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Extending Kernel Trick to Influence Functions

यह शोध पत्र इन्फ्लुएंस फंक्शन्स (influence functions) का एक दोहरा प्रतिनिधित्व प्रस्तुत करता है जो मॉडल के आकार के बजाय डेटासेट के आकार के साथ स्केल करता है, जो बड़े लीनियरलाइज़ेबल (linearizable) मॉडल्स पर डेटा हटाने के प्रभाव का अनुमान लगाने के लिए एक कुशल विकल्प प्रदान करता है, हालांकि इसके बदले में एक ऐसे मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है जिसका आकार मॉडल के आउटपुट आयाम और डेटासेट के आकार के गुणनफल के साथ बढ़ता है।

मूल लेखक: Zhenhuan Sun, Shahrokh Valaee

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Zhenhuan Sun, Shahrokh Valaee

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ "Extending Kernel Trick to Influence Functions" शोध पत्र की सरल भाषा और रोजमर्रा के उदाहरणों का हिंदी अनुवाद दिया गया है।

बड़ी समस्या: "ब्लैक बॉक्स" और "अनडू" (Undo) बटन

कल्पना कीजिए कि आपने बिल्लियों और कुत्तों को पहचानने के लिए एक बहुत ही स्मार्ट AI (एक मशीन लर्निंग मॉडल) को प्रशिक्षित किया है। आपने इसे सीखने के लिए तस्वीरों की एक विशाल लाइब्रेरी दी है। अब, कल्पना कीजिए कि एक उपयोगकर्ता कहता है, "हे, मैं चाहता हूँ कि तुम अपनी याददाश्त से मेरे कुत्ते की वह एक फोटो हटा दो। मैं चाहता हूँ कि तुम उसे पूरी तरह से भूल जाओ, जैसे कि तुमने उसे कभी देखा ही न हो।"

AI की दुनिया में, इसे मशीन अनलर्निंग (Machine Unlearning) कहा जाता है। इसका लक्ष्य विशिष्ट डेटा पॉइंट्स के प्रभाव को हटाना है ताकि मॉडल बिल्कुल वैसा ही व्यवहार करे जैसा कि वह उस डेटा के बिना शून्य से फिर से प्रशिक्षित (retrain) करने पर करता।

यह करने का मानक तरीका इन्फ्लुएंस फंक्शन्स (Influence Functions) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करता है। इस उपकरण को एक "आवर्धक लेंस" (magnifying glass) की तरह समझें जो यह गणना करने की कोशिश करता है कि उस एक विशिष्ट फोटो ने मॉडल के मस्तिष्क को कितना बदला है।

चुनौती:
छोटे मॉडलों के लिए, यह आवर्धक लेंस ठीक काम करता है। लेकिन आधुनिक, विशाल AI मॉडलों के लिए (जैसे कि वे जो कोड लिखते हैं या कला उत्पन्न करते हैं), "मस्तिष्क" इतना बड़ा है (अरबों पैरामीटर्स के साथ) कि इस प्रभाव की गणना करना समुद्र तट पर रेत के हर कण को गिनने की कोशिश करने जैसा है ताकि यह देखा जा सके कि एक कण ज्वार को कैसे प्रभावित करता है। इसमें बहुत अधिक समय लगता है और बहुत अधिक कंप्यूटर शक्ति की आवश्यकता होती है। वर्तमान विधि इसलिए अटक जाती है क्योंकि यह एक ऐसी गणितीय समस्या को हल करने की कोशिश करती है जो मॉडल के आकार के साथ बढ़ती जाती है।

समाधान: एक नया दृष्टिकोण (The "Dual" View)

इस पेपर के लेखक, झेनहुआन सन और शाहरोख वाला, एक चतुर शॉर्टकट का प्रस्ताव देते हैं। वे कहते हैं: "समस्या को मॉडल के मस्तिष्क (जो बहुत बड़ा है) के दृष्टिकोण से देखने के बजाय, आइए इसे डेटासेट (जो आमतौर पर छोटा होता है) के दृष्टिकोण से देखें।"

वे इसे डुअल रिप्रेजेंटेशन (Dual Representation) कहते हैं।

उपमा: शेफ और रेसिपी बुक

कल्पना कीजिए कि AI मॉडल एक शेफ (मॉडल) है और प्रशिक्षण डेटा एक रेसिपी बुक (डेटासेट) है।

पुराना तरीका (पैरामीटर स्पेस): एक रेसिपी हटाने से शेफ की खाना पकाने की शैली में क्या बदलाव आता है, यह देखने के लिए पुराना तरीका शेफ के पूरे मस्तिष्क, मांसपेशियों और स्मृति का विश्लेषण करने की कोशिश करता है। यदि शेफ एक विश्व प्रसिद्ध हस्ती है जिसका मस्तिष्क बहुत बड़ा है, तो यह अविश्वसनीय रूप से धीमा और महंगा है।
नया तरीका (डुअल/अल्फा स्पेस): लेखक कहते हैं, "रुकिए जरा। शेफ केवल उन रेसिपीज़ के आधार पर अपना खाना पकाने का तरीका बदलता है जिन्हें उसने पढ़ा है। यदि हमारे पास 1,000 रेसिपीज़ हैं और शेफ बहुत बड़ा है, तो शेफ के मस्तिष्क के बजाय 1,000 रेसिपीज़ का विश्लेषण करना वास्तव में तेज़ है।"

गणित को डेटा पॉइंट्स के बीच के संबंधों (रेसिपीज़) पर ध्यान केंद्रित करने के लिए स्थानांतरित करके, वे मॉडल के आंतरिक भार (weights) के बजाय डेटा पॉइंट्स के प्रभाव को बहुत तेज़ी से गणना कर सकते हैं।

यह कैसे काम करता है: "लीनियर" (Linear) शॉर्टकट

यह नया तरीका एक विशिष्ट शर्त पर निर्भर करता है: मॉडल को "लिनियराइज़ेबल" (Linearizable) होना चाहिए।

इसका क्या अर्थ है?
एक जटिल, घुमावदार पहाड़ी सड़क की कल्पना करें। यदि आप उस सड़क के एक बहुत छोटे हिस्से को बहुत करीब से देखते हैं, तो वह पूरी तरह से सीधी दिखाई देती है।

लिनियराइज़ेबल मॉडल: ये वे मॉडल हैं जहाँ प्रशिक्षण के दौरान, "सड़क" बहुत अधिक मुड़ती या घूमती नहीं है। मॉडल अपने शुरुआती बिंदु के करीब रहता है, इसलिए हम गणना के उद्देश्य से सड़क को सीधा (linear) मान सकते हैं।
ट्रिक: लेखक न्यूरल टेंगेंट कर्नेल (Neural Tangent Kernel - NTK) नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करते हैं। आप NTK को एक मानचित्र (map) के रूप में समझ सकते हैं जो बताता है कि प्रत्येक डेटा पॉइंट दूसरे डेटा पॉइंट से कैसे बात करता है। मॉडल के जटिल आंतरिक परिवर्तनों को ट्रैक करने के बजाय, वे केवल यह ट्रैक करते हैं कि इस मानचित्र पर डेटा पॉइंट्स एक-दूसरे को कैसे प्रभावित करते हैं।

परिणाम: गति बनाम सटीकता

इस पेपर ने पुराने तरीके के मुकाबले इस नए तरीके का परीक्षण दो परिदृश्यों में किया:

गति: जब मॉडल बहुत बड़ा होता है (जैसे कि एक विशाल न्यूरल नेटवर्क) लेकिन डेटासेट अपेक्षाकृत छोटा होता है, तो नया तरीका बहुत तेज़ होता है। यह पूरे शहर के ब्लॉक के चारों ओर घूमने के बजाय पार्क के माध्यम से शॉर्टकट लेने जैसा है।
- उपमा: यदि आपके पास 10,000 किताबों (डेटा) वाली एक लाइब्रेरी है और एक लाइब्रेरियन है जिसका मस्तिष्क एक ग्रह के आकार का है (मॉडल), तो लाइब्रेरियन को एक किताब के लिए अपनी याददाश्त को फिर से कैलकुलेट करने के लिए कहना बहुत समय लेता है। लेकिन यदि आप केवल किताबों की सूची को देखते हैं और देखते हैं कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, तो आप इसे जल्दी से समझ सकते हैं।
सटीकता: नया तरीका पुराने तरीके (और मॉडल को शून्य से फिर से प्रशिक्षित करने) के लगभग समान परिणाम देता है। "शेफ" नए शॉर्टकट का उपयोग करके रेसिपी को उतनी ही प्रभावी ढंग से भूल जाता है।
"अनंत" (Infinite) मामला: पेपर यह भी दिखाता है कि यह तरीका उन मॉडलों के लिए भी काम करता है जो सैद्धांतिक रूप से अनंत रूप से चौड़े (अनंत पैरामीटर्स वाले मॉडल) हैं। इस मामले में, पुराने तरीके का उपयोग करना असंभव है, लेकिन नया तरीका पूरी तरह से काम करता है क्योंकि यह केवल डेटा पर ध्यान देता है, मॉडल के आकार पर नहीं।

सीमाएँ (बारीक बातें)

लेखक इस बारे में ईमानदार हैं कि यह ट्रिक कहाँ काम नहीं करती है:

यह केवल "लिनियराइज़ेबल" मॉडलों पर काम करता है: यदि मॉडल बहुत अधिक अराजक (chaotic) है या प्रशिक्षण के दौरान अपने "मस्तिष्क" को बहुत अधिक नाटकीय रूप से बदल देता है (जैसे कि एक मॉडल जो अपने शुरुआती बिंदु से बहुत दूर चला जाता है), तो सीधा-सड़क वाला अनुमान टूट जाता है।
इसे एक बड़े मानचित्र की आवश्यकता है: इस शॉर्टकट का उपयोग करने के लिए, आपको एक विशाल मानचित्र (NTK मैट्रिक्स) बनाना होगा जो प्रत्येक डेटा पॉइंट को दूसरे से जोड़ता है। यदि आपका डेटासेट बहुत बड़ा है (लाखों तस्वीरें), तो इस मानचित्र को बनाना और स्टोर करना महंगा हो जाता है, ठीक मूल समस्या की तरह।

सारांश

संक्षेप में, यह पेपर AI मॉडलों से डेटा को "अनलर्न" करने का एक नया तरीका पेश करता है। AI के विशाल, जटिल मस्तिष्क को सुलझाने के बजाय (जो धीमा है), यह डेटा पॉइंट्स के बीच के संबंधों को देखता है (जो तेज़ है)। यह एक गणितीय "दृष्टिकोण का परिवर्तन" है जो मशीन अनलर्निंग को बड़े मॉडलों के लिए संभव बनाता है, बशर्ते कि मॉडल कुछ हद तक अनुमानित, रैखिक (linear) तरीके से व्यवहार करे।

तकनीकी सारांश: प्रभाव कार्यों (Influence Functions) तक कर्नल ट्रिक का विस्तार

समस्या विवरण

इन्फ्लुएंस फंक्शन्स (प्रभाव कार्य), जिन्हें मूल रूप से रोबस्ट सांख्यिकी (robust statistics) के लिए विकसित किया गया था और कोह और लियांग [1] द्वारा मशीन लर्निंग में अनुकूलित किया गया था, यह अनुमान लगाने का एक तरीका प्रदान करते हैं कि प्रशिक्षण डेटा बिंदुओं को बदलने या हटाने पर मॉडल के पैरामीटर्स और आउटपुट कैसे बदलते हैं। यह क्षमता मशीन अनलर्निंग (machine unlearning), व्याख्यात्मकता (interpretability) और गोपनीयता (privacy) के लिए महत्वपूर्ण है। हालांकि, बड़े पैमाने के डीप लर्निंग मॉडल्स के लिए प्रभाव कार्यों का मानक अनुप्रयोग एक महत्वपूर्ण स्केलेबिलिटी बाधा (scalability bottleneck) का सामना करता है।

मुख्य कम्प्यूटेशनल चुनौती इनवर्स हेसियन-वेक्टर प्रोडक्ट (Inverse Hessian–Vector Product, IHVP), $H_{\theta^*}^{-1} \nabla_\theta L_{D_f}(\theta^*)$ है, जो एक 'फॉरगेट सेट' $D_f$ को हटाने के बाद पैरामीटर्स ( $\theta_r^*$ ) में परिवर्तन का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक है। मूल फॉर्मूलेशन में, हेसियन मैट्रिक्स $H_{\theta^*}$ मॉडल पैरामीटर्स की संख्या ( $d_\theta$ ) के वर्ग के साथ स्केल करता है। बड़े मॉडल्स (जैसे, डीप न्यूरल नेटवर्क) के लिए, इस मैट्रिक्स को बनाना और इनवर्ट करना असंभव है। जबकि कॉन्जुगेट ग्रेडिएंट्स (CG) जैसे इटरेटिव मेथड्स हेसियन को बनाने से बचते हैं, वे अभी भी हेसियन-वेक्टर प्रोडक्ट्स (HVPs) पर निर्भर करते हैं जो मॉडल के आकार के साथ स्केल करते हैं, जिससे जब $d_\theta$ का मान डेटासेट के आकार की तुलना में बड़ा होता है, तो यह प्रक्रिया कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी हो जाती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक प्रभाव कार्यों के एक दोहरे प्रतिनिधित्व (dual representation) का प्रस्ताव करते हैं जो कम्प्यूटेशनल जटिलता को मॉडल के आकार ( $d_\theta$ ) के बजाय डेटासेट के आकार ( $|D|$ ) और आउटपुट आयाम ( $d_{out}$ ) के आधार पर बदल देता है। यह दृष्टिकोण लीनेराइजेबल (linearizable) मॉडल्स और न्यूरल टेंगेंट कर्नल (NTK) के सिद्धांत पर आधारित है।

1. लीनियराइजेशन और रीपैरामिटराइजेशन (Linearization and Reparameterization)

यह विधि मानती है कि मॉडल $f(\cdot, \theta)$ "लीनियरेबल" है, जिसका अर्थ है कि इसका व्यवहार प्रशिक्षण के दौरान एक संदर्भ बिंदु $\theta'$ (आमतौर पर इनिशियलाइजेशन) के आसपास इसके लीनियराइजेशन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। लेखक एक लीनियर मॉडल $f^{lin}$ और एक संगत रेगुलराइज्ड एम्पिरिकल रिस्क $\hat{L}_D(\theta)$ को परिभाषित करते हैं।

व्युत्पत्ति (derivation) के लिए महत्वपूर्ण प्रपोजिशन 3.1 यह स्थापित करता है कि किसी भी डेटा के उपसमूह (subset) के लिए, लीनियर मॉडल और पूर्ण डेटासेट के बीच के इष्टतम पैरामीटर्स का अंतर $\mathbb{R}^{d_\theta}$ के एक विशिष्ट लीनियर सबस्पेस में होता है:
$\hat{\theta}_r^* - \hat{\theta}^* = \nabla_\theta f(X, \theta')^\top \Delta \alpha_r^*$
जहाँ $\Delta \alpha_r^* \in \mathbb{R}^{d_{out}|D|}$ है।

यह अवलोकन लेखकों को समस्या को रीपैरामिटराइज (reparameterize) करने की अनुमति देता है। उच्च-आयामी पैरामीटर स्पेस $\theta$ पर अनुकूलन (optimization) करने के बजाय, वे डुअल वेरिएबल $\Delta \alpha$ पर अनुकूलन करते हैं। $\theta$ में कंस्ट्रेंड समस्या को $\Delta \alpha$ स्पेस में अनकंस्ट्रेंड समस्या में बदल दिया जाता है:
$\tilde{L}_D(\Delta \alpha) := \frac{1}{|D|} \sum_{(x,y) \in D} \left( \ell(g^{lin}(x, \Delta \alpha), y) + \frac{\lambda}{2} \|\phi(\Delta \alpha) - \theta'\|_2^2 \right)$
जहाँ $g^{lin}$ में एम्पिरिकल NTK, $K(\cdot, \cdot) = \nabla_\theta f(\cdot, \theta') \nabla_\theta f(\cdot, \theta')^\top$ शामिल है।

2. डुअल इन्फ्लुएंस फंक्शन्स (Dual Influence Functions)

$\Delta \alpha$ स्पेस में, डेटा बिंदुओं को हटाने का प्रभाव डुअल रिस्क के हेसियन, $H_{\Delta \alpha^*}$ को हल करने से अनुमानित किया जाता है। महत्वपूर्ण रूप से, इस हेसियन का पैमाना $d_{out}|D| \times d_{out}|D|$ के साथ होता है, न कि $d_\theta \times d_\theta$ के साथ।

डुअल वेरिएबल में परिवर्तन का अनुमान इस प्रकार है:
$\Delta \alpha_r^* \approx \frac{|D_f|}{|D|} H_{\Delta \alpha^*}^{-1} \nabla_{\Delta \alpha} \tilde{L}_{D_f}(0)$
लेखक दिखाते हैं कि इस सिस्टम को कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि फॉरगेट सेट $D_f$ बड़ा है, तो हल किए जाने वाले लीनियर सिस्टम का आयाम वास्तव में घट जाता है क्योंकि $\Delta \alpha_r^*$ के ज्ञात घटकों को $D_f$ के अनुरूप अलग किया जा सकता है।

3. परिवर्तनों का अनुमान लगाना (Estimating Changes)

एक बार $\Delta \alpha_r^*$ प्राप्त हो जाने के बाद, NTK का उपयोग करके टेस्ट पॉइंट्स के लिए मॉडल आउटपुट और लॉस में बदलाव का अनुमान लगाया जा सकता है:

आउटपुट परिवर्तन: $f^{lin}(x_t, \hat{\theta}_r^*) - f^{lin}(x_t, \hat{\theta}^*) \approx K(x_t, X) \Delta \alpha_r^*$
लॉस परिवर्तन: $\Delta \alpha$ के सापेक्ष डुअल लॉस के ग्रेडिएंट के माध्यम से अनुमानित किया जाता है।

यह फॉर्मूलेशन उन मॉडल्स के लिए प्रभाव (influence) की गणना करने की अनुमति देता है जिनमें अनंत पैरामीटर्स होते हैं, बशर्ते कि NTK का एक एनालिटिकल रूप उपलब्ध हो।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

डुअल रिप्रेजेंटेशन: पेपर एक डुअल फॉर्मूलेशन पेश करता है जहाँ कम्प्यूटेशनल जटिलता मॉडल पैरामीटर काउंट ( $d_\theta$ ) के बजाय डेटासेट के आकार ( $|D|$ ) और आउटपुट आयाम ( $d_{out}$ ) पर निर्भर करती है।
बड़े मॉडल्स के लिए दक्षता: यह विधि बड़े मॉडल्स के लिए मूल प्रभाव कार्यों का एक कुशल विकल्प प्रदान करती है जब $d_\theta \gg d_{out}|D|$ हो। यह विशाल पैरामीटर स्पेस के संबंध में HVPs की गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करती है।
इनफिनिट विड्थ एप्लिकेबिलिटी: यह फ्रेमवर्क एनालिटिकल NTK का लाभ उठाकर अनंत चौड़ाई वाले न्यूरल नेटवर्क्स में प्रभाव विश्लेषण को विस्तृत करता है, जिससे अनंत पैरामीटर्स की सीमा में पैरामीटर और आउटपुट परिवर्तनों का अनुमान लगाना संभव होता है।
कम्प्यूटेशनल शॉर्टकट: लेखक पहचानते हैं कि डुअल स्पेस में, लीनियर सिस्टम का आकार फॉरगेट सेट ( $|D_f|$ ) के बढ़ने के साथ कम हो जाता है, जो बड़े पैमाने के अनलर्निंग कार्यों के लिए एक प्रति-सहज (counter-intuitive) दक्षता लाभ प्रदान करता है।

प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

लेखक अपने मेथड को MNIST और CIFIA-10 के सबसेट्स पर प्रशिक्षित FCNN (फुली कनेक्टेड न्यूरल नेटवर्क) और CNN (कन्वोल्यूशनल न्यूरल नेटवर्क) के लीनियर वर्जन पर मान्य करते हैं।

रनटाइम: $\Delta \alpha$ -स्पेस मेथड दोनों "कोल्ड-स्टार्ट" (पहला निष्पादन) और "वार्म-स्टार्ट" (बार-बार निष्पादन) परिदृश्यों में ओरिजिनल $\theta$ -स्पेस मेथड की तुलना में लगातार बेहतर प्रदर्शन करता है। प्रदर्शन का अंतर मॉडल के आकार और डेटासेट के अनुपात में बढ़ता जाता है।
सटीकता: अनलर्न्ड और रिट्रेन किए गए पैरामीटर्स के बीच सापेक्ष $\ell_2$ दूरी और फॉरगेट सेट पर सटीकता द्वारा मापा गया अनलर्निंग प्रदर्शन, मूल विधि के तुलनीय है।
रेगुलराइजेशन ( $\lambda$ ) का प्रभाव: नॉन-लीनियर मॉडल्स पर प्रयोग दिखाते हैं कि रेगुलराइजेशन कांस्टेंट $\lambda$ के बड़े मान नॉन-लीनियर मॉडल्स की ट्रेनिंग डायनेमिक्स को उनके लीनियर वर्जन के अधिक करीब लाते हैं। यह नॉन-लीनियर मॉडल्स के लिए डुअल रिप्रेजेंटेशन की विश्वसनीयता में सुधार करता है, हालांकि यह कम टेस्ट एक्यूरेसी की कीमत पर आता है।
इनफिनिटली वाइड नेटवर्क्स: मेथड सफलतापूर्वक इनफिनिटली वाइड FCNN और CNN के लिए आउटपुट और लॉस परिवर्तनों का अनुमान लगाता है, जिसके अनुमान वास्तविक परिवर्तनों के करीब होते हैं जो कर्नल ग्रेडिएंट डिसेंट के माध्यम से गणना किए गए हैं।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि डुअल रिप्रेजेंटेशन उन सेटिंग्स में मशीन अनलर्निंग और प्रभाव विश्लेषण के लिए एक स्केलेबल समाधान प्रदान करता है जहाँ मॉडल का आकार पारंपरिक पैरामीटर-स्पेस मेथड्स के लिए अत्यधिक बड़ा होता है।

स्केलेबिलिटी: यह उन मॉडल्स के लिए प्रभाव का अनुमान लगाने में सक्षम बनाता है जहाँ पैरामीटर स्पेस में मूल प्रभाव कार्यों का मूल्यांकन करना असंभव है।
सैद्धांतिक विस्तार: यह न्यूरल नेटवर्क्स के इनफिनिट-विड्थ लिमिट में प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए एक सैद्धांतिक सेतु प्रदान करता है।
सीमाएँ: लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि यह विधि लीनियरेबल मॉडल्स तक सीमित है। हालांकि बड़ा रेगुलराइजेशन ( $\lambda$ ) नॉन-लीनियर मॉडल्स को लीनियर के करीब ला सकता है, लेकिन यह मॉडल के प्रदर्शन को कम कर देता है। इसके अतिरिक्त, इस विधि के लिए NTK मैट्रिक्स को बनाना या उस पर काम करना आवश्यक है, जो डेटासेट के आकार और आउटपुट आयाम के गुणनफल के साथ स्केल करता है, जिससे बहुत बड़े डेटासेट और कई क्लासेज वाले मामलों में यह एक बाधा बन सकता है।

यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि यह सभी डीप लर्निंग मॉडल्स के लिए अनलर्निंग समस्या को हल करता है, बल्कि यह उन परिदृश्यों के लिए एक विशेष, कुशल उपकरण प्रदान करता है जहाँ डेटासेट मॉडल क्षमता की तुलना में छोटा है या जहाँ मॉडल को प्रभावी ढंग से लीनियर माना जा जा सकता है।