ब्लॉक साइज है) पर सेट करने के लिए एक ओरेकल का उपयोग करके, यह एल्गोरिदम ज्ञात लक्ष्य $k$ के लिए इष्टतम रन टाइम प्राप्त करता है। यह उस चीज़ के लिए एक सैद्धांतिक निचला स्तर (lower bound) है जो $k$ को जाने बिना प्राप्त किया जा सकता है।

D. सेल्फ-एडजस्टिंग म्यूटेशन रेट के साथ $(1+1)$ EA (मुख्य योगदान)

परिणाम: किसी भी $\varepsilon > 0$ के लिए $O(k^{1+\varepsilon})$ ।
महत्व: यह इस पेपर का सबसे महत्वपूर्ण सैद्धांतिक ब्रेकथ्रू है। सेल्फ-एडजस्टिंग एल्गोरिदम का रन टाइम $n$ पर स्वतंत्र है और लगभग $\Theta(k \log k)$ बाउंड के बराबर है।
मैकेनिज्म: यह एल्गोरिदम अपने म्यूटेशन रेट को स्वचालित रूप से ट्यून करता है। यदि दर बहुत अधिक है, तो यह रिजेक्शन (पहले से अनुकूलित बिट्स को बदलना) का कारण बनती है, जिससे दर कम हो जाती है। यदि दर बहुत कम है, तो यह प्रगति करने में विफल रहती है, जिससे दर बढ़ जाती है।
सैद्धांतिक बाउंड: अपेक्षित रन टाइम $O(k^{1+1/\log(1/\gamma)})$ द्वारा सीमित है, जहाँ $\gamma$ फेज ट्रांजिशन से संबंधित एक स्थिरांक है। $\gamma$ को 1 के करीब चुनने के लिए पैरामीटर्स को सेट करके, एक्सपोनेंट 1 के करीब पहुँच जाता है, जिससे $O(k^{1+\varepsilon})$ प्राप्त होता है।

4. प्रयोगात्मक सत्यापन (Experimental Validation)

लेखकों ने सैद्धांतिक निष्कर्षों को सत्यापित करने के लिए $n=2048$ पर प्रयोग किए:

तुलना: उन्होंने स्टैंडर्ड EA, आइडियलाइज्ड एडजस्टिंग EA और सेल्फ-एडजस्टिंग EA की तुलना की।
निष्कर्ष:
- छोटे $k$ (विशेष रूप से $k \in o(n)$ ) के लिए, दोनों एडैप्टिव वेरिएंट्स ने स्टैंडर्ड EA की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन किया, जो $n$ पर निर्भरता में कमी की पुष्टि करता है।
- सेल्फ-एडजस्टिंग वेरिएंट ने आइडियलाइज्ड ओरेकल-आधारित संस्करण के लगभग समान प्रदर्शन किया, जो दर्शाता है कि सेल्फ-एडजस्टिंग मैकेनिज्म प्रभावी रूप से इष्टतम म्यूटेशन रेट पर अभिसरण (converge) करता है।
- बहुत बड़े $k$ (जो $n$ के करीब है) के लिए, स्टैंडर्ड EA फिर से प्रतिस्पर्धी हो गया, क्योंकि पूर्ण स्ट्रिंग लेंथ के लिए फिक्स्ड रेट $1/n$ इष्टतम है।

5. महत्व और निष्कर्ष

सैद्धांतिक प्रगति: यह शोध पत्र फिक्स्ड-टारगेट एनालिसिस और पैरामीटर कंट्रोल के बीच के अंतर को पाटता है। यह सिद्ध करता है कि एडैप्टिव पैरामीटर्स आंशिक अनुकूलन कार्यों के लिए समस्या के आयाम $n$ पर निर्भरता को समाप्त कर सकते हैं, जो BinVal के लिए पहले अज्ञात था।
व्यावहारिक प्रासंगिकता: परिणाम सुझाव देते हैं कि जिन समस्याओं में शुरुआती प्रगति महत्वपूर्ण है (एनीटाइम परिदृश्य), वहां फिक्स्ड रेट के बजाय सेल्फ-एडजस्टिंग म्यूटेशन रेट का उपयोग करना बेहतर है। यह एल्गोरिदम को अज्ञात लक्ष्य गुणवत्ता के प्रति मजबूत बनाता है।
भावी कार्य: लेखक इन परिणामों को सामान्य लीनियर फंक्शन्स तक विस्तारित करने और व्यापक समस्या वर्गों पर विभिन्न ह्यूरिस्टिक्स के एनीटाइम प्रदर्शन की तुलना करने को ओपन चैलेंज के रूप में पहचानते हैं।

संक्षेप में, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि एडैप्टिव पैरामीटर कंट्रोल केवल एक ह्यूरिस्टिक सुधार नहीं है, बल्कि BinVal जैसी एक्सपोनेंशियलली वेटेड फिटनेस लैंडस्केप वाली समस्याओं के लिए इष्टतम एनीटाइम परफॉरमेंस प्राप्त करने हेतु एक सैद्धांतिक आवश्यकता है।