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Asymptotic Metrological Scaling and Concentration in Chaotic Floquet Dynamics

यह शोध पत्र फ्लोकेट (Floquet) अराजक गतिकी के भीतर हार रैंडम (Haar random) यूनिटरी गेट्स का उपयोग करने वाले क्वांटम सेंसिंग प्रोटोकॉल की जांच करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि जबकि बड़े हिल्बर्ट स्पेस में अनंतस्पर्शी परिशुद्धता (asymptotic precision) रैखिक रूप से (शॉट-नॉइज़ सीमा) स्केल करती है, गैर-अनंतस्पर्शी शासन (non-asymptotic regimes) क्वांटम लाभ प्रदान करते हैं, और यह आगे स्थापित करता है कि फ्लोकेट रैंडम क्वांटम सर्किट बड़े स्थानीय आयामों की सीमा में वैश्विक यूनिटरी ऑपरेटरों की प्रभावी रूप से नकल करते हैं।

मूल लेखक: Astrid J. M. Bergman, Yunxiang Liao, Jing Yang

प्रकाशित 2026-04-22

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Astrid J. M. Bergman, Yunxiang Liao, Jing Yang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप कुछ अविश्वसनीय रूप से सूक्ष्म मापने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक अकेले परमाणु का चुंबकीय क्षेत्र या एक अति-सटीक घड़ी पर सटीक समय। क्वांटम भौतिकी की दुनिया में, इसे क्वांटम मेट्रोलॉजी (Quantum Metrology) कहा जाता है। इसका लक्ष्य न्यूनतम संसाधनों का उपयोग करके सबसे सटीक माप प्राप्त करना है।

यह शोध पत्र दो अलग-अलग रणनीतियों के निर्माण के लिए एक मार्गदर्शिका की तरह है, विशेष रूप से तब जब वह सिस्टम जिसे आप माप रहे हैं वह अराजक और जटिल हो (जैसे कणों का एक घूमता हुआ तूफान)।

यहाँ सरल उपमाओं का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है:

1. दो रणनीतियाँ: "अराजक मिश्रणकर्ता" बनाम "अराजक शेफ"

शोधकर्ताओं ने एक क्वांटम प्रयोग को व्यवस्थित करने के दो तरीकों को देखा। कल्पना कीजिए कि आपके पास कुछ सामग्रियाँ (क्वांटम कण) और एक रेसिपी (माप) है।

रणनीति A: "कंट्रोल" प्रोटोकॉल (द अराजक मिश्रणकर्ता - The Chaotic Mixer)
- उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक स्मूदी बना रहे हैं। आपके पास एक ब्लेंडर (अराजक अव्यवस्था) है और एक विशिष्ट फल है जिसे आप मापना चाहते हैं (सिग्नल)। इस रणनीति में, आप ब्लेंडर को चालू और बंद करते रहते हैं, और फल को जबकि उसे ब्लेंड किया जा रहा है, तभी मिलाते रहते हैं। यहाँ अराजकता स्वयं मिश्रण की प्रक्रिया का हिस्सा है।
- परिणाम: माप की सटीकता समय के साथ रैखिक (linearly) रूप से बढ़ती है। यह वैसा ही है जैसे हर मिनट ब्लेंड करने के लिए आप एक और स्कूप फल जोड़ते हैं। यह अच्छा है, लेकिन स्थिर है।
रणनीति B: "स्टेट-प्रिपरेशन" प्रोटोकॉल (द अराजक शेफ - The Chaotic Chef)
- उपमा: अब, कल्पना कीजिए कि आप एक सुपर-स्पेशल, पूरी तरह से मिश्रित "जादुई स्मूदी" (एक अत्यधिक एंटैंगल्ड अवस्था) बनाने के लिए पहले ब्लेंडर का उपयोग करते हैं। एक बार जब आपकी जादुई स्मूदी तैयार हो जाती है, तो आप ब्लेंडर को रोक देते हैं और फिर उसमें अपना फल मिलाते हैं। अराजकता ने आपको एक आदर्श पात्र तैयार करने में मदद की, लेकिन माप एक शांत, नियंत्रित वातावरण में होता है।
- परिणाम: माप की सटीकता समय के साथ द्विघाती (quadratically) रूप से बढ़ती है। यह एक बहुत बड़ा लाभ है! यह ऐसा है जैसे यह कहना कि, "यदि मैं 2 मिनट तक ब्लेंड करता हूँ, तो मुझे 4 गुना अधिक सटीकता मिलती है; यदि मैं 10 मिनट तक ब्लेंड करता हूँ, तो मुझे 100 गुना अधिक सटीकता मिलती है।" यह "हाइजेनबर्ग लिमिट" है, जो क्वांटम सेंसिंग का स्वर्ण मानक है।

निष्कर्ष: यदि आप सर्वोत्तम सटीकता चाहते हैं, तो आपको अराजकता के दौरान मापन करने के बजाय, पहले अपने क्वांटम स्टेट को तैयार करने के लिए अराजकता का उपयोग करना चाहिए।

2. "बड़ी संख्याओं" का जादू (भीड़ का प्रभाव)

यह शोध पत्र उन प्रणालियों से संबंधित है जो विशाल हैं—हजारों या लाखों कण। प्रत्येक एकल कण के व्यवहार की गणना करना असंभव है (जैसे रेगिस्तान के तूफान में रेत के हर कण के पथ की भविष्यवाणी करने की कोशिश करना)।

उपमा: कल्पना कीजिए कि एक स्टेडियम में 10,000 लोग बैठे हैं। यदि आप एक व्यक्ति से मौसम का अनुमान लगाने के लिए कहते हैं, तो वह गलत हो सकता है। लेकिन यदि आप 10,000 लोगों से पूछते हैं, तो उनके अनुमानों का औसत अविश्वसनीय रूप से सटीक होगा।
निष्कर्ष: शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि जब आपके पास बड़ी संख्या में कण होते हैं (एक बड़ा "हिलबर्ट स्पेस"), तो स्थानीय अंतःक्रियाओं (पड़ोसी पड़ोसियों से बात कर रहे हैं) का अराजक व्यवहार, एक पूरी तरह से यादृच्छिक, वैश्विक अंतःक्रिया (हर कोई हर किसी से बात कर रहा है) के समान हो जाता है।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यह वैज्ञानिकों को अत्यंत जटिल, अस्त-व्यस्त क्वांटम सर्किट के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए सरल गणितीय मॉडल (रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी) का उपयोग करने की अनुमति देता है। यह वैसा ही है जैसे यह महसूस करना कि भले ही ट्रैफिक जाम अव्यवस्थित है, लेकिन एक विशाल राजमार्ग पर कारों का प्रवाह एक अनुमानित, सरल पैटर्न का पालन करता है यदि आप पूरी तस्वीर को देखते हैं।

3. सटीकता की "सीढ़ी"

शोध पत्र ने यह भी देखा कि सिस्टम का आकार माप को कैसे प्रभावित करता है।

उपमा: एक सीढ़ी के बारे में सोचें।
- "कंट्रोल" रणनीति में, प्रत्येक सीढ़ी जो आप जोड़ते हैं (अधिक समय), आपको एक स्थिर कदम ऊपर ले जाती है।
- "स्टेट-प्रिपरेशन" रणनीति में, प्रत्येक सीढ़ी जो आप जोड़ते हैं, आपको एक विशाल छलांग लगाने में मदद करती है।
आश्चर्य: भले ही आप एक अव्यवस्थित, एंटैंगल्ड अवस्था (ऊन का एक उलझा हुआ गोला) से शुरू करें, "स्टेट-प्रिपरेशन" रणनीति ही जीतती है। सिस्टम की अराजकता वास्तव में आपको सीढ़ी के शीर्ष तक तेजी से पहुँचने में मदद करती है, बशर्ते आपके पास पर्याप्त कण हों।

4. "कंसन्ट्रेशन" (यह विश्वसनीय क्यों है)

आप चिंतित हो सकते हैं: "यदि सिस्टम अराजक है, तो क्या परिणाम अनिश्चित नहीं होंगे?"

उपमा: कल्पना कीजिए कि पासा (die) फेंकना। एक रोल यादृच्छिक है। लेकिन यदि आप दस लाख पासे फेंकते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, तो कुल योग लगभग हमेशा एक ही संख्या होती है।
निष्कर्ष: शोध पत्र सिद्ध करता है कि इन बड़ी क्वांटम प्रणालियों में, माप का "शोर" या उतार-चढ़ाव बहुत कम हो जाता है। परिणाम औसत के आसपास केंद्रित (concentrated) होता है। इसका मतलब है कि भले ही सिस्टम अराजक हो, माप वास्तव में बड़े सिस्टम के लिए बहुत विश्वसनीय और पूर्वानुमेय होता है।

सामान्य पाठक के लिए सारांश

यह शोध पत्र क्वांटम स्टेट प्रिपरेशन की जीत है।

यह हमें बताता है कि यदि हम सुपर-सटीक क्वांटम सेंसर (डार्क मैटर का पता लगाने या मस्तिष्क का मानचित्रण करने जैसी चीजों के लिए) बनाना चाहते हैं, तो हमें केवल माप के दौरान अराजकता को होने देना नहीं चाहिए। इसके बजाय, हमें उस अराजकता का उपयोग पहले एक विशेष, अत्यधिक एंटैंगल्ड क्वांटम अवस्था को तैयार करने (cook up) के लिए करना चाहिए। एक बार जब वह अवस्था तैयार हो जाती है, तो माप अविश्वसनीय रूप से शक्तिशाली हो जाता है, जो पारंपरिक तरीकों की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।

इसके अलावा, यह शोध पत्र हमें एक गणितीय "शॉर्टकट" देता है। यह सिद्ध करता है कि बड़े सिस्टम के लिए, हमें प्रत्येक अराजक अंतःक्रिया को ट्रैक करने की आवश्यकता नहीं है। हम पूरे अव्यवस्थित सिस्टम को एक एकल, विशाल यादृच्छिक घटना के रूप में मान सकते हैं, जिससे भविष्य के क्वांटम सेंसर के प्रदर्शन को डिजाइन करना और भविष्यवाणी करना बहुत आसान हो जाता है।

यहाँ बर्गमैन, लियाओ और यांग के शोध पत्र "Asymptotic Metrological Scaling and Concentration in Chaotic Floquet Dynamics" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र अराजक अनेक-निकाय क्वांटम प्रणालियों (chaotic many-body quantum systems) में क्वांटम मेट्रोलॉजी (सटीक संवेदन) की मौलिक सीमाओं को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यह इस बात की जांच करता है कि एक पैरामीटर $\theta$ के अनुमान के लिए निर्धारित मेट्रिक, क्वांटम फिशर इंफॉर्मेशन (QFI), दो अलग-अलग प्रोटोकॉल में सिस्टम के आकार और समय के साथ कैसे स्केल करती है:

नियंत्रण प्रोटोकॉल (Control Protocol): रैंडम यूनिटरी गेट्स नियंत्रकों के रूप में कार्य करते हैं जो नियतकालिक सेंसिंग गेट्स के साथ परस्पर क्रिया करते हैं ( $U_{ctr}(t) = (WU)^t$ )।
अवस्था-तैयारी प्रोटोकॉल (State-Preparation Protocol): रैंडम यूनिटरी गेट्स सेंसिंग विकास से पहले प्रारंभिक मेट्रोलॉजिकल अवस्था तैयार करते हैं ( $U_{sp}(t) = W^t U^t$ )।

लेखक इन प्रोटोकॉल का विश्लेषण दो प्रकार के अराजक गतिकी मॉडलों के तहत करते हैं:

रैंडम मैट्रिक्स मॉडल (RMM): संपूर्ण हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करने वाले ग्लोबल हेयर-रैंडम (Haar-random) यूनिटरी गेट्स।
रैंडम क्वांटम सर्किट (RQC): स्थानीय, निकटतम-पड़ोसी दो-साइट हेयर-रैंडम यूनिटरी गेट्स बनाने वाले फ्लोकेट सर्किट।

मुख्य चुनौती यह है कि सटीक अनेक-निकाय गतिकी के लिए QFI की गणना करना कठिन (intractable) है। यह शोध पत्र रैंडम यूनिटरीज के एन्सेम्बल (ensemble) पर औसत निकालकर सार्वभौमिक स्केलिंग नियम (universal scaling laws) प्राप्त करने का प्रयास करता है और बड़े हिल्बर्ट स्पेस आयामों के एसिम्प्टोटिक (asymptotic) सीमा में व्यवहार को समझने का प्रयास करता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी, डायग्रामेटिक तकनीकों और कंसंट्रेशन इनइक्वेलिटीज (concentration inequalities) के संयोजन का उपयोग करते हैं।

वींगार्ट कैलकुलस और डायग्रामेटिक्स (Weingarten Calculus & Diagrammatics):
- वे सर्कुलर यूनिटरी एन्सेम्बल (CUE) पर यूनिटरी मैट्रिक्स तत्वों के बहुपदों के एन्सेम्बल औसत की गणना करने के लिए वींगार्ट फॉर्मूला का उपयोग करते हैं।
- वे अनेक-निकाय प्रणालियों को संभालने के लिए डायग्रामेटिक विधि (मूल रूप से ब्राउअर और बीनेकेकर द्वारा) को अनुकूलित करते हैं। इसमें ऑपरेटर उत्पादों के ट्रेस (trace) को "प्री-कॉन्ट्रैक्शन" आकृतियों के रूप में दर्शाना और उन्हें U-लूप्स (जो वींगार्ट फंक्शन स्केलिंग निर्धारित करते हैं) और T-लूप्स (जो ऑपरेटर ट्रेस योगदान निर्धारित करते हैं) वाले "फुली कॉन्ट्रैक्टेड" आकृतियों के माध्यम से मूल्यांकन करना शामिल है।
- मुख्य सिद्धांत: वे बड़े आयाम सीमा ( $N \to \infty$ या स्थानीय आयाम $q \to \infty$ ) में अग्रणी-क्रम के योगदानों की पहचान करने के लिए एक "Max-T and Gaussianity Principle" पेश करते हैं। इसमें उन आकृतियों का चयन करना शामिल है जो T-लूप्स की संख्या को अधिकतम (Max-T) करती हैं और गाऊसी संकुचन (Gaussian contractions) के अनुरूप होती हैं (जहाँ क्रमपरिवर्तन/permutations identity-like होते हैं)।
RQC के लिए सामान्यीकरण:
- लेखक फ्लोकेट RQCs के लिए वींगार्ट कैलकुलस का कठोरता से सामान्यीकरण करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि बड़े स्थानीय हिल्बर्ट स्पेस आयाम ( $q \to \infty$ ) की सीमा में, एक फ्लोकेट RQC ऑपरेटर का एन्सेम्बल औसत एक ग्लोबल हेयर-रैंडम यूनिटरी (Global CUE) के समान व्यवहार करता है।
- वे एक फैक्टरिज़ेशन सिद्धांत (Factorization Principle) स्थापित करते हैं: बड़े $q$ की सीमा में, एक ट्रेस उत्पाद का एन्सेम्बल औसत एकल-साइट योगदान में विभाजित (factorize) हो जाता है, बशर्ते कि "बॉन्ड बाधाएं" (पड़ोसी साइटों के बीच इंडेक्स संकुचन की निरंतरता) पूरी हों।
कंसंट्रेशन इनइक्वेलिटीज (Concentration Inequalities):
- विशिष्ट वास्तविकताओं में QFI के उतार-चढ़ाव को संबोधित करने के लिए, वे यूनिटरी समूहों ($SU(N) $और उत्पाद$ SU(q)^L$) के मैनिफोल्ड पर लॉग-सोबोलेव इनइक्वेलिटीज लागू करते हैं। यह QFI को उसके एन्सेम्बल औसत से विचलन को सीमित करता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

RQC-to-RMM तुल्यता का प्रमाण: यह शोध पत्र एक अनुभवजन्य अनुमान को कठोर विश्लेषणात्मक प्रमाण प्रदान करता है: बड़े स्थानीय हिल्बर्ट स्पेस आयाम ( $q \to \infty$ ) की एसिम्प्टोटिक सीमा में, एक फ्लोकेट रैंडम क्वांटम सर्किट (RQC) प्रभावी रूप से एक ग्लोबल हेयर-रैंडम यूनिटरी (RMM) की तरह व्यवहार करता है। यह वैश्विक रैंडम मैट्रिक्स उपकरणों का उपयोग करके स्थानीय सर्किट के व्यवहार की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है।
सार्वभौमिक स्केलिंग नियमों का व्युत्पन्न: लेखक दोनों RMM और RQC मॉडलों के लिए दोनों प्रोटोकॉल में औसत QFI के सटीक एसिम्प्टोटिक स्केलिंग नियम प्राप्त करते हैं।
फ्लक्चुएशन बाउंड्स (Fluctuation Bounds): वे सिद्ध करते हैं कि सिस्टम का आयाम बढ़ने के साथ QFI नियत (deterministic) हो जाता है (इसके माध्य के इर्द-गिर्द केंद्रित हो जाता है), जिसमें उतार-चढ़ाव घातांकीय रूप से (exponentially) कम हो जाते हैं।
डायग्रामेटिक फ्रेमवर्क: वे फ्लोकेट RQCs के लिए एक व्यापक अनेक-निकाय डायग्रामेटिक तकनीक तैयार करते हैं, जो पिछले कार्यों को मनमाने निकटतम-पड़ोसी विन्यासों तक विस्तारित करती है।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

A. औसत QFI का स्केलिंग (Scaling of Average QFI)

शोध पत्र तालिका I में औसत QFI, $\langle F_Q \rangle$ , के स्केलिंग का सारांश प्रस्तुत करता है:

मॉडल	नियंत्रण प्रोटोकॉल ( $U_{ctr}$ )	अवस्था-तैयारी प्रोटोकॉल ( $U_{sp}$ )
RMM (ग्लोबल, $N \to \infty$ )	$\propto \frac{\text{Tr}(H_0^2)}{N} t$ (समय में रैखिक)	$\propto \frac{\text{Tr}(H_0^2)}{N} t^2$ (समय में द्विघात)
RQC (स्थानीय, $q \to \infty$ )	$\propto \frac{\text{Tr}(h_0^2)}{q} L t$ (समय $t$ और $L$ में रैखिक)	$\propto \frac{\text{Tr}(h_0^2)}{q} L t^2$ (समय $t^2$ और $L$ में रैखिक)

नियंत्रण प्रोटोकॉल: QFI समय ( $t$ ) के साथ रैखिक (linearly) रूप से स्केल करता है। यह अराजक गतिकी के लिए शॉट-नॉइज़ लिमिट (मानक क्वांटम सीमा) का प्रतिनिधित्व करता है। नियंत्रणों की यादृच्छिकता (randomness) सुपर-लीनियर स्केलिंग के लिए आवश्यक क्वांटम सुसंगतता (coherence) को नष्ट कर देती है।
अवस्था-तैयारी प्रोटोकॉल: QFI समय ( $t^2$ ) के साथ द्विघात (quadratically) रूप से स्केल करता है। यह हाइजेनबर्ग लिमिट (क्वांटम लाभ) का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि रैंडम गेट्स एक अत्यधिक उलझी हुई (entangled) अवस्था तैयार करते हैं जिसे बाद में सेंसिंग हैमिल्टोनियन द्वारा सुसंगत रूप से विकसित किया जाता है।
सिस्टम का आकार ( $L$ ): RQC के मामले में, दोनों प्रोटोकॉल के लिए QFI सिस्टम के आकार $L$ के साथ रैखिक रूप से स्केल करता है।

B. मापन का संकेंद्रण (Concentration of Measure)

कंसंट्रेशन इनइक्वेलिटीज का उपयोग करते हुए, लेखक दिखाते हैं कि बड़े $N$ (RMM) या बड़े $q$ (RQC) के लिए, QFI के अपने एन्सेम्बल औसत से विचलित होने की प्रायिकता घातांकीय रूप से घटती है:
$\mu(|F_Q - \langle F_Q \rangle| \geq \delta) \leq 2 \exp\left(-\frac{N \delta^2}{4 \mathcal{L}^2}\right)$
जहाँ $\mathcal{L}$ लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक (Lipschitz constant) है। इसका तात्पर्य यह है कि विशिष्ट प्रायोगिक वास्तविक प्रतियां (typical experimental realizations) अपने एन्सेम्बल औसत के बहुत करीब परिणाम देंगी, जिससे सांख्यिकीय भविष्यवाणियाँ मजबूत हो जाती हैं।

C. गैर-एसिम्प्टोटिक शासन (Non-Asymptotic Regimes)

संख्यात्मक सिमुलेशन विश्लेषणात्मक परिणामों की पुष्टि करते हैं। गैर-एसिम्प्टोटिक शासन (छोटा $q$ , बड़ा $t$ ) में, नियंत्रण प्रोटोकॉल गैर-गाऊसी सुधारों के कारण रैखिक से बेहतर स्केलिंग प्रदर्शित कर सकता है, हालांकि अवस्था-तैयारी प्रोटोकॉल द्विघात स्केलिंग बनाए रखता है।

5. महत्व (Significance)

सैद्धांतिक एकीकरण: यह कार्य ग्लोबल रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी और लोकल रैंडम क्वांटम सर्किटों के बीच के अंतर को पाटता है, यह सिद्ध करते हुए कि उच्च आयामों में स्थानीय अराजकता प्रभावी रूप से वैश्विक अराजकता की नकल करती है। यह जटिल क्वांटम सेंसरों के विश्लेषण को सरल बनाता है।
मेट्रोलॉजिकल सीमाएं: यह क्वांटम सेंसिंग में यादृच्छिकता (randomness) की भूमिका को स्पष्ट करता है। जबकि रैंडम नियंत्रण आमतौर पर सटीकता को शॉट-नॉइज़ सीमा तक कम कर देते हैं, रैंडम अवस्था-तैयारी अभी भी हाइजेनबर्ग-लिमिट स्केलिंग प्राप्त कर सकती है, जो शोर वाले मध्यवर्ती-पैमाने के क्वांटम (NISQ) उपकरणों के लिए एक मार्ग प्रदान करती है।
मजबूती (Robustness): कंसंट्रेशन परिणाम बताते हैं कि अराजक प्रणालियों में उच्च-परिशुद्धता सेंसिंग के लिए प्रत्येक गेट पर सटीक नियंत्रण करना अनिवार्य नहीं है; एन्सेम्बल के सांख्यिकीय गुण पर्याप्त हैं।
पद्धतिगत प्रगति: फ्लोकेट RQCs के लिए व्यापक अनेक-निकाय वींगार्ट कैलकुलस और डायग्रामेटिक नियमों का विकास भविष्य के अनुसंधान में क्वांटम अराजकता, थर्मलइज़ेशन और सूचना स्कैम्बलिंग (information scrambling) के विश्लेषण के लिए एक शक्तिशाली नया टूलसेट प्रदान करता है।

निष्कर्षतः, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि अराजक फ्लोकेट गतिकी, जब औसत हेयर-रैंडम एन्सेम्बल पर विचार किया जाता है, तो सार्वभौमिक मेट्रोलॉजिकल स्केलिंग नियम प्रदर्शित करती है: अवस्था-तैयारी प्रोटोकॉल इष्टतम हाइजेनबर्ग स्केलिंग ( $t^2$ ) प्राप्त करता है, जबकि नियंत्रण प्रोटोकॉल शॉट-नॉइज़ स्केलिंग ( $t$ ) तक सीमित रहता है, और ये परिणाम बड़े-सिस्टम सीमा में मजबूती से बने रहते हैं।