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Solution of variable order fractional differential equations using Homotopy Analysis Method

यह शोध पत्र परिवर्तनशील-क्रम वाले भिन्नात्मक विसरण समीकरणों (variable-order fractional diffusion equations) के लिए अनुमानित समाधान प्राप्त करने में होमोटोपी विश्लेषण विधि (Homotopy Analysis Method) की विश्वसनीयता और प्रभावशीलता को प्रदर्शित करता है, जिसमें वे मामले भी शामिल हैं जहाँ अवकलज क्रम (derivative order) स्थान, समय या अन्य मापदंडों के साथ बदलता है।

मूल लेखक: Vivek Mishra, S. Das

प्रकाशित 2026-04-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Vivek Mishra, S. Das

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि पानी के एक गिलास में स्याही की एक बूंद कैसे फैलती है। एक आदर्श, शांत दुनिया में, यह एक स्थिर, अनुमानित गति से होता है। गणितज्ञ लंबे समय से इस सहज प्रसार का वर्णन करने के लिए "स्थिर क्रम" (constant order) समीकरणों का उपयोग करते रहे हैं।

लेकिन वास्तविक दुनिया अव्यवस्थित है। कल्पना कीजिए कि पानी केवल पानी नहीं है; यह अलग-अलग आकार के छेदों वाला एक स्पंज है, या जैसे-जैसे स्याही आगे बढ़ती है तापमान बदल जाता है, या स्याही खुद समय के साथ गाढ़ी हो जाती है। इन परिदृश्यों में, फैलने वाली स्याही की गति स्थिर नहीं रहती—यह इस आधार पर बदलती है कि वह कहाँ है और कब वहां मौजूद है।

यही वह चीज़ है जिसे विवेक मिश्रा और एस. दास का शोध पत्र संबोधित कर रहा है। वे एक बहुत ही जटिल गणितीय पहेली को हल कर रहे हैं: हम प्रसार (फैलाव) का मॉडल कैसे तैयार करें जब खेल के नियम बदलते रहते हैं?

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. समस्या: "आकार बदलने वाली" नियम पुस्तिका (The "Shape-Shifting" Rulebook)

आमतौर पर, प्रसार के गणितीय मॉडल एक निश्चित नियम पुस्तिका का उपयोग करते हैं। इसे एक रेसिपी की तरह समझें जो कहती है, "ठीक 5 मिनट तक चलाएं।"

हालाँकि, जटिल वातावरणों में (जैसे उलझी हुई नसों के जाल में बहते रक्त, या चट्टानी जलभृत/aquifer में फैलते प्रदूषण में), "चलाने का समय" निश्चित नहीं होता। यह शुरुआत में 5 मिनट हो सकता है, लेकिन बीच में 10 मिनट, और अंत में 2 मिनट।

पुराना तरीका: वैज्ञानिक इन बदलती गतियों को एक निश्चित नियम पुस्तिका में फिट करने के लिए जटिल "गुणांकों" (coefficients - अतिरिक्त संख्याएँ जो गणित को थोड़ा बदल देती हैं) को जोड़ने का प्रयास करते थे। यह एक चौकोर टुकड़े को गोल छेद में फिट करने की कोशिश करने जैसा था।
नया तरीका (Variable Order): लेखक वेरिएबल ऑर्डर फ्रैक्शनल कैलकुलस (Variable Order Fractional Calculus) का उपयोग करते हैं। एक ऐसी नियम पुस्तिका की कल्पना करें जहाँ "5 मिनट" का निर्देश वास्तव में कमरे में आपकी स्थिति के आधार पर बदल जाता है। यदि आप दरवाजे के पास हैं, तो यह 2 मिनट कहता है; यदि आप खिड़की के पास हैं, तो यह 10 मिनट कहता है। यह प्रणाली की "स्मृति" और परिवर्तनशील प्रकृति को बहुत बेहतर तरीके से पकड़ता है।

2. उपकरण: "होमोटोपी विश्लेषण विधि" (The "Homotopy Analysis Method" - HAM)

जहाँ नियम लगातार बदलते रहते हैं, वहाँ समीकरणों को हल करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह एक ऐसे रूबिक क्यूब को हल करने जैसा है जहाँ आपके घुमाने के दौरान उसके चेहरों के रंग बदलते रहते हैं।

लेखक होमोटोपी विश्लेषण विधि (HAM) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। इसे इस प्रकार समझें:

पुल की उपमा (The Analogy of the Bridge): कल्पना कीजिए कि आपके पास एक ऐसी समस्या है जिसे सीधे हल करना बहुत कठिन है (एक गहरी खाई)। आप समस्या के एक सरल संस्करण का उत्तर जानते हैं (एक छोटा झरना जिसे आप आसानी से पार कर सकते हैं)।
प्रक्रिया: HAM सरल समस्या और कठिन समस्या के बीच एक पुल बनाता है। यह सरल समाधान से शुरू होता है और धीरे-धीरे, चरण-दर-चरण, इसे जटिल वास्तविकता की ओर खींचता और मोड़ता है।
"अभिसरण नियंत्रण पैरामीटर" (The "Convergence Control Parameter" - द स्टीयरिंग व्हील): जैसे-जैसे वे यह पुल बनाते हैं, वे एक विशेष नॉब (knob) का उपयोग करते हैं जिसे अभिसरण नियंत्रण पैरामीटर (जिसे ग्रीक अक्षर $\eta$ $η$ या $h$ $h$ द्वारा दर्शाया जाता है) कहा जाता है।
- यदि आप नॉब को एक तरफ बहुत अधिक घुमाते हैं, तो पुल ढह जाता है (गणित अनियंत्रित हो जाता है)।
  - यदि आप इसे दूसरी ओर घुमाते हैं, तो पुल दूसरी ओर नहीं पहुँच पाता।
- लेखकों का काम इस नॉब की परफेक्ट सेटिंग खोजना है ताकि पुल स्थिर रहे और ठीक सही उत्तर तक ले जाए।

3. उन्होंने क्या किया

लेखकों ने इस "पुल बनाने वाली" विधि को दो विशिष्ट प्रकार की "आकार बदलने वाली" प्रसार समस्याओं पर लागू किया:

रैखिक मामला (The Linear Case): एक मानक प्रसार समीकरण जहाँ "क्रम" (बदलाव का नियम) समय और स्थान के साथ बदलता है। उन्होंने अपने गणित की मौजूदा कंप्यूटर सिमुलेशन के विरुद्ध जाँच की और पाया कि उनका पुल पूरी तरह से मेल खाता है।
गैर-रैखिक मामला (The Non-Linear Case): एक अधिक अराजक परिदृश्य जहाँ प्रसार स्वयं के साथ परस्पर क्रिया करता है (जैसे स्याही फैलने के साथ-साथ होने वाली रासायनिक प्रतिक्रिया)। यह इस विशिष्ट प्रकार की वेरिएबल-ऑर्डर समस्या के लिए "अपनी तरह का पहला" समाधान है।

4. परिणाम: यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि HAM एक विश्वसनीय, लचीला और शक्तिशाली उपकरण है।

"छोटी संख्या" की आवश्यकता नहीं: कई गणितीय विधियाँ केवल तभी काम करती हैं जब सिस्टम में बदलाव बहुत सूक्ष्म हों। HAM तब भी काम करता है जब बदलाव बहुत बड़े हों।
सटीकता: "अवशिष्ट त्रुटि" (residual error - उनके अनुमान और वास्तविक गणित के बीच का अंतर) को कम करके, उन्होंने "स्टीयरिंग व्हील" की सटीक सेटिंग ( $\eta \approx -0.97$ पहले प्रश्न के लिए और $\eta \approx -0.13$ दूसरे प्रश्न के लिए) खोज ली।
वास्तविक दुनिया पर प्रभाव: यह विधि वैज्ञानिकों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती है:
- मानव शरीर में दवाएं कैसे चलती हैं (जो विभिन्न ऊतकों से भरा होता है)।
- छिद्रपूर्ण चट्टानों (porous rock) के माध्यम से तेल कैसे चलता है।
- सामग्री में गर्मी कैसे फैलती है जो गर्म होने पर अपने गुण बदल लेती है।

निष्कर्ष (The Bottom Line)

इस शोध पत्र को एक ऐसे शहर में नेविगेट करने के लिए एक नए, अत्यधिक परिष्कृत GPS के रूप में देखें जहाँ हर ब्लॉक पर यातायात के नियम बदलते रहते हैं। रास्ता भटकने या गलत मोड़ लेने के बजाय, होमोटोपी विश्लेषण विधि (HAM) वैज्ञानिकों को एक लचीला, चरण-दर-चरण मानचित्र प्रदान करती है जो बदलते नियमों के अनुकूल होता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि वे जटिल, वास्तविक दुनिया की प्रसार समस्याओं के सही समाधान तक पहुँचें।

यहाँ विवेक मिश्रा और एस. दास के शोध पत्र "Solution of variable order fractional differential equations using Homotopy Analysis Method" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र वेरिएबल ऑर्डर फ्रैक्शनल डिफरेंशियल इक्वेशन्स (VOFDEs) को हल करने की चुनौती को संबोधित करता है, विशेष रूप से वेरिएबल ऑर्डर फ्रैक्शनल डिफ्यूजन इक्वेशन्स पर ध्यान केंद्रित करता है।

संदर्भ: जबकि होमोजेनियस (समरूप) माध्यम में प्रसार (diffusion) को मॉडल करने के लिए कांस्टेंट-ऑर्डर फ्रैक्शनल कैलकुलस का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, यह हेटरोजेनियस (विषम) माध्यमों (जैसे पोरस मीडिया) में होने वाली प्रक्रियाओं का सटीक वर्णन करने में विफल रहता है, जहाँ प्रसार के गुण स्थान (space), समय (time), या दोनों के साथ बदलते हैं।
अंतराल (The Gap): ऐसे जटिल प्रणालियों में, फ्रैक्शनल डेरिवेटिव का क्रम (order), जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है, स्थिर नहीं होता है बल्कि स्थान ( $x$ ), समय ( $t$ ), या दोनों ( $\alpha(x,t)$ ) के फलन के रूप में बदलता है।
उद्देश्य: लेखक दो विशिष्ट प्रकार के वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन इक्वेशन्स को हल करने का लक्ष्य रखते हैं:
1. एक लीनियर वेरिएबल ऑर्डर टाइम-फ्रैक्शनल डिफ्यूजन इक्वेशन (बिना किसी सोर्स टर्म के)।
2. एक नॉनलीनियर वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन इक्वेशन जिसमें रिएक्शन टर्म शामिल है।
नवीनता: लेखकों का दावा है कि हालांकि पहले भी संख्यात्मक विधियों (जैसे फाइनाइट डिफरेंसेस) का उपयोग किया गया है, लेकिन इस कार्य से पहले किसी भी शोधकर्ता ने इन विशिष्ट वेरिएबल ऑर्डर इक्वेशन्स को होमोटोपी एनालिसिस मेथड (HAM) का उपयोग करके हल करने का प्रयास नहीं किया था।

2. कार्यप्रणाली: होमोटोपी एनालिसिस मेथड (HAM)

लेखक होमोटोपी एनालिसिस मेथड (HAM) का उपयोग करते हैं, जो एस.जे. लियाओ द्वारा प्रस्तावित एक शक्तिशाली सेमी-एनालिटिकल तकनीक है। परटर्बेशन विधियों के विपरीत, HAM छोटे भौतिक मापदंडों (small physical parameters) पर निर्भर नहीं करता है।

कार्यप्रणाली के मुख्य चरण:

परिभाषाएँ (Definitions): अध्ययन में कैपुटो-टाइप (Caputo-type) वेरिएबल ऑर्डर फ्रैक्शनल डेरिवेटिव और वेरिएबल ऑर्डर रीमैन-लिउविल (Riemann-Liouville) इंटीग्रल का उपयोग किया गया है।
ऑपरेटर निर्माण (Operator Construction):
- एक लीनियर ऑपरेटर ( $L$ ) का चयन किया जाता है, जो आमतौर पर उच्चतम क्रम के फ्रैक्शनल डेरिवेटिव टर्म पर आधारित होता है।
- एक नॉनलीनियर ऑपरेटर ( $N$ ) का निर्माण पूरे डिफरेंशियल इक्वेशन को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसमें सोर्स टर्म और नॉनलिनैरिटी शामिल होती है।
जीरो-ऑर्डर डिफॉर्मेशन इक्वेशन (Zero-Order Deformation Equation): प्रारंभिक अनुमान (initial guess) को सटीक समाधान में बदलने के लिए एक होमोटोपी का निर्माण किया जाता है।
$m$ -वें क्रम की डिफॉर्मेशन इक्वेशन्स ( $m$ -th Order Deformation Equations): समस्या को रैखिक उप-समस्याओं (linear sub-problems) के एक अनुक्रम में विभाजित किया जाता है। $m$ $m$ -वें क्रम की डिफॉर्मेशन इक्वेशन को इस प्रकार निकाला जाता है:
$L[u_m(x,t) - \chi_m u_{m-1}(x,t)] = \hbar R_m(\vec{u}_{m-1})$
जहाँ:
- $\chi_m$ एक गुणांक है (यदि $m \leq 1$ तो 0, यदि $m > 1$ तो 1)।
- $\hbar$ एक कन्वर्जेंस कंट्रोल पैरामीटर (convergence control parameter) है।
- $R_m$ $(m-1)$ -वें क्रम के सन्निकटन (approximation) का रेसिडुअल एरर (residual error) है।
सीरीज सॉल्यूशन (Series Solution): समाधान को एक अनंत श्रृंखला $u(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n(x,t)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
कन्वर्जेंस कंट्रोल (Convergence Control): महत्वपूर्ण चरण कन्वर्जेंस कंट्रोल पैरामीटर ( $\hbar$ ) के इष्टतम मान को निर्धारित करना है। लेखक यह सुनिश्चित करने के लिए कि श्रृंखला समाधान तेजी से और सटीक रूप से अभिसरित (converge) हो, औसत वर्गाकार रेसिडुअल एरर ( $E_m$ ) को न्यूनतम करते हैं।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

VOFDEs के लिए HAM का प्रथम अनुप्रयोग: यह शोध पत्र वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन इक्वेशन्स को हल करने के लिए HAM के पहले सफल कार्यान्वयन को स्थापित करता है, जिससे कांस्टेंट-ऑर्डर समस्याओं से परे HAM की प्रयोज्यता का विस्तार होता है।
वेरिएबल ऑर्डर्स को संभालना: विधि प्रभावी ढंग से उन मामलों को संभालती है जहाँ क्रम $\alpha$ समय ( $t$ ), स्थान ( $x$ ), या संयोजन ( $\alpha = 0.8 + 0.2xt$ ) पर निर्भर करता है।
नॉनलीनियर डायनेमिक्स: लेखकों ने एक रिएक्शन टर्म ( $u(1-u)$ ) वाले नॉनलीनियर वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन इक्वेशन को सफलतापूर्वक हल किया है, और विभिन्न मामलों के लिए स्थिरता विश्लेषण प्रदान किया है, जिसे वेरिएबल ऑर्डर फ्रैक्शनल सिस्टम के संदर्भ में पहली बार किया गया है।
एनालिटिकल सीरीज सॉल्यूशन: विशुद्ध संख्यात्मक विधियों के विपरीत, जो असतत बिंदु (discrete points) प्रदान करती हैं, HAM एक सीरीज सॉल्यूशन प्रदान करता है जो सिस्टम के कार्यात्मक व्यवहार (functional behavior) की गहरी अंतर्दृष्टि देता है।

4. परिणाम और चर्चा (Results and Discussion)

लेखकों ने दो केस स्टडीज के माध्यम से अपने मेथड को प्रमाणित किया:

केस 1: लीनियर वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन

इक्वेशन: $D_t^{\alpha(x,t)} u = K \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ जहाँ $\alpha(x,t) = 0.8 + 0.2xt$ ।
वैलिडेशन: परिणामों की तुलना सन एट अल. [25] द्वारा दिए गए मौजूदा संख्यात्मक समाधानों से की गई।
कन्वर्जेंस: रेसिडुअल एरर को न्यूनतम करके, इष्टतम $\hbar$ का मान -0.975296 पाया गया।
सटीकता: श्रृंखला में केवल पाँच पदों (terms) के साथ, रेसिडुअल एरर घटकर $2.18 \times 10^{-16}$ हो गया, जो अत्यधिक उच्च सटीकता प्रदर्शित करता है। विकास वक्र (evolution curves) मौजूदा साहित्य से पूरी तरह मेल खाते हैं।

केस 2: नॉनलीनियर वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन

इक्वेशन: एक नॉनलीनियर इक्वेशन जिसमें डिफ्यूजन और एक रिएक्शन टर्म ( $u(1-u)$ ) शामिल है।
कन्वर्जेंस: इष्टतम $\hbar$ को -0.134256 निर्धारित किया गया।
प्रदर्शन: जैसे-जैसे पदों की संख्या बढ़ी, रेसिडुअल एरर काफी कम हो गया (2 पदों के लिए 0.289 से 4 पदों के लिए 0.0056 तक)।
विज़ुअलाइज़ेशन: अध्ययन ने $u(x,t)$ के स्थान और समय के ऊपर विकास को दिखाने वाले 3D प्लॉट्स प्रदान किए, जो समाधान की स्थिरता और भौतिक प्रासंगिकता की पुष्टि करते हैं।

5. महत्व और निष्कर्ष (Significance and Conclusion)

विश्वसनीयता: यह अध्ययन प्रदर्शित करता है कि HAM वेरिएबल ऑर्डर समस्याओं के लिए एक विश्वसनीय और प्रभावी उपकरण है, जो उन डेरिवेटिव्स को संभालने में सक्षम है जहाँ क्रम स्थान, समय या अन्य मापदंडों के साथ बदलता है।
लचीलापन: प्रारंभिक सन्निकटन (initial approximations) चुनने और $\hbar$ के माध्यम से कन्वर्जेंस को नियंत्रित करने की क्षमता इसे उन विधियों से बेहतर बनाती है जो छोटे/बड़े मापदंडों (parameters) द्वारा सीमित होती हैं।
भौतिक प्रासंगिकता: परिणाम पुष्टि करते हैं कि हेटरोजेनियस मीडिया और बदलते मेमोरी गुणों वाले सिस्टम में प्रसार का सटीक वर्णन करने के लिए वेरिएबल ऑर्डर मॉडल आवश्यक हैं।
भविष्य का प्रभाव: यह कार्य जटिल फ्रैक्शनल डिफरेंशियल इक्वेशन्स (जिनमें कांस्टेंट-ऑर्डर मॉडल अपर्याप्त हैं) को हल करने के लिए HAM के उपयोग के द्वार खोलता है, जो भौतिकी, इंजीनियरिंग और जीव विज्ञान में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र उन्नत फ्रैक्शनल कैलकुलस थ्योरी और व्यावहारिक विश्लेषणात्मक समाधान तकनीकों के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाटता है, और यह सिद्ध करता है कि HAM वेरिएबल ऑर्डर डिफ्यूजन की जटिलताओं से निपटने के लिए एक मजबूत पद्धति है।