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Morita equivalence for quantum graphs

यह शोध पत्र $\Delta$ -तुल्यता पर आधारित क्वांटम ग्राफों की मोरिटा तुल्यता (Morita equivalence) के लिए एक ऑपरेटर-बीजगणितीय ढांचे को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि अपरिवर्तनीय रूप से कार्य करने वाले क्वांटम ग्राफ तब मोरिटा तुल्य होते हैं यदि और केवल यदि वे एक ही ग्राफ के पूर्ण पुलबैक (full pullbacks) हों, जबकि यह सिद्ध करता है कि लोवाज़ संख्या (Lovász number) और शैनन क्षमता (Shannon capacity) जैसे प्रमुख ग्राफ इनवेरिएंट्स इस तुल्यता के अंतर्गत अपरिवर्तित रहते हैं।

मूल लेखक: Alexandros Chatzinikolaou, Gage Hoefer, Nikolaos Koutsonikos-Kouloumpis, Ioannis Apollon Paraskevas

प्रकाशित 2026-04-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Alexandros Chatzinikolaou, Gage Hoefer, Nikolaos Koutsonikos-Kouloumpis, Ioannis Apollon Paraskevas

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक नेटवर्क के "आकार" को समझने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक सोशल मीडिया ग्राफ, एक सड़क का नक्शा, या एक सर्किट बोर्ड। शास्त्रीय दुनिया में, हम बिंदुओं (vertices) और रेखाओं (edges) को खींचते हैं ताकि यह देख सकें कि कौन किससे जुड़ा है। लेकिन क्वांटम दुनिया में, चीजें धुंधली होती हैं। "बिंदु" केवल बिंदु नहीं हैं; वे संभावनाओं के बादल हैं, और "रेखाएं" जटिल संबंध हैं जो सुपरपोजिशन (superposition) में अस्तित्व में हो सकते हैं।

यह शोध पत्र क्वांटम ग्राफ (Quantum Graphs) की तुलना करने का एक नया तरीका बनाने के बारे में है। लेखक जानना चाहते हैं: दो क्वांटम ग्राफ कब अनिवार्य रूप से "एक ही" होते हैं, भले ही वे सतह पर अलग दिखते हों?

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है।

1. समस्या: अलग आकार, एक ही आत्मा

शास्त्रीय गणित में, यदि आपके पास दो ग्राफ हैं जो अलग दिखते हैं, तो उन्हें आमतौर पर अलग माना जाता है। लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में, दो प्रणालियाँ समान व्यवहार कर सकती हैं, भले ही उनकी अंतर्निहित संरचनाएँ भिन्न हों।

लेखक मोराता इक्विवेलेंस (Morita Equivalence) नामक एक अवधारणा पेश करते हैं। इसे "कॉसप्ले" (Cosplay) परीक्षण के रूप में सोचें।

आइसोमोर्फिज्म (Isomorphism - सख्त परीक्षण): दो ग्राफ आइसोमोर्फिक हैं यदि आप ग्राफ A के हर एक बिंदु का नाम बदलकर ग्राफ B से पूरी तरह मेल खाने के लिए बदल सकते हैं, रेखा दर रेखा। वे जुड़वां भाई-बहन हैं।
मोराता इक्विवेलेंस (Morita Equivalence - लचीला परीक्षण): दो ग्राफ मोराता समकक्ष हैं यदि वे "कॉसप्लेयर" हैं। वे अलग वेशभूषा (अलग आकार, नोड्स की अलग संख्या) पहन सकते हैं, लेकिन वे क्वांटम दुनिया में बिल्कुल वही भूमिका निभाते हैं। वे एक ही "क्वांटम डीएनए" साझा करते हैं।

2. उपकरण: "कंकाल" (Skeleton) और "ब्लो-अप" (Blow-Up)

यह सिद्ध करने के लिए कि दो क्वांटम ग्राफ मोराता समकक्ष कब हैं, लेखक उन्हें उनके मूल ढांचे तक उतारने का एक तरीका आविष्कार करते हैं।

कंकाल (True-Twin Reduction): एक कक्षा की कल्पना करें जहाँ कुछ छात्र "सच्चे जुड़वां" (true twins) हैं। वे एक ही स्थान पर बैठते हैं, उनके दोस्त बिल्कुल एक जैसे हैं, और वे शिक्षक के प्रति बिल्कुल एक जैसा व्यवहार करते हैं। ग्राफ में, ये वे वर्टिस (vertices) हैं जो बाहर से एक दूसरे से अविभेद्य हैं।
- लेखक दिखाते हैं कि आप इन सभी "सच्चे जुड़वाओं" को एक एकल प्रतिनिधि बिंदु में समेट सकते हैं। यह ग्राफ का कंकाल (Skeleton) बनाता है।
- उपमा: भीड़ की एक उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाली फोटो के बारे में सोचें। यदि आप ज़ूम आउट करते हैं, तो व्यक्तिगत चेहरे आपस में मिल जाते हैं। "कंकाल" वह लो-रिज़ॉल्यूशन वाला संस्करण है जहाँ आप केवल विशिष्ट समूहों को देखते हैं।
ब्लो-अप (The Blow-Up): इसके विपरीत, आप एक सरल ग्राफ को हर एक बिंदु को समान बिंदुओं के एक पूरे समूह (cliques) से बदलकर "ब्लो-अप" कर सकते हैं।
- उपमा: वीडियो गेम में एक सिंगल पिक्सेल की कल्पना करें। आप ज़ूम इन कर सकते हैं और उस एक पिक्सेल को समान पिक्सेल के एक छोटे 10x10 ग्रिड से बदल सकते हैं। छवि बड़ी और अधिक विस्तृत दिखती है, लेकिन वस्तु का "आकार" नहीं बदलता है।

बड़ी खोज: यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि दो क्वांटम ग्राफ मोराता समकक्ष हैं यदि और केवल यदि वे दोनों एक ही अंतर्निदम कंकाल के "ब्लो-अप" हैं। यदि आप दोनों ग्राफों को एक ही कंकाल तक सिकोड़ सकते हैं, तो वे क्वांटम जुड़वां हैं।

3. "पुलबैक" (Pullback) और "पुशफोरवर्ड" (Pushforward) (अनुवाद मशीन)

हम इन विभिन्न संस्करणों के बीच कैसे जा सकते हैं? लेखक पुलबैक (Pullbacks) और पुशफोरवर्ड (Pushforwards) नामक गणितीय उपकरणों का उपयोग करते हैं।

पुलबैक: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक शहर का नक्शा है (बड़ा ग्राफ) और आप एक पर्यटक के लिए एक सरल नक्शा बनाना चाहते हैं (छोटा ग्राफ)। आप बड़े नक्शे को लेते हैं और विवरणों को छोटे पैमाने पर फिट होने के लिए "पीछे खींचते" (pull) हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि यदि बड़े नक्शे में दो सड़कें जुड़ी हुई थीं, तो वे छोटे वाले में भी जुड़ी रहें।
पुशफोरवर्ड: यह इसका उल्टा है। आप छोटे नक्शे को लेते हैं और एक बड़े, अधिक विस्तृत संस्करण बनाने के लिए उसे आगे "धकेलते" (push) हैं।

लेखक दिखाते हैं कि यदि आप इन विशिष्ट, उच्च-गुणवत्ता वाले अनुवादों (जो क्वांटम नियमों को बनाए रखते हैं) का उपयोग करके ग्राफ A को ग्राफ B में अनुवादित कर सकते हैं, तो ग्राफ समकक्ष हैं।

4. यह क्यों मायने रखता है? (इनवेरियंट्स - Invariants)

यदि दो ग्राफ मोराता समकक्ष हैं, तो वे कुछ "इनवेरियंट्स" साझा करते हैं—ऐसे गुण जो कभी नहीं बदलते, चाहे आप उन्हें कितना भी ब्लो-अप करें या सिकोड़ें।

लेखक सिद्ध करते हैं कि निम्नलिखित "क्वांटम आंकड़े" समकक्ष ग्राफों के लिए समान हैं:

स्वतंत्रता संख्या (Independence Number): अधिकतम संख्या में बिंदु जिन्हें आप चुन सकते हैं ताकि उनमें से कोई भी आपस में जुड़ा न हो। (जैसे कि उन लोगों की अधिकतम संख्या जिन्हें आप एक पार्टी में आमंत्रित कर सकते हैं जहाँ दो लोग एक-दूसरे को नहीं जानते)।
शैनन क्षमता (Shannon Capacity): शोर वाले क्वांटम चैनल के माध्यम से आप बिना किसी त्रुटि के कितनी जानकारी भेज सकते हैं।
लोवाज़ संख्या (Lovász Number): एक प्रसिद्ध गणितीय सीमा जो यह अनुमान लगाने में मदद करती है कि ग्राफ को रंगना (जैसे कि सुडोकू पहेली) कितना कठिन है।

निष्कर्ष: भले ही आप एक क्वांटम ग्राफ लें, उसे विशाल बनाने के लिए ब्लो-अप करें, और उसका स्वरूप बदल दें, उसकी "सूचना ले जाने की क्षमता" और "रंगने की कठिनाई" बिल्कुल समान रहती है।

5. विशेष मामला: गैर-कम्यूटेटिव ग्राफ (Non-Commutative Graphs)

शोध पत्र एक विशिष्ट प्रकार के क्वांटम ग्राफ को भी देखता है जिसका उपयोग जीरो-एरर क्वांटम कम्युनिकेशन में किया जाता है। इस विशेष मामले में, "मजबूत" समानता (जहाँ न केवल ग्राफ बल्कि अंतर्निहित बीजगणित भी मेल खाता है) वास्तव में "कमजोर" संस्करण के समान ही निकलती है।

इसका अर्थ यह है कि इन विशिष्ट क्वांटम संचार चैनलों के लिए, यदि वे मोराता समकक्ष हैं, तो वे अनिवार्य रूप से एक ही चैनल हैं, बस उन्हें अलग तरह से वर्णित किया गया है। यह वैज्ञानिकों को क्वांटम चैनलों को बहुत आसानी से वर्गीकृत करने की अनुमति देता है।

सारांश

यह शोध पत्र क्वांटम नेटवर्क की अस्त-व्यस्त, जटिल दुनिया और ग्राफ थ्योरी की स्वच्छ, तार्किक दुनिया के बीच एक सेतु है।

रूपक: यह महसूस करने जैसा है कि एक विशाल, जटिल गगनचुंबी इमारत और एक छोटा, सरल घर वास्तव में एक ही इमारत हैं, बस एक दूसरे का "ब्लो-अप" है।
परिणाम: एक क्वांटम ग्राफ के "कंकाल" (वास्तविक सार) को पहचानकर, हम बता सकते हैं कि क्या दो अलग दिखने वाले क्वांटम सिस्टम वास्तव में एक ही काम कर रहे हैं। यह भौतिकविदों और गणितज्ञों को विवरणों के "कॉसप्ले" में खोए बिना क्वांटम संचार और गणना की मौलिक सीमाओं को समझने में मदद करता है।

यहाँ शोध पत्र "Morita Equivalence for Quantum Graphs" (Chatzinikolaou, Hoefer, Koutsonikos-Kouloumpis, और Paraskevas द्वारा लिखित) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र क्वांटम ग्राफ्स (quantum graphs) के लिए मोरिटा तुल्यता (Morita equivalence) को परिभाषित करने हेतु एक सुदृढ़ ऑपरेटर-एल्जेब्रिक ढांचे की आवश्यकता को संबोधित करता है। यद्यपि मोरिटा तुल्यता रिंग्स (rings), C*-एल्जेब्रों (C*-algebras), और ऑपरेटर सिस्टम्स (operator systems) के लिए अच्छी तरह स्थापित है, क्वांटम ग्राफ्स (जो शास्त्रीय ग्राफ्स को नॉनकम्यूटेटिव सेटिंग में सामान्यीकृत करते हैं) पर इसका अनुप्रयोग एक विशिष्ट अनुकूलन की मांग करता है।

मुख्य चुनौतियाँ शामिल हैं:

तुल्यता को परिभाषित करना: यह निर्धारित करना कि दो क्वांटम ग्राफ कब "संरचनात्मक रूप से तुल्य" (structurally equivalent) होते हैं, इस तरह से जो उनके आवश्यक गुणों को संरक्षित करता है, जैसा कि शास्त्रीय ग्राफ तब तुल्य होते हैं जब वे समरूप (isomorphic) ग्राफ्स के पुलबैक (pullbacks) हों।
शास्त्रीय परिणामों का सामान्यीकरण: ग्राफ ऑपरेटर सिस्टम्स के लिए $\Delta$ -तुल्यता और TRO-तुल्यता के माध्यम से एलीफथेराकिस, ककारीडियास, और टोडोरोव के कार्य को व्यापक क्वांटम ग्राफ्स (जो वॉन न्यूमैन एल्जेब्रा के कम्यूटेंट के बाइमॉड्यूल के रूप में ऑपरेटर सिस्टम हैं) के परिवेश में विस्तारित करना।
पैरामीटर्स की अपरिवर्तनीयता (Invariance of Parameters): उन कॉम्बिनेटोरियल और सूचना-सैद्धांतिक पैरामीटर्स (जैसे स्वतंत्रता संख्या, शैनन क्षमता, लोवाज़ संख्या) की पहचान करना जो इन तुल्यता संबंधों के तहत अपरिवर्तित रहते हैं।

2. कार्यप्रणाली और ढांचा (Methodology and Framework)

लेखक वीवर (Weaver) के दृष्टिकोण को अपनाते हैं, जहाँ वे क्वांटम ग्राफ्स को क्वांटम संबंधों (quantum relations) के रूप में देखते हैं।

क्वांटम ग्राफ्स की परिभाषा: एक क्वांटम ग्राफ को एक युग्म $(S, A)$ $(S, A)$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $A \subseteq B(H)$ $A \subseteq B (H)$ एक वॉन न्यूमैन एल्जेब्रा है और $S \subseteq B(H)$ $S \subseteq B (H)$ एक ऑपरेटर सिस्टम है जो $A'$ $A^{'}$ के बाइमॉड्यूल के रूप में कार्य करता है (अर्थात $A'SA' \subseteq S$ $A^{'} S A^{'} \subseteq S$ )।
- विशेष मामले: यदि $A = D_n$ (डायगोनल मैट्रिसेस) है, तो यह शास्त्रीय ग्राफ ऑपरेटर सिस्टम्स को पुनः प्राप्त करता है। यदि $A = \mathbb{C}I_n$ है, तो यह नॉनकम्यूटेटिव ग्राफ्स ( $M_n$ में ऑपरेटर सिस्टम) को पुनः प्राप्त करता है।
तुल्यता के विचार (Equivalence Notions):
- $\Delta$ -तुल्यता: एलीफथेराकिस, ककारीडियास, और टोडोरोव द्वारा पेश किया गया ऑपरेटर सिस्टम्स के लिए एक मोरिटा-प्रकार की तुल्यता।
- TRO-तुल्यता: दो ऑपरेटर सिस्टम्स $S$ और $T$ TRO-तुल्य ( $S \sim_{TRO} T$ ) हैं यदि एक गैर-अपघटनीय (non-degenerate) टर्नरी रिंग ऑफ ऑपरेटर्स (TRO) $M$ मौजूद है ऐसा कि $M^*TM \subseteq S$ और $MSM^* \subseteq T$ ।
पुलबैक और पुशफोरवर्ड (Pullback and Pushforward): लेखक कॉम्प्लीटली पॉजिटिव मैप्स (विशेष रूप से यूनिटल $*$ $*$ -होमोमोर्फिज्म) के माध्यम से क्वांटम संबंधों के पुलबैक और पुशफोरवर्ड की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।
- एक मैप $\theta: B \to A$ के अनुदिश क्वांटम ग्राफ $(T, B)$ का पुलबैक वह ऑपरेटर सिस्टम $T \leftarrow_\theta$ है जो $\{v_i^* t v_j\}$ द्वारा जनित होता है।
- एक फुल पुलबैक (full pullback) एक निष्कनिष्ठ (faithful) $*$ -होमोमोर्फिज्म के अनुरूप होता है।
कंकाल निर्माण (Skeleton Construction): एक इरेड्यूसिबली एक्टिंग (irreducibly acting) क्वांटम ग्राफ को उसके "ट्रू-ट्विन" (true-twin) संरचनाओं को पहचानकर एक "कंकाल" (skeleton) तक सीमित करने के लिए एक नवीन निर्माण पेश किया गया है। इसमें मल्टीप्लायर एल्जेब्रा $A_S$ को मैट्रिक्स ब्लॉक्स में विघटित करना और तदनुसार ऑपरेटर सिस्टम को फैक्टराइज़ करना शामिल है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. मोरिटा तुल्यता का अभिलक्षण (Characterization of Morita Equivalence - Theorem A)

शोध पत्र का केंद्रीय परिणाम (थ्योरम 3.15) दो इरेड्यूसिबली एक्टिंग क्वांटम ग्राफ्स $(S, A)$ और $(T, B)$ के लिए तीन स्थितियों की तुल्यता स्थापित करता है:

TRO-तुल्यता: $S \sim_{TRO} T$ ।
$\Delta$ -तुल्यता: $S \sim_\Delta T$ ।
साझा फुल पुलबैक: एक क्वांटम ग्राफ $(R, C)$ मौजूद है जिससे $(S, A)$ और $(T, B)$ दोनों $(R, C)$ के फुल पुलबैक हैं।

यह शास्त्रीय परिणाम का सामान्यीकरण करता है कि दो ग्राफ मोरिटा तुल्य होते हैं यदि और केवल यदि वे समरूप ग्राफ्स (या समकक्ष रूप से उनके कंकालों) के फुल पुलबैक हैं।

B. क्वांटम ग्राफ का कंकाल (The Skeleton of a Quantum Graph)

लेखक एक इरेड्यूसिबली एक्टिंग क्वांटम ग्राफ $(S, A)$ के कंकाल $(R, C)$ का निर्माण करते हैं।

यह निर्माण क्वांटम सेटिंग के भीतर "ट्रू-ट्विन" तुल्यता वर्गों को अलग करता है।
यह सिद्ध किया गया है कि $(S, A)$ अपने कंकाल $(R, C)$ का एक फुल पुलबैक है।
शास्त्रीय ग्राफ ऑपरेटर सिस्टम्स के लिए, यह निर्माण मानक ग्राफ कंकाल को पुनः प्राप्त करता है (प्रपोजिशन 3.14)।

C. सुदृढ़ धारणा: समवर्ती TRO-तुल्यता (Stronger Notion: Simultaneous TRO-Equivalence - Theorem B & C)

शोध पत्र मोरिटा तुल्यता के एक सुदृढ़ रूप की जांच करता है जहाँ दोनों ऑपरेटर सिस्टम और उनके संबंधित एल्जेब्रा एक साथ TRO-तुल्य होते हैं।

थ्योरम 3.19: इसे क्रौस ऑपरेटर्स (Kraus operators) द्वारा जनित TRO को शामिल करने वाली विशिष्ट समावेशन शर्तों को संतुष्ट करने वाले एक निष्कनिष्ठ यूनिटल कॉम्प्लीटली पॉजिटिव मैप $\phi$ की उपस्थिति के माध्यम से अभिलक्षित किया गया है।
नॉनकम्यूटेटिव ग्राफ्स: नॉनकम्यूटेटिव ग्राफ्स के विशेष मामले में (जहाँ $A = \mathbb{C}I$ ), मोरिटा तुल्यता के दोनों विचार आपस में मिल जाते हैं। थ्योरम C (कोरोलरी 3.21) एक मूर्त अभिलक्षण प्रदान करती है: $S \sim_{TRO} T$ यदि और केवल यदि एक यूनिटल कॉम्प्लीटली पॉजिटिव मैप $\phi$ मौजूद है जिससे $S = T \leftarrow_\phi$ और $T = S \to_\phi$ ।

D. ग्राफ पैरामीटर्स की अपरिवर्तनीयता (Invariance of Graph Parameters - Theorem D)

लेखक TRO-तुल्यता के तहत विभिन्न नॉनकम्यूटेटिव ग्राफ पैरामीटर्स के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं।

अपरिवर्तनीय पैरामीटर्स: निम्नलिखित को TRO-तुल्यता के तहत (और इस प्रकार इरेड्यूसिबल ग्राफ्स के लिए $\Delta$ $Δ$ -तुल्यता के तहत) अपरिवर्तनीय सिद्ध किया गया है:
- स्वतंत्रता संख्या ( $\alpha$ )
- शैनन क्षमता ( $c_0$ )
- लोवाज़ संख्या ( $\vartheta$ ) और उसका वेरिएंट ( $\bar{\vartheta}$ )
- हेमर्स बाउंड ( $H$ )
- क्वांटम कॉम्प्लेक्सिटी ( $\beta$ ) और सब-कॉम्प्लेक्सिटी ( $\gamma$ )
गैर-अपरिवर्तनीय पैरामीटर्स: क्रोमैटिक नंबर ( $\chi_0$ ) और क्लीक नंबर ( $\omega$ ) TRO-तुल्यता के तहत अपरिवर्तनीय नहीं हैं (रिमार्क 4.2)।

E. कनेक्टिविटी (Connectivity)

शोध पत्र दिखाता है कि कनेक्टिविटी (परिभाषित $C^*(S) = B(H)$ के रूप में) इरेड्यूसिबली एक्टिंग क्वांटम ग्राफ्स के लिए मोरिटा तुल्यता के तहत अपरिवर्तनीय है (प्रपोजिशन 4.7)।

4. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

ढांचों का एकीकरण: यह शोध पत्र शास्त्रीय ग्राफ आइसोमोर्फिज्म/पुलबैक के सिद्धांत को ऑपरेटर-एल्जेब्रिक मोरिटा तुल्यता के सिद्धांत के साथ सफलतापूर्वक एकीकृत करता है, जो कॉम्बिनेटोरिक्स और नॉनकम्यूटेटिव ज्योमेट्री के बीच के अंतर को पाटता है।
संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: क्वांटम ग्राफ्स के लिए "कंकाल" (skeleton) का परिचय उनके मोरिटा तुल्यता तक वर्गीकरण के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है, जो जटिल संरचनाओं को उनके आवश्यक "कोर" (जैसे कि ग्राफ को उसके ट्रू-ट्विन कोशेंट में बदलना) तक सीमित कर देता है।
सुदृढ़ इनवेरिएंट्स: मोरिटा तुल्यता के तहत अपरिवर्तनीय विशिष्ट पैरामीटर्स की पहचान करके, यह शोध पत्र जीरो-एरर क्वांटम कम्युनिकेशन जैसे संदर्भों में क्वांटम ग्राफ्स के अध्ययन के लिए एक स्थिर आधार प्रदान करता है, जहाँ ये पैरामीटर्स महत्वपूर्ण हैं।
तुल्यता का विभेदन: यह कार्य मानक TRO-तुल्यता और अधिक सुदृढ़ 'समवर्ती TRO-तुल्यता' के बीच के अंतर को स्पष्ट करता है, यह दिखाते हुए कि जहाँ बाद वाला शास्त्रीय ग्राफ्स के लिए आइसोमोर्फिज्म में सिमट जाता है, वहीं सामान्य क्वांटम ग्राफ्स के लिए यह भिन्न रहता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र क्वांटम ग्राफ्स के लिए मोरिटा तुल्यता का एक व्यापक सिद्धांत स्थापित करता है, यह सिद्ध करता है कि संरचनात्मक तुल्यता साझा "कंकालों" द्वारा निर्धारित होती है और यह प्रदर्शित करता है कि प्रमुख सूचना-सैद्धांतिक क्षमताएं इस तुल्यता के तहत संरक्षित रहती हैं।