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Oblivious Subspace Injection Is Not Enough for Relative Error

यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि ओब्लिवियस सबस्पेस इंजेक्शन (OSI), हालांकि रैंडमाइज्ड लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन और लीस्ट-स्क्वायर्स रिग्रेशन में कॉन्स्टेंट-फैक्टर गारंटियों के लिए पर्याप्त है, लेकिन अनुकूलतम अवशेष (ऑप्टिमल रेसिड्यूल) या टेल कंपोनेंट पर अतिरिक्त नियंत्रण के बिना रिलेटिव एरर बाउंड्स सुनिश्चित करने के लिए सैद्धांतिक रूप से अपर्याप्त है।

मूल लेखक: Alex Townsend, Chris Wang

प्रकाशित 2026-04-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alex Townsend, Chris Wang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक शेफ हैं जो एक बड़े बर्तन में सूप का स्वाद चखने की कोशिश कर रहे हैं (एक विशाल डेटासेट) ताकि यह देख सकें कि इसमें नमक और डालने की ज़रूरत है या नहीं। बर्तन इतना बड़ा है कि पूरे सूप को चखने में बहुत समय लगेगा। इसलिए, आप एक छोटा चम्मच सूप (एक "स्केच") लेने का फैसला करते हैं (ताकि) आपको स्वाद का एक त्वरित अंदाज़ा मिल सके।

गणित और कंप्यूटर की दुनिया में, इसे रैंडमाइज्ड स्केचिंग (Randomized Sketching) कहा जाता है। आप चाहते हैं कि वह एक चम्मच पूरे बर्तन का एक आदर्श प्रतिनिधि हो।

पुराना नियम: "परफेक्ट मिरर" (OSE)

लंबे समय तक, गणितज्ञों का मानना था कि आपके चम्मच के विश्वसनीय होने के लिए, चम्मच खुद एक परफेक्ट मिरर (पूर्ण दर्पण) होना चाहिए। इसे ऑब्लिवियस सबस्पेस एम्बेडिंग (Oblivious Subspace Embedding - OSE) कहा जाता है।

इसका अर्थ है: सूप जिस भी दिशा में बहे, चम्मच स्वाद के आकार और रूप को पूरी तरह से सुरक्षित रखता है। यदि सूप नमकीन है, तो चम्मच का स्वाद भी नमकीन होगा। यदि यह फीका है, तो चम्मच भी फीका होगा।
चुनौती: एक "परफेक्ट मिरर" चम्मच बनाना बहुत कठिन और धीमा काम है, खासकर यदि सूप की संरचना अजीब या जटिल हो।

नया विचार: "वन-वे गेट" (OSI)

हाल ही में, शोधकर्ताओं ने एक शॉर्टकट खोजा। उन्होंने महसूस किया कि आपको एक परफेक्ट मिरर की आवश्यकता नहीं है। आपको बस एक वन-वे गेट (एकतरफा द्वार) (जिसे ऑब्लिवियस सबस्पेस इंजेक्शन (Oblivious Subspace Injection - OSI) कहा जाता है) की आवश्यकता है।

इसका अर्थ है: चम्मच यह गारंटी देता है कि स्वाद गायब नहीं होगा। यदि सूप नमकीन है, तो चम्मच का स्वाद निश्चित रूप से नमकीन (या अधिक) होगा। यह स्वाद को लुप्त होने से रोकता है।
वादा: इसे बनाना बहुत आसान है। यह एक दर्पण के बजाय छलनी का उपयोग करने जैसा है। यह तेज़ है, सस्ता है, और कई कार्यों के लिए बहुत अच्छा काम करता है। इस विचार के रचनाकारों ने सोचा, "हे, यदि स्वाद गायब नहीं होता है, तो हम शायद एक बहुत सटीक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, है ना?"

बड़ी खोज: "पर्याप्त अच्छा" का मतलब "परफेक्ट" नहीं है

एलेक्स टाउनसेंड और क्रिस्टोफर वांग द्वारा लिखित यह पेपर एक प्रसिद्ध गणित कार्यशाला में पूछे गए प्रश्न का उत्तर देता है: "क्या यह 'वन-वे गेट' (OSI) एक पूरी तरह सटीक परिणाम की गारंटी देता है, या केवल एक 'पर्याप्त अच्छा' परिणाम देता है?"

उनका उत्तर स्पष्ट है: यह "पर्याप्त अच्छा" की गारंटी देता है, लेकिन "परफेक्ट" की नहीं।

उच्च-परिशुद्धता (high-precision) वाले कार्यों के लिए यह क्यों विफल होता है, इसका विवरण यहाँ दिया गया है:

1. "छिपे हुए अवशेष" की समस्या (Least Squares)

कल्प_ना कीजिए कि आप एक तराजू को संतुलित करने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक भारी वजन (डेटा) है और आप इसे संतुलित करने के लिए सटीक काउंटरवेट (प्रति-भार) खोजना चाहते हैं।

OSI चम्मच: यह गारंटी देता है कि तराजू पर रखा भारी वजन अचानक पंख जैसा हल्का नहीं हो जाएगा। यह वजन के अस्तित्व को सुरक्षित रखता है।
दोष: OSI चम्मच इस बात की परवाह नहीं करता कि वजन के आस-पास का खाली स्थान विकृत हो जाता है या नहीं।
- कल्पना कीजिए कि तराजू थोड़ा झुका हुआ है। OSI चम्मच कहता है, "चिंता मत करो, वजन अभी भी वहीं है!" लेकिन यह ध्यान नहीं देता कि वह झुकाव (त्रुटि) 100 गुना बढ़ गया है।
- परिणाम: आपको एक ऐसा समाधान मिलता है जो "ठीक" है (एक स्थिर कारक के भीतर), लेकिन यदि आपको रिलेटिव एरर (सापेक्ष त्रुटि) की आवश्यकता है (अर्थात "मुझे उत्तर सत्य के 1% के भीतर चाहिए"), तो OSI चम्मच आपको ऐसा उत्तर दे सकता है जो 50% गलत हो। यह समस्या के "पूंछ" (tail) या "बचे हुए हिस्से" को नियंत्रित करने में विफल रहता है।

2. "छूटा हुआ नोट" की समस्या (Randomized SVD)

कल्पना कीजिए कि आप एक सिम्फनी ऑर्केस्ट्रा में मुख्य धुन (डेटा में सबसे महत्वपूर्ण पैटर्न) को पहचानने की कोशिश कर रहे हैं।

OSI चम्मच: यह गारंटी देता है कि यदि ऑर्केस्ट्रा एक तेज़ स्वर बजाता है, तो आपका चम्मच उसे सुन लेगा।

दोष: चम्मच अनजाने में उन धीमी, ऊँची आवाज़ों (notes) को अनदेखा कर सकता है जो वास्तव में धुन और शोर (noise) के बीच का अंतर होती हैं।
- गणितीय शब्दों में, OSI गुण डेटा के "मुख्य" भाग को नियंत्रित करता है लेकिन "पूंछ" (धीमे, पीछे के नोट्स) को बुरी तरह से विकृत होने देता है।
- परिणाम: आप मुख्य धुन की पहचान तो कर सकते हैं, लेकिन आपके पुनर्निर्माण (reconstruction) में गाना सुनने में बहुत खराब लगेगा क्योंकि बैकग्राउंड शोर बढ़ गया है। आपको एक "कॉन्स्टेंट फैक्टर" (स्थिर कारक) अनुमान मिलता है (यह संगीत जैसा लगता है), लेकिन नहीं "रिलेटिव एरर" अनुमान (यह इस विशिष्ट गाने जैसा नहीं लगता)।

समाधान: एक अतिरिक्त नियम जोड़ना

यह पेपर यह नहीं कहता कि OSI बेकार है। वास्तव में, लेखक दिखाते हैं कि वास्तविक जीवन में, OSI अक्सर अद्भुत रूप से काम करता है (पेपर के ग्राफ देखें)। बस, सैद्धांतिक रूप से, यह पूर्णता का वादा करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है।

हालाँकि, उन्हें एक समाधान मिला। यदि आप OSI चम्मच में बस एक छोटा सा अतिरिक्त नियम जोड़ देते हैं:

"सुनिश्चित करें कि चम्मच अवशेष (residue) के आकार को भी सुरक्षित रखे (वह हिस्सा जो मुख्य कटोरे में नहीं समा सका)।"

यदि आप यह एक नियम जोड़ते हैं, तो "वन-वे गेट" अचानक इतना शक्तिशाली हो जाता है कि वह आपको वह परफेक्ट, उच्च-परिशुद्धता परिणाम दे सके जिसे आप चाहते थे।

आम आदमी के लिए सारांश

लक्ष्य: एक छोटा नमूना लेकर बड़ी गणितीय समस्याओं को तेज़ी से हल करना।
पुराना तरीका: एक ऐसा नमूना लें जो पूरे का एक परफेक्ट मिरर (पूर्ण दर्पण) हो। (कठिन है)।
नया तरीका (OSI): एक ऐसा नमूना लें जो गारंटी दे कि कुछ भी गायब नहीं होगा। (आसान है, आमतौर पर अच्छा काम करता है)।
पेपर का निर्णय: "आसान तरीका" (OSI) एक मोटा-मोटा उत्तर पाने के लिए बहुत अच्छा है, लेकिन यह अपने आप में सटीक उत्तर की गारंटी नहीं दे सकता। यह एक ऐसे मानचित्र की तरह है जो सामान्य दिशा तो दिखाता है लेकिन कुछ मील इधर-उधर हो सकता है।
समाधान: यदि आप मानचित्र को "बचे हुए विवरणों" को भी दिखाने के लिए थोड़ा बदल देते हैं, तो यह किसी भी चीज़ के लिए सटीक बन जाता है।

संक्षेप में: ऑब्लिवियस सबस्पेस इंजेक्शन एक शानदार, तेज़ उपकरण है, लेकिन यदि आपको गारंटी चाहिए कि आपका उत्तर बिल्कुल सही है (एक बहुत ही सूक्ष्म मार्जिन के भीतर), तो आपको प्रक्रिया में थोड़ा और नियंत्रण जोड़ने की आवश्यकता है।

यहाँ एलेक्स टाउनसेंड और क्रिस्टोफर वांग के शोध पत्र "Oblivious Subspace Injection Is Not Enough for Relative Error" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र रैंडमाइज्ड न्यूमेरिकल लीनियर अल्जेब्रा (RandNLA) में Oblivious Subspace Injection (OSI) की शक्ति की तुलना शास्त्रीय Oblivious Subspace Embedding (OSE) से करते हुए एक मौलिक प्रश्न का समाधान करता है।

संदर्भ (Context): रैंडमाइज्ड स्केचिंग, लीस्ट-स्क्वायर्स रिग्रेशन और लो-रैंक एप्रोक्सिमेशन (SVD) जैसी समस्याओं को हल करने के लिए एक रैंडम मैट्रिक्स $\Omega$ का उपयोग करके उच्च-आयामी डेटा ( $A \in \mathbb{R}^{n \times d}$ ) को संकुचित (compress) करती है।
अंतराल (The Gap): OSE यह गारंटी देता है कि स्केच एक सबस्पेस के सभी वेक्टर्स (निचले और ऊपरी दोनों स्तरों) की ज्यामिति को संरक्षित करता है, जिससे रिलेटिव एरर (relative error) गारंटी (जैसे, त्रुटि $\leq (1+\epsilon) \times$ इष्टतम) प्राप्त होती है। हाल ही में, कामानो एट अल. (2025) ने OSI पेश किया, जो एक कमजोर गुण है जिसमें केवल लोअर बाउंड्स (इंजेक्टिविटी) और आइसोट्रॉपी (अपेक्षित नॉर्म संरक्षण) की आवश्यकता होती है, जो कॉन्स्टेंट-फैक्टर (constant-factor) गारंटी के लिए पर्याप्त है।
खुला प्रश्न (The Open Question): क्या केवल OSI, OSE-शैली की रिलेटिव एरर बाउंड्स प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है (जहाँ पैरामीटर्स में सुधार होने पर एप्रोक्सिमेशन फैक्टर 1 के करीब पहुँच जाता है), या यह सख्ती से कॉन्स्टेंट-फैक्टर गारंटी तक ही सीमित है? लेखक यह जांचते हैं कि क्या ऊपरी बाउंड (upper bound) की कमी, जिसे OSI में स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, OSI पैरामीटर्स द्वारा नियंत्रित विफलता संभावनाओं (failure probabilities) के साथ रिलेटिव एरर प्राप्त करने में बाधा डालती है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक सैद्धांतिक विश्लेषण, काउंटर-एग्जांपल निर्माण और संभावabilistic बाउंडिंग के संयोजन का उपयोग करते हैं:

सैद्धांतिक तुलना (Section 2): वे OSI और OSE के बीच संबंध का विश्लेषण करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि हालांकि OSI, एक कमजोर रूप से OSE को इंगित करता है, लेकिन आइसोट्रॉपी से प्राप्त ऊपरी विरूपण (upper distortion) पैरामीटर $\beta$ रिलेटिव एरर देने के लिए बहुत मोटा (coarse) है। वे दिखाते हैं कि ज़ीरो-फेलियर रिजीम में, ऊपरी विरूपण सबस्पेस आयाम $s$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, जिससे केवल OSI से निकट-आइसोमेट्री (near-isometry) प्राप्त करना असंभव हो जाता है।
काउंटर-एग्जांपल निर्माण (Sections 3 & 4):
- लीस्ट स्क्वायर्स (Least Squares): वे विशिष्ट मैट्रिसेस $A$ और वेक्टर्स $b$ का निर्माण करते हैं जहाँ स्केच $A$ की रेंज को सुरक्षित रखता है (जो OSI की शर्त पूरी करता है), लेकिन रेसिडुअल दिशा ( $b - Ax^*$ ) को विनाशकारी रूप से विकृत कर देता है। इससे इंजेक्टिविटी पैरामीटर के पूर्ण होने पर भी एक कॉन्स्टेंट-फैक्टर त्रुटि उत्पन्न होती है।
- रैंडमाइज्ड SVD (Randomized SVD): वे डायगोनल मैट्रिसेस का निर्माण करते हैं जहाँ स्केच डोमिनेंट सिंगुलर स्पेस को तो सुरक्षित रखता है, लेकिन टेल सिंगुलर वेक्टर्स के साथ मिसलाइनमेंट (misalignment) पैदा करता है, जिससे एप्रोक्सिमेशन एरर इष्टतम (optimum) से एक निश्चित स्थिरांक (constant factor) द्वारा अलग हो जाता है।
ऑगमेंटेड सबस्पेस के माध्यम से सकारात्मक परिणाम (Positive Results via Augmented Subspaces): वे प्रदर्शित करते हैं कि यदि इंजेक्टिविटी की स्थिति को ऑगमेंटेड सबस्पेस (जैसे, रिग्रेशन के लिए $\text{span}(\text{range}(A), b)$ या SVD के लिए $\text{span}(\text{dominant space}, \text{tail vector})$ ) पर लागू किया जाए, तो रिलेटिव एरर बाउंड्स को पुनः प्राप्त किया जा सकता है।
$\ell_p$ विस्तार (Section 5): वे $\ell_p$ रिग्रेशन के लिए अवधारणा का सामान्यीकरण करते हैं, एक $\text{OSI}_p$ गुण को परिभाषित करते हैं (जो अपेक्षा में $p$ -नॉर्म को सुरक्षित रखता है और उच्च संभावना के साथ उन्हें निचला बाउंड प्रदान करता है), और सिद्ध करते हैं कि यह कॉन्स्टेंट-फैक्टर गारंटी प्रदान करता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

A. नकारात्मक परिणाम: OSI रिलेटिव एरर के लिए अपर्याप्त है

शोध पत्र सिद्ध करता है कि मानक स्केच-एंड-सॉल्व एल्गोरिदम के लिए रिलेटिव एरर की गारंटी देने के लिए OSI सैद्धांतिक रूप से बहुत कमजोर है:

लीस्ट स्क्वायर्स (Theorem 3.1 & 3.2): यहाँ तक कि $(1, 1, \rho)$ -OSI (1D सबस्पेस पर पूर्ण इंजेक्टिविटी) के साथ भी, स्केच-एंड-सॉल्व एस्टिमेटर में संभावना $\rho$ के साथ एक कॉन्स्टेंट-फैक्टर त्रुटि (जैसे, इष्टतम का $\sqrt{2}$ गुना) हो सकती है। ज़ीरो फेलियर प्रोबेबिलिटी ( $\rho=0$ ) के साथ भी, $\Omega(\epsilon)$ की संभावना के साथ एक कॉन्स्टेंट-फैक्टर लॉस हो सकता है।
रैंडमाइज्ड SVD (Theorem 4.1): लक्षित रैंक $r=1$ के लिए, एक $(1, 1, 1/2)$ -OSI ऐसा एप्रोक्सिमेशन उत्पन्न कर सकता है जहाँ फ्रोबेनियस एरर (Frobenius error) लगभग निश्चित रूप से (almost surely) इष्टतम एरर का $\sqrt{2}$ गुना होता है।
विफलता का तंत्र (Mechanism of Failure): विफलता इसलिए होती है क्योंकि OSI $A$ की रेंज के निचले सिंगुलर मानों को नियंत्रित करता है लेकिन इष्टतम रेसिडुअल (regression में) या डोमिनेंट और टेल सिंगुलर वेक्टर्स के बीच की अंतःक्रिया (SVD में) पर कोई नियंत्रण नहीं रखता है। आइसोट्रॉपी केवल औसत व्यवहार को नियंत्रित करती है, जिससे स्केच महत्वपूर्ण रेसिडुअल दिशा में "अतिरिक्त" ऊर्जा को केंद्रित कर सकता है।

B. सकारात्मक परिणाम: लुप्त कड़ी (The Missing Ingredient)

लेखक पहचानते हैं कि रिलेटिव एरर को पुनः प्राप्त करने के लिए वास्तव में क्या आवश्यक है:

ऑगमेंटेड इंजेक्टिविटी (Augmented Injectivity): रिलेटिव एरर तब पुनः प्राप्त होता है जब स्केच ऑगमेंटेड सबस्पेस $\text{span}(\text{range}(A), b)$ (रिग्रेशन के लिए) या $\text{span}(V_1, v_j)$ (डोमिनेंट स्पेस + व्यक्तिगत टेल वेक्टर्स) पर इंजेक्टिव हो।
Proposition 3.3 & 4.2: इन ऑगमेंटेड इंजेक्टिविटी स्थितियों के तहत, आइसोट्रॉपी के साथ मिलकर, लेखक इस प्रकार के निकट-रिलेटिव एरर बाउंड प्राप्त करते हैं:
$\text{Error} \leq \left(1 + O\left(\frac{1-\alpha}{\eta}\right)\right) \times \text{Optimal Error}$
जिसकी संभावना $1 - \delta - \eta$ है। यह दर्शाता है कि "लुप्त कड़ी" रेसिड्यूल/टेल पर ऊपरी नियंत्रण (upper control) है, जिसे आइसोट्रॉपी ऑगमेंटेड स्पेस पर निचला बाउंड सुरक्षित करने के बाद अपेक्षा (expectation) में प्रदान करती है।

C. $\ell_p$ रिग्रेशन एनालॉग

Definition 5.1: $\text{OSI}_p$ पेश किया गया, जिसके लिए $p$ -आइसोट्रॉपी ( $E[\|\Omega^T z\|_p^p] = \|z\|_p^p$ ) और लोअर-बाउंडेड इंजेक्टिविटी की आवश्यकता होती है।
Theorem 5.2 & Corollary 5.3: सिद्ध किया गया कि $\text{OSI}_p$ $\ell_p$ रिग्रेशन के लिए एक कॉन्स्टेंट-फैक्टर एप्रोक्सिमेशन की गारंटी देता है। यह OSI परिणामों के दायरे को यूक्लिडियन ( $\ell_2$ ) परिवेश से आगे बढ़ाता है।

4. परिणामों का सारांश (Results Summary)

सेटिंग (Setting)	गुण (Property)	गारंटी का प्रकार (Guarantee Type)	विफलता संभावना नियंत्रण (Failure Prob. Control)
लीस्ट स्क्वायर्स	स्टैंडर्ड OSI	कॉन्स्टेंट फैक्टर	$\rho$ द्वारा नियंत्रित
लीस्ट स्क्वायर्स	ऑगमेंटेड OSI	रिलेटिव एरर	$\rho$ और $\eta$ द्वारा नियंत्रित
रैंडमाइज्ड SVD	स्टैंडर्ड OSI	कॉन्स्टेंट फैक्टर	$\rho$ द्वारा नियंत्रित
रैंडमाइज्ड SVD	ऑगमेंटेड OSI	रिलेटिव एरर	$\rho$ और $\eta$ द्वारा नियंत्रित
$\ell_p$ रिग्रेशन	$\text{OSI}_p$	कॉन्स्टेंट फैक्टर	$\rho$ द्वारा नियंत्रित

नोट: "ऑगमेंटेड OSI" के लिए केवल $d$ के बजाय $d+1$ आयाम के सबस्पेस पर इंजेक्टिविटी की आवश्यकता होती है।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सैद्धांतिक स्पष्टीकरण: यह पेपर एक खुले प्रश्न (Problem 5.1 in [2]) को हल करता है, यह स्पष्ट रूप से दिखाते हुए कि रिलेटिव एरर गारंटी के संबंध में OSI, OSE से स्पष्ट रूप से कमजोर है। यह स्पष्ट करता है कि OSI की "एकतरफा" प्रकृति ही रिलेटिव एरर के लिए बाधा है।
व्यावहारिक बनाम सैद्धांतिक: लेखक नोट करते हैं कि व्यवहार में (Figure 1), OSI-आधारित स्केच अक्सर OSE स्केच के समान ही प्रदर्शन करते हैं। सैद्धांतिक अंतराल इसलिए है क्योंकि वर्स्ट-केस कंस्ट्रक्शन ऊपरी नियंत्रण की कमी का फायदा उठाते हैं, जो सामान्य डेटा वितरणों में दुर्लभ है। हालाँकि, कठोर वर्स्ट-केस गारंटी के लिए, OSE (या ऑगमेंटेड OSI) आवश्यक है।
एल्गोरिदम डिजाइन के लिए मार्गदर्शन: यह कार्य सुझाव देता है कि उन अनुप्रयोगों के लिए जिनमें सख्त रिलेटिव एरर बाउंड की आवश्यकता होती है, व्यक्ति को या तो:
1. मानक OSE स्केच (जैसे, Gaussian, Subsampled Randomized Hadamard) का उपयोग करना चाहिए।
2. यदि स्ट्रक्चर्ड/OSI-फ्रेंडली स्केच का उपयोग कर रहे हैं, तो सुनिश्चित करें कि स्केचिंग आयाम या निर्माण ऑगमेंटेड सबस्पेस (उदाहरण के लिए, विश्लेषण में रेसिड्यूल वेक्टर को शामिल करना) पर इंजेक्टिविटी की गारंटी देता है।
भविष्य के कार्य के लिए आधार: "रेसिड्यूल पर ऊपरी नियंत्रण" को महत्वपूर्ण लुप्त कड़ी के रूप में अलग करके, यह पेपर गैर-यूक्लिडियन नॉर्म्स या स्ट्रक्चर्ड सेटिंग्स में अन्य स्केचिंग गुणों के विश्लेषण के लिए एक स्पष्ट रोडमैप प्रदान करता है।

निष्कर्षतः, जबकि OSI कुशलतापूर्वक कॉन्स्टेंट-फैक्टर एप्रोक्सिमेशन प्राप्त करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है, यह तब तक उच्च-परिशुद्धता वाले रिलेटिव एरर बाउंड की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है जब तक कि अतिरिक्त संरचनात्मक धारणाएं (ऑगमेंटेड स्पेस पर इंजेक्टिविटी) लागू न की जाएं।