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Nonlinear evolution equations with a non-Lipschitz perturbation: convergence of successive approximations and uniqueness of solutions

यह शोध पत्र एक m-एक्रेटिव (m-accretive) ऑपरेटर और एक गैर-लिप्सचिट्ज़ (non-Lipschitz) विक्षोभ द्वारा संचालित बानैक स्पेस (Banach spaces) में गैररेखीय विकास समीकरणों (nonlinear evolution equations) के समाधानों के लिए क्रमिक सन्निकटन (successive approximations) के अस्तित्व, अद्वितीयता और अभिसरण को स्थापित करता है।

मूल लेखक: G. Diaz, J. I. Dıaz

प्रकाशित 2026-05-01

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CC0 1.0

मूल लेखक: G. Diaz, J. I. Dıaz

मूल पेपर CC0 1.0 (http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/) के तहत सार्वजनिक डोमेन को समर्पित है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: अप्रत्याशित की भविष्यवाणी करना

कल्पना कीजिए कि आप एक पहाड़ी से लुढ़कती हुई गेंद के रास्ते की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। एक आदर्श, चिकनी दुनिया में (जैसे कि एक भौतिकी की पाठ्यपुस्तक में), गेंद एक अनुमानित वक्र (curve) का अनुसरण करती है। यदि आप जानते हैं कि वह कहाँ से शुरू हुई थी और पहाड़ी का आकार कैसा है, तो आप सटीक गणना कर सकते हैं कि एक मिनट में वह कहाँ होगी। गणितज्ञ इसे "लिप्सचिट्ज़" (Lipschitz) स्थिति कहते हैं: नियम चिकने हैं, और शुरुआत में छोटे बदलाव अंत में छोटे, अनुमानित बदलावों की ओर ले जाते हैं।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया अक्सर "ऊबड़-खाबड़" होती है। कभी-कभी, ज़मीन अचानक बदल जाती है, या घर्षण (friction) अजीब तरह से व्यवहार करता है। इस शोध पत्र में, लेखक एक ऐसी गणितीय समस्या पर काम करते हैं जहाँ "पहाड़ी" में एक बहुत ही ऊबड़-खाबड़, नुकीला स्थान है। विशेष रूप से, वे नॉनलीनियर इवोल्यूशन इक्वेशन्स (nonlinear evolution equations) को देख रहे हैं।

इन समीकरणों को उन नियमों के रूप में सोचें जो बताते हैं कि एक सिस्टम (जैसे पृथ्वी की जलवायु या एक धातु की छड़ में गर्मी का प्रसार) समय के साथ कैसे बदलता है। लेखक एक विशिष्ट प्रकार के नियम का अध्ययन कर रहे हैं जहाँ "ऊबड़-खाबड़ स्थान" (जिसे परटर्बेशन/perturbation कहा जाता है) इतना नुकीला है कि सामान्य चिकने गणितीय उपकरण विफल हो जाते हैं। वे दो चीजें सिद्ध करना चाहते हैं:

अस्तित्व (Existence): एक समाधान वास्तव में मौजूद है (गेंद कहीं न कहीं तो लुढ़केगी ही)।
विशिष्टता (Uniqueness): गेंद द्वारा लिए जा सकने वाले रास्तों में से केवल एक ही संभव पथ है (गेंद अचानक दो अलग-अलग रास्तों में नहीं बंट सकती)।

जलवायु से संबंध

यह क्यों मायने रखता है? लेखक उल्लेख करते हैं कि इस गणित को जलवायु मॉडल से प्रेरणा मिली है। कल्पना कीजिए कि आप पृथ्वी के तापमान का मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं। इसमें एक पेचीदा हिस्सा है जिसे "को-अल्बेडो" (co-albedo) फंक्शन कहा जाता है। यह बताता है कि पृथ्वी कितनी धूप परावर्तित करती है।

बर्फ बहुत अधिक धूप परावर्तित करती है (उच्च अल्बेडो)।
महासागर बहुत कम परावर्तित करता है (निम्न अल्बेडो)।
बर्फ और महासागर के बीच का संक्रमण हमेशा एक चिकनी ढलान नहीं होता; यह एक तीखी चट्टान (sharp cliff) जैसा हो सकता है।

पिछले मॉडलों में, वैज्ञानिकों ने एक "स्टेप फंक्शन" (बर्फ से महासागर तक का अचानक उछाल) का उपयोग किया था। हालांकि यह सटीक है, लेकिन गणितीय रूप से इसके साथ काम करना बहुत कठिन है, खासकर यदि आप इसमें रैंडम शोर (जैसे सौर परिवर्तनशीलता) जोड़ते हैं। लेखकों ने इस तीखे स्टेप को एक "नॉन-लिप्सचिट्ज़" वक्र से बदल दिया—एक बहुत ही खड़ी, लगभग लंबवत ढलान। यह एक चिकनी ढलान नहीं है, लेकिन यह एक कठोर चट्टान भी नहीं है। यह एक "चट्टान जैसी" ढलान है जो गणित को बहुत कठिन बना देती है।

मुख्य चुनौती: "ऊबड़-खाबड़" रास्ता

लेखकों का लक्ष्य यह सिद्ध करना था कि इस ऊबड़-खाबड़, नुकीले नियम के साथ भी, हम अभी भी एक अद्वितीय समाधान पा सकते हैं।

आमतौर पर, गणितज्ञ सक्सेसिव एप्रोक्सिमेशंस (Successive Approximations या "पिकार्ड इटरेशन") नामक विधि का उपयोग करते हैं। कल्पना कीजिए कि आप गेंद के पथ का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं:

आप एक जंगली अनुमान लगाते हैं (पथ A)।
आप नियमों को देखने के लिए पथ A को लागू करते हैं कि क्या होता है।
नियम आपको एक नया, थोड़ा बेहतर अनुमान देते हैं (पथ B)।
आप इसे बार-बार दोहराते हैं।

यदि नियम चिकने (Lipschitz) हैं, तो ये अनुमान वास्तविक पथ के करीब आते जाते हैं जब तक कि वे उस पर स्थिर न हो जाएं। लेकिन यदि नियम ऊबड़-खाबड़ (non-Lipschitz) हैं, तो अनुमान हमेशा के लिए इधर-उधर उछल सकते हैं और कभी स्थिर नहीं हो पाएंगे।

लेखकों की सफलता:
उन्होंने सिद्ध किया कि भले ही इन ऊबड़-खाबड़ नियमों के साथ, यदि "ऊबड़-खाबड़पन" एक विशिष्ट पैटर्न का पालन करता है (जिसे वे ओसगुड की स्थिति/Osgood's condition कहते हैं), तो अनुमान अंततः एक एकल, अद्वितीय पथ पर स्थिर हो जाएंगे।

टूलकिट: उन्होंने यह कैसे किया

1. "जादुई सूत्र" (वेरिएशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स)

लीनियर मैथ (चिकनी पहाड़ियों) में, एक प्रसिद्ध सूत्र है जिसे "वेरिएशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स" कहा जाता है जो इन समस्याओं को हल करने में मदद करता है। यह एक सार्वभौमिक रेसिपी की तरह है।

दावा: लेखकों ने सिद्ध किया कि यह रेसिपी तब भी काम करती है जब पहाड़ी ऊबड़-खाबड़ हो और नियम नॉनलीनियर हों। उन्होंने इस "जादुई सूत्र" को एक बहुत ही सामान्य सेटिंग (Banach spaces) में विस्तारित किया, जो यह कहने जैसा है कि, "यह रेसिपी काम करती है चाहे आप रसोई में खाना बना रहे हों, अंतरिक्ष यान में या किसी गुफा में।"

2. "शैडो" सिस्टम

यह सिद्ध करने के लिए कि अनुमान स्थिर होंगे, उन्होंने केवल बिखरे हुए गेंद को नहीं देखा। उन्होंने एक "शैडो" सिस्टम बनाया—एक सरल, स्केलर (एक-आयामी) समीकरण जो एक गति सीमा संकेत (speed limit sign) की तरह कार्य करता है।

उन्होंने दिखाया कि यदि "शैडो" सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान है (और शून्य से शुरू होने वाले कई पथों की अनुमति नहीं देता है), तो वास्तविक, जटिल सिस्टम का भी एक अद्वितीय समाधान होगा।
उन्होंने यूनिक कंटीन्यूएशन (Unique Continuation) नामक एक शर्त का उपयोग किया। इसे ऐसे समझें: यदि एक कार शून्य गति से शुरू होती है और इंजन बंद है, तो वह शून्य पर ही रहती है। वह अचानक खुद से चलने नहीं लग सकती। उन्होंने सिद्ध किया कि उनके विशिष्ट नियमों के तहत, सिस्टम उसी तरह व्यवहार करता है: यदि यह शून्य से शुरू होता है, तो यह शून्य पर ही रहता है। यह समाधानों के "बंटने" को रोकता है।

3. "ओसगुड" सुरक्षा जाल

उनकी सफलता की कुंजी ओसगुड नामक गणितज्ञ के नाम पर आधारित एक स्थिति थी।

कल्पना कीजिए कि सड़क का "ऊबड़-खाबड़पन" शून्य के करीब पहुँचने पर और खराब होता जाता है।
ओसगुड की स्थिति कहती है कि शून्य के पास ऊबड़-खाबड़पन इतना बुरा हो जाता है कि सिस्टम एक ही ट्रैक पर रहने के लिए मजबूर हो जाता है। यह एक फनल (कीप) की तरह है जो संकरा होता जाता है; एक बार जब आप फनल में आ जाते हैं, तो आप दूसरे पथ पर नहीं जा सकते।
उन्होंने दिखाया कि यदि यह "ऊबड़-खाबड़पन" इस विशिष्ट फनल आकार (जैसे $U \ln U$ ) का पालन करता है, तो समाधान अद्वितीय होता है।

परिणाम

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि कठिन, ऊबड़-खाबड़ गणितीय समस्याओं के एक विस्तृत वर्ग के लिए (जिसमें उल्लेखित जलवायु मॉडल भी शामिल हैं):

एक समाधान मौजूद है। सिस्टम अनुमानित रूप से व्यवहार करता है।
समाधान अद्वितीय है। सिस्टम के लिए केवल एक ही संभावित भविष्य है।
हम इसे पा सकते हैं। "सक्सेसिव एप्रोक्सिमेशंस" विधि (अनुमान लगाना और सुधारना) का उपयोग करके, हम वास्तव में इस समाधान की गणना कर सकते हैं, और अनुमान सत्य की ओर अग्रसर होंगे।

रूपक में सारांश

कल्पना कीजिए कि आप कोहरे से भरे, चट्टानी द्वीपसमूह के बीच से एक जहाज चला रहे हैं।

पुराना गणित: कहता था, "यदि चट्टानें नुकीली हैं, तो आप निश्चित नहीं हो सकते कि आप एक से टकराएंगे या दूसरे से। पथ संदिग्ध है।"
यह शोध पत्र: कहता है, "वास्तव में, यदि चट्टानें इस विशिष्ट तरीके से (ओसगुड तरीके से) नुकीली हैं, तो चट्टानों के बीच केवल एक सुरक्षित चैनल है। हमारे पास एक मानचित्र (वेरिएशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स फॉर्मूला) और एक दिशा-सूचक यंत्र (सक्सेसिव एप्रोक्सिमेशंस) है जो आपको उस एकल, अद्वितीय पथ तक ले जाएगा, चाहे चट्टानें कितनी भी ऊबड़-खाबड़ क्यों न दिखें।"

लेखकों ने केवल यह नहीं कहा कि "यह काम करता है"; उन्होंने प्रमाण (प्रूफ) के रूप में वह पुल बनाया जिससे यह दिखाया जा सके कि जहाज को शुरुआत से अंत तक बिना खोए कैसे पहुँचा जा सकता है।

यहाँ G. Díaz और J.I. Díaz के शोध पत्र "Nonlinear evolution equations with a non-Lipschitz perturbation: convergence of successive approximations and uniqueness of solutions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एक सामान्य बानाच स्पेस (Banach space) सेटिंग में गैर-रेखीय विकास समीकरणों (nonlinear evolution equations) के समाधानों के अस्तित्व और अद्वितीयता की जांच करता है। समस्या को एक कॉची समस्या (Cauchy problem) के रूप में तैयार किया गया है:
$\begin{cases} \frac{du(t)}{dt} + Au(t) = F(t, u(t)), & 0 < t < T < \infty \\ u(0) = u_0 \end{cases}$
मुख्य घटक:

ऑपरेटर $A$ : एक बानाच स्पेस $X$ पर एक $m$ -एक्रेटिव (m-accretive) ऑपरेटर। महत्वपूर्ण रूप से, स्पेस $X$ अनिवार्य रूप से रिफ्लेक्सिव (reflexive) नहीं है, और $D(A)$ को पूरे स्पेस $X$ के रूप में माना गया है।
विक्षोभ (Perturbation) $F(t, u)$ : एक गैर-रेखीय पद जो मानक लिप्सचिट्ज़ (Lipschitz) स्थिति को संतुष्ट नहीं करता है। इसके बजाय, यह एक तुलना फलन (comparison function) $K(t, U)$ से जुड़ी एक कमजोर संरचनात्मक स्थिति को संतुष्ट करता है।
प्रेरणा (Motivation): यह कार्य जलवायु विज्ञान में गैर-रेखीय विसरण मॉडल (nonlinear diffusion models), विशेष रूप से स्टोकेस्टिक डिफ्यूसिव एनर्जी बैलेंस क्लाइमेट मॉडल्स से प्रेरित है, जहाँ "को-अल्बेडो" (co-albedo) फलन (जो बर्फ-अल्बेडो फीडबैक को मॉडल करता है) गैर-लिप्सचिट्ज़ है। लेखक पिछले स्टोकेस्टिक सेटिंग्स और विशिष्ट PDEs से प्राप्त परिणामों को एक सामान्य अमूर्त ढांचे (abstract framework) में विस्तारित करने का लक्ष्य रखते हैं।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक क्रमिक सन्निकटन की विधि (Method of Successive Approximations - Picard iteration) को निरंतर फलनों के स्पेस $C([0, T]; X)$ में फिक्स्ड-पॉइंट थ्योरी के साथ जोड़कर एक रचनात्मक दृष्टिकोण अपनाते हैं।

A. वेरियशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स फॉर्मूला का विस्तार (Extension of the Variation of Constants Formula)

एक आधारभूत चरण यह सिद्ध करना है कि वेरियशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स फॉर्मूला (Duhamel's principle), जो आमतौर पर रैखिक ऑपरेटरों के लिए मान्य होता है, गैर-रेखीय $m$ -एक्रेटिव ऑपरेटरों के लिए भी मान्य है।

वे Crandall–Liggett Theorem का उपयोग करते हैं, जो $A$ द्वारा जनरेट किए गए एक संकुचन सेमीग्रुप (contraction semigroup) $\{S(t)\}_{t \geq 0}$ की उपस्थिति की गारंटी देता है।
इम्प्लिसिट यूलर स्कीम (implicit Euler scheme) का उपयोग करते हुए, वे यह प्रदर्शित करते हैं कि माइल्ड समाधान (mild solution) $u(t)$ निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
$u(t) = S(t)u_0 + \int_0^t S(t-s)F(s, u(s)) \, ds$
यह अवकल समीकरण को एक इंटीग्रल ऑपरेटर $G_{u_0}$ के लिए फिक्स्ड-पॉइंट समस्या में पुनर्गठित करता है।

B. विक्षोभ पर संरचनात्मक धारणाएँ (Structural Assumptions on the Perturbation)

$F$ की गैर-लिप्सचिट्ज़ प्रकृति को एक अदिश तुलना फलन $K(t, U)$ की तीन विशिष्ट स्थितियों के माध्यम से संभाला जाता है:

संरचनात्मक स्थिति (a1): $\|F(t, u) - F(t, v)\|_X \leq K(t, \|u-v\|_X)$ । यहाँ, $K(t, U)$ $U$ के सापेक्ष गैर-घटता हुआ (non-decreasing) है और $t$ में स्थानीय रूप से समाकलनीय (locally integrable) है।
बद्धता स्थिति (a2): संबद्ध अदिश समाकल समीकरण $U(t) = U_0 + \int_0^t K(s, U(s)) \, ds$ अंतराल $[0, T]$ पर एक वैश्विक समाधान (global solution) रखता है।
यूनिक कंटीन्यूएशन स्थिति (a3): शून्य फलन ही एकमात्र गैर-ऋणात्मक समाधान है जो असमिका $U(t) \leq \int_0^t K(s, U(s)) \, ds$ को संतुष्ट करता है। यह महत्वपूर्ण स्थिति है जो अद्वितीयता सुनिश्चित करती है।

C. फिक्स्ड-पॉइंट विश्लेषण (Fixed-Point Analysis)

लेखक बानाच स्पेस $C([0, T]; X)$ पर ऑपरेटर $G_{u_0}$ को परिभाषित करते हैं और अनुक्रम $u_{n+1} = G_{u_0}u_n$ के अभिसरण का विश्लेषण करते हैं।

वे स्थिति (a2) से प्राप्त अदिश समाधान $U(t)$ का उपयोग करके ए प्रियोरी बाउंड्स (a priori bounds) स्थापित करते हैं।
वे क्रमिक इटरेशन के बीच के अंतर का विश्लेषण करके और स्थिति (a3) को लागू करके, अनुक्रम $\{u_n\}$ के एक अद्वितीय सीमा (limit) की ओर अभिसरण को सिद्ध करते हैं।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

गैर-रेखीय वेरियशन ऑफ कॉन्स्टेंट्स फॉर्मूला: यह शोध पत्र एक कठोर प्रमाण प्रदान करता है कि घने डोमेन वाले गैर-रेखीय $m$ -एक्रेटिव ऑपरेटरों के लिए समाधान का इंटीग्रल प्रतिनिधित्व (Variation of Constants) मान्य है, जो कि पहले मुख्य रूप से रैखिक ऑपरेटरों के लिए ज्ञात था।
लिप्सचिट्ज़ स्थितियों के बिना रचनात्मक अद्वितीयता: गैर-लिप्सचिट्ज़ समस्याओं के लिए कई अस्तित्व प्रमाणों के विपरीत, जो गैर-रचनात्मक फिक्स्ड-पॉइंट थ्योरम्स (जैसे मल्टीवैल्यूड मैप्स के लिए Kakutani) पर निर्भर करते हैं, यह शोध पत्र एक रचनात्मक योजना (Picard iteration) प्रदान करता है जो एक अद्वितीय माइल्ड समाधान की ओर अभिसरित होती है।
गैर-रिफ्लेक्सिव स्पेसों में सामान्यीकरण: परिणाम सामान्य बानाच स्पेसों में स्थापित किए गए हैं, जिससे साहित्य में अक्सर पाई जाने वाली रिफ्लेक्सिविटी की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
एकीकृत अद्वितीयता मानदंड: यह शोध पत्र शास्त्रीय अद्वितीयता मानदंडों (Osgood, Nagumo, Gronwall) को अमूर्त गैर-रेखीय विकास समीकरणों के संदर्भ में संश्लेषित और विस्तारित करता है। यह दर्शाता है कि कैसे Osgood मानदंड (शून्य के पास एक इंटीग्रल के अपसरण से संबंधित) अद्वितीयता सुनिश्चित करता है, भले ही लिप्सचिट्ज़ स्थिति विफल हो जाए।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

प्रमेय 1 (अस्तित्व और अद्वितीयता): शर्तों (a1), (a2), और (a3) के तहत, समस्या (P) के पास एक अद्वितीय माइल्ड समाधान $u \in C([0, T]; X)$ है। यह समाधान ऑपरेटर $G_{u_0}$ का अद्वितीय फिक्स्ड-पॉइंट है और Picard-प्रकार के सन्निकटन का सीमा (limit) है। इसके अतिरिक्त, समाधान इस अनुमान को संतुष्ट करता है: $\|u\|_{C([0,t];X)} \leq U(t)$ , जहाँ $U(t)$ एक अदिश मेजरेंट समाधान है।
यूलर स्कीम का अभिसरण: अद्वितीय समाधान को गैर-विषम समीकरण (non-homogeneous equation) से जुड़े इम्प्लिसिट यूलर स्कीम के सीमा के रूप में भी पहचाना जाता है।
स्थिरता अनुमान (Stability Estimates): शोध पत्र निरंतर निर्भरता अनुमान प्राप्त करता है। यदि दो समाधान अलग-अलग प्रारंभिक डेटा $u_0$ और $\tilde{u}_0$ से शुरू होते हैं, तो उनके बीच की दूरी को $K$ से जुड़े अदिश समाकल समीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है।
विशिष्ट मानदंड (अनुभाग 3 और 4):
- Osgood मानदंड: अद्वितीयता तब गारंटीकृत होती है जब $\int_{0+} \frac{dU}{\vartheta(U)} = \infty$ , जहाँ $K(t, U) = \phi(t)\vartheta(U)$ । इसमें $\vartheta(U) = U \ln(1/U)$ जैसे मामले शामिल हैं।
- Nagumo विस्तार: लेखक Osgood-प्रकार और Nagumo-प्रकार के विकास (growth) स्थितियों के संयोजन को संभालने के लिए Nagumo मानदंड का सामान्यीकरण करते हैं।
- पावर लॉज़ (Power Laws): वे $\vartheta(U) = U^m$ वाले मामलों का विश्लेषण करते हैं। $m=1$ (Lipschitz) के लिए, अद्वितीयता वैश्विक रूप से बनी रहती है। $m > 1$ के लिए, अद्वितीयता बनी रहती है लेकिन प्रारंभिक डेटा के आधार पर समाधान सीमित समय में ब्लो-अप (blow up) हो सकते हैं।

5. महत्व और अनुप्रयोग (Significance and Applications)

जलवायु मॉडलिंग: यह कार्य सीधे तौर पर एनर्जी बैलेंस क्लाइमेट मॉडल्स (EBCM) में गणितीय चुनौतियों को संबोधित करता है। विशेष रूप से, यह गैर-लिप्सचिट्ज़ "को-अल्बेडो" फलनों (जो बर्फ और पानी के बीच तीव्र संक्रमण को मॉडल करते हैं) के उपयोग को वैलिडेट करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि परिणामी जलवायु मॉडल के पास अद्वितीय, सुव्यवस्थित समाधान हैं।
सैद्धांतिक प्रगति: रिफ्लेक्सिव हिल्बर्ट स्पेस और लिप्सचिट्ज़ विक्षोभों से आगे बढ़कर, यह शोध पत्र गैर-रेखीय सेमीग्रुप सिद्धांत के दायरे को बढ़ाता है। यह उन क्वासिलिनियर और पूर्णतः गैर-रेखीय पैराबोलिक समस्याओं के विश्लेषण के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करता जहाँ मानक संकुचन मैपिंग सिद्धांत विफल हो जाते हैं।
रचनात्मक प्रकृति: गैर-चिकनी (non-smooth) भौतिक मॉडलों के लिए मानक पुनरावृत्ति योजनाओं (जैसे Picard या Euler विधियों) के उपयोग को न्यायसंगत बनाकर, यह कार्य संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) के लिए महत्वपूर्ण है।

संक्षेप में, Díaz और Díaz ने गैर-चिकनी गैर-रेखीयताओं वाले जटिल सेटिंग्स में अस्तित्व, अद्वितीयता और समाधानों के संख्यात्मक सन्निकटन के लिए एक कठोर आधार प्रदान करते हुए, अमूर्त गैर-रेखीय सेमीग्रुप सिद्धांत और विशिष्ट भौतिक मॉडलों के बीच के अंतर को सफलतापूर्वक पाट दिया है।