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Sample entropy for graph signals: An approach to nonlinear analysis of graph signals

यह शोध पत्र SampEn $_{G}$ प्रस्तुत करता है, जो सैंपल एंट्रॉपी का एक नवीन ग्राफ-सिग्नल सामान्यीकरण है, जो सिग्नल की अनियमितता को मापने के लिए मल्टी-हॉप ग्राफ-आधारित एम्बेडिंग का उपयोग करता है, जिससे पथ ग्राफ (path graphs) पर शास्त्रीय विधियों के साथ निरंतरता बनाए रखते हुए विविध नेटवर्क डेटा के लिए गैररेखीय विश्लेषण क्षमताओं का विस्तार होता है।

मूल लेखक: Mei-San Maggie Lei, John Stewart Fabila Carrasco, Javier Escudero

प्रकाशित 2026-04-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mei-San Maggie Lei, John Stewart Fabila Carrasco, Javier Escudero

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक जटिल प्रणाली (system) की "व्यक्तित्व" को समझने की कोशिश कर रहे हैं, जैसे कि एक दिल की धड़कन, शेयर बाजार, या एक सोशल नेटवर्क। आप यह जानना चाहते हैं: क्या यह प्रणाली पूर्वानुमानित और उबाऊ है, या यह अराजक (chaotic) और आश्चर्यों से भरी है?

दशकों से, वैज्ञानिक एक उपकरण का उपयोग करते आए हैं जिसे सैंपल एंट्रॉपी (Sample Entropy) कहा जाता है ताकि वे उन चीजों के लिए यह पता लगा सकें जो समय के साथ एक सीधी रेखा में चलती हैं (जैसे कि दिल की धड़कन)। लेकिन क्या होगा यदि आपका डेटा एक सीधी रेखा नहीं है? क्या होगा यदि यह कनेक्शनों का एक उलझा हुआ जाल है, जैसे कि किसी शहर का सबवे मैप या इंटरनेट?

यह शोध पत्र एक नया टूल पेश करता है जिसे SampEnG (ग्राफ के लिए सैंपल एंट्रॉपी) कहा जाता है, जो इन जटिल जालों पर रहने वाले डेटा की "अराजकता" या "अनियमितता" को मापने के लिए है।

यहाँ सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके इसका विवरण दिया गया है:

1. पुराना तरीका: एक गलियारे में चलना

कल्पना कीजिए कि आप एक लंबे, सीधे गलियारे (एक टाइम सीरीज़) में चल रहे हैं। पैटर्न को समझने के लिए, आप अपने द्वारा लिए गए पिछले कुछ कदमों को देखते हैं।

चरण 1: आप अपने पिछले 2 कदमों को देखते हैं।
चरण 2: आप अपने पिछले 3 कदमों को देखते हैं।
प्रश्न: "यदि मैं एक और कदम उठाता हूँ, तो क्या यह उस पैटर्न जैसा दिखेगा जो मैंने अभी बनाया है?"

यदि आपके कदम बहुत पूर्वानुमानित हैं (जैसे कि एक रोबोट का मार्च करना), तो उत्तर हमेशा "हाँ" होगा। यहाँ एंट्रॉपी कम (low) है।
यदि आपके कदम यादृच्छिक (random) हैं (जैसे कि एक नशे में धुत व्यक्ति का लड़खड़ाना), तो उत्तर "नहीं, मैं अगले कदम का अनुमान नहीं लगा सकता" होगा। यहाँ एंट्रॉपी उच्च (high) है।

2. नई समस्या: स्पैगेटी नेटवर्क

अब, कल्पना कीजिए कि वह गलियारा गायब हो गया है। इसके बजाय, आप लोगों से भरे एक विशाल, उलझे हुए कमरे में खड़े हैं जो एक विशाल वेब (एक ग्राफ) में एक-दूसरे का हाथ पकड़े हुए हैं। आप केवल "आगे" नहीं बढ़ सकते क्योंकि कोई एक निश्चित दिशा नहीं है। आप अपने पड़ोसी के माध्यम से बाएं, दाएं, ऊपर या नीचे जा सकते हैं।

आप इस वेब की "पर्सनैलिटी" को कैसे मापेंगे? आप केवल एक टाइमलाइन को नहीं देख सकते। आपको पड़ोसियों को देखना होगा।

3. नया समाधान: "सोशल सर्कल" जासूस

लेखकों ने SampEnG बनाया है, जो टाइमलाइन के बजाय व्यक्ति के सामाजिक दायरे को देखने वाले एक जासूस की तरह काम करता है।

"हॉप" (Hop) की अवधारणा: "टाइम स्टेप्स" के बजाय, यह टूल "हॉप्स" का उपयोग करता है।
- 0 हॉप: व्यक्ति स्वयं।
- 1 हॉप: उनके सीधे मित्र।
- 2 हॉप: उनके मित्रों के मित्र।
- 3 हॉप: उनके मित्रों के मित्रों के मित्र।
पैटर्न: नेटवर्क में प्रत्येक व्यक्ति के लिए, यह टूल उनके दोस्तों, फिर उनके दोस्तों के दोस्तों आदि के डेटा का औसत निकालकर एक "प्रोफ़ाइल" बनाता है। यह उनके स्थानीय पड़ोस का एक स्नैपशॉट तैयार करता है।
तुलना: टूल पूछता है: "क्या व्यक्ति A का पड़ोस व्यक्ति B के पड़ोस जैसा दिखता है?"
- यदि हर किसी का पड़ोस बिल्कुल एक जैसा है (अत्यधिक जुड़ा हुआ, समान), तो सिस्टम पूर्वानुमानित है (कम एंट्रॉपी)।
- यदि हर किसी का पड़ोस पूरी तरह से अद्वितीय और जंगली है, तो सिस्टम अराजक (chaotic) है (उच्च एंट्रॉपी)।

4. प्रयोग: क्या यह काम कर गया?

लेखकों ने इस नए जासूसी टूल का दो तरीकों से परीक्षण किया:

A. "स्ट्रेट लाइन" टेस्ट (लॉजिस्टिक मैप)
उन्होंने एक क्लासिक गणितीय समस्या ली जो अराजकता पैदा करती है और उसे लोगों की एक सीधी रेखा पर लागू कर दिया।

परिणाम: जब उन्होंने इस नए टूल का उपयोग इस सीधी रेखा पर किया, तो इसने पुराने, प्रसिद्ध टूल के समान ही सटीक उत्तर दिया।
अर्थ: यह साबित करता है कि नया टूल एक वैध अपग्रेड है। यह पुराने डेटा पर भी काम करता है और नए पर भी।

B. "रैंडम वेब" टेस्ट (एर्दोस-रेनी ग्राफ्स)
उन्होंने 2,700 लोगों के रैंडम वेब बनाए और बदला कि प्रत्येक व्यक्ति के कितने कनेक्शन (मित्र) हैं।

कम कनेक्शन: जब लोगों के पास कम मित्र थे, तो टूल ने उच्च अराजकता (उच्च एंट्रॉपी) पाई। नेटवर्क अनियमित था।
अधिक कनेक्शन: जैसे-जैसे उन्होंने अधिक कनेक्शन जोड़े, टूल ने अराजकता को गिरते हुए पाया। क्यों? क्योंकि जब हर कोई हर किसी से जुड़ा होता है, तो पड़ोस एक जैसा दिखने लगता है। "आश्चर्य" गायब हो जाता है।
गति: उन्होंने इसकी गति की भी जांच की। एक आधुनिक कंप्यूटर पर, इसे 2,700 नोड्स वाले नेटवर्क का विश्लेषण करने में 1.5 सेकंड से भी कम समय लगा। यह वास्तविक दुनिया के उपयोग के लिए पर्याप्त तेज़ है!

यह क्यों मायने रखता है?

सोचिए कि सैंपल एंट्रॉपी एक "जटिलता थर्मामीटर" (complexity thermometer) है।

पुराना थर्मामीटर: केवल सीधी रेखाओं (समय) पर काम करता था।
नया थर्मामीटर (SampEnG): वेब, नेटवर्क और मानचित्रों पर काम करता है।

यह हर तरह के बिखरे हुए, वास्तविक दुनिया के डेटा का विश्लेषण करने का रास्ता खोलता है:

मस्तिष्क नेटवर्क (Brain Networks): क्या मस्तिष्क दौरे (seizure) की स्थिति में है (बहुत नियमित) या स्वस्थ (जटिल)?
ट्रैफिक ग्रिड: क्या शहर का ट्रैफिक फ्लो अराजक है या एक अनुमानित जाम में फंसा हुआ है?
सोशल मीडिया: क्या कोई अफवाह अराजक तरीके से फैल रही है या एक नियंत्रित, अनुमानित पैटर्न में?

संक्षेप में: लेखकों ने एक ऐसा पुल बनाया है जो हमें डेटा की "जंगलीपन" को मापने की अनुमति देता है, चाहे वह डेटा एक सीधी नदी में बह रहा हो या कनेक्शनों के एक जटिल भंवर में घूम रहा हो।

यहाँ शोध पत्र "Sample entropy for graph signals: An approach to nonlinear analysis of graph signals" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

ग्राफ सिग्नल प्रोसेसिंग (GSP) के लिए मौजूदा एंट्रॉपी-आधारित विधियाँ, जैसे कि ग्राफ परम्यूटेशन एंट्रॉपी (Graph Permutation Entropy), डिस्पर्सन एंट्रॉपी (Dispersion Entropy), और बबल एंट्रॉपी (Bubble Entropy), प्रभावी तो हैं लेकिन मौलिक रूप से सीमित हैं। वे सिंबोलिक डायनेमिक्स (symbolic dynamics) पर निर्भर करती हैं, जिसके लिए शैनन एंट्रॉपी (Shannon entropy) की गणना करने हेतु निरंतर (continuous) सिग्नलों को विविक्त (discretize) करना आवश्यक होता है। यह विवेक्तीकरण (discretization) निरंतर अवस्था स्थानों (continuous state spaces) में निहित जानकारी को नष्ट कर देता है।

एक ऐसी विधि की आवश्यकता है जो:

सैंपल एंट्रॉपी (Sample Entropy - SampEn) का सामान्यीकरण कर सके—जो निरंतर समय श्रृंखलाओं (time series) के लिए एक सुदृढ़ अनियमितता और जटिलता माप है—ग्राफ सिग्नलों के लिए।
सिग्नल के विवेक्तीकरण की आवश्यकता के बिना सीधे एक निरंतर अवस्था स्थान (continuous state-space) में कार्य कर सके।
केवल टेम्पोरल अनुक्रमों के बजाय ग्राफ की टोपोलॉजिकल संरचना (गैर-यूक्लिडियन डोमेन) को ध्यान में रखे।

2. कार्यप्रणाली: SampEnG

लेखक SampEnG का प्रस्ताव करते हैं, जो सैंपल एंट्रॉपी का एक ग्राफ-सिग्नल सामान्यीकरण है। मुख्य नवाचार शास्त्रीय SampEn में उपयोग किए जाने वाले टेम्पोरल डिले एम्बेडिंग (temporal delay embedding) को एक मल्टी-हॉप ग्राफ-आधारित एम्बेडिंग से बदलना है।

मुख्य तकनीकी घटक:

शिफ्ट ऑपरेटरों के माध्यम से ग्राफ एम्बेडिंग (Graph Embedding via Shift Operators):
समय चरणों ( $t, t+1, \dots$ ) के बजाय, SampEnG ग्राफ हॉप्स (hops) का उपयोग करता है। एक ग्राफ $G=(N, E, A)$ के लिए, एम्बेडिंग को ग्राफ शिफ्ट ऑपरेटर (एडजसेंसी मैट्रिक्स $A$ या भारित मैट्रिक्स $W$ ) की घातों (powers) का उपयोग करके निर्मित किया जाता है।
- $L$ -हॉप पड़ोस ( $L$ -hop Neighbors): यह विधि उन नोड्स की पहचान करती है जो ठीक $L$ हॉप्स में पहुँच योग्य हैं।
- वॉक-वेटेड एग्रीगेट्स (Walk-Weighted Aggregates): प्रत्येक नोड $i$ के लिए, $L$ हॉप पर सिग्नल मान ( $x_i^L$ ) $L$ -हॉप पड़ोस के भारित औसत के रूप में परिकलित किया जाता है:
  $x_i^L = \frac{1}{\text{deg}_L(i)} \sum_{j \in N_L(i)} (A^L)_{ij} x_j$
  जहाँ $\text{deg}_L(i)$ $A^L$ का रो सम (row sum) है (लंबाई $L$ के वॉक की कुल संख्या)।
पैटर्न निर्माण (Pattern Construction):
प्रत्येक नोड $i$ के लिए, लंबाई $m$ और $m+1$ के पैटर्न इन एग्रीगेटेड मानों के वेक्टर्स के रूप में निर्मित किए जाते हैं:
- $x^m(i) = [x_i^0, x_i^1, \dots, x_i^{m-1}]$
- $x^{m+1}(i) = [x_i^0, x_i^1, \dots, x_i^m]$
- प्रतिबंध: विधि स्पार्स (sparse) ग्राफों में अपरिभाषित पैटर्न से बचने के लिए $m$ हॉप तक गैर-शून्य पहुँच (non-zero reachability) वाले नोड्स तक विश्लेषण को सीमित करती है।
एंट्रॉपी गणना (Entropy Calculation):
एल्गोरिदम चेबिशेव दूरी (Chebyshev distance) का उपयोग करते हुए मानक SampEn तर्क का पालन करता है:
1. टॉलरेंस थ्रेशोल्ड $\epsilon = r \times \text{SD}$ (जहाँ SD सिग्नल का मानक विचलन है) के भीतर पैटर्न युग्मों की गणना करें।
2. $B_m(r)$ की गणना करें: वह प्रायिकता कि दो पैटर्न की लंबाई $m$ मेल खाती है।
3. $A_m(r)$ की गणना करें: वह प्रायिकता कि दो पैटर्न की लंबाई $m+1$ मेल खाती है।
4. SampEnG फॉर्मूला:
  $\text{SampEnG}(m, r, N) = -\ln \left( \frac{A_m(r)}{B_m(r)} \right)$

3. मुख्य योगदान

निरंतर अवस्था स्थान विश्लेषण (Continuous State Space Analysis): बिना विवेक्तीकरण के ग्राफ सिग्नलों के लिए सैंपल एंट्रॉपी का विस्तार करता है, जिससे डेटा की निरंतर प्रकृति सुरक्षित रहती है।
टोपोलॉजिकल जागरूकता (Topological Awareness): समय के बजाय ग्राफ टोपोलॉजी (मल्टी-हॉप पड़ोस) के आधार पर सिग्नल जानकारी को एकत्रित करने के लिए एक नवीन एम्बेडिंग तंत्र पेश करता है।
सैद्धांतिक निरंतरता (Theoretical Consistency): यह सिद्ध करता है कि जब निर्देशित पाथ ग्राफ (directed path graphs) पर लागू किया जाता है, तो SampEnG शास्त्रीय 1D SampEn में बदल जाता है, जो बैकवर्ड कम्पैटिबिलिटी सुनिश्चित करता है।
स्केलेबिलिटी (Scalability): हजारों नोड्स वाले बड़े ग्राफों पर कम्प्यूटेशनल व्यवहार्यता प्रदर्शित करता है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

A. लॉजिस्टिक मैप (नॉनलीनर डायनेमिक्स) पर सत्यापन

सेटअप: लॉजिस्टिक मैप ( $x_{t+1} = \rho x_t(1-x_t)$ ) को निर्देशित (directed) और अनिर्देशित (undirected) पाथ ग्राफों पर मैप किया गया।
निष्कर्ष:
- निर्देशित पथ (Directed Paths): SampEnG ने शास्त्रीय 1D SampEn के व्यवहार को पूरी तरह से दोहराया, जो बाइफरकेशन पैरामीटर $\rho$ के बदलने पर व्यवस्था (order) से अराजकता (chaos) की ओर संक्रमण को सही ढंग से पहचानने में सक्षम रहा।
- अनिर्देशित पथ (Undirected Paths): परिणाम निर्देशित मामले के रुझान का बारीकी से अनुसरण करते हैं, जो बाइफरकेशन पॉइंट्स और पीरियोडिसिटी आइलैंड्स को सफलतापूर्वक पहचानते हैं, हालांकि सममित (symmetric) और गैर-कारण (non-causal) पड़ोस संरचना के कारण इसमें मामूली मात्रात्मक अंतर देखा गया।
निष्कर्ष: यह विधि नॉनलीनर डायनेमिक्स के प्रति संवेदनशील है और सही ढंग से सामान्यीकरण करती है।

B. एर्डोस-रेनी (Erdős–Rény–ER) ग्राफ्स पर विश्लेषण

सेटअप: $N=2700$ नोड्स वाले निर्देशित ER ग्राफ। नोड मान रैंडम यूनिफॉर्म सैंपल्स थे। कनेक्टिविटी ( $p$ ) और पैटर्न लंबाई ( $m$ ) को बदला गया।
निष्कर्ष:
- कनेक्टिविटी बनाम एंट्रॉपी: जैसे-जैसे कनेक्टिविटी ( $p$ ) बढ़ी (ग्राफ को सघन बनाया), SampEnG घट गया। यह उच्च कनेक्टिविटी के कारण सिग्नल पैटर्न में बढ़ती नियमितता और पूर्वानुमान क्षमता को दर्शाता है।
- पैटर्न की लंबाई ( $m$ ): उच्च $m$ मानों के साथ कनेक्टिविटी बढ़ने पर SampEnG में तेजी से गिरावट आई। ऐसा इसलिए है क्योंकि बड़ा $m$ पड़ोस के ओवरलैप को बढ़ाता है, जिससे स्थानीय पैटर्न का होमोजेनाइजेशन (homogenization) होता है और प्रभावी परिवर्तनशीलता कम हो जाती है।
- स्पर्सिटी (Sparsity): स्पार्स नेटवर्क में, SampEnG उच्च मान दिखाता है, जो अधिक अनियमितता का संकेत देता है।
प्रदर्शन: Apple M3 CPU पर, एक 2,700 नोड्स वाले ग्राफ को प्रोसेस करने में प्रति रियलाइजेशन लगभग 295 ms ( $m=1$ ) से 1,400 ms ( $m=3$ ) का समय लगा, जो पुष्टि करता है कि यह विधि बड़े पैमाने के नेटवर्क के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से व्यावहारिक है।

5. महत्व और भविष्य की संभावनाएं

सामान्यीकरण (Generalization): SampEnG ने सफलतापूर्वक टाइम-सीरीज कॉम्प्लेक्सिटी एनालिसिस और ग्राफ सिग्नल प्रोसेसिंग के बीच के अंतर को पाट दिया है, जो नेटवर्कों पर कंडीशनल एंट्रॉपी के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है।
अनुप्रयोग (Applications): यह विधि न्यूरोसाइंस (मस्तिष्क कनेक्टिविटी), सोशल नेटवर्क, और सेंसर नेटवर्क जैसे क्षेत्रों में जटिल नेटवर्क डेटा के विश्लेषण के लिए नए मार्ग खोलती है जहाँ सिग्नल अनियमित टोपोलॉजी पर परिभाषित होते हैं।
भावी कार्य (Future Work): लेखक वैकल्पिक ग्राफ एम्बेडिंग खोजने, शोर (noise) के प्रति मजबूती में सुधार करने, और वास्तविक दुनिया के नेटवर्केड सेंसिंग डोमेन पर इसे लागू करने का सुझाव देते हैं।

संक्षेप में, SampEnG निरंतर स्थान में ग्राफ सिग्नलों की अनियमितता को मापने के लिए एक कठोर, टोपोलॉजी-जागरूक उपकरण प्रदान करता है, जो विवेकीकरण की सीमाओं को पार करते हुए शास्त्रीय सैंपल एंट्रॉपी की नॉनलीनर डायनेमिक्स के प्रति संवेदनशीलता को बनाए रखता है।