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Lie symmetry classification and invariant solutions of time-fractional telegraph systems with variable coefficients

यह शोध पत्र परिवर्तनशील गुणांकों वाले समय-आंशिक टेलीग्राफ प्रणालियों (time-fractional telegraph systems) का एक पूर्ण ली समरूपता वर्गीकरण (Lie symmetry classification) प्रस्तुत करता है, जो स्मृति और गैर-स्थानीय प्रभावों के साथ परिवहन घटनाओं को मॉडल करने के लिए मिर्टैग-लेफ़लर (Mittag-Leffler), सामान्यीकृत राइट (generalized Wright), और फॉक्स $H$ -फंक्शन्स के रूप में सटीक अपरिवर्तनीय समाधानों को व्युत्पन्न करते हुए तीन विशिष्ट समरूपता वर्गों की पहचान करता है।

मूल लेखक: Sodbaatar Adiya, Khongorzul Dorjgotov, Bayarmagnai Gombodorj, Bayarpurev Mongol, Uuganbayar Zunderiya

प्रकाशित 2026-04-29

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sodbaatar Adiya, Khongorzul Dorjgotov, Bayarmagnai Gombodorj, Bayarpurev Mongol, Uuganbayar Zunderiya

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि एक बहुत ही अजीब, ऊबड़-खाबड़ सड़क से एक संकेत (signal) कैसे गुजरता है। वास्तविक दुनिया में, संकेत (जैसे किसी सामग्री के माध्यम से चलती गर्मी या चिप में बहती बिजली) केवल तुरंत नहीं दौड़ पड़ते। उनमें एक "याददाश्त" (memory) होती है। यदि सड़क कल ऊबड़-खाबड़ थी, तो संकेत आज भी अपनी पिछली यादों के कारण डगमगा सकता है। वे केवल एक सीधी रेखा में नहीं चलते; वे एक लहर की तरह फैलते हैं और पानी में स्याही की एक बूंद की तरह विसरित (diffuse) होते हैं।

गणितज्ञ इस तरह की गति का वर्णन करने के लिए एक विशेष उपकरण का उपयोग करते हैं जिसे टेलीग्राफ समीकरण (Telegraph Equation) कहा जाता है। लेकिन जब सामग्री जटिल होती है (जैसे असमान गुणों वाला एक सेमीकंडक्टर) और "याददाश्त" का प्रभाव मजबूत होता है, तो मानक गणित पर्याप्त नहीं होता है। यहीं पर यह शोध पत्र काम आता है।

यहाँ लेखकों द्वारा किए गए कार्यों का एक सरल विवरण दिया गया है, जिसमें रोजमर्रा के उपमाओं का उपयोग किया गया है:

1. समस्या: बदलते नियमों वाली एक सड़क

लेखक एक विशिष्ट प्रकार के समीकरण (एक "टाइम-फ्रैक्शनल टेलीग्राफ सिस्टम") का अध्ययन कर रहे हैं जो इन संकेतों को मॉडल करता है।

"सड़क" (गुणांक/Coefficients): कल्पना कीजिए कि सड़क समतल नहीं है। कुछ हिस्से फिसलन भरे हैं, कुछ चिपचिपे हैं, और नियम इस बात पर निर्भर करते हैं कि आप कहाँ हैं (स्थानिक रूप से परिवर्तनशील गुणांक)।
"याददाश्त" (फ्रैक्शनल डेरिवेटिव): एक सामान्य कार के विपरीत, जो केवल अपने टायरों के नीचे की सड़क की परवाह करती है, यह "सिग्नल कार" उस सड़क को याद रखती है जिस पर वह पिछले एक घंटे में चली थी। गणित इस इतिहास को ट्रैक करने के लिए रीमैन-लिउविल फ्रैक्शनल डेरिवेटिव (Riemann–Liouville fractional derivative) नामक चीज़ का उपयोग करता है।

2. उपकरण: "सममिति" (Symmetry) का जासूस

इन जटिल समीकरणों को हल करने के लिए, लेखकों ने ली सिमेट्री एनालिसिस (Lie Symmetry Analysis) नामक विधि का उपयोग किया।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास धागे की एक जटिल, उलझी हुई गांठ है। आप उसे सुलझाना चाहते हैं ताकि पैटर्न देख सकें। आप "सममिति" (symmetries) की तलाश करते हैं—ऐसे तरीके जिनसे आप गांठ को बिना उसके मौलिक आकार को बदले घुमा सकते हैं, खींच सकते हैं या स्थानांतरित कर सकते हैं।
उन्होंने क्या किया: उन्होंने इन समीकरणों में छिपी हुई सममितिों को खोजने के लिए जासूसों की तरह काम किया। उन्होंने पूछा: "यदि मैं समय या स्थिति को एक विशिष्ट तरीके से बदल दूँ, तो क्या समीकरण अभी भी वैसा ही दिखता है?"
खोज: उन्होंने पाया कि उत्तर पूरी तरह से दो चीजों के बीच के संबंध पर निर्भर करता है: परिवहन गुणांक (transport coefficient) (संकेत कितनी तेजी से चलता है, जैसे सड़क का चिकनापन) और पोटेंशियल फंक्शन (potential function) (बाहरी बल जो संकेत को धकेलते हैं)।

3. समाधानों के तीन "परिवार" (Families)

लेखकों ने खोजा कि सड़क और बलों के बीच संबंध के आधार पर, समीकरण तीन अलग-अलग परिवारों (या वर्गों) में आते हैं।

परिवार 1: सबसे सामान्य मामला। सड़क और बल एक विशिष्ट, जटिल तरीके से संबंधित हैं।
परिवार 2: एक थोड़ा सरल संबंध जहाँ बल सड़क के आकार से एक विशिष्ट सूत्र के माध्यम से जुड़े हुए हैं।
परिवार 3: सबसे विशेष मामला जहाँ बल सड़क के आकार के साथ पूरी तरह से संतुलित हैं।

प्रत्येक परिवार के लिए, उन्होंने एक "ऑप्टिमल सिस्टम" (Optimal System) बनाया।

उपमा: इसे एक मास्टर की-रिंग (चाबियों का गुच्छा) के रूप में सोचें। हर दरवाजे को खोलने के लिए हर एक चाबी को आज़माने के बजाय, उन्होंने चाबियों (सममिति) का सबसे छोटा, सबसे कुशल सेट खोजा जो उस परिवार के हर दरवाजे को खोल सकता है।

4. परिणाम: कोड को क्रैक करना

एक बार जब उन्हें सही चाबियाँ (सममिति) मिल गईं, तो वे जटिल समीकरणों को सरल बना सके।

न्यूनीकरण (Reduction): उन्होंने दो चरों (समय और स्थान) वाले एक कठिन प्रश्न को केवल एक चर (एक "फ्रैक्शनल ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन") वाले सरल प्रश्न में बदल दिया।
समाधान: उन्होंने इन सरल समस्याओं को हल किया और सटीक उत्तर लिखे। ये उत्तर साधारण संख्याएँ नहीं हैं; इन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञों के नाम पर आधारित विशेष गणितीय "सुपर-फंक्शन्स" का उपयोग करके व्यक्त किया गया है:
- मिटैग-लेफ़लर फंक्शन्स (Mittag-Leffler functions): मानक एक्सपोनेंशियल फंक्शन्स के "फ्रैक्शनल कजिन", जिनका उपयोग हम बुनियादी भौतिकी में करते हैं।
- सामान्यीकृत राइट फंक्शन्स (Generalized Wright functions) और फॉक्स एच-फंक्शन्स (Fox H-functions): सिस्टम के "मेमोरी" और "नॉन-लोकल" व्यवहार का वर्णन करने के लिए आवश्यक और भी जटिल उपकरण।

यह क्यों मायने रखता है?

शोध पत्र का दावा है कि ये समाधान बेंचमार्क (Benchmarks) हैं।

उपमा: कल्पना कीजिए कि इंजीनियर बेहतर कार ब्रेक या तेज़ माइक्रोचिप डिजाइन करने के लिए एक नया कंप्यूटर सिमुलेशन बना रहे हैं। उन्हें यह जांचने के लिए कि उनका कंप्यूटर सही ढंग से काम कर रहा है या नहीं, एक "गोल्ड स्टैंडर्ड" उत्तर की आवश्यकता होती है।
क्योंकि लेखकों ने सटीक, क्लोज्ड-फॉर्म समाधान (गोल्ड स्टैंडर्ड) खोज लिए हैं, इसलिए इंजीनियर अपने जटिल कंप्यूटर मॉडल चला सकते हैं और उनकी तुलना इन सटीक उत्तरों से कर सकते हैं। यदि कंप्यूटर मॉडल शोध पत्र के समाधान से मेल खाता है, तो इंजीनियरों को पता चल जाता है कि उनका मॉडल सटीक है।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक गणितीय मानचित्र है। यह हमें बताता है कि एक विशिष्ट प्रकार के जटिल, मेमोरी-युक्त सिग्नल ट्रांसपोर्ट समस्या में कैसे नेविगेट किया जाए। छिपी हुई सममितिओं को खोजकर, लेखकों ने एक अव्यवदार, अनसुलझे दिखने वाले पहेली को स्पष्ट, सटीक सूत्रों के सेट में बदल दिया। ये सूत्र वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए एक "सत्य की जाँच" (truth check) के रूप में कार्य करते हैं जो विशेष सामग्रियों में ऊष्मा प्रवाह या असमान सेमीकंडक्टर्स में बिजली जैसे वास्तविक दुनिया के सिस्टम को मॉडल करने की कोशिश कर रहे हैं।

नोट: यह शोध पत्र पूरी तरह से गणितीय वर्गीकरण और इन सटीक सूत्रों के व्युत्पन्न (derivation) पर केंद्रित है। यह अभी तक किसी विशिष्ट औद्योगिक समस्या को हल करने का दावा नहीं करता है, न ही यह नैदानिक (clinical) उपयोगों के बारे में चर्चा करता है; यह गणितीय उपकरण (सटीक समाधान) प्रदान करता है जिनका उपयोग अन्य लोग अपने स्वयं के मॉडल को मान्य करने के लिए कर सकते हैं।

यहाँ शोध पत्र "Lie Symmetry Classification and Invariant Solutions of Time-Fractional Telegraph Systems with Variable Coefficients" (सोडबातार अड़िया आदि द्वारा लिखित) का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र उन औद्योगिक और भौतिक प्रणालियों में परिवहन प्रक्रियाओं (transport processes) के गणितीय मॉडलिंग को संबोधित करता है जो स्मृति प्रभावों (memory effects) और गैर-स्थानीय व्यवहारों (nonlocal behaviors) को प्रदर्शित करते हैं। जबकि शास्त्रीय टेलीग्राफ समीकरण सीमित गति के साथ सिग्नल प्रसार का मॉडल प्रस्तुत करते हैं, वे विस्कोइलास्टिक (viscoelastic) माध्यमों, विसंगत ऊष्मा चालन (anomalous heat conduction), और विस्क्रीट अर्धचालकों (disordered semiconductors) में पाए जाने वाले वंशानुगत गुणों (hereditary properties) को पकड़ने में विफल रहते हैं।

लेखक स्थानिक रूप से परिवर्तनशील गुणांकों वाले एक विशिष्ट वर्ग के टाइम-फ्रैक्शनल टेलीग्राफ सिस्टम (time-fractional telegraph systems) की जांच करते हैं, जिसे इस प्रणाली द्वारा परिभाषित किया गया है:
$\begin{cases} \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha} = v_x \\ \frac{\partial^\alpha v}{\partial t^\alpha} = f(x)u_x + g(x)u \end{cases}$
जहाँ:

$\alpha > 0$ फ्रैक्शनल ऑर्डर (फ्रैक्शनल ऑर्डर) है (रीमैन-लीविल डेरिवेटिव का उपयोग करते हुए)।
$f(x) > 0$ स्थानिक रूप से निर्भर परिवहन गुणों (जैसे डिफ्यूसिविटी) का प्रतिनिधित्व करता है।
$g(x)$ विषम माध्यमों (inhomogeneous media) में बाहरी क्षमता या फोर्सिंग प्रभावों का प्रतिनिधित्व करता है।

मुख्य चुनौती: फ्रैक्शनल टेलीग्राफ समीकरणों पर पिछले अध्ययन विशिष्ट गुणांक रूपों या प्रतिबंधित स्थितियों तक सीमित थे। सामान्य अवकलनीय फलनों $f(x)$ और $g(x)$ के लिए इस प्रणाली का एक पूर्ण ली सिमेट्री वर्गीकरण (complete Lie symmetry classification) एक खुला प्रश्न था। लक्ष्य यह पहचानना था कि $f(x)$ और $g(x)$ के सभी कार्यात्मक रूप कौन से सिमेट्री विस्तारों (symmetry extensions) को स्वीकार करते हैं और सटीक इनवेरिएंट समाधान (exact invariant solutions) प्राप्त करना था।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखकों ने ली सिमेट्री विश्लेषण (Lie symmetry analysis) का उपयोग किया जिसे फ्रैक्शनल पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशंस (FPDEs) के लिए विस्तारित किया गया है। कार्यप्रणाली में निम्नलिखित चरण शामिल थे:

इन्फिनिटेसिमल जेनरेटर निर्माण (Infinitesimal Generator Construction): उन्होंने एक सामान्य इन्फिनिटेसिमल जेनरेटर $X = \xi \partial_x + \tau \partial_t + \mu \partial_u + \phi \partial_v$ और इसके प्रोलॉन्गेशन (prolongation) को परिभाषित किया, जिसमें रीमैन-लीविल डेरिवेटिव का उपयोग करते हुए विशिष्ट सूत्र $\mu^{(\alpha)}$ और $\phi^{(\alpha)}$ शामिल हैं।
डिटरमिनिंग इक्वेशंस (Determining Equations): इनवेरियंस मानदंड $\tilde{X}(\Delta)|_{\Delta=0} = 0$ को लागू करके, उन्होंने एक ओवरडिटरमिन्ड सिस्टम (overdetermined system) बनाया।
रैखिकता प्रमाण (Linearity Proof): एक महत्वपूर्ण लेम्मा (lemma) ने सिद्ध किया कि इन्फिनिटेसिमल्स $\mu$ और $\phi$ , आश्रित चरों (dependent variables) $u$ और $v$ के सापेक्ष रैखिक होने चाहिए। इसने उच्च-क्रम के पूरक पदों ( $\mu_1, \phi_1$ ) को हटाकर सिस्टम को सरल बना दिया।
वर्गीकरण (Classification): डिटरमिनिंग इक्वेशंस से प्राप्त $f(x)$ और $g(x)$ पर प्रतिबंधों का विश्लेषण करके, लेखकों ने सिस्टम को विभिन्न सिमेट्री मामलों में वर्गीकृत किया।
ऑप्टिमल सिस्टम्स (Optimal Systems): प्रत्येक सिमेट्री क्लास के लिए, उन्होंने समूह-इनवेरिएंट समाधानों के गैर-अतिरेक वर्गीकरण (non-redundant classification) को सुनिश्चित करने के लिए एक-आयामी ली उप-बीजगणित (one-dimensional Lie subalgebras) के ऑप्टिमल सिस्टम्स का निर्माण किया।
सिमेट्री रिडक्शन (Symmetry Reduction): ऑप्टिमल सिस्टम्स के विशेषता समीकरणों (characteristic equations) का उपयोग करके, मूल FPDEs को फ्रैक्शनल ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशंस (FODEs) में बदल दिया गया।
सटीक समाधान (Exact Solutions): इन रिड्यूस्ड FODEs को विशेष फलनों: मिटाग-लेफ़्लर फंक्शन्स (Mittag-Leffler functions), सामान्यीकृत राइट फंक्शन्स (generalized Wright functions), और फॉक्स एच-फंक्शन्स (Fox H-functions) के रूप में व्यक्त करके विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

पूर्ण ली सिमेट्री वर्गीकरण: यह शोध पत्र सामान्य स्थानिक रूप से परिवर्तनशील गुणांकों वाले टाइम-फ्रैक्शनल टेलीग्राफ सिस्टम के लिए ली सिमेट्री का पहला पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है।
सिमेट्री क्लासेस की पहचान: अध्ययन से पता चलता है कि सिमेट्री संरचना मौलिक रूप से $f(x)$ $f (x)$ और $g(x)$ $g (x)$ के बीच के संबंध पर निर्भर करती है। लेखकों ने $f(x)$ $f (x)$ के सापेक्ष $g(x)$ $g (x)$ के विशिष्ट कार्यात्मक रूपों के आधार पर तीन अलग-अलग सिमेट्री क्लास (प्लस एक जेनेरिक केस) की पहचान की:
1. जेनेरिक केस (Generic Case): केवल ट्रिवियल स्केलिंग और लीनियर सुपरपोजिशन सिमेट्री मौजूद हैं।
2. केस 1 (Case 1): $g(x) = \frac{\lambda_2 \sqrt{f(x)}}{\omega_{\lambda_1}(x)} + \frac{f'(x)}{2}$ , जो एक अतिरिक्त स्केलिंग सिमेट्री को स्वीकार करता है।
3. केस 2 (Case 2): $g(x) = \lambda_2 \sqrt{f(x)} + \frac{f'(x)}{2}$ , जो एक ट्रांसलेशन-जैसी सिमेट्री को स्वीकार करता है।
4. केस 3 (Case 3): $g(x) = \frac{f'(x)}{2}$ , जो सबसे बड़ा सिमेट्री बीजगणित (जिसमें $u-v$ प्लेन में रोटेशन-जैसी सिमेट्री शामिल है) स्वीकार करता है।
FODEs में रिडक्शन: लेखकों ने प्रत्येक सिमेट्री क्लास के लिए जटिल FPDE सिस्टम को सफलतापूर्वक हल करने योग्य FODEs में बदल दिया।
क्लोज्ड-फॉर्म सॉल्यूशंस (Closed-Form Solutions): उन्होंने उन्नत विशेष फलनों (Fox H-functions, Wright functions) के माध्यम से स्पष्ट इनवेरिएंट समाधान प्राप्त किए, जो फ्रैक्शनल ट्रांसपोर्ट घटनाओं का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं।

4. मुख्य परिणाम (Key Results)

अध्ययन ने पहचाने गए मामलों के लिए विशिष्ट इनवेरिएंट समाधान दिए:

केस 1 और 2 (परिवर्तनशील गुणांकों वाले FODEs में रिडक्शन):
- समाधानों को $0 < \alpha < 1$ के लिए फॉक्स एच-फंक्शन्स ( $H_{p,q}^{m,n}$ ) और $\alpha \geq 1$ के लिए सामान्यीकृत राइट फंक्शन्स ( $\Psi$ ) के रूप में व्यक्त किया गया।
- समानता चर (similarity variables) में $t$ और $1/\sqrt{f(x)}$ के समाकलन (integrals) का संयोजन शामिल था।
केस 3 ( $g(x) = f'(x)/2$ ):
- इस मामले ने सबसे महत्वपूर्ण रिडक्शन की अनुमति दी। सिस्टम को अलग-अलग होने योग्य (separable) समीकरणों में विघटित किया जा सकता था।
- समाधानों को मिटाग-लेफ़्लर फंक्शन्स ( $E_{\alpha, \beta}$ ) और राइट फंक्शन्स का उपयोग करते हुए स्थानिक फलनों और टेम्पोरल (temporal) फलनों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया गया।
- विशेष रूप से, यदि $f(x) = x^{2m}$ है, तो सिस्टम किसी भी $m > 0$ के लिए एक सेपरेबल रूप में बदल जाता है, जो पिछले परिणामों का एक सामान्यीकरण है जो $f(x)=x^2$ तक सीमित थे।

5. महत्व और निहितार्थ (Significance and Implications)

सैद्धांतिक प्रगति: यह कार्य शास्त्रीय टेलीग्राफ समीकरण सिमेट्री विश्लेषण और फ्रैक्शनल कैलकुलस के बीच के अंतर को पाटता है, और सिद्धांत को मनमाने स्थानिक विषमता (spatial heterogeneity) के साथ विस्तारित करता है।
बेंचमार्किंग: प्राप्त सटीक विश्लेषणात्मक समाधान औद्योगिक परिवहन मॉडलिंग में उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विधियों (numerical methods) को मान्य करने के लिए महत्वपूर्ण बेंचमार्क के रूप में कार्य करते हैं। फ्रैक्शनल PDEs के लिए संख्यात्मक स्कीमें अक्सर सटीकता के लिए संघर्ष करती हैं; ये सटीक समाधान सत्यापन के लिए एक 'ग्राउंड ट्रुथ' प्रदान करते हैं।
भौतिक अंतर्दृष्टि: समाधान, जो मिटाग-लेफ़्लर और फॉक्स एच-फंक्शन्स द्वारा अभिलक्षित हैं, जटिल माध्यमों (जैसे विस्कोइलास्टिसिटी, विसंगत प्रसार) में परिवहन की "स्मृति" और "गैर-स्थानीय" प्रकृति को गणितीय रूप से कैप्चर करते हैं।
भविष्य की दिशाएं: लेखक सुझाव देते हैं कि इस ढांचे को गैर-रेखीय (nonlinear) फ्रैक्शनल टेलीग्राफ समीकरणों, बहु-आयामी प्रणालियों और अन्य फ्रैक्शनल ऑपरेटर्स (जैसे कैपुटो डेरिवेटिव) तक विस्तारित किया जा सकता है, जो जटिल औद्योगिक प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए गणितीय आधार को और मजबूत करता है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र परिवर्तनशील गुणांकों वाले टाइम-फ्रैक्शनल टेलीग्राफ सिस्टम के विश्लेषण और समाधान के लिए एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करता है, जो पूर्ण सिमेट्री वर्गीकरण और सटीक समाधानों का एक समृद्ध सेट दोनों प्रदान करता है जो स्मृति-निर्भर परिवहन घटनाओं को समझने और मॉडल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।