Exploiting all ancilla outcomes in linear combinations of unitaries: low-rank recovery and quantum trapdoor functions

क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, वैज्ञानिक ऐसी मशीनों के साथ काम करते हैं जो सूचना को उन तरीकों से संसाधित करती हैं जो हमारे रोजमर्रा के लैपटॉप और फोन से मौलिक रूप से भिन्न हैं। ये क्वांटम उपकरण पदार्थ की उन नाजुक अवस्थाओं पर निर्भर करते हैं जो एक साथ कई संभावनाओं में अस्तित्व में रह सकती हैं, एक ऐसा गुण जो उन्हें अविश्वसनीय गति के साथ कुछ समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। हालांकि, उपयोगी क्वांटम कंप्यूटर बनाने में एक बड़ी बाधा यह है कि वे स्वभाव से बहुत नाजुक होते हैं। जब एक क्वांटम कंप्यूटर कोई गणना करता है, तो इसमें अक्सर 'पोस्ट-सिलेक्शन' (post-selection) नामक एक प्रक्रिया शामिल होती है, जहाँ मशीन एक जटिल ऑपरेशन करती है और फिर एक विशिष्ट परिणाम की जाँच करती है। यदि परिणाम बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि अपेक्षित था, तो गणना को रखा जाता है; यदि यह कुछ भी और है, तो पूरे प्रयास को विफलता मानकर त्याग दिया जाता है, और मशीन को फिर से शुरू करना पड़ता है। प्रयासों की यह बर्बादी एक महत्वपूर्ण बाधा है, क्योंकि छोड़े गए प्रयासों को आमतौर पर बिना किसी विचार के फेंक दिया जाता है, और उन्हें सिस्टम के केवल शोर (noise) के रूप में माना जाता है।

इस्तांबुल मेडेनियेट यूनिवर्सिटी के एक शोधकर्ता अम्मर डैस्किन ने इस छोड़ी गई जानकारी को देखने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया है। एक हालिया अध्ययन में, उन्होंने खोजा कि क्या होता है जब हम 'लीनियर कॉम्बिनेशन ऑफ यूनिटरीज' (linear combination of unitaries) नामक एक विशिष्ट प्रकार की क्वांटम गणना के "विफल" परिणामों को फेंकना बंद कर देते हैं। इन परिणामों को बेकार त्रुटियों के रूप में देखने के बजाय, डैस्किन ने दिखाया कि उनमें वास्तव में एक छिपा हुआ, व्यवस्थित ढांचा होता है। सर्किट के एक एकल रन से सभी संभावित परिणामों को एकत्र करके, जिसमें वे भी शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर अनदेखा किया जाता है, डेटा एक पैटर्न बनाता है जिसे गणितीय रूप से पुनर्गठित किया जा सकता है। यह खोज बताती है कि जिसे कभी बेकार माना जाता था, उसे एक मूल्यवान संसाधन में बदला जा सकता है, जिससे वैज्ञानिकों को डेटा के केवल एक अंश से भी किसी समस्या के पूर्ण उत्तर को प्राप्त करने, या यहाँ तक कि सुरक्षित संचार के नए प्रकार बनाने की अनुमति मिल सकती है जो इस छिपे हुए ढांचे को डिकोड करने की कठिनाई पर निर्भर करते हैं।

डैस्किन के काम का मूल एक मानक क्वांटम तकनीक है जिसका उपयोग विभिन्न ऑपरेशनों को एक एकल, अधिक जटिल ऑपरेशन में संयोजित करने के लिए किया जाता है। एक विशिष्ट सेटअप में, एक क्वांटम कंप्यूटर गणना के गुणांकों (coefficients) को प्रबंधित करने के लिए सहायक बिट्स का एक सेट, जिन्हें 'एनसिला क्यूबिट्स' (ancilla qubits) कहा जाता है, का उपयोग करता है। मशीन इन सहायक बिट्स को एक विशिष्ट अवस्था में तैयार करती है, गणना करती है, और फिर सहायक बिट्स की जाँच करती है। यदि सहायक बिट्स अपनी शुरुआती स्थिति में वापस आ जाते हैं, तो मुख्य गणना को सफल माना जाता है। मानक विधि में, यदि सहायक बिट्स किसी अन्य स्थिति में पहुँच जाते हैं, तो उस परिणाम को गलती माना जाता है और संबंधित परिणाम को त्याग दिया जाता है। डैस्किन ने इस सर्किट डिजाइन को सरल बनाकर इन "गलतियों" की जांच करने का निर्णय लिया। उन्होंने सहायक बिट्स को तैयार करने के लिए उपयोग किए जाने वाले जटिल तंत्र को एक सरल व्यवस्था से बदल दिया, विशेष रूप से गेट्स के एक सेट का उपयोग करके जो संभावनाओं का एक समान मिश्रण बनाते हैं और गणना के भार (weights) को नियंत्रित करने के लिए एक एकल रोटेटिंग गेट का उपयोग करते हैं।

जब यह सरल सर्किट चलता है, तो यह सहायक बिट्स के मापन के आधार पर विभिन्न परिणाम उत्पन्न करता है। डैस्किन ने पाया कि यदि आप प्रत्येक संभावित मापन परिणाम से प्राप्त परिणामों को एक साथ रखते हैं, तो वे डेटा का एक बड़ा ग्रिड बनाते हैं। इस ग्रिड का एक उल्लेखनीय गुण है: इसे दो छोटे टुकड़ों में तोड़ा जा सकता है जो पूरे को पुनर्गठित करने के लिए आपस में गुणा होते हैं। एक हिस्सा सर्किट के डिजाइन द्वारा निर्धारित एक ज्ञात पैटर्न है, और दूसरा हिस्सा उन व्यक्तिगत ऑपरेशनों के वास्तविक परिणामों को समाहित करता है जिन्हें कंप्यूटर करने की कोशिश कर रहा था। चूंकि सर्किट केवल सीमित संख्या में स्वतंत्र संयोजन उत्पन्न करता है, इसलिए पूरा बड़ा ग्रिड गणितीय रूप से "लो-रैंक" (low-rank) है, जिसका अर्थ है कि यह सतह पर दिखने की तुलना में बहुत सरल है। यह संरचना दर्शाती है कि गणना का पूर्ण उत्तर डेटा के भीतर छिपा हुआ है, भले ही आपके पास इसके केवल एक छोटे हिस्से तक ही पहुंच हो।

इस विचार का परीक्षण करने के लिए, शोधकर्ता ने कंप्यूटर पर सर्किट का सिमुलेशन किया ताकि यह देखा जा सके कि क्या आंशिक जानकारी से पूर्ण आउटपुट को प्राप्त किया जा सकता है। सिमुलेशन ने दिखाया कि यदि आप सर्किट के डिजाइन को जानते हैं, तो आप डेटा ग्रिड के लापता हिस्सों को भरने के लिए शास्त्रीय गणितीय तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं। केवल परिणामों के एक उपसमुच्चय (subset) को देखकर, एल्गोरिदम डेटा मैट्रिक्स के संपूर्ण भाग को पुनर्गठित कर सकता है, जिसमें वह विशिष्ट परिणाम भी शामिल है जिसे मानक विधि रख लेती है। यह रिकवरी तब सबसे अच्छी होती है जब डेटा स्वच्छ होता है, लेकिन अध्ययन ने यह भी जांचा कि यह विधि शोर (noise) वाले डेटा के साथ कैसे व्यवहार करती है, जो वास्तविक क्वांटम हार्डवेयर में होने वाली त्रुटियों की नकल करती है। परिणामों ने संकेत दिया कि हालांकि यह विधि मजबूत है, लेकिन जब माप अपूर्ण होते हैं, तो इसे विश्वसनीय रूप से काम करने के लिए पर्याप्त डेटा की आवश्यकता होती है। अध्ययन बताता है कि वास्तविक दुनिया के परिदृश्य में, जहाँ केवल संकेतों की तीव्रता को मापा जाता है, न कि पूर्ण जटिल मूल्यों को, पूर्ण जानकारी को पुनः प्राप्त करने के लिए अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता होगी, लेकिन अंतर्निहित संरचना पुनर्गठन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बनी रहती है।

डेटा की रिकवरी के व्यावहारिक अनुप्रयोग के अलावा, यह खोज एक नए प्रकार के क्रिप्टोग्राफिक विचार के द्वार खोलती है। शोधकर्ता ने प्रस्तावित किया कि सर्किट में परिणामों को मिलाने के लिए उपयोग किया जाने वाला विशिष्ट पैटर्न गुप्त रखा जा सकता है, जो एक निजी कुंजी (private key) के रूप में कार्य करता है। यदि कोई पर्यवेक्षक डेटा के अंतिम ग्रिड को देखता है लेकिन गुप्त मिश्रण पैटर्न को नहीं जानता है, तो उसे मूल इनपुट का पता लगाने के लिए एक कठिन गणितीय पहेली का सामना करना पड़ेगा। यह उस ताले के समान है जहाँ चाबी स्वयं तंत्र के अंदर छिपी होती है। हालाँकि, अध्ययन सावधानीपूर्वक नोट करता है कि यह केवल एक सुरक्षित प्रणाली का एक उम्मीदवार है। सुरक्षा 'फेज रिट्रीवल' (phase retrieval) नामक एक विशिष्ट प्रकार की समस्या को हल करने की कठिनाई पर टिकी है, जिसमें किसी तरंग के विवरण को उसकी तीव्रता से समझना शामिल है। हालांकि यह समस्या ज्ञात रूप से कठिन है, शोधकर्ता ने यह सिद्ध नहीं किया है कि इसे तोड़ना असंभव है, और सिस्टम की सुरक्षा इस धारणा पर निर्भर करती है कि कोई भी इसे हल करने के लिए कोई शॉर्टकट नहीं खोज सकता।

यह शोध पत्र यह भी तलाशता है कि इस संरचना का अन्य तरीकों से कैसे उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि अनुशंसा प्रणालियों (recommendation systems) या रैंकिंग एल्गोरिदम में, जहाँ डेटा की बड़ी मात्रा को सरल घटकों में तोड़ा जाता है। पाया गया गणितीय संबंध शास्त्रीय कंप्यूटिंग में उपयोग की जाने वाली तकनीकों की नकल करता है जिसका उपयोग उपयोगकर्ता की पसंद का अनुमान लगाने या वेब पेजों के बीच लिंक का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। क्वांटम सर्किट को इन पैटर्न को उत्पन्न करने के तरीके के रूप में उपयोग करके, शोधकर्ता सुझाव देते हैं कि क्वांटम कंप्यूटर इन कार्यों को करने के लिए एक नया तरीका प्रदान कर सकते हैं। अध्ययन इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि क्वांटम सर्किट के आउटपुट को देखने के हमारे तरीके को बदलकर, हम जो कभी बेकार माना जाता था उसे एक संरचित संसाधन में बदल सकते हैं। यह दृष्टिकोण न केवल वर्तमान गणनाओं की दक्षता में सुधार करता है बल्कि यह भी सुझाव देता है कि क्वांटनी सूचना को संग्रहीत करने, पुनः प्राप्त करने और सुरक्षित करने के लिए नई संभावनाएं मौजूद हैं। यह कार्य एक सैद्धांतिक प्रस्ताव है जो सिमुलेशन द्वारा समर्थित है, लेकिन यह एक स्पष्ट मार्ग प्रदान करता है कि क्या इन "कचरा" परिणामों का वास्तव में अधिक शक्तिशाली और सुरक्षित क्वांटम प्रौद्योगिकियों के निर्माण के लिए उपयोग किया जा सकता है।