The manifold of unitary and symmetric matrices: characterization, Riemannian optimization and application to BD-RIS design

तकनीकी सारांश: यूनिटरी और सिमेट्रिक मैट्रिसेस का मैनिफोल्ड (The Manifold of Unitary and Symmetric Matrices)

यह शोध पत्र यूनिटरी और सिमेट्रिक मैट्रिसेस ($\mathcal{U}_s$) के मैनिफोल्ड का एक कठोर ज्यामितीय लक्षण वर्णन प्रस्तुत करता है और इस लक्षण वर्णन का लाभ उठाकर कुशल रीमानियन अनुकूलन (Riemannian optimization) एल्गोरिदम विकसित करता है। इसका प्राथमिक उद्देश्य बियॉन्ड-डायगोनल रीकॉन्फ़िगेरेबल इंटेलिजेंट सरफेस (BD-RISs) का डिज़ाइन है, जहाँ स्कैटरिंग मैट्रिक्स को यूनिटरी (निष्क्रियता/हानिरहितता सुनिश्चित करने के लिए) और सिमेट्रिक (पारस्परिकता/reciprocity को संतुष्ट करने के लिए) दोनों होना चाहिए।

1. समस्या

BD-RIS डिज़ाइन के मौजूदा अनुकूलन विधियों में दो मुख्य कमियाँ हैं:

• उप-इष्टतमता (Suboptimality): कुछ विधियाँ सिमेट्री बाधा (symmetry constraint) को शिथिल करती हैं या ऐसी प्रोजेक्शन विधियों का उपयोग करती हैं जो मैनिफोल्ड की ज्यामिति का कड़ाई से सम्मान नहीं करती हैं।
• जटिलता (Complexity): अन्य विधियाँ समस्या को यूनिटरी मैनिफोल्ड $\mathcal{U}$ में बदलने के लिए ताकागी गुणनखंड ($\Theta = Q\Sigma Q^T$) का उपयोग करती हैं। हालाँकि, यह खोज स्थान (search space) की विमा को बढ़ाता है और सरल द्विघाती लागत कार्यों (quadratic cost functions) को जटिल चतुर्थ घात (quartic) कार्यों में बदल देता है, जिससे उच्च कम्प्यूटेशनल लागत और अधिक स्थानीय न्यूनतम (local minima) उत्पन्न होते हैं।

लेखक $\mathcal{U}_s$ पर सीधे कार्य करने वाले अनुकूलन एल्गोरिदम विकसित करने का लक्ष्य रखते हैं, जो जटिलता को बनाए रखते हुए सही बाधाओं का पालन करते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक रीमानियन मैनिफोल्ड ऑप्टिमाइज़ेशन (MO) का उपयोग करते हैं, जिसमें $\mathcal{U}_s$ को एक बाधित यूक्लिडियन स्थान के बजाय एक सुचारू ज्यामितीय वस्तु के रूप में माना जाता है।

A. ज्यामितीय लक्षण वर्णन (Geometric Characterization):
यह शोध पत्र $\mathcal{U}_s$ का पूर्ण गणितीय विवरण प्रदान करता है, जिसमें शामिल हैं:

• टैंजेंट स्पेस ($T_U\mathcal{U}_s$): वे व्युत्पन्न करते हैं कि एक बिंदु $U$ पर टैंजेंट स्पेस को एक वास्तविक सिमेट्रिक मैट्रिक्स $R$ का उपयोग करके पैरामीटराइज किया जा सकता है, विशेष रूप से $B = jQR^T Q^T$ (जहाँ $U = QQ^T$ ताकागी अपघटन है)।
• जियोडेसिक्स (Geodesics): वे जियोडेसिक्स (मैनिफोल्ड पर सबसे छोटे पथ) के लिए क्लोज्ड-फॉर्म अभिव्यक्तियाँ व्युत्पन्न करते हैं, जो यह दर्शाती हैं कि एक जियोडेसिक्स के साथ आगे बढ़ने का अर्थ ताकागी कारकों के चरणों (phases) को अपडेट करना है।
• रिट्रैक्शन और केली ट्रांसफॉर्म (Retraction and Cayley Transform): वे एक रिट्रैक्शन मैपिंग पेश करते हैं जो यूक्लिडियन चरणों को वापस मैनिफोल्ड पर प्रोजेक्ट करती है और केली ट्रांसफॉर्म का पुनरावलोकन करती है, जो यह दिखाती है कि यह वास्तविक सिमेट्रिक मैट्रिसेस और $\mathcal{U}_s$ के एक उपसमुच्चय के बीच एक डिफ़ियोमॉर्फिज्म (diffeomorphism) प्रदान करता है।

B. प्रस्तावित एल्गोरिदम:
दो रीमानियन अनुकूलन एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं:

1. लाइन सर्च (LS): एक मानक ग्रेडिएंट एसेंट दृष्टिकोण जहाँ बाइसैक्शन विधि का उपयोग करके जियोडेसिक्स के साथ एक एकल स्टेप साइज $\mu$ को अनुकूलित किया जाता है।
2. फेज़ ऑप्टिमाइज़ेशन (PO): एक अधिक उन्नत दृष्टिकोण जो जियोडेसिक्स पैरामीट्रिज़ेशन में डायगोनल मैट्रिक्स के चरणों को एक-एक करके अनुकूलित करता है (ब्लॉक कोऑर्डिनेट एसेंट)। यह खोज स्थान का विस्तार करता है और आमतौर पर अभिसरण (convergence) को तेज करता है।

3. प्रमुख योगदान

• गणितीय आधार: $\mathcal{U}_s$ मैनिफोल्ड के लिए टैंजेंट स्पेस, जियोडेसिक्स और रिट्रैक्शन का कठोर व्युत्पन्न।
• नया अनुकूलन ढांचा: विशेष रूप से $\mathcal{U}_s$ के लिए तैयार किए गए LS और PO एल्गोरिदम का विकास।
• लो-रैंक सिद्धांत: एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक योगदान जो यह सिद्ध करता है कि जब RIS तत्वों की संख्या $M$, एंटेना की संख्या ($N_t + N_r$) से अधिक होती है, तो इष्टतम स्कैटरिंग मैट्रिक्स लो-रैंक (low-rank) होता है। यह अनुकूलन को बहुत छोटे $r \times r$ स्थान (जहाँ $r = N_t + N_r$) में करने की अनुमति देता है, जिससे जटिलता काफी कम हो जाती है।

4. परिणाम और अनुप्रयोग

इस ढांचे को तीन महत्वपूर्ण MIMO संचार मेट्रिक्स पर लागू किया गया है:

1. सम चैनल गेन मैक्सिमाइजेशन (Sum Channel Gain Maximization): समकक्ष चैनल के फ्रोबेनियस नॉर्म (Frobenius norm) को अधिकतम करना।
2. अचीवेबल रेट मैक्सिमाइजेशन (Achievable Rate Maximization): लिंक की लॉगरिदमिक क्षमता को अधिकतम करना।
3. मिनिमम मीन-स्क्वायर एरर (MSE) मिनिमाइजेशन: ट्रांसमिटेड और रिसीव्ड सिग्नल्स के बीच त्रुटि को कम करना।

मुख्य निष्कर्ष:

• प्रदर्शन: प्रस्तावित MO एल्गोरिदम (विशेष रूप से PO संस्करण) सटीकता और अभिसरण गति दोनों के मामले में मौजूदा उप-इष्टतम और ताकागी-आधारित दृष्टिकोणों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
• जटिलता: लो-रैंक PO एल्गोरिदम अत्यधिक कुशल है। जबकि फुल-रैंक एल्गोरिदम RIS तत्वों की संख्या के साथ क्यूबिक रूप से स्केल करते हैं ($M^3$), लो-रैंक संस्करण की जटिलता अनिवार्य रूप से $M$ से स्वतंत्र है, बल्कि यह एंटेना की संख्या ($N^3$) पर निर्भर करती है।
• मजबूती (Robustness): एल्गोरिदम तब भी अच्छा प्रदर्शन करते हैं जब डायरेक्ट लिंक बाधित होता है, जो RIS-असिस्टेड संचार में एक सामान्य परिदृश्य है।

5. महत्व

यह कार्य अमूर्त विभेदी ज्यामिति (abstract differential geometry) और व्यावहारिक वायरलेस संचार के बीच के अंतर को पाटता है। $\mathcal{U}_s$ मैनिफोल्ड पर सीधे अनुकूलित करने के लिए गणितीय उपकरण प्रदान करके, लेखक अधिक शक्तिशाली, पारस्परिक (reciprocal) और कुशल BD-RIS हार्डवेयर का डिज़ाइन सक्षम करते हैं। लो-रैंक गुण की खोज विशेष रूप से वास्तविक दुनिया के कार्यान्वयन के लिए महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह सुझाव देती है कि उच्च-प्रदर्शन तरंग हेरफेर (wave manipulation) को कम संख्या में पुन: कॉन्फ़िगेरेबल घटकों (जैसे, $q$-stem टोपोलॉजी का उपयोग करके) के साथ प्राप्त किया जा सकता है।