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Gradient blowup of smooth vacuum solutions to 1D compressible Euler equations

यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि एक स्थिर निर्वात सीमा वाले एक-आयामी समताप संपीड़ित यूलर समीकरणों के एक बड़े वर्ग के प्रारंभिक रूप से चिकने, वर्ग-समाकलनीय समाधान, स्व-समान प्रतीक्षा समय समाधानों के स्थिरता विश्लेषण के माध्यम से, परिमित-समय ग्रेडिएंट ब्लोअप (gradient blow up) से गुजरते हैं और सीमा के पास $C^{1-\mu}$ नियमितता में परिवर्तित हो जाते हैं।

मूल लेखक: Juhi Jang, Jiaqi Liu, Nader Masmoudi

प्रकाशित 2026-05-04

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Juhi Jang, Jiaqi Liu, Nader Masmoudi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं का उपयोग करके शोध पत्र की व्याख्या दी गई है।

बड़ी तस्वीर: एक पूरी तरह स्थिर झील जो अचानक टूट जाती है

एक विशाल, एक-आयामी गैस (जैसे हवा) की नदी की कल्पना करें जो एक सीधी रेखा में बह रही है। बाईं ओर, एक "निर्वात" (vacuum) है—एक पूर्ण शून्य जहाँ बिल्कुल भी गैस नहीं है। गैस इस खाली स्थान को छू रही है, लेकिन गैस और शून्य के बीच की सीमा पूरी तरह से स्थिर है। यह एक शांत झील की तरह है जो एक सूखे, खाली तट से मिल रही है।

इस शोध पत्र के वैज्ञानिकों (जांग, लियू और मास्मोउदी) ने एक विशिष्ट प्रश्न पूछा: यदि हम गैस के एक बहुत ही सुचारू (smooth), शांत और व्यवस्थित प्रवाह से शुरुआत करते हैं, तो क्या यह ठीक उसी किनारे पर अराजक हो सकता है और "टूट" (blow up) सकता है जहाँ यह खाली निर्वात को छूता है?

उनका उत्तर है हाँ। उन्होंने सिद्ध किया कि आप गैस का एक बहुत ही सुचारू, सौम्य प्रवाह स्थापित कर सकते हैं जो शुरुआत में बिल्कुल सामान्य दिखता है, लेकिन जैसे-जैसे समय बीतता है, निर्वात के बिल्कुल किनारे पर गति और दबाव इतनी तेजी से बढ़ते हैं कि वे एक सीमित समय में अनंत (infinite) हो जाते हैं। इसे "ग्रेडिएंट ब्लोअप" (gradient blowup) कहा जाता है।

मुख्य पात्र

गैस (द्रव/Fluid): इसे एक गलियारे में चल रही लोगों की भीड़ के रूप में सोचें। वे सुचारू रूप से चल रहे हैं।
निर्वात (दीवार/Vacuum): यह गलियारे का वह सिरा है जहाँ फर्श अचानक खत्म हो जाता है। गैस निर्वात के किनारे पर ठीक रुक जाती है।
"सेल्फ-सिमिलर" समाधान (ब्लूप्रिंट/The Blueprint): लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया कि ऐसा होता है; उन्होंने एक विशिष्ट "ब्लूप्रिंट" या पैटर्न (जिसे सेल्फ-सिमिलर सॉल्यूशन कहा जाता है) खोजा जो ठीक से बताता है कि विस्फोट होने के लिए गैस को कैसे व्यवहार करना चाहिए। यह एक विशिष्ट चलने की लय खोजने जैसा है, यदि हर कोई इस लय का पालन करता है, तो यह अनिवार्य रूप से हॉल के अंत में एक भीड़ या टकराव का कारण बनेगा।
"स्थिरता" परीक्षण (Stability Test): सबसे बड़ी चुनौती यह थी कि ये ब्लूप्रिंट बहुत नाजुक होते हैं। यदि आप गैस को थोड़ा सा भी हिलाते हैं, तो पैटर्न टूट सकता है और विस्फोट नहीं होगा। लेखकों ने सिद्ध किया कि ये ब्लूप्रिंट स्थिर (stable) हैं। भले ही आप गैस की थोड़ी अलग, सुचारू और वास्तविक व्यवस्था से शुरुआत करें (एक आदर्श गणितीय आदर्श के बजाय), सिस्टम स्वाभाविक रूप से खुद को ठीक करेगा और विस्फोट की ओर बढ़ने के लिए उस ब्लूप्रिंट का पालन करेगा।

विस्फोट की "नुस्खा" (The Recipe)

शोध पत्र विस्फोट सुनिश्चित करने के लिए गैस की प्रारंभिक अवस्था के लिए एक बहुत ही विशिष्ट "नुस्खा" का वर्णन करता है:

सेटअप: आप ऐसी गैस के साथ शुरुआत करते हैं जो सुचारू है और किनारे के पास एक विशिष्ट आकार रखती है। यह कोई भी आकार नहीं है; इसे सही ढंग से "ट्यून" किया जाना चाहिए।
"फाइनाइट कोडिमेंशनल" सेट (Finite Codimensional Set): यह एक बहुत ही तकनीकी तरीका है यह कहने का कि "संभावनाओं का एक बहुत ही विशिष्ट उपसमुच्चय (subset)"। एक विशाल कमरे की कल्पना करें जिसमें गैस को व्यवस्थित करने के सभी संभावित तरीके मौजूद हैं। उन व्यवस्थाओं में से अधिकांश सुरक्षित हैं। लेकिन उस कमरे के भीतर एक विशिष्ट, छोटा "ज़ोन" है जहाँ, यदि आप गैस को रखते हैं, तो वह विस्फोट हो जाएगी। लेखकों ने इस ज़ोन की सटीक सीमाएँ खोज ली हैं।
परिणाम: यदि आप उस ज़ोन में शुरुआत करते हैं, तो गैस कुछ समय तक सुचारू रहती है। लेकिन जैसे ही समय एक विशिष्ट क्षण (मान लीजिए, "टाइम ज़ीरो") की ओर घटता है, किनारे पर गैस की गति का ढलान (slope) अधिक से अधिक तीव्र होता जाता है।
- पहले, ढलान सौम्य होता है।
- फिर यह तीव्र होता है।
- अंत में, टाइम ज़ीरो पर, ढलान ऊर्ध्वाधर (vertical/अनंत) हो जाता है। किनारे पर गैस के कण अनंत गति से चलने की कोशिश कर रहे होते हैं।

"ट्रैफिक जाम" की उपमा

एक राजमार्ग की कल्पना करें जहाँ कारों की एक लंबी कतार एक ऐसी सुरंग की ओर बढ़ रही है जो अचानक एक चट्टान (निर्वात) में समाप्त हो जाती है।

सामान्य यातायात: आमतौर पर, कारें किनारे के करीब पहुँचते ही सुचारू रूप से धीमी हो जाती हैं।
शोध पत्र का परिदृश्य: लेखकों ने कारों की गति और उनके बीच की दूरी को व्यवस्थित करने का एक विशिष्ट तरीका खोजा है। यदि आप इसे पूरी तरह से करते हैं, तो कारें केवल धीमी नहीं होतीं। इसके बजाय, अंतिम कार और चट्टान के बीच का अंतर एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से सिकुड़ता जाता है।
ब्लोअप (Blowup): जैसे-जैसे अंतिम कार चट्टान के करीब आती है, उसे पैटर्न बनाए रखने के लिए अपनी गति बढ़ानी पड़ती है। अंततः, उस पैटर्न को जारी रखने के लिए, कार को अनंत गति से चलना होगा। "ग्रेडिएंट" (एक कार से दूसरी कार के बीच गति में परिवर्तन) अनंत हो जाता है। सुचारू प्रवाह एक सिंगुलैरिटी (singularity) में बदल जाता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

यह शोध पत्र अभी वास्तविक दुनिया के इंजनों या मौसम के पूर्वानुमान के बारे में बात नहीं करता है। इसके बजाय, यह इस बात पर ध्यान केंद्रित करता है कि ये समीकरण वास्तव में कैसे काम करते हैं (गणितीय सत्य)।

यह प्रथम है: यह पहली बार है जब यह कठोर प्रमाण दिया गया है कि सुचारू, वास्तविक गैस प्रवाह एक "कस्प" (cusp - नुकीला बिंदु) में बदल सकता है और एक स्थिर निर्वात सीमा पर फट (blow up) सकता है।
यह "वेटिंग टाइम" के बारे में है: गैस वहाँ कुछ समय के लिए शांत दिखती है। विस्फोट होने से पहले वह "प्रतीक्षा" करती है। शोध पत्र बताता है कि वह कितनी देर प्रतीक्षा करती है और विस्फोट से ठीक पहले गैस कैसी दिखती है।
यह "बर्गर्स के समीकरण" (Burgers' Equation) का उपयोग करता है: लेखकों ने एक सरल गणितीय मॉडल (बर्गर्स समीकरण) का मार्गदर्शक के रूप में उपयोग किया। उन्होंने दिखाया कि जटिल गैस समीकरण विस्फोट बिंदु के पास इस सरल मॉडल के समान व्यवहार करते हैं।

"कैच" (The Catch)

शोध पत्र स्वीकार करता है कि एक बार विस्फोट होने के बाद (टाइम ज़ीरो पर), गणित जटिल हो जाता है। गैस अब सुचारू नहीं रह जाती; इसका एक "कस्प" (एक नुकीला कोना) होता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि सिस्टम इस स्थिति तक पहुँचता है, लेकिन वे विस्फोट के "बाद क्या होता है" के प्रश्न को भविष्य के शोध के लिए छोड़ देते हैं। वे कह रहे हैं, "हम जानते हैं कि सुचारू प्रवाह एक नुकीले ब्रेक में कैसे बदलता है। इसके बाद क्या होता है, यह पता लगाना किसी और दिन का काम है।"

एक वाक्य में सारांश

लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप गैस के एक सुचारू प्रवाह को निर्वात के संपर्क में बिल्कुल सही तरीके से सेट करते हैं, तो वह अनिवार्य रूप से इतनी तेज गति पकड़ेगा कि किनारे पर गति अनंत हो जाएगी, जिससे प्रवाह में एक नुकीला, टूटा हुआ मोड़ आ जाएगा, और उन्होंने उस प्रारंभिक प्रवाह का सटीक मानचित्र तैयार किया है जो यह गारंटी देता है कि ऐसा होगा।

यहाँ जुही जंग, जियाकी लियू और नादेर मसमौदी के शोध पत्र "Gradient blowup of smooth vacuum solutions to 1D compressible Euler equations" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र एक अर्ध-रेखा डोमेन $\Omega = \{x > 0\}$ में एक पॉलीट्रोपिक गैस ( $p = \rho^\gamma$ ) के लिए एक आयामी (1D) आइसेंट्रोपिक कंप्रेसिबल यूलर समीकरणों की जांच करता है। तरल एक स्थिर निर्वात सीमा (stationary vacuum boundary) के संपर्क में है जो $x=0$ पर स्थित है।

शासी समीकरण (Governing Equations): सिस्टम को घनत्व $\rho$ , वेग $u$ , और ध्वनि की गति $c$ के संदर्भ में लिखा गया है:
$\rho_t + (\rho u)_x = 0, \quad (\rho u)_t + (\rho u^2 + p)_x = 0$
निर्वात क्षेत्र के बाहर, यह वेग $u$ और ध्वनि की गति $c$ के लिए एक सिस्टम के रूप में तुल्य है।
सीमा शर्तें (Boundary Conditions): निर्वात सीमा $x=0$ पर स्थिर है जहाँ $c(t,0)=0$ और $u(t,0)=0$ है।
घटना (The Phenomenon): लेखक निर्वात सीमा पर होने वाले ग्रेडिएंट ब्लोअप (gradient blowup) (नियमितता की हानि) का अध्ययन करते हैं। विशेष रूप से, वे ऐसे समाधानों का निर्माण करते हैं जो प्रारंभ में सुचारू (smooth) (विशेष रूप से $C^{\lfloor \beta \rfloor, \beta-\lfloor \beta \rfloor}$ ) और वर्ग-समावेशी (square-integrable) होते हैं, लेकिन ब्लोअप समय $t=0$ पर सीमा के पास केवल $C^{1-\mu}$ हॉल्डर निरंतर (Hölder continuous) बन जाते हैं, जहाँ वेग और ध्वनि की गति के प्रथम अवकलज (derivatives) अपसारी (diverge) हो जाते हैं।
नियमितता पैरामीटर (Regularity Parameter): नियमितता को $\mu \in [1/2, 1)$ और $\beta = \frac{1}{1-\mu} \geq 2$ द्वारा अभिलक्षित किया गया है। $\mu = 1/2$ का मामला सबसे स्थिर प्रोफाइल (बर्गर्स समीकरण में $C^{1/3}$ कस्प सिंगुलैरिटी से संबंधित) के अनुरूप है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

प्रमाण पिछले कार्य [27] में निर्मित स्व-समान समाधानों (self-similar solutions) के स्थिरता विश्लेषण पर आधारित है। कार्यप्रणाली में कई परिष्कृत चरण शामिल हैं:

A. स्व-समान पुनर्गठन (Self-Similar Reformulation)

लेखक यूलर समीकरणों की स्केलिंग समरूपता (scaling symmetry) का उपयोग करके स्व-समान चरों $(\tau, y)$ को पेश करते हैं:
$\tau = -\log(\mu(-t)), \quad y = \frac{x}{(-t)^\delta}$
जहाँ $\delta = 1/\mu$ है। सिस्टम को रिमैन इनवेरियंट्स (Riemann invariants) $(\hat{z}, \hat{w})$ के लिए समीकरणों के सेट में परिवर्तित किया जाता है। [27] में निर्मित स्व-समान समाधान इन चरों में स्थिर अवस्थाओं (steady states) $(\bar{z}, 0)$ के रूप में दिखाई देते हैं।

B. स्थानीयकरण और प्रोफाइल निर्माण (Localization and Profile Construction)

चूंकि स्व-समान समाधान दूर के क्षेत्र (far field) में अनबाउंडेड होते हैं, इसलिए लेखक एक समय-निर्भर कटऑफ फंक्शन $\chi$ का उपयोग करके एक लोकलाइज्ड प्रोफाइल (localized profile) $\mathring{z} = \chi \bar{z}$ का निर्माण करते हैं। यह कटऑफ बैकग्राउंड फ्लो की विशेषता वेग (characteristic velocity) द्वारा ले जाया जाता है ताकि त्रुटि पद (error terms) उचित रूप से क्षय (decay) हो सकें।

C. विक्षोभों का अपघटन (Decomposition of Perturbations)

समाधान को तीन भागों में विभाजित किया गया है:

प्रोफाइल (The Profile): लोकलाइज्ड स्व-समान समाधान $\mathring{z}$ ।
मॉड्यूलेशन पद (Modulation Terms): $y$ में बहुपद (polynomials) का एक परिमित योग, जिनके समय-निर्भर गुणांक $(z_i(\tau), w_i(\tau))$ हैं। ये गुणांक मूल बिंदु (origin) पर समाधान के टेलर विस्तार (Taylor expansion) के अनुरूप हैं।
शेष भाग (Remainder): उच्च-आवृत्ति घटक $(Z, W)$ जो सीमा तक उच्च क्रम ( $n_\mu - 1$ ) तक शून्य होते हैं।

अपघटन है:
$\hat{z} = \mathring{z} + \sum_{i=2}^{n_\mu-1} \phi(y) \frac{z_i(\tau)}{i!} y^i + Z, \quad \hat{w} = \sum_{i=2}^{n_\mu-1} \phi(y) \frac{w_i(\tau)}{i!} y^i + W$

D. मॉड्यूलेशन विश्लेषण (ODE System)

गुणांक $(z_i, w_i)$ एक ODE सिस्टम का पालन करते हैं जो सीमा पर उच्च-क्रम डेरिवेटिव को शून्य करने की शर्तों से प्राप्त होता है।

स्थिरता (Stability): लेखक इन ODEs के लिए एक परिमित-आयामी स्थिर मैनिफोल्ड (finite-dimensional stable manifold) की पहचान करते हैं। एंटी-डैम्पिंग टर्म्स द्वारा संचालित अस्थिरता (exponential growth) को रोकने के लिए, प्रारंभिक डेटा को विशिष्ट बीजगणितीय बाधाओं (गुणांकों के बीच बहुपद संबंध) को पूरा करना चाहिए।
समरूपता (Symmetries): बाधाएं $z_1 = w_1 = 0$ समय और स्थान अनुवाद (translation) समरूपताओं को हटा देती हैं, जिससे ब्लोअप समय को $t=0$ पर स्थिर किया जा सके।

E. शेष भाग के लिए ऊर्जा अनुमान (Energy Estimates for the Remainder)

शेष भाग $(Z, W)$ के लिए, लेखक बूटस्ट्रैप तर्क (bootstrap arguments) और ऊर्जा अनुमानों का उपयोग करके एक कठोर गैर-रेखीय स्थिरता विश्लेषण करते हैं:

सिंगुलर वेट्स (Singular Weights): वे निर्वात सीमा पर क्षय (degeneracy) को संभालने के लिए सिंगुलर वेट्स $y^{-n_\mu}$ के साथ भारित $L^2$ स्थानों का उपयोग करते हैं।
उच्च-क्रम अनुमान (High-Order Estimates): वे नियमितता को नियंत्रित करने के लिए $\dot{H}^{n_\mu}$ (सोबोलेव स्पेस) में अनुमान प्राप्त करते हैं।
क्षय (Dissipation): प्रोफाइल के आसपास रैखिक ऑपरेटर (linearized operator), परिवहन वेग और $n_\mu$ के विशिष्ट चयन के कारण उच्च आवृत्तियों के लिए सख्त विपाशकता (dissipativity) प्रदर्शित करता है।
गैर-पूर्णांक $\beta$ को संभालना: जब $\beta$ पूर्णांक नहीं होता (अर्थात $\mu \notin S$ ), तो प्रोफाइल की सीमित सुचारूता होती है। $\beta$ के अर्ध-पूर्णांक होने के मामले में, इंटरैक्शन टर्म्स में गैर-समावेशी सिंगुलैरिटीज़ से बचने के लिए एक अतिरिक्त बाधा $w_2 = 0$ लगाई जाती है।

3. मुख्य योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

मुख्य प्रमेय (Main Theorem - Theorem 1.1 & 2.7)

लेखक स्व-समान, वर्ग-समावेशी, सुचारू, गैर-स्व-समान प्रारंभिक डेटा के एक बड़े वर्ग के अस्तित्व को सिद्ध करते हैं जो निर्वात सीमा पर ग्रेडिएंट ब्लोअप प्रदर्शित करने वाले समाधानों में विकसित होते हैं।

नियमितता संक्रमण (Regularity Transition): समाधान $C^{\lfloor \beta \rfloor, \beta-\lfloor \beta \rfloor}$ के रूप में शुरू होते हैं और $t=0$ पर $C^{1-\mu}$ में परिवर्तित होते हैं।
ब्लोअप दर (Blowup Rate): ब्लोअप बिंदु $(0,0)$ के पास, वेग और ध्वनि की गति इस प्रकार व्यवहार करते हैं:
$u(t, x) \sim -\tilde{a} x^{1-\mu}, \quad c(t, x) \sim \tilde{b} x^{1-\mu}$
जिससे अनबाउंडेड ग्रेडिएंट $\partial_x u, \partial_x c \to \infty$ प्राप्त होते हैं।
परिमित कोडायमेंशनलिटी (Finite Codimensionality): इस विशिष्ट ब्लोअप परिदृश्य की ओर ले जाने वाले प्रारंभिक डेटा का सेट $H^{n_\mu}$ $H^{n_{μ}}$ के सोबोलेव स्पेस में एक परिमित-कोडायमेंशनल उपसमुच्चय (finite-codimensional subset) बनाता है।
- जेनेरिक $\mu$ के लिए कोडायमेंशन $\lfloor \beta + 1 \rfloor$ है।
- $\mu = 1/2$ के लिए, कोडायमेंशन 3 है, जो तीन समरूपताओं (समय अनुवाद, गैलिलियन बूस्ट, स्केलिंग) के अनुरूप है।
- $\mu \in H$ (अर्ध-पूर्णांक $\beta$ ) के लिए, एक अतिरिक्त बाधा $w_2=0$ की आवश्यकता होती है, जिससे कोडायमेंशन बढ़ जाता है।

तकनीकी नवाचार (Technical Innovations)

स्व-समान समाधानों की स्थिरता: यह कंप्रेसिबल यूलर समीकरणों के साथ स्थिर निर्वात सीमा वाले स्व-समान "वेटिंग टाइम" (waiting time) समाधानों की स्थिरता का पहला कठोर प्रमाण है, जो बर्गर्स समीकरण के पिछले परिणामों का विस्तार करता है।
स्थिर सीमाओं को संभालना: मुक्त सीमा समस्याओं (free boundary problems) के विपरीत, जहाँ निर्वात घूमता है, यह कार्य उस मामले को संभालता है जहाँ सीमा स्थिर है ( $x=0$ पर $u=0$ ), लेकिन ग्रेडिएंट अनबाउंडेड होता है, जिसके लिए स्व-समान प्रोफाइल और सीमा शर्त के बीच परस्पर क्रिया का सावधानीपूर्वक विश्लेषण आवश्यक है।
सिंगुलर वेट्स के साथ मॉड्यूलेशन: सिंगुलैरिटी के पास लो-फ्रीक्वेंसी मोड को नियंत्रित करने के लिए सिंगुलर वेट्स $y^{-n_\mu}$ के साथ मॉड्यूलेशन थ्योरी का विकास।

4. महत्व (Significance)

गणितीय भौतिकी (Mathematical Physics): यह शोध पत्र निर्वात यूलर प्रवाह में ग्रेडिएंट ब्लोअप की जेनेरिसिटी (genericity) से संबंधित लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न को हल करता है। यह दर्शाता है कि ग्रेडिएंट ब्लोअप केवल विशेष स्व-समान समाधानों की विशेषता नहीं है, बल्कि सुचारू प्रारंभिक डेटा के एक बड़े वर्ग के विरुद्ध स्थिर है।
बर्गर्स समीकरण से संबंध: परिणाम बर्गर्स समीकरण में कस्प सिंगुलैरिटी के निर्माण और अधिक जटिल कंप्रेसिबल यूलर सिस्टम के बीच एक कठोर लिंक प्रदान करते हैं, जो गैस डायनेमिक्स में सिंगुलैरिटी निर्माण के लिए बेस मॉडल के रूप में बर्गर्स प्रोफाइल के उपयोग को मान्य करते हैं।
निर्वात सीमा गतिशीलता (Vacuum Boundary Dynamics): यह "वेटिंग टाइम" घटना के व्यवहार को स्पष्ट करता है, यह दिखाते हुए कि भले ही सीमा एक स्थिर स्थिति हो, यदि नियमितता खो जाती है, तो सिस्टम स्वाभाविक रूप से एक भौतिक निर्वात अवस्था (जहाँ सीमा हिलना शुरू कर सकती है) की ओर विकसित हो सकता है, या अनंत ग्रेडिएंट के साथ स्थिर अवस्था बनाए रख सकता है।
भविष्य की दिशाएँ: यह कार्य ब्लोअप समय के बाद इन समाधानों के निरंतरता (continuation) का अध्ययन करने के लिए आधार तैयार करता है, जो संभावित रूप से मुक्त सीमाओं या कमजोर विच्छेदन (weak discontinuities) के निर्माण की ओर ले जा सकता है—एक समस्या जिसे भविष्य के अध्ययन के लिए छोड़ दिया गया है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक कठोर गणितीय ढांचा प्रदान करता है कि कैसे गैस डायनेमिक्स में भौतिक रूप से प्रासंगिक प्रारंभिक डेटा निर्वात सीमा पर अनंत ग्रेडिएंट वाली सिंगुलर अवस्थाओं में विकसित हो सकता है, और विक्षोभों के विरुद्ध इन सिंगुलैरिटीज़ की स्थिरता स्थापित करता है।