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Local qubit invariants on quantum computer

यह शोध पत्र स्थानीय यूनिटरी इनवैरिएंट्स (local unitary invariants) को सीधे मापने के लिए क्वांटम सर्किटों को लागू करने की दो सामान्य विधियों को प्रस्तुत करता है, विशेष रूप से IBM क्वांटम प्लेटफॉर्म पर तीन-क्यूब एंटैंगलमेंट मापों (three-qubit entanglement measures) पर उनके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Szilárd Szalay, Frédéric Holweck

प्रकाशित 2026-08-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Szilárd Szalay, Frédéric Holweck

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम डिटेक्टिव का टूलकिट (The Quantum Detective's Toolkit)

कल्पना कीजिए कि आप यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक गुप्त रेसिपी क्या है, लेकिन आपको भोजन को चखने या सामग्री की सूची देखने की अनुमति नहीं है। इसके बजाय, आप केवल यह देख सकते हैं कि मेज को हिलाने, प्लेट को घुमाने या अलग-अलग कोणों से उस पर रोशनी डालने पर व्यंजन कैसा व्यवहार करता है। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, यह "व्यंजन" एक क्वांटम अवस्था (quantum state) है, और "हिलाना" एक स्थानीय यूनिटरी ट्रांसफॉर्मेशन (local unitary transformation) है। क्वांटम अवस्थाएं अपनी एक रहस्यमयी विशेषता के लिए प्रसिद्ध हैं जिसे एंटैंगलमेंट (entanglement) कहा जाता है, जहाँ कण एक-दूसरे से इतने गहराई से जुड़ जाते हैं कि आप एक को दूसरे के बिना वर्णित नहीं कर सकते, चाहे वे कितनी भी दूर क्यों न हों। यह जुड़ाव भविष्य के सुपर-कंप्यूटरों और अटूट कोड्स के पीछे का इंजन है।

हालाँकि, एंटैंगलमेंट पेचीदा है। यदि आप कणों को देखने का तरीका बदलते हैं (जैसे अपना सिर घुमाना), तो उनका वर्णन करने वाली गणित बदल जाती है, लेकिन वास्तविक एंटैंगलमेंट नहीं बदलता। वैज्ञानिक इन अपरिवर्तनीय विशेषताओं को इनवेरिएंट्स (invariants) कहते हैं। इन्हें क्वांटम अवस्था के "सच्चे फिंगरप्रिंट" के रूप में सोचें। लंबे समय तक, इन फिंगरप्रिंट्स को समझना जटिल गणित की मांग करता था जिसे कंप्यूटर पर सीधे करना असंभव था, या आपको पूरे चित्र को पुनर्गठित करने के लिए लाखों अलग-अलग माप लेने पड़ते थे (एक प्रक्रिया जिसे टोमोग्राफी कहा जाता है)। बड़ा सवाल यह था: क्या हम एक विशेष "क्वांटम डिटेक्टिव" सर्किट बना सकते हैं जो पूरे पहेली को हल करने की आवश्यकता के बिना सीधे इन फिंगरप्रिंट्स को माप सके?

पेपर का मिशन: अदृश्य को मापना

इस पेपर में, सिलार्ड साले (Szilárd Szalay) और फ्रेडरिक होल्वेक (Frédéric Holweck) इन "क्वांटम डिटेक्टिव" सर्किट्स को बनाने के दो चतुर तरीके प्रस्तुत करते हैं। उनका लक्ष्य क्वांटम कंप्यूटर पर लोकल यूनिटरी (LU) इनवेरिएंट्स को सीधे मापना है। ये इनवेरिएंट्स विशेष संख्याएँ हैं जो हमें बताती हैं कि क्यूबिट्स (qubits) का एक समूह कितना "एंटैंगल्ड" है, चाहे हम उन्हें स्थानीय रूप से कैसे भी घुमाएँ या बदलें।

लेखक दो और तीन क्यूबिट वाले सिस्टम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जो बड़े क्वांटम नेटवर्क के निर्माण खंड (building blocks) हैं। वे दिखाते हैं कि "इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शंस" (index contractions - जिसका अर्थ है समीकरण के हिस्सों को आपस में मिलाना) के अमूर्त गणित को भौतिक क्वांटम सर्किट्स में बदलकर, वे केवल सर्किट चलाकर और अंत में जो परिणाम आता है उसे देखकर उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

दो विधियाँ: स्लीक स्पाई बनाम हैवी हॉलर (The Two Methods: The Sleek Spy vs. The Heavy Hauler)

पेपर दो अलग-अलग तरीके प्रस्तावित करता है, जिनमें से प्रत्येक के अपने फायदे और नुकसान हैं:

"स्लीक स्पाई" (विधि 1): इस विधि में कम क्यूबिट्स का उपयोग होता है। यह क्वांटम अवस्था की एक प्रति (copy) बनाकर, उसे एक विशेष गेट के माध्यम से चलाकर, और फिर इसे मूल (या इसके संयुग्मी संस्करण) के साथ इंटरफेयर करके काम करती है। यह एक जासूस की तरह है जो एक छाया की तुलना स्वयं वस्तु से करके किसी रहस्य पर नज़र रख सकता है। यह विधि अधिक कुशल है, जिसमें $nk/4 $क्यूबिट्स का उपयोग होता है (जहाँ$ n $क्यूबिट्स की संख्या है और$ k$ इनवेरिएंट की जटिलता है)।
"हैवी हॉलर" (विधि 2): इस विधि में अधिक क्यूबिट्स का उपयोग होता है—विशेष रूप से $nk/2$। इंटरफेयर करने के बजाय, यह अवस्था की कई प्रतियां बनाती है और उन्हें जोड़ने के लिए एक "बेल मेजरमेंट" (एक विशेष प्रकार का संयुक्त माप) का उपयोग करती है। यह जासूसों की एक पूरी टीम को हाथ पकड़कर एक चेन बनाने के लिए काम पर रखने जैसा है ताकि रहस्य को पकड़ा जा सके। हालाँकि यह विधि तब आसान है जब आप क्वांटम गेट को आसानी से रिवर्स नहीं कर सकते, लेकिन इसमें दोगुने क्यूबिट्स और अधिक जटिल वायरिंग की आवश्यकता होती है, जिससे शोर (noise) अधिक होता है और सटीकता कम हो जाती है।

उन्होंने क्या पाया और परीक्षण किया

लेखकों ने केवल इन सर्किट्स का खाका ही नहीं खींचा; उन्होंने उन्हें बनाया भी। उन्होंने अपने तरीकों का परीक्षण IBM क्वांटम प्लेटफॉर्म पर किया, जो एक वास्तविक, ऑनलाइन क्वांटम कंप्यूटर है। उन्होंने परीक्षण करने के लिए तीन प्रसिद्ध प्रकार के तीन-क्यूबिट अवस्थाओं को चुना:

सेपरेबल स्टेट (The Separable State): स्वतंत्र सिक्कों की तरह (कोई एंटैंगलमेंट नहीं)।
W स्टेट (The W State): एंटैंगलमेंट का एक विशिष्ट प्रकार जहाँ यदि आप एक कण खो देते हैं, तो अन्य दो अभी भी जुड़े रहते हैं।
GHZ स्टेट (The GHZ State): "सब-या-कुछ-नहीं" वाला एंटैंगलमेंट जहाँ तीनों कण पूरी तरह से सिंक्रोनाइज़ होते हैं।

उन्होंने विशिष्ट इनवेरिएंट्स (जैसे कन्करेंस स्क्वेर्ड (concurrence squared), $\omega^2$ , और प्रसिद्ध थ्री-टैंगल $\tau^2$ ) को मापा, जो विभिन्न प्रकार के एंटैंगलमेंट के स्कोर के रूप में कार्य करते हैं।

परिणाम: अच्छी खबर लेकिन एक शर्त के साथ

प्रयोगों ने दिखाया कि विधियाँ काम करती हैं। जब उन्होंने सर्किट चलाए, तो जो संख्याएँ उन्हें वापस मिलीं वे सैद्धांतिक "परफेक्ट" मानों के बहुत करीब थीं।

GHZ स्टेट के लिए, उन्होंने लगभग 0.948 का थ्री-टैंगल ( $\tau^2$ ) मापा, जो परफेक्ट स्कोर 1 के बहुत करीब है।
W स्टेट के लिए, उन्होंने 0.84–0.85 के आसपास मान मापे, जो सैद्धांतिक 0.889 के करीब है।
सेपरेबल स्टेट के लिए, एंटैंगलमेंट स्कोर उम्मीद के मुताबिक शून्य के करीब थे।

हालाँकि, पेपर अपनी सीमाओं के बारे में ईमानदार है। क्योंकि वर्तमान क्वांटम कंप्यूटर "नॉइजी" (noisy) हैं (वे गर्मी और हस्तक्षेप के कारण छोटी गलतियाँ करते हैं), परिणाम पूर्ण नहीं हैं। "स्लीक स्पाई" विधि आम तौर पर बेहतर प्रदर्शन करती है, जो कम त्रुटि के साथ अधिक सटीक परिणाम देती है। लेखक नोट करते हैं कि त्रुटियों के कारण वे अभी भी हर संभावित प्रकार के एंटैंगलमेंट के बीच पूरी तरह से अंतर नहीं कर सकते हैं, लेकिन ये विधियाँ सफलतापूर्वक दिखाती हैं कि कितना एंटैंगलमेंट मौजूद है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

पेपर का तर्क है कि ये विधियाँ एक बड़ी छलांग हैं क्योंकि ये पुराने तरीकों की तुलना में बहुत अधिक कुशल हैं। हजारों माप लेकर पूरी अवस्था को पुनर्गठित करने (फुल टोमोग्राफी) के बजाय, जो अधिक क्यूबिट जोड़ने पर असंभव हो जाता है, ये नए सर्किट किसी विशिष्ट सर्किट के केवल एक माप से उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि हालांकि उन्होंने केवल दो और तीन क्यूबिट का परीक्षण किया है, उनकी विधि सामान्य है। इसे किसी भी संख्या में क्यूबिट और किसी भी आयाम (dimension) पर लागू किया जा सकता है, जब तक कि गणित को इन विशिष्ट इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शंस के रूप में लिखा जा सके। उन्होंने सफलतापूर्वक सदियों पुराने अमूर्त गणितीय सिद्धांतों (जैसे केली का हाइपरडे टर्मिनेंट) को एक वास्तविक मशीन पर भौतिक प्रयोगों में बदल दिया है। भले ही वर्तमान उपकरण हर समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं, लेकिन उन्होंने सिद्ध कर दिया है कि अब हम इन "फिंगरप्रिंट्स" को सीधे माप सकते हैं, जो भविष्य के क्वांटम कंप्यूटरों के बेहतर बेंचमार्किंग और समझ के द्वार खोलता है।

तकनीकी सारांश: क्वांटम कंप्यूटर पर स्थानीय क्वबिट इनवेरियंट्स (Local Qubit Invariants)

समस्या विवरण

एंटैंगलमेंट (Entanglement) क्वांटम प्रणालियों में एक परिभाषित गैर-शास्त्रीय सहसंबंध (nonclassical correlation) है। जबकि लोकल यूनिटरी (LU) इनवेरियंट्स एंटैंगलमेंट का सबसे सूक्ष्म विवरण प्रदान करते हैं—जो स्थानीय रूपांतरणों तक एक क्वांटम अवस्था को परिभाषित करते हैं—उनके क्वांटम हार्डवेयर पर प्रत्यक्ष मापन चुनौतीपूर्ण रहा है। मौजूदा दृष्टिकोणों में शामिल हैं:

एड-हॉक (Ad-hoc) विधियाँ: विशिष्ट स्टेट वेक्टर गुणांकों (जैसे कॉनकरेंस स्क्वेर्ड या थ्री-टैंगल स्क्वेर्ड) को ट्रैक करना, जो आसानी से सामान्यीकृत नहीं होते हैं।
अनुकूलन-आधारित (Optimization-based) विधियाँ: LU-कैनोनिकल रूपों पर निर्भरता, जिसके लिए पैरामीटर अनुकूलन के लिए कई प्रोटोकॉल रन की आवश्यकता होती है।
पूर्ण अवस्था टोमोग्राफी (Full state tomography): बीजगणितीय रूप से इनवेरियंट्स की गणना करने से पहले आयामों (amplitudes) को पुनर्गठित करने के लिए घातांकीय संख्या में मापों ( $n$ क्वबिट्स के लिए $3^n$ ) की आवश्यकता होती है।

जैसे-जैसे क्वांटम प्रणालियाँ स्केल करती हैं, ये विधियाँ अव्यवहार्य हो जाती हैं। लेखक शोर वाले इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों पर पूर्ण टोमोग्राफी या जटिल अनुकूलन लूप पर निर्भर किए बिना, LU-इनवेरियंट्स के लिए सामान्य, प्रत्यक्ष मापन विधियों की आवश्यकता को संबोधित करते हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)

यह शोध पत्र $n=2$ और $n=3$ क्वबिट्स के लिए गैर-ऋणात्मक वास्तविक-मान वाले LU-इनवेरियंट्स के प्रत्यक्ष मापन के लिए क्वांटम सर्किट लागू करने हेतु दो सामान्य विधियाँ प्रस्तुत करता है। दोनों विधियाँ इन इनवेरियंट्स को परिभाषित करने वाले इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन (Kronecker $\delta$ और Levi-Civita $\epsilon$ टेंसरों का उपयोग करके) को क्वांटम सर्किट ऑपरेशन्स में अनुवादित करती हैं।

ये विधियाँ इनवेरियंट की डिग्री $k$ के लिए अवस्था तैयारी ऑरेकल $U_\psi$ के $k/2$ इंस्टेंस (प्रतियां) का उपयोग करने पर आधारित हैं। चूंकि क्वांटम क्लोनिंग असंभव है, इसलिए इन "प्रतियों" को $U_\psi$ (और संभावित रूप से इसके ट्रांसपोज़ $U_\psi^T$ , एडजॉइंट $U_\psi^\dagger$ , या कंजुगेट $\bar{U}_\psi$ ) के कई इंस्टेंस द्वारा साकार किया जाता है।

विधि 1: एडजॉइंट/ट्रांसपोज़ दृष्टिकोण (The Adjoint/Transpose Approach)

संसाधन उपयोग: $nk/4$ क्वबिट्स का उपयोग करता है।
तंत्र: यह इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन को सीधे करने के लिए तैयारी यूनिटरी के एडजॉइंट या ट्रांसपोज़ का उपयोग करता है।
- नॉर्म-स्क्वेर्ड ( $n^4$ ) के लिए, यह $U_\psi$ के बाद $U_\psi^\dagger$ लागू करता है।
- $\epsilon$ वाले इनवेरियंट्स (जैसे कॉनकरेंस) के लिए, यह $U_\psi$ के बाद $U_\psi^T$ लागू करता है (या कम्प्यूटेशनल बेसिस में ट्रांसपोज़ को सिम्युलेट करने के लिए Pauli- $Y$ गेट्स का उपयोग करता है)।
मापन: ऑल-ज़ीरो स्टेट (या एक विशिष्ट पैटर्न) को मापने की प्रायिकता सीधे इनवेरियंट (या उसके घात) के मान को दर्शाती है।
लाभ: इसमें कम क्वबिट्स और कम CNOT गेट्स की आवश्यकता होती है, जिससे उच्च परिशुद्धता और कम सापेक्ष त्रुटि प्राप्त होती है।
इंटरफेरोमेट्री से संबंध: लेखक नोट करते हैं कि यह विधि इंटरफेरोमेट्रिक विधि [35–37] से संबंधित है, जहाँ LU इनवेरियंट के मान को इंटरफेरेंस पैटर्न की विजिबिलिटी से पढ़ा जा सकता है। हालाँकि, इंटरफेरोमेट्रिक विधि के विपरीत जो एक जटिल इनवेरियंट के फेज को माप सकती है, यहाँ प्रस्तुत विधियाँ केवल पूर्ण मान का वर्ग (वास्तविक-मान गैर-ऋणात्मक इनवेरियंट्स) मापती हैं।

विधि 2: बेल-मेजरमेंट दृष्टिकोण (The Bell-Measurement Approach)

संसाधन उपयोग: $nk/2$ क्वबिट्स (विधि 1 की तुलना में दोगुने क्वबिट्स)।
तंत्र: यह विधि अवस्था की दो प्रतियाँ ( $U_\psi \otimes U_\psi$ $U_{ψ} \otimes U_{ψ}$ ) तैयार करती है और बेल-स्टेट मेजरमेंट्स के माध्यम से इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन करती है।
- $\delta$ के साथ कॉन्ट्रैक्शन $B^\dagger$ का उपयोग करके $|Bell_0\rangle$ पर प्रोजेक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
- $\epsilon$ के साथ कॉन्ट्रैक्शन $|Bell_2\rangle$ पर प्रोजेक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है (या Pauli- $Y$ गेट्स के बाद $|Bell_0\rangle$ प्रोजेक्शन का उपयोग किया जाता है)।
मापन: एक विशिष्ट परिणाम की प्रायिकता इनवेरियंट के समानुपाती होती है, जो प्रत्येक बेल मेजरमेंट द्वारा किए गए $1/2$ के कारक से स्केल होती है।
दोष: स्केलिंग फैक्टर सिग्नल की तीव्रता को कम कर देता है, जिससे सापेक्ष त्रुटि बढ़ जाती है। इसमें अधिक क्वबिट्स और CNOT गेट्स (विशेष रूप से कॉन्ट्रैक्शन सक्षम करने के लिए क्वबिट्स को स्वैप करने के लिए) की आवश्यकता होती है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

सामान्य सर्किट निर्माण: लेखक LU-इनवेरियंट्स के लिए इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन परिभाषाओं के व्यवस्थित अनुवाद प्रदान करते हैं। यह मनमाने संख्या में सब-सिस्टम और आयामों के लिए लागू है, बशर्ते कि इनवेरियंट्स को स्थानीय इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन ( $\delta$ और $\epsilon$ ) के माध्यम से स्वरूपित किया गया हो।
2 और 3 क्वबिट्स के लिए विशिष्ट कार्यान्वयन:
- दो क्वबिट्स: नॉर्म-स्क्वेर्ड ( $n^4$ ) और कॉनकरेंस स्क्वेर्ड ( $c^2$ ) के लिए सर्किट।
- तीन क्वबिट्स: नॉर्म-स्क्वेर्ड ( $n^4$ ), लोकल कॉनवरेंस ( $c_a^2$ ), केम्पे इनवेरियंट ( $\omega^2$ ), और थ्री-टैंगल ( $\tau^2$ ) के लिए सर्किट।
- शोध पत्र प्रत्येक इनवेरियंट के लिए दोनों कॉम्पैक्ट (विधि 1) और बेल-मेजरमेंट (विधि 2) वेरिएंट का विवरण देता है।
प्रायोगिक प्रदर्शन: इन विधियों को IBM क्वांटम प्लेटफॉर्म (विशेष रूप से ibmq_pittsburgh Heron r3 प्रोसेसर) पर लागू किया गया था।
- परीक्षण किए गए स्टेट्स: SLOCC क्लासेस का प्रतिनिधित्व करने वाले एक-पैरामीटर फैमिली स्टेट्स: सेपरेबल ( $1|2|3$ ), बाइसिपेरेबल ( $1|23$ ), W, और GHZ।
- मेट्रिक्स: प्रयोगों ने 10 रैंडम LU-ऑर्बिट्स के उदाहरणों और निरंतर पैरामीटर विविधताओं के लिए $c_a^2$ , $\omega^2$ , और $\tau^2$ को मापा।

परिणाम (Results)

सटीकता: प्रयोगों ने पुष्टि की कि सर्किट सफलतापूर्वक इनवेरियंट्स को मापते हैं। मापे गए मान सैद्धांतिक सटीक मानों से निकटता से मेल खाते हैं (जैसे, GHZ स्टेट्स के लिए, $\tau^2 \approx 1$ ; W स्टेट्स के लिए, $\tau^2 \approx 0$ )।
त्रुटि विश्लेषण:
- शोर (Noise): NISQ डिवाइस के शोर के कारण छोटे लेकिन महत्वपूर्ण त्रुटियाँ देखी गईं।
- विधि तुलना: विधि 1 (छोटा सर्किट) ने विधि 2 (बड़ा बेल-मेजरमेंट सर्किट) की तुलना में परिशुद्धता के मामले में लगातार बेहतर प्रदर्शन किया, जैसा कि अपेक्षित था (कम गेट्स और $1/2$ स्केलिंग कारकों की कमी के कारण)।
- व्यवस्थित पूर्वाग्रह (Systematic Bias): सामान्य तौर पर एक हल्का अंडर-मेजरमेंट देखा गया, जिसमें $c_a^2$ और $\omega^2$ के छोटे मानों के लिए ओवर-मेजरमेंट देखा गया।
SLOCC वर्गीकरण: शोर के कारण, परफेक्ट SLOCC वर्गीकरण के लिए आवश्यक सख्त शून्य-माप (vanishing) को पूरी तरह से प्राप्त नहीं किया जा सका (जैसे, ज़ीरो-मेजर सेपरेबल क्लास और एंटैंगल्ड क्लासेस के बीच अंतर करना)। हालाँकि, गैर-शून्य मानों ने एंटैंगलमेंट के प्रकार का एक सार्थक "डिग्री" प्रदान किया, जिससे प्रमुख एंटैंगलमेंट प्रकार (a|bc, W, या GHZ) की पहचान संभव हुई।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

लेखक दावा करते हैं कि उनके कॉन्ट्रैक्शन-आधारित तरीके पूर्ण स्टेट टोमोग्राफी और एड-हॉक अनुकूलन के लिए एक स्केलेबल विकल्प प्रदान करते हैं।

दक्षता: जहाँ पूर्ण टोमोग्राफी के लिए $3^n$ मापों की आवश्यकता होती है, वहीं इन विधियों के लिए $nk/4 $या$ nk/2$ क्वबिट्स वाले केवल एक सर्किट का मापन आवश्यक है। क्वबिट्स की संख्या सिस्टम के आकार के साथ घातांकीय रूप से बढ़ने के बजाय, इनवेरियंट की डिग्री के साथ रैखिक रूप से स्केल होती है।
सामान्यीकरण: यह दृष्टिकोण केवल क्वबिट्स या विशिष्ट इनवेरियंट्स तक सीमित नहीं है; यह किसी भी इनवेरियंट पर लागू होता है जिसे स्थानीय इंडेक्स कॉन्ट्रैक्शन ( $\delta$ और $\epsilon$ ) के माध्यम से स्वरूपित किया गया हो।
भौतिक वास्तविकता: यह कार्य अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति अवधारणाओं (जैसे केले के हाइपरडे टर्मिनेंट और FTS-रैंक) को भौतिक क्वांटम अनुभवों के साथ जोड़ता है, जिससे इन इनवेरियंट्स को वर्तमान क्वांटम हार्डवेयर के लिए बेंचमार्क के रूप में उपयोग किया जा सकता है।
सीमाएँ: लेखक विनम्रतापूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उनकी विधियाँ SLOCC गुणों को स्पष्ट करती हैं, लेकिन कुछ क्लासेस की "ज़ीरो-मेजर" प्रकृति का अर्थ है कि डिवाइस के शोर के कारण पूर्ण वर्गीकरण वर्तमान में बाधित है। फिर भी, इनवेरियंट्स यह दर्शाने के लिए मजबूत संकेतक के रूप में कार्य करते हैं कि किसी अवस्था में विशिष्ट एंटैंगलमेंट विशेषताओं की "कितनी" मात्रा मौजूद है।