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Wasserstein Distributionally Robust Risk-Sensitive Estimation via Conditional Value-at-Risk

यह शोध पत्र एक वासेस्टीन अस्पष्टता सेट (Wasserstein ambiguity set) के भीतर कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क (CVaR) का उपयोग करके जोखिम-संवेदनशील अनुमान के लिए एक वितरण रूप से सुदृढ़ (distributionally robust) ढांचे का प्रस्ताव करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि इष्टतम एफाइन अनुमानों को एक सेमीडेफिनेट प्रोग्राम के माध्यम से सटीक रूप से परिकलित किया जा सकता है और बिजली मूल्य पूर्वानुमान में बेहतर आउट-ऑफ-सैंपल प्रदर्शन के माध्यम से मान्य किया जा सकता है।

मूल लेखक: Feras Al Taha, Eilyan Bitar

प्रकाशित 2026-04-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Feras Al Taha, Eilyan Bitar

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: अनिश्चितता की भविष्यवाणी करना

कल्पना कीजिए कि आप एक मौसम विज्ञानी हैं। आपका काम कल के तापमान की भविष्यवाणी करना है। आमतौर पर, आप औसत (average) भविष्यवाणी को सही करने की कोशिश करते हैं। यदि आप 70°F का अनुमान लगाते हैं और वास्तव में 72°F होता है, तो यह एक छोटी सी त्रुटि है। यदि आप 70°F का अनुमान लगाते हैं और वास्तव में 68°F होता है, तो यह भी एक छोटी सी त्रुटि है। आप बस औसतन करीब रहना चाहते हैं।

लेकिन क्या होगा यदि आप एक पावर ग्रिड (बिजली ग्रिड) के प्रभारी हैं? एक छोटी सी गलती परेशान करने वाली होती है, लेकिन एक बड़ी गलती विनाशकारी हो सकती है। यदि आप भविष्यवाणी करते हैं कि मौसम सुहावना रहेगा, लेकिन अचानक एक भीषण हीटवेव (लू) आ जाती है, तो पावर ग्रिड क्रैश हो सकता है, जिससे ब्लैकआउट हो सकते हैं और लाखों डॉलर का नुकसान हो सकता है।

यह शोध पत्र एक ऐसा "सुपर-फोरकास्टर" बनाने के बारे में है जो केवल औसतन सही होने की परवाह नहीं करता। इसे विशेष रूप से विपत्ति से बचने की परवाह है। यह एक विशाल, महंगी त्रुटि होने की संभावना को कम करना चाहता है, भले ही इसके लिए सामान्य दिनों में थोड़ा कम सटीक होना पड़े।

समस्या: "सबसे अच्छा अनुमान" का जाल

भविpredictions (भविष्यवाणियां) करने के लिए, कंप्यूटर आमतौर पर पिछले डेटा (जैसे पिछले साल का मौसम) को देखते हैं ताकि एक "नोमिनल डिस्ट्रीब्यूशन" (nominal distribution) बनाया जा सके—मूल रूप से, एक नक्शा कि आमतौर पर क्या होता है।

खामी:
कल्पना कीजिए कि दुनिया का आपका नक्शा पिछले 10 वर्षों के मौसम के आधार पर बनाया गया है। लेकिन क्या होगा यदि "सदी में एक बार" आने वाला तूफान आ रहा है? आपका नक्शा उसे नहीं दिखाएगा क्योंकि पिछले 10 वर्षों में ऐसा कभी नहीं हुआ है।
यदि आप केवल उस नक्शे के आधार पर अपना प्रेडिक्शन मॉडल बनाते हैं, तो आप उस तूफान के सामने पूरी तरह से बेबस हो जाएंगे। आपने अपनी "औसत त्रुटि" को कम किया होगा, लेकिन आप सबसे खराब स्थिति के लिए पूरी तरह से तैयार नहीं होंगे।

समाधान: "वासेरस्टीन बॉल" (Wasserstein Ball) सुरक्षा जाल

लेखक इन मॉडलों को बनाने का एक नया तरीका प्रस्तावित करते हैं। अतीत के एक एकल नक्शे पर भरोसा करने के बजाय, वे कहते हैं: "मान लेते हैं कि वास्तविक दुनिया हमारे नक्शे से थोड़ी अलग हो सकती है।"

वे एक गणितीय अवधारणा का उपयोग करते हैं जिसे वासेरस्टीन बॉल (Wasserstein Ball) कहा जाता है।

रूपक (Metaphor): कल्पना कीजिए कि आपका "नोमिनल डिस्ट्रीब्यूशन" (डेटा के आधार पर आपका सबसे अच्छा अनुमान) एक बड़े, नरम, धुंधले गोले (जिसे एम्बिग्युटी सेट/Ambiguity Set कहा जाता है) के केंद्र में रखी एक मार्बल (कंचा) है।
त्रिज्या (Radius): इस धुंधले गोले का आकार आपके विश्वास को दर्शाता है।
- यदि गोला बहुत छोटा है, तो आप बहुत आश्वस्त हैं कि आपका डेटा सटीक है।
- यदि गोला बहुत बड़ा है, तो आप स्वीकार कर रहे हैं, "मुझे ठीक से नहीं पता कि बाहर क्या है; सच इस बड़े धुंधले क्षेत्र के भीतर कहीं भी हो सकता है।"

उनके तरीके का लक्ष्य एक ऐसा प्रेडिक्शन नियम खोजना है जो उस धुंधले गोले के भीतर सबसे खराब स्थिति (worst-case scenario) में भी काम करे। यह यात्रा के लिए पैकिंग करने जैसा है: "औसत मौसम" के लिए पैक करने के बजाय, आप उस सबसे खराब तूफान के लिए पैक करते हैं जो आपकी अनिश्चितता के क्षेत्र के भीतर घटित हो सकता है।

जोखिम मीटर: CVaR (कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क)

वे "विपत्ति" को कैसे मापते हैं? वे CVaR नामक एक मीट्रिक का उपयोग करते हैं।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आप एक खेल खेल रहे हैं जहाँ आप पैसे हार रहे हैं।
- औसत हानि (Average Loss): आप औसतन $10 हारते हैं।
- CVaR: आप छोटी हानियों को अनदेखा कर देते हैं। आप केवल सबसे खराब 1% दिनों को देखते हैं। यदि उन सबसे खराब दिनों में आप $1,000 हार जाते हैं, तो आपका CVaR $1,000 है।
यह क्यों मायने रखता है: शोध पत्र का तरीका इस "सबसे खराब 1%" संख्या को कम करने की कोशिश करता है। यह मॉडल को केवल रोजमर्रा की उथल-पुथल के लिए नहीं, बल्कि अंत में आने वाली आपदाओं (tail-end disasters) के खिलाफ भी मजबूत बनाता है।

जादू का खेल: एक दुःस्वप्न को पहेली में बदलना

आमतौर पर, एक धुंधले गोले के भीतर "सबसे खराब स्थिति" की गणना करना एक गणितीय दुःस्वप्न होता है। इसमें अनंत संभावनाओं की जांच शामिल है, जिसे एक कंप्यूटर द्वारा तेजी से हल करना असंभव है।

महत्वपूर्ण खोज:
लेखकों ने एक गणितीय "जादुई ट्रिक" (जिसे स्ट्रॉन्ग डुअलिटी (Strong Duality) और सेमीडेफिनेट प्रोग्रामिंग (Semidefinite Programming) कहा जाता है) की खोज की।

रूपक: यह कोहरे से भरे पहाड़ी क्षेत्र में सबसे ऊँची चोटी खोजने की कोशिश करने जैसा है। आमतौर पर, आपको यकीन करने के लिए हर एक पहाड़ी पर चढ़ना पड़ता है।
ट्रिक: उन्होंने सिद्ध किया कि आपको हर पहाड़ी पर चढ़ने की आवश्यकता नहीं है। आप इस समस्या को एक अलग भाषा (एक सेमीडेफिनेट प्रोग्राम या SDP) में अनुवाद कर सकते हैं जिसे एक कंप्यूटर सुडोकू पहेली की तरह तुरंत हल कर सकता है।

इसका मतलब है कि वे केवल अनुमान लगाने के बजाय, सटीक रूप से "परफेक्ट डिजास्टर-प्रूफ" प्रेडिक्शन नियम की गणना कर सकते हैं।

वास्तविक दुनिया का परीक्षण: बिजली की कीमतें

इसे साबित करने के लिए, उन्होंने बिजली की कीमतों (electricity prices) पर इसका परीक्षण किया।

परिदृश्य: बिजली की कीमतें अजीब होती हैं। अधिकांश समय, वे स्थिर रहती हैं। लेकिन कभी-कभी, वे कुछ घंटों के लिए पागलपन भरे स्तर (जैसे $300/MWh) तक बढ़ जाती हैं। ये उछाल दुर्लभ हैं लेकिन महंगे होते हैं।
डेटा: उन्होंने PJM पावर मार्केट के वास्तविक डेटा का उपयोग किया। उन्होंने दो महीने के डेटा पर अपने मॉडल को प्रशिक्षित किया और फिर तीसरे महीने पर इसका परीक्षण किया जिसमें कुछ भारी मूल्य उछाल (price spikes) शामिल थे जो पहले कभी नहीं हुए थे।
परिणाम:
- पुराना तरीका (Standard): औसत कीमत को सही करने की कोशिश करता था। जब उछाल आए, तो यह बहुत पीछे रह गया, जिससे भारी त्रुटियां हुईं।
- नया तरीका (DR-CVaR): क्योंकि इसे धुंधले गोले के भीतर "सबसे खराब स्थिति" से डरने के लिए प्रशिक्षित किया गया था, इसने उछालों की बहुत बेहतर भविष्यवाणी की।
- समझौता (Trade-off): सामान्य दिनों में, नया तरीका पुराने तरीके के समान ही अच्छा था (या थोड़ा कम सटीक था)। लेकिन आपदा वाले दिनों में, इसने स्थिति को संभाल लिया।

सारांश: यह क्यों मायने रखता है

यह शोध पत्र हमें एक अराजक दुनिया में निर्णय लेने के लिए एक नया उपकरण देता है।

औसत पर भरोसा न करें: उच्च-दांव वाले क्षेत्रों (वित्त, पावर ग्रिड, स्वास्थ्य सेवा) में, औसत पूरी कहानी नहीं बताता है।
"शायद" के लिए योजना बनाएं: यह मानने के बजाय कि आपका डेटा पूर्ण है, यह मान लें कि आपके डेटा के चारों ओर अनिश्चितता का एक "धुंधला क्षेत्र" है।
पूंछ (Tail) की रक्षा करें: अपने सिस्टम को केवल 99% सामान्य घटनाओं के लिए नहीं, बल्कि 1% सबसे खराब घटनाओं से बचने के लिए डिज़ाइन करें।

लेखकों ने दिखाया है कि आप इसे गणितीय रूप से, कुशलता से, और वास्तव में दशकों से उपयोग किए जा रहे तरीकों की तुलना में बेहतर तरीके से कर सकते हैं। यह मौसम के पूर्वानुमान को "धूप रहेगी" से अपग्रेड करने जैसा है जो कहता है "धूप रहेगी, लेकिन यहाँ बताया गया है कि यदि टोरनैडो आता है तो उससे कैसे बचना है।"

यहाँ फेरस अल तहा और इलियन बिटार के शोध पत्र "Wasserstein Distributionally Robust Risk-Sensitive Estimation via Conditional Value-at-Risk" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र एक अज्ञात लेटेंट सिग्नल वेक्टर $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ को एक अवलोकित सिग्नल वेक्टर $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^m$ से अनुमानित करने की समस्या का समाधान करता है। रैंडम वेक्टर $\mathbf{z} = (\mathbf{x}, \mathbf{y})$ का संयुक्त वितरण $P$ अज्ञात है, लेकिन यह माना जाता है कि यह एक एम्बिग्युटी सेट (Ambiguity Set) $\mathcal{P}$ में आता है।

एम्बिग्युटी सेट (Ambiguity Set): सेट $\mathcal{P}$ को एक नाममात्र वितरण (nominal distribution) $P_0$ (जो आमतौर पर डेटा से अनुमानित होता है) के केंद्र में $r$ त्रिज्या वाले Type-2 Wasserstein ball के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\mathcal{P} := \{ P \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d) \mid W_2(P, P_0) \leq r \}$
जहाँ $W_2$ वासरस्टीन दूरी (Wasserstein distance) है और $d = n+m$ है।
अनुमानकर्ता वर्ग (Estimator Class): लेखक खोज क्षेत्र को एफाइन अनुमानकर्ताओं (affine estimators) तक सीमित रखते हैं जो $\psi(\mathbf{y}) = A\mathbf{y} + \mathbf{b}$ के रूप में होते हैं।
उद्देश्य: पारंपरिक विधियों के विपरीत, जो मीन स्क्वेयर्ड एरर (MSE) को कम करती हैं, यह कार्य स्क्वेयर्ड एस्टिमेशन एरर के कंडीशनल वैल्यू-एट-रिस्क (CVaR) को कम करता है। स्तर $\alpha \in (0, 1]$ पर CVaR, सबसे खराब $\alpha$ -फ्रैक्शन मामलों में अपेक्षित हानि को मापता है, जो इसे एक रिस्क-सेंसिटिव मेट्रिक बनाता है।
अनुकूलन लक्ष्य (Optimization Goal): उस एफाइन अनुमानकर्ता को खोजना जो एम्बिग्युटी सेट में सभी वितरणों पर वर्स्ट-केस CVaR (worst-case CVaR) को कम करता हो:
$\inf_{\psi \in \mathcal{A}} \sup_{P \in \mathcal{P}} \text{CVa-R}_{\alpha}^{P} \left( \|\mathbf{x} - \psi(\mathbf{y})\|^2 \right)$

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

मुख्य पद्धतिगत योगदान ऑप्टिकल ट्रांसपोर्ट थ्योरी में द्वैतता सिद्धांत (duality theory) का उपयोग करके इस मिन-मैक्स (min-max) समस्या के लिए एक सुलभ कॉनवेक्स पुनर्गठन (convex reformulation) का व्युत्पन्न है।

A. वर्स्ट-केस CVaR के लिए स्ट्रॉन्ग ड्युअलिटी (Strong Duality for Worst-Case CVaR)

लेखक वासरस्टीन डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए एक स्ट्रॉन्ग ड्युअलिटी परिणाम का लाभ उठाते हैं। वे स्थापित करते हैं कि वर्स्ट-केस CVaR समस्या को एक स्केलर वेरिएबल $\tau$ और एक लैग्रेंज मल्टीप्लायर $\gamma$ वाले द्वैत न्यूनीकरण (dual minimization) समस्या में बदला जा सकता है।

थ्योरम 1: एक जेनेरिक लॉस फंक्शन $\ell(\mathbf{z})$ के लिए वर्स्ट-केस CVaR का द्वैत प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।
थ्योरम 2 (प्रमुख तकनीकी परिणाम): यह द्वैतता परिणाम को क्वाड्रेटिक लॉस फंक्शन्स (विशेष रूप से स्क्वेयर्ड एरर) के लिए विशिष्ट बनाता है। यह सिद्ध करता है कि एक क्वाड्रेटिक लॉस का वर्स्ट-केस CVaR, नाममात्र वितरण $P_0$ $P_{0}$ और एक पैरामीटर $\gamma$ $γ$ से जुड़ी एक कॉनवेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या के समतुल्य है।
- महत्व: पिछले परिणामों के विपरीत, जिन्हें एलिप्टिकल या एब्सोल्यूटली कंटीन्यूअस नाममात्र वितरण की आवश्यकता थी, यह थ्योरम किसी भी $P_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ के लिए मान्य है।

B. सेमीडेफिनेट प्रोग्रामिंग (SDP) पुनर्गठन

जब नाममात्र वितरण $P_0$ फाइनाइटली सपोर्टेड (finitely supported) होता है (उदाहरण के लिए, एक सीमित डेटासेट से प्राप्त एम्पिरिकल वितरण), तो लेखक दिखाते हैं कि समस्या को सटीक रूप से एक सेमीडेफिनेट प्रोग्राम (SDP) के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है।

थ्योरम 3: यदि $P_0$ $P_{0}$ , $N$ $N$ बिंदुओं $\{z_1, \dots, z_N\}$ ${z_{1}, \dots, z_{N}}$ पर यूनिफॉर्म है, तो मूल मिन-मैक्स समस्या निम्नलिखित SDP के समतुल्य है:
- चर (Variables): मैट्रिक्स $A$ , वेक्टर $\mathbf{b}$ , स्केलर $\gamma, \tau$ , और ऑक्सिलरी वेरिएबल्स $s_i$ ।
- बाधाएं (Constraints): क्वाड्रेटिक टर्म्स और CVaR परिभाषा को संभालने के लिए शूर कॉम्प्लीमेंट कंडीशन (Schur complement condition) से प्राप्त लीनियर मैट्रिक्स इनइक्वेलिटीज (LMIs)।
- उद्देश्य: $\tau + \frac{1}{\alpha}(\gamma r^2 + \frac{1}{N}\sum s_i)$ को कम करना।

यह पुनर्गठन मानक कॉनवेक्स ऑप्टिमाइज़ेशन सॉल्वर (जैसे MOSEK, CVX) का उपयोग करके इष्टतम रिस्क-सेंसिटिव अनुमानक को कुशलतापूर्वक गणना करने की अनुमति देता है।

3. प्रमुख योगदान (Key Contributions)

नवीन ढांचा (Novel Framework): CVaR of squared error मानदंड का उपयोग करके वासरस्टीन डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट एस्टिमेशन का पहला अध्ययन। पिछले कार्यों ने वर्स्ट-केस MSE (रिस्क-न्यूट्रल) पर ध्यान केंद्रित किया या अलग एम्बिग्युटी सेट्स (जैसे जेलब्रिच डिस्टेंस) का उपयोग किया।
सामान्य द्वैतता परिणाम (General Duality Result): थ्योरम 2 टाइप-2 वासरस्टीन एम्बिग्युटी के तहत बिना किसी प्रतिबंधात्मक धारणा के (जैसा कि पिछले कार्यों में एलिप्टिकल वितरणों के लिए आवश्यक था) क्वाड्रेटिक वर्स्ट-केस CVaR समस्याओं के लिए एक द्वैत पुनर्गठन स्थापित करती है।
सटीक सुलभता (Exact Tractability): थ्योरम 3 फाइनाइटली सपोर्टेड नाममात्र वितरणों के लिए एक सटीक SDP पुनर्गठन प्रदान करती है, जिससे यह समस्या वास्तविक दुनिया के डेटासेट के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से हल करने योग्य बन जाती है।
रिस्क-सेंसिटिविटी बनाम रोबस्टनेस (Risk-Sensitivity vs. Robustness): यह ढांचा रिस्क सेंसिटिविटी (CVaR के माध्यम से) और डिस्ट्रीब्यूशनल रोबस्टनेस (वासरस्टीन बॉल के माध्यम से) को एकीकृत करता है, जो मॉडल मिसस्पेसिफिकेशन और टेल-इवेंट्स दोनों से बचाव के लिए एक ट्यूनेबल दृष्टिकोण प्रदान करता है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

लेखकों ने PJM मार्केट डेटा (मई-जुलाई 2013) का उपयोग करके एक होलसेल इलेक्ट्रिसिटी प्राइस फोरकास्टिंग कार्य पर अपने प्रस्तावित DR-CVaR अनुमानक का मूल्यांकन किया।

सेटअप:
- इनपुट: ऑवरली डे-अहेड लोड फोरकास्ट ( $\mathbf{y}$ )।
- टारगेट: ऑवरली डे-अहेड एनर्जी प्राइसेस ( $\mathbf{x}$ )।
- टेस्ट केस: टेस्ट सेट में प्रशिक्षण सेट की तुलना में काफी अधिक ऊंचे 'प्राइस स्पाइक्स' शामिल थे, जो टेल-रिस्क प्रदर्शन के लिए एक चुनौतीपूर्ण आउट-ऑफ-सैंपल परिदृश्य बनाता है।
तुलना:
- DR-CVaR: प्रस्तावित विधि जिसमें $\alpha = 0.01$ का रिस्क लेवल है।
- DR-MSE: वर्स्ट-केस MSE ( $\alpha = 1$ के समतुल्य) को कम करने वाला डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट अनुमानक।
निष्कर्ष:
- टेल रिस्क रिडक्शन: DR-CVaR अनुमानक ने विभिन्न एम्बिग्युटी रेडियस ( $r$ ) के तहत DR-MSE अनुमानक की तुलना में लगातार कम आउट-ऑफ-सैंपल CVaR (स्क्वेयर्ड एरर का) प्राप्त किया।
- ट्रेड-ऑफ: हालांकि DR-CVaR अनुमानक सामान्य प्राइस पैटर्न वाले दिनों में थोड़ा कम सटीक था (रिस्क-एवर्स ट्रेड-ऑफ के कारण), इसने चरम प्राइस स्पाइक्स वाले दिनों के दौरान MSE-आधारित अनुमानक की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन किया।
- रोबस्टनेस: जैसे-जैसे एम्बिग्युटी रेडियस $r$ बढ़ा, दोनों रोबस्ट अनुमानकों ने अपने नॉन-रोबस्ट समकक्षों की तुलना में बेहतर प्रदर्शन किया, लेकिन रिस्क-सेंसिटिव संस्करण ने वर्स्ट-केस टेल इवेंट्स के खिलाफ बेहतर सुरक्षा प्रदान की।

5. महत्व और प्रभाव (Significance and Impact)

व्यावहारिक अनुप्रयोग: यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जहाँ दुर्लभ और गंभीर त्रुटियों के विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं (जैसे पावर ग्रिड विश्वसनीयता, वित्तीय ट्रेडिंग), वहाँ डिस्ट्रीब्यूशनली रोबस्ट फ्रेमवर्क के भीतर CVaR के माध्यम से टेल रिस्क को स्पष्ट रूप से मॉडल करना महत्वपूर्ण है।
सैद्धांतिक प्रगति: यह ऑप्टिकल ट्रांसपोर्ट थ्योरी और रिस्क-सेंसिटिव कंट्रोल के बीच की खाई को पाटता है, जो डेटा वितरण और उस वितरण के भीतर चरम घटनाओं (extreme events) दोनों में अनिश्चितता को संभालने के लिए एक कठोर गणितीय उपकरण प्रदान करता है।
कम्प्यूटेशनल व्यवहार्यता: एक जटिल मिन-मैक्स समस्या को सुलभ SDP में बदलकर, लेखक उन्नत रिस्क-सेंसिटिव एस्टिमेशन को सीमित डेटासेट वाले व्यावहारिक इंजीनियरिंग कार्यों के लिए सुलभ बनाते हैं।

संक्षेप में, यह शोध पत्र ऐसे अनुमानकों को डिजाइन करने के लिए एक गणितीय रूप से कठोर और कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल तरीका प्रस्तावित करता है जो डिस्ट्रीब्यूशनल अनिश्चितता और विशेष रूप से दुर्लभ, उच्च-परिमाण की त्रुटियों के प्रभाव को कम करने के लिए अनुकूलित हैं।