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Adaptive Policy Learning Under Unknown Network Interference

यह शोध पत्र एक थॉम्पसन सैंपलिंग एल्गोरिदम प्रस्तावित करता है जो अज्ञात नेटवर्क हस्तक्षेप गतिकी (network interference dynamics) को संयुक्त रूप से सीखता है और गिब्स सैंपलर के माध्यम से व्यक्तिगत स्तर के उपचार आवंटन को अनुकूलित करता है, जिससे उप-रैखिक (sublinear) बेयसियन रिग्रेट प्राप्त होता है और अनुकूली प्रयोग सेटिंग्स में सटीक डाउनस्ट्रीम कारण प्रभाव अनुमान सक्षम होता है।

मूल लेखक: Aidan Gleich, Eric Laber, Alexander Volfovsky

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Aidan Gleich, Eric Laber, Alexander Volfovsky

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बड़े सोशल क्लब के मैनेजर हैं। आपके पास अपने सदस्यों को "ट्रीट्स" (जैसे मुफ्त कॉफी या डिस्काउंट) देने के लिए एक सीमित बजट है। आपका लक्ष्य क्लब को जितना संभव हो सके उतना खुश और लाभदायक बनाना है।

यहाँ एक पेच है: आपको ठीक-ठीक पता नहीं है कि कौन किससे बात करता है। वास्तव में, आपको यह भी नहीं पता कि एक व्यक्ति को ट्रीट देने से उसके दोस्तों पर कोई प्रभाव पड़ता है या नहीं। शायद अगर आप एलिस को एक ट्रीट देते हैं, तो उसका दोस्त बॉब सिर्फ जुड़ाव के कारण खुश हो जाता है। या शायद दोनों को ट्रीट देने से उनका प्रभाव एक-दूसरे को खत्म कर देता है। इसे इंटरफेरेंस (interference) कहा जाता है।

लंबे समय तक, इस समस्या को हल करने की कोशिश करने वाले वैज्ञानिकों को एक बड़ा अनुमान लगाना पड़ता था: "आइए मान लेते हैं कि हमें पहले से ही दोस्ती का नक्शा पता है," या "आइए हम पूरे समूहों को एक साथ ट्रीट देते हैं ताकि हमें व्यक्तियों की चिंता न करनी पड़े।" लेकिन वास्तविक दुनिया में, आपके पास अक्सर वह नक्शा नहीं होता, और पूरे समूहों को ट्रीट देना अक्षम होता है।

यह पेपर इस स्थिति को संभालने का एक नया, स्मार्ट तरीका पेश करता है। इसे एक जासूस की तरह समझें जो खेल खेलते हुए नक्शा सीख रहा है।

समस्या: "अंधा" मैनेजर

आमतौर पर, यदि आप यह पता लगाना चाहते हैं कि ट्रीट देने का सबसे अच्छा तरीका क्या है, तो आपको दो चीजों की आवश्यकता होती है:

नक्शा (The Map): कौन किससे दोस्त है?
रणनीति (The Strategy): खुशी को अधिकतम करने के लिए किसे ट्रीट मिलना चाहिए?

मौजूदा तरीके ऐसे थे जैसे एक मैनेजर जो या तो:

ऐसा नाटक करता था जैसे उसके पास पहले से ही नक्शा मौजूद है (जो कि शायद ही कभी सच होता है)।
व्यक्तिगत रणनीति छोड़ने के बजाय बड़े, अनाड़ी समूहों को ट्रीट देता था।
यदि क्लब बहुत बड़ा हो जाता (एक दर्जन से अधिक लोग), तो वह घबरा जाता था।

समाधान: "गिब्स" जासूस

लेखकों (एडन ग्लिच, एरिक लैबर और अलेक्जेंडर वोल्फोवस्की) ने एक नया एल्गोरिदम बनाया है जिसे वे Gibbs-TS कहते हैं। एक जासूस की कल्पना करें जो एक ही समय में दो काम करता है:

वह खेल खेलता है: वह कुछ ट्रीट देता है, देखता है कि क्लब कैसी प्रतिक्रिया देता है, और "हैप्पीनेस स्कोर" की गणना करता है।
वह नक्शे को अपडेट करता है: प्रतिक्रियाओं के आधार पर, वह अनुमान लगाता है कि कौन किससे दोस्त है। यदि एलिस को एक ट्रीट मिलता है और बॉब अचानक अधिक खुश दिखाई देता है, तो जासूस सोचता है, "आहा! एलिस और बॉब शायद दोस्त हैं।"

वे गिब्स सैंपलर (Gibbs sampler) नामक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग करते हैं। इसे एक "क्या होगा अगर" (what-if) मशीन के रूप में समझें। मशीन अपने दिमाग में हजारों छोटे-छोटे सिमुलेशन चलाती है:

परिदृश्य A: क्या होगा अगर एलिस और बॉब दोस्त हैं? ट्रीट कैसे काम करते?
परिदृश्य B: क्या होगा अगर वे दोस्त नहीं हैं? वह कैसा दिखेगा?

इन परिदृश्यों को बार-बार चलाकर, मशीन धीरे-धीरे सच्चाई तक पहुँचती है। यह दोस्ती का एक सर्वश्रेष्ठ-अनुमानित नक्शा (best-guess map) बनाती है और साथ ही साथ ट्रीट बांटने की सर्वश्रेष्ठ रणनीति भी तय करती है।

यह एक बड़ी बात क्यों है

पेपर का दावा है कि यह तरीका तीन तरीकों से एक बड़ा अपग्रेड है:

1. यह नक्शा भी सीखता है और खेल भी जीतता है।
अधिकांश अन्य तरीके या तो यह मानकर खेल जीतने की कोशिश करते हैं कि नक्शा ज्ञात है, या वे खेल की परवाह किए बिना केवल नक्शा बनाने की कोशिश करते हैं। यह तरीका दोनों काम एक साथ करता है। यह एक ऐसे जीपीएस की तरह है जो सड़क के हालात जानने के लिए घर पहुँचने का इंतज़ार करने के बजाय, ड्राइविंग करते समय ही सड़क के हालात सीख लेता है।

2. यह बड़े नेटवर्क पर काम करता है।
पिछले तरीके केवल बहुत छोटे समूहों (लगभग 12 लोग) को संभाल सकते थे। यह नया तरीका सैकड़ों या हजारों लोगों वाले नेटवर्क पर काम करता है। लेखकों ने भारत के एक गाँव और अमेरिका के एक स्कूल के वास्तविक डेटा पर इसका परीक्षण किया, और यह बहुत अच्छा रहा।

3. यह एक "बोनस रिपोर्ट" बनाता है।
चूंकि यह एल्गोरिदम दोस्ती के नक्शे को सीख लेता है, इसलिए यह आपको केवल यह नहीं बताता कि किसे ट्रीट देना है; बल्कि यह आपको नेटवर्क का एक पुनर्निर्मित नक्शा (reconstructed map) भी देता है। यह उन वैज्ञानिकों के लिए मूल्यवान है जो यह अध्ययन करना चाहते हैं कि प्रभाव (influence) कैसे फैलता है (जैसे कि कैसे एक अफवाह या बीमारी समूह में फैलती है)।

परिणाम: कम पछतावा, अधिक खुशी

प्रयोगों की दुनिया में, "रिग्रेट" (regret) एक फैंसी शब्द है जिसका अर्थ है "छूटे हुए अवसर"। यदि आपने गलत व्यक्ति को ट्रीट दिया, तो आपके पास "रिग्रेट" है क्योंकि आप किसी और को देकर अधिक खुशी ला सकते थे।

पुराने तरीके: जब उन्होंने इस तथ्य को नजरअंदाज किया कि लोग एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं, तो उन्होंने बड़ी गलतियाँ कीं (लीनियर रिग्रेट)। वे वही गलतियाँ बार-बार करते रहे।
यह नया तरीका: इसने गलतियाँ कीं, लेकिन यह जल्दी सीख गया। इसका "रिग्रेट" बहुत धीरे बढ़ा (सबलीनियर)। आमने-सामने के परीक्षणों में, इस नए तरीके ने अगले सबसे अच्छे प्रतिस्पर्धी की तुलना में 10 गुना कम गलतियाँ कीं।

निचोड़

यह पेपर एक ऐसा टूल प्रस्तुत करता है जो शोधकर्ताओं को उन वास्तविक सामाजिक नेटवर्क में प्रयोग चलाने की अनुमति देता है जहाँ वे लोगों के बीच के संबंधों को नहीं जानते हैं। यह लोगों के बीच के कनेक्शन को चलते-फिरते सीखता है और साथ ही साथ लोगों की मदद करने का सबसे अच्छा तरीका भी खोजता है।

लेखकों ने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यह दृष्टिकोण कुशल है और कंप्यूटर सिमुलेशन एवं वास्तविक दुनिया के डेटा के माध्यम से दिखाया कि यह पिछले तरीकों की तुलना में बहुत बेहतर काम करता है। उन्होंने यह भी नोट किया कि जो नक्शा यह बनाता है, उसका उपयोग बाद में यह बताने के लिए किया जा सकता है कि लोग एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं।

संक्षेप में, यह एक स्मार्ट, स्व-शिक्षण प्रणाली है जो बिना किसी पूर्व-निर्मित नक्शे के, लोगों को मदद करने का सबसे अच्छा तरीका समझते हुए, छिपे हुए सामाजिक जाल को समझ लेती है।

तकनीकी सारांश: अज्ञात नेटवर्क हस्तक्षेप के तहत अनुकूलनशील नीति शिक्षण (Adaptive Policy Learning Under Unknown Network Interference)

समस्या विवरण (Problem Statement)

कई प्रयोगात्मक सेटिंग्स में, किसी इकाई का परिणाम न केवल उसके अपने उपचार (treatment) पर निर्भर करता है, बल्कि एक अंतर्निहित नेटवर्क के भीतर उसके पड़ोसियों को दिए गए उपचारों पर भी निर्भर करता है। यह घटना, जिसे हस्तक्षेप (interference) या स्पिलओवर (spillover) कहा जाता है, 'स्टेबल यूनिट ट्रीटमेंट वैल्यू अज़म्प्शन' (SUTVA) का उल्लंघन करती है। हालांकि हस्तक्षेप के तहत स्थिर प्रयोगों के लिए कॉज़ल इन्फरेंस साहित्य ने मजबूत तरीके विकसित किए हैं (जैसे, सुसमैन और एइरोल्डी, 2017; एरोन और सामी, 2017), ये दृष्टिकोण आमतौर पर यह मानते हैं कि हस्तक्षेप नेटवर्क ज्ञात है या वे मोटे क्लस्टर-स्तरीय रैंडमाइजेशन पर निर्भर करते हैं।

मौजूदा अनुकूलनशील (क्रमिक) प्रयोगात्मक विधियों को महत्वपूर्ण सीमाओं का सामना करना पड़ता है:

ज्ञात नेटवर्क धारणा (Known Network Assumption): गेलिच एट अल. (2025) जैसे स्केलेबल तरीके यह मानते हैं कि नेटवर्क संरचना पूरी तरह से देखी जा सकती है, जो कई अनुप्रयोगों में अवास्तविक है जहाँ सामाजिक या व्यवहारिक संबंध अज्ञात (latent) होते हैं।
स्केलेबिलिटी संबंधी मुद्दे (Scalability Issues): नेटवर्क संरचना को सीखने का प्रयास करने वाली विधियाँ, जैसे अग्रवाल एट अल. (2024), सभी संभावित पड़ोसी विन्यासों (configurations) पर फूरियर विश्लेषण पर निर्भर करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप पैरामीटर की संख्या पड़ोस के आकार के घातीय (exponential) रूप में बढ़ जाती है। ये विधियाँ लगभग $n \approx 12$ इकाइयों से आगे बढ़ने में विफल रहती हैं।
विस्तार की हानि (Loss of Granularity): अन्य अनुकूलनशील डिजाइन (जैसे, विवियानो और रडर, 2024) पूर्व-निर्धारित क्लस्टरों पर कार्य करते हैं, जो व्यक्तिगत स्तर के अनुकूलन को दरकिनार कर देते हैं और स्वयं हस्तक्षेप नेटवर्क को रिकवर करने में विफल रहते हैं।

इस शोध पत्र द्वारा संबोधित मुख्य चुनौती अज्ञात हस्तक्षेप नेटवर्क को संयुक्त रूप से सीखना और संचयी परिणामों (जैसे, राजस्व, स्वास्थ्य मेट्रिक्स) को अधिकतम करने के लिए व्यक्तिगत स्तर के उपचार आवंटन को अनुकूलित करना है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक थॉम्पसन सैंपलिंग (TS) फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो एक गिब्स सैंपलर (Gibbs sampler) का उपयोग करके हस्तक्षेप नेटवर्क और रिवॉर्ड पैरामीटर्स का संयुक्त रूप से अनुमान लगाता है।

1. मॉडल सेटअप (Model Setup)

सेटिंग: $n$ इकाइयों को $T$ राउंड में बाइनरी उपचार $Z_t \in \{0, 1\}^n$ का क्रमिक आवंटन, बजट बाधा $\|Z_t\|_1 \le B$ के अधीन।
नेबरहुड इंटरफेरेंस अज़म्प्शन (NIA): एक इकाई का परिणाम केवल उसके अपने उपचार और एक अज्ञात एडजेसेंसी मैट्रिक्स $A$ द्वारा परिभाषित उसके पड़ोसियों के उपचारों पर निर्भर करता है।
रिवॉर्ड मॉडल: अपेक्षित परिणाम एक पैरामीटर वेक्टर $\theta$ में रैखिक है, अर्थात $r(Z; A, \theta) = H(Z; A)\theta$ । डिज़ाइन मैट्रिक्स $H$ , नेटवर्क $A$ पर निर्भर करता है।

2. गिब्स के माध्यम से संयुक्त पोस्टीरियर सैंपलिंग (Joint Posterior Sampling via Gibbs)

चूंकि संभावना (likelihood) $A$ के संदर्भ में गैर-रैखिक है (पड़ोसी गणनाओं के कारण), एक क्लोज्ड-फॉर्म पोस्टीरियर उपलब्ध नहीं है। लेखक पोस्टीरियर $\pi(\theta, A | \mathcal{D}_{t-1})$ से अनुमानित संयुक्त नमूने लेने के लिए एक एज-वाइज गिब्स सैंपलर (edge-wise Gibbs sampler) का उपयोग करते हैं:

पैरामीटर अपडेट ( $\theta | A$ ): $A$ के स्थिर होने पर, मॉडल एक मानक कंजुगेट गौसियन रिग्रेशन में बदल जाता है। $\theta$ के लिए पोस्टीरियर गौसियन है।
एज अपडेट ( $A | \theta$ ): $\theta$ के स्थिर होने पर, सैंपलर सभी किनारों (edges) $(i, j)$ पर घूमता है। $A_{ij}$ के लिए फुल कंडीशनल केवल नोड्स $i$ और $j$ के रिवॉर्ड स्ट्रीम पर निर्भर करता है। अपडेट नियम लाइलिक्लीहुड रेशियो के लॉजिट ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से व्युत्पन्न किया गया है, जो सभी $2^{\binom{n}{2}}$ ग्राफ कॉन्फ़िगरेशन को सूचीबद्ध किए बिना कुशल सैंपलिंग की अनुमति देता है।

3. एल्गोरिदम (Gibbs-TS)

प्रत्येक राउंड $t$ में:

अनुमानित संयुक्त नमूना $(\theta^{(t)}, A^{(t)})$ प्राप्त करने के लिए $K$ गिब्स स्वीप्स (sweeps) करें।
वह उपचार वेक्टर $Z_t$ चुनें जो नमूनाकृत अपेक्षित कुल रिवॉर्ड को अधिकतम करता है: $Z_t = \arg\max_{Z: \|Z\|_1 \le B} \mathbf{1}^\top H(Z; A^{(t)}) \theta^{(t)}$ ।
रिवॉर्ड देखें और इतिहास $\mathcal{D}_t$ को अपडेट करें।
अगले राउंड के गिब्स चेन को वर्तमान राउंड के अंतिम नमूने के साथ वार्म-स्टार्ट (warm-start) करें।

4. एक्सप्लोर-देन-कमिट (ETC) वेरिएंट

सामान्य NIA रिवॉर्ड्स के लिए जहाँ मॉड्यूलर कोलैप्स नहीं होता है, लेखक एक ETC रणनीति का विश्लेषण करते हैं:

चरण 1: देखे गए स्पिलओवर्स के आधार पर एज प्रोबेबिलिटी का अनुमान लगाने के लिए प्रत्येक नोड को $m$ राउंड तक अलग-तलग (isolation) मानें।
चरण 2: अनुमानित ग्राफ $\hat{A}$ का उपयोग करके एक मानक थॉम्पसन सैंपलिंग एल्गोरिदम चलाएं (यह मानते हुए कि नेटवर्क ज्ञात है)।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

संयुक्त शिक्षण फ्रेमवर्क (Joint Learning Framework): यह पेपर NIA के तहत नेटवर्क रिकवरी और अनुकूलनशील उपचार आवंटन की संयुक्त समस्या को तैयार करता है। यह एक थॉम्पसन सैंपलिंग एल्गोरिदम पेश करता है जो नेटवर्क और रिवॉर्ड पैरामीटर्स के संयुक्त पोस्टीरियर से नमूने लेने के लिए एज-वाइज गिब्स स्वीप्स का उपयोग करता है।
डाउनस्ट्रीम कॉज़ल इन्फरेंस (Downstream Causal Inference): अनुमानित नेटवर्क $\hat{A}$ केवल एक उप-उत्पाद नहीं है बल्कि एक वैज्ञानिक डिलिवरेबल है। यह प्रत्यक्ष, अप्रत्यक्ष और कुल उपचार प्रभावों के पोस्ट-एक्सपेरिमेंट अनुमान और फॉलो-अप प्रयोगों के डिजाइन का समर्थन करता है।
सैद्धांतिक रिग्रेट बाउंड्स (Theoretical Regret Bounds):
- एडिटिव स्पिलओवर मॉडल्स: उन मॉडल्स के लिए जहाँ कुल रिवॉर्ड उपचार वेक्टर में लेटेंट स्कोर गुणांकों (जैसे, लीनियर-इन-मीन्स) के साथ रैखिक है, लेखक सटीक पोस्टीरियर सैंपलिंग के लिए $O(\sqrt{nT \cdot B \log(en/B)})$ का बेयसियन रिग्रेट बाउंड सिद्ध करते हैं। यह बाउंड $\theta$ के एम्बिएंट डायमेंशन के बजाय लेटेंट स्कोर डायमेंशन $n$ पर निर्भर करता है।
- सामान्य NIA: सामान्य रिवॉर्ड्स के लिए, ETC वेरिएंट $O(n^2 \log T)$ के ग्राफ-डिस्कवरी लागत के साथ एक रिग्रेट बाउंड प्राप्त करता है।
- लोअर बाउंड (Lower Bound): $\Omega(n \log T)$ का एक सूचना-सैद्धांतिक लोअर बाउंड स्थापित किया गया है, जो यह दर्शाता है कि किसी भी सुसंगत (consistent) एल्गोरिदम को नेटवर्क डिस्कवरी के लिए $n$ के रैखिक लागत का भुगतान करना होगा।
स्केलेबिलिटी (Scalability): यह विधि सैकड़ों नोड्स वाले नेटवर्क (लीनियर-इन-मीन्स के तहत $n=1000$ तक) तक स्केल करती है, जो मौजूदा विधियों (जो $n \approx 12$ तक सीमित हैं) की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करती है।

अनुभवजन्य परिणाम (Empirical Results)

रिग्रेट प्रदर्शन (Regret Performance): दो वास्तविक दुनिया के नेटवर्कों (एक उधार लेने वाला घरेलू नेटवर्क $n=63$ और एक स्कूल फ्रेंडशिप नेटवर्क $n=121$ ) पर, Gibbs-TS एल्गोरिदम सब-लीनियर रिग्रेट (sublinear regret) प्राप्त करता है। हालांकि यह उस ऑरेकल (oracle) की तुलना में गैप रखता है जो वास्तविक नेटवर्क को जानता है, फिर भी इसका रिग्रेट उन बेसलाइन्स की तुलना में काफी कम है जो हस्तक्षेप को अनदेखा करते हैं (जो लीनियर रिग्रेट से ग्रस्त होते हैं)।
स्टेट-ऑफ-द-आर्ट के साथ तुलना: छोटे नेटवर्क ( $n=8$ ) पर आमने-सामने की तुलना में, जहाँ अग्रवाल एट अल. (2024) संभव है, Gibbs-TS रिग्रेट में एक क्रम से अधिक की कमी प्राप्त करता है (जैसे, विशिष्ट स्थितियों के तहत अग्रवाल एट अल. के लिए 1571 के मीडियन रिग्रेट के मुकाबले 141 का मीडियन रिग्रेट)।
नेटवर्क रिकवरी (Network Recovery): एल्गोरिदम उच्च सटीकता के साथ हस्तक्षेप नेटवर्क को रिकवर करने में सफल रहता है (सिंथेटिक सेटिंग्स में F1 स्कोर > 0.98 और वास्तविक दुनिया के सेटिंग्स में 0.74)।
डाउनस्ट्रीम एस्टीमेशन (Downstream Estimation): रिकवर किए गए नेटवर्क $\hat{A}$ का उपयोग करते हुए, यह पेपर प्रदर्शित करता है कि प्रत्यक्ष, अप्रत्यक्ष और कुल उपचार प्रभावों के अनुमान वास्तविक नेटवर्क का उपयोग करके प्राप्त अनुमानों के करीब रहते हैं, जिसमें कम रूट मीन स्क्वेयर्ड एरर (RMSE) होता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

यह शोध पत्र दावा करता है कि यह पहला अनुकूलनशील प्रयोगात्मक डिजाइन प्रदान करता है जो अज्ञात हस्तक्षेप नेटवर्क को संयुक्त रूप से सीखता है और क्रमिक सेटिंग में व्यक्तिगत स्तर के उपचार आवंटन को अनुकूलित करता है, बिना किसी पूर्व-निर्धारित क्लस्टर संरचना की आवश्यकता के।

वैज्ञानिक मूल्य (Scientific Value): रिकवर किया गया नेटवर्क एक सीधा वैज्ञानिक आउटपुट के रूप में कार्य करता है, जो प्रत्यक्ष/अप्रत्यक्ष प्रभावों जैसे कॉज़ल विश्लेषण को सक्षम बनाता है जो पहले अनुकूलनशील सेटिंग्स में अप्राप्य थे।
व्यावहारिक प्रभाव (Practical Impact): यह विधि हस्तक्षेप के सिद्धांत (theoretical causal inference) और बड़े पैमाने के अनुकूलनशील प्रयोगों के बीच के अंतर को पाटती है। यह प्लेटफॉर्म और एजेंसियों को वास्तविक समय में हस्तक्षेपों (जैसे, वैक्सीन रोलआउट, मार्केटिंग) को अनुकूलित करने के साथ-साथ अंतर्निहित सामाजिक या व्यवहारिक गतिशीलता को मैप करने में सक्षम बनाती है।
सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि (Theoretical Insight): यह कार्य स्थापित करता है कि एडिटिव स्पिलओवर मॉडल्स के तहत, समस्या की जटिलता लेटेंट स्कोर वेक्टर के डायमेंशन तक कम हो जाती है, जिससे रिग्रेट बाउंड्स को ग्राफ टोपोलॉजी की जटिलता से स्वतंत्र बनाया जा सकता है।

लेखक अपनी सीमाओं को स्वीकार करते हैं, जिसमें रिवॉर्ड फंक्शन के सही स्पेसिफिकेशन पर निर्भरता, सामान्य NIA सेटिंग्स में उपचार चयन के लिए इंटीजर लीनियर प्रोग्रामिंग की कम्प्यूटेशनल बाधा, और ग्राफ डिस्कवरी लागत के लिए $O(n^2)$ ऊपरी सीमा और $\Omega(n)$ निचली सीमा के बीच का अंतर शामिल है। हालांकि, वे तर्क देते हैं कि उनका दृष्टिकोण अज्ञात नेटवर्क हस्तक्षेप के तहत स्केलेबल, अनुकूलनशील प्रयोगों के लिए एक महत्वपूर्ण कदम है।