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MIST: Reliable Streaming Decision Trees for Online Class-Incremental Learning via McDiarmid Bound

यह शोध पत्र MIST को प्रस्तुत करता है, जो ऑनलाइन क्लास-इन्क्रीमेंटल लर्निंग के लिए एक नवीन ढांचा है, जो K-स्वतंत्र McDiarmid कॉन्फिडेंस रेडियस, एक बेयसियन इनहेरिटेंस प्रोटोकॉल और KLL क्वांटाइल स्केचेस को संयोजित करके स्ट्रीमिंग डिसीजन ट्री की अंतर्निहित स्केलेबिलिटी सीमाओं को पार करता है ताकि गॉसियन और गैर-गॉसियन डेटा स्ट्रीम दोनों पर मजबूत प्रदर्शन प्राप्त किया जा सके।

मूल लेखक: Phu-Hoa Pham, Chi-Nguyen Tran, Nguyen Lam Phu Quy, Dao Sy Duy Minh, Huynh Trung Kiet, Long Tran-Thanh

प्रकाशित 2026-05-13

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Phu-Hoa Pham, Chi-Nguyen Tran, Nguyen Lam Phu Quy, Dao Sy Duy Minh, Huynh Trung Kiet, Long Tran-Thanh

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, कभी न खत्म होने वाले पुस्तकालय को चला रहे हैं जहाँ हर सेकंड नई किताबें (डेटा) आ रही हैं, और हर किताब एक विशिष्ट शैली (एक क्लास) से संबंधित है। आपका काम इन किताबों को अलमारियों में व्यवस्थित करना है ताकि आप उन्हें बाद में ढूँढ सकें। पेच यह है कि आपके पास अपने नोट्स के लिए एक छोटा सा बैकपैक है, आप पुरानी किताबों को पढ़ने के बाद रख नहीं सकते, और नए जॉनर (शैलियाँ) लगातार सामने आते रहते हैं जिन्हें आपने पहले कभी नहीं देखा है।

यह ऑनलाइन क्लास-इन्क्रीमेंटल लर्निंग की चुनौती है। यह पेपर एक नया लाइब्रेरियन सिस्टम पेश करता है जिसे MIST (मैकडिर्मिड इंक्रीमेंटल स्ट्रीमिंग ट्री) कहा जाता है, जो दो प्रमुख समस्याओं को हल करता है जिनके कारण अन्य सिस्टम विफल हो जाते हैं।

MIST कैसे काम करता है, इसे सरल उपमाओं के माध्यम से यहाँ समझाया गया है:

दो बड़ी समस्याएँ

कल्पना कीजिए कि आप इन किताबों को छाँटने के लिए एक निर्णय वृक्ष (डिसीजन ट्री या फ्लोचार्ट) बना रहे हैं।

"गलत अलार्म" की समस्या (समय से पहले विभाजन/Premature Splitting):
पारंपरिक लाइब्रेरियन एक नियम का उपयोग करते हैं कि वे कब एक शेल्फ को दो भागों में विभाजित करें। हालाँकि, जैसे-जैसे जॉनर (क्लासेस) की संख्या बढ़ती है, उनका नियम अविश्वसनीय होता जाता है। यह एक ऐसे स्मोक डिटेक्टर की तरह है जो जैसे-जैसे घर बड़ा होता जाता है, उतना ही संवेदनशील होता जाता है और टोस्ट किए गए ब्रेड की गंध पर भी "आग!" चिल्लाने लगता है। इसके कारण लाइब्रेरियन शेल्फ को बहुत जल्दी विभाजित कर देता है, जिससे छोटे, खाली हिस्से बन जाते हैं जो बेकार होते हैं क्योंकि उन्होंने अभी तक पर्याप्त किताबें नहीं देखी हैं कि वे जान सकें कि क्या कहाँ रखना है।
"भूलने की बीमारी" की समस्या (कोल्ड स्टार्ट्स/Amnesia):
जब एक पारंपरिक लाइब्रेरियन अंततः एक शेल्फ को विभाजित करने का निर्णय लेता है, तो वे नए सेक्शनों के लिए दो नई खाली शेल्फ बना देते हैं। वे उस सारा ज्ञान फेंक देते हैं जो उनके पास मूल शेल्फ की किताबों के बारे में था। यह एक ऐसे शिक्षक की तरह है जो, दो समूहों में कक्षा को विभाजित करते समय, नए समूहों से कहता है, "विषय के बारे में जो कुछ भी तुम जानते थे उसे भूल जाओ; शून्य से सीखना शुरू करो।" यह खतरनाक है क्योंकि नए समूह खाली और भ्रमित होते हैं, और जब तक वे पर्याप्त नई किताबें एकत्र नहीं कर लेते, तब तक वे गलत अनुमान लगाते रहते हैं।

MIST का समाधान: तीन स्मार्ट तरीके

MIST इन मुद्दों को तीन एकीकृत उपकरणों के साथ ठीक करता है:

1. "अटल पैमाना" (टाइट मैकडिर्मिड कैलिब्रेशन/Tight McDiarmid Calibration)

पुराने, अविश्वसनीय नियम के बजाय, जो बढ़ने के साथ खराब होता जाता है, MIST एक नया, गणितीय रूप से सटीक पैमाना उपयोग करता है जिसे मैकडिर्मिड बाउंड (McDiarmid Bound) कहा जाता है।

उपमा: कल्पना कीजिए कि पुराना पैमाना आपके पास कितने जॉनर हैं इसके आधार पर खिंचता और सिकुड़ता था। MIST का पैमाना स्टील का बना है; यह चाहे कितने भी नए जॉनर आ जाएं, आकार में समान रहता है।
परिणाम: यह लाइब्रेरियन को बहुत जल्दी शेल्फ विभाजित करने से रोकता है। वे केवल तभी विभाजित करते हैं जब वे पूरी तरह आश्वस्त होते हैं कि किताबों के बीच वास्तविक अंतर है, जो एक "स्ट्रक्चरल रेगुलराइज़र" के रूप में कार्य करता है और पेड़ को सघन और स्थिर रखता है।

2. "पारिवारिक विरासत" (बेयसियन नॉलेज इनहेरिटेंस/Bayesian Knowledge Inheritance)

जब MIST एक शेल्फ को विभाजित करने का निर्णय लेता है, तो नई शेल्फ खाली शुरू नहीं होतीं। वे पैरेंट शेल्फ (मूल शेल्फ) से एक "पारिवारिक विरासत" प्राप्त करती हैं।

उपमा: नए समूहों को शून्य से शुरू करने के लिए कहने के बजाय, शिक्षक ज्ञान का एक "स्टार्टर किट" सौंपता है। यदि मूल शेल्फ जानती थी कि 60% किताबें मिस्ट्री नॉवेल हैं, तो बाईं शेल्फ को एक संकेत मिलता है कि वह मिस्ट्री-प्रधान हो सकती है, और दाईं शेल्फ को संकेत मिलता है कि वह कम मिस्ट्री-प्रधान हो सकती है।
परिणाम: नई शेल्फ "वॉर्म-स्टार्टेड" होती हैं। उन्हें अंधे होकर अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है; उनके पास सांख्यिकीय रूप से पुख्ता शुरुआती बढ़त होती है। मूल शेल्फ के पास जितना अधिक डेटा था, यह विरासत उतनी ही मजबूत होगी, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि नई शेल्फ तुरंत विश्वसनीय हों।

3. "जादुई स्केचबुक" (KLL क्वांटाइल स्केच/KLL Quantile Sketches)

चूंकि MIST वास्तविक किताबों को नहीं रख सकता (मेमोरी की सीमाओं के कारण), इसे यह याद रखने के लिए कि किताबें कैसी दिखती थीं, एक तरीका चाहिए ताकि बाद में विभाजन का निर्णय लिया जा सके।

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक स्केचबुक है जहाँ आप हर एक किताब का चित्र नहीं बनाते, बल्कि आप किताबों के ढेर के आकार की एक रूपरेखा खींचते हैं। आप देख सकते हैं कि ढेर लंबा और पतला (skewed) है या गोल और मोटा (Gaussian)।
परिणाम: यह स्केचबुक MIST को दो काम एक साथ करने की अनुमति देती है:
1. विभाजन का निर्णय लेना: यह शेल्फ को काटने के लिए सबसे अच्छी जगह खोजने के लिए स्केच का उपयोग करता है।
2. जॉनर का अनुमान लगाना: यदि किताबें एक आदर्श वृत्त (Gaussian) की तरह दिखती हैं, तो यह एक सरल गणितीय सूत्र का उपयोग करता है। यदि किताबें एक अजीब, टेढ़े-मेढ़े आकार (non-Gaussian) की तरह दिखती हैं, तो यह अनुमान लगाने के लिए स्वयं स्केच का उपयोग करता है। यह MIST को तब भी मजबूत बनाता है जब डेटा अव्यवस्थित हो और मानक नियमों का पालन न करता हो।

निष्कर्ष

पेपर का दावा है कि MIST ओपन-वर्ल्ड, स्ट्रीमिंग डेटा के लिए एक बेहतर लाइब्रेरियन है।

मानक, सुव्यवस्थित डेटा पर (जैसे कि साफ, गोल किताबों के ढेर), MIST सबसे उन्नत ग्लोबल सिस्टम के समान प्रदर्शन करता है।
अव्यवस्थित, अजीब डेटा पर (जैसे कि अजीब आकारों में बिखरी हुई किताबें), MIST एकमात्र है जो विफल नहीं होता है। अन्य सिस्टम विफल हो जाते हैं क्योंकि वे मानते हैं कि सब कुछ साफ और गोल है, लेकिन MIST की "जादुई स्केचबुक" अराजकता के अनुकूल ढल जाती है।

संक्षेप में, MIST एक ऐसा पेड़ बनाता है जो नए जॉनर आने पर घबराता नहीं है, बढ़ने पर सीखा हुआ ज्ञान नहीं भूलता है, और बिना पुरानी किताबें जमा किए दोनों तरह के (साफ और अस्त-व्यस्त) डेटा को संभाल सकता है।

तकनीकी सारांश: MIST – ऑनलाइन क्लास-इन्क्रीमेंटल लर्निंग के लिए विश्वसनीय स्ट्रीमिंग डिसीजन ट्रीज़

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र सख्त बाधाओं के तहत टैबुलर सेटिंग्स में ऑनलाइन क्लास-इन्क्रीमेंटल लर्निंग (Online Class-Incremental Learning - Online CIL) की चुनौती को संबोधित करता है: सिंगल-पास प्रोसेसिंग, ऐतिहासिक डेटा तक कोई पहुँच नहीं (एक्सेम्पलर-फ्री), और सीमित मेमोरी। स्ट्रीमिंग डिसीजन ट्रीज़ अपने स्थानीय अपडेट और स्थिर निर्णय सीमाओं (static decision boundaries) के कारण इस शासन (regime) के लिए सैद्धांतिक रूप से आदर्श होते हैं, लेकिन लेखक तर्क देते हैं कि वे Online CIL के लिए दो जुड़े हुए विफलताओं के कारण व्यवहार में विफल हो जाते हैं:

असमय विभाजन (K-Scaling Instability): मौजूदा स्ट्रीमिंग ट्रीज़ (जैसे VFDT, EFDT) इंफॉर्मेशन गेन (Information Gain) से प्राप्त होफ़डिंग बाउंड्स (Hoeffding bounds) पर निर्भर करते हैं। चूंकि इंफॉर्मेशन गेन की रेंज $\log_2 K$ (जहाँ $K$ क्लासेज़ की संख्या है) के साथ स्केल करती है, इसलिए कॉन्फिडेंस रेडियस $K$ बढ़ने के साथ बढ़ता जाता है। यह ओपन-वर्ल्ड सेटिंग्स में, जहाँ $K$ अनबाउंडेड है, विभाजन मानदंड (split criterion) को अविश्वसनीय बना देता है, जिससे या तो आवश्यक विभाजन में देरी होती है या समय से पहले, शोर वाले (noisy) विभाजन हो जाते हैं।
कोल्ड-स्टार्ट अस्थिरता (Cold-Start Instability): जब एक लीफ (leaf) विभाजित होती है, तो मानक स्ट्रीमिंग ट्रीज़ चाइल्ड नोड्स को बिना किसी पूर्व जानकारी के इनिशियलाइज़ करते हैं। एक एक्सेम्पलर-फ्री सेटिंग में, इन चाइल्ड्स को स्पार्स डेटा का उपयोग करके प्रेडिक्टिव डिस्ट्रीब्यूशन को फिर से बनाना पड़ता है। यह "कोल्ड-स्टार्ट" चरण अविश्वसनीय भविष्यवाणियाँ उत्पन्न करता है और इम्प्योरिटी एस्टीमेट्स (impurity estimates) को बढ़ा देता है, जिससे आगे के समय से पहले विभाजन ट्रिगर होते हैं और अस्थिरता बढ़ती है।

2. कार्यप्रणाली: MIST फ्रेमवर्क (Methodology: The MIST Framework)

लेखक MIST (McDiarmid Incremental Streaming Tree) का प्रस्ताव करते हैं, जो इन विफलताओं को तीन एकीकृत घटकों के माध्यम से हल करता है:

A. टाइट, K-स्वतंत्र विभाजन मानदंड (McDiarmက် कैलिब्रेशन)
इंफॉर्मेशन गेन के बजाय, MIST गिनी इम्प्योरिटी (Gini impurity) का उपयोग करता है, जिसकी रेंज $K$ के बावजूद $[0, 1)$ में सीमित है। लेखक सिंगल-सैंपल रिप्लेसमेंट के तहत गिनी स्प्लिट गेन के लिए एक टाइट बाउंडेड-डिफरेंस कांस्टेंट को व्युत्पन्न करते हैं।

सैद्धांतिक परिणाम: वे सिद्ध करते हैं कि बाउंडेड-डिफरेंस कांस्टेंट $c_i = 4/n$ है, जो किसी भी $K$ के लिए है, जो पिछले $8/n$ (Rutkowski et al.) या केवल $K=2$ के लिए $4/n$ (De Rosa और Cesa-Bianchi) के सुधारों से बेहतर है।
परिचालन त्रिज्या (Operational Radius): इससे एक कॉन्फिडेंस रेडियस $\epsilon = \sqrt{32 \ln(2dm/\delta)/n}$ प्राप्त होता है जो ग्लोबल क्लास काउंट $K$ से स्वतंत्र है। यह एक "स्ट्रक्चरल रेगुलराइज़र" के रूप में कार्य करता है, जो क्लास स्पेस के विस्तार के साथ समय से पहले विभाजन को रोकता है।

B. बेयसियन नॉलेज इनहेरिटेंस (Bayesian Knowledge Inheritance)
कोल्ड-स्टार्ट समस्या को संबोधित करने के लिए, MIST विभाजन के क्षण में एक पैरेंट-टू-चलाइड प्रोजेक्शन प्रोटोकॉल लागू करता है:

ट्रंकेटेड-गौसियन प्रोजेक्शन (Truncated-Gaussian Projection): निरंतर विशेषताओं (continuous features) के लिए, पैरेंट के गौसियन पैरामीटर्स (मीन $\mu$ और वेरिएंस $\sigma^2$ ) को स्प्लिट थ्रेशोल्ड के आधार पर सटीक ट्रंकेटेड-गौसियन कंडीशनल मोमेंट्स का उपयोग करके चाइल्ड नोड्स पर प्रोजेक्ट किया जाता है।
मास रीस्केलिंग (Mass Rescaling): क्लास मास और डिरिचलेट स्यूडो-काउंट्स को प्रत्येक चाइल्ड नोड में प्रवाहित होने वाले प्रायिकता द्रव्यमान (probability mass) के आधार पर रीस्केल किया जाता है।
वेरिएंस रिडक्शन: सैद्धांतिक रूप से, चाइल्ड के पोस्टीरियर एस्टीमेट्स का वेरिएंस पैरेंट के सैंपल काउंट के व्युत्क्रमानुपाती ( $O(1/\alpha n_{parent})$ ) होता है। यह सुनिश्चित करता है कि रूढ़िवादी विभाजन (जो केवल डेटा-रिच पैरेंट्स पर ट्रिगर होते हैं) चाइल्ड्स के लिए मजबूत, सांख्यिकीय रूप से ठोस प्रायर (priors) प्रदान करते हैं, जिससे पोस्ट-स्प्लिट अनिश्चितता कम होती है।

C. यूनिफाइड लेबल-अवेयर स्केचिंग (KLL क्वांटाइल्स)
कच्चा डेटा रिटेन किए बिना निरंतर थ्रेशोल्ड मूल्यांकन को संभालने के लिए, MIST प्रत्येक लीफ में KLL क्वांटाइल स्केच का उपयोग करता है:

दोहरी भूमिका: समान स्केच संरचना दो उद्देश्यों की पूर्ति करती है: (1) एम्पिरिकल क्लास-कंडीशनल डिस्ट्रीबशंस से कैंडिडेट स्प्लिट थ्रेशोल्ड जेनरेट करना, और (2) ज्योमेट्री-एडाप्टिव इन्फरेंस के लिए नॉन-पैरामेट्रिक लीफ प्रेडिक्टर (MIST-K) को शक्ति देना।
मेमोरी दक्षता: स्केच संरचना कच्चे डेटा रिटेंशन के बिना निरंतर थ्रेशोल्ड मूल्यांकन का समर्थन करती है। जैसे-जैसे लीफ्स शुद्ध (purify) होती हैं, प्रति लीफ सक्रिय क्लासेज़ की संख्या ( $K_{local}$ ) कम हो जाती है, जो स्वाभाविक रूप से मेमोरी उपयोग को सीमित करती है।
अनुकूली भविष्यवाणी (Adaptive Prediction): MIST दो कॉन्फ़िगरेशन प्रदान करता है: MIST-G (पैरामेट्रिक, प्रेडिक्शन के लिए गौसियन एक्यूमुलेटर्स का उपयोग करता है) और MIST-K (नॉन-पैरामेट्रिक, स्केच-व्युत्पन्न CDFs का उपयोग करता है), जिससे सिस्टम को गौसियन या नॉन-गौसियन डेटा ज्योमेट्री के अनुकूल होने की अनुमति मिलती है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

टाइट मैकार्डिम कैलिब्रेशन: गिनी स्प्लिट गेन के लिए एक शार्प, $K$ -स्वतंत्र बाउंडेड-डिफरेंस कांस्टेंट ( $4/n$ ) का व्युत्पत्ति, जो एक ऐसा विभाजन मानदंड सक्षम करता है जो नए क्लासेज़ आने पर खराब नहीं होता है।
बेयसियन पोस्ट-स्प्लिट स्टेबिलाइज़ेशन: ट्रंकेटेड-गौसियन मोमेंट्स और डिरिचलेट रीस्केलिंग का उपयोग करते हुए एक औपचारिक इनहेरिटेंस तंत्र, जिसमें पैरेंट के सैंपल काउंट के साथ स्केल होने वाले सिद्ध वेरिएंस रिडक्शन गारंटी शामिल हैं।
यूनिफाइड स्केचिंग आर्किटेक्चर: एक एकल डेटा स्ट्रक्चर (KLL स्केच) जो निरंतर स्प्लिट मूल्यांकन और डिस्ट्रीब्यूशन-फ्री लीफ प्रेडिक्शन दोनों को सक्षम बनाता है, जिससे कच्चे डेटा रिटेंशन की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
रेजीम-अवेयर एम्पिरिकल कैरेक्टराइजेशन: उन स्थितियों की पहचान जहाँ पैरामेट्रिक (गौसियन) बनाम नॉन-पैरामेट्रिक (स्केच-आधारित) प्रेडिक्टर अधिक उपयुक्त हैं, जिसे नॉन-गौसियन ज्योमेट्री पर स्ट्रेस टेस्ट के माध्यम से सत्यापित किया गया है।

4. प्रयोगात्मक परिणाम (Experimental Results)

लेखक मानक टैबुलर बेंचमार्क्स (जैसे Covertype, Split-MNIST, HAR) और नॉन-गौसियन ज्योमेट्री (Multimodal, Skewed, AngularSectors, Antipodal) पर सिंथेटिक स्ट्रेस टेस्ट पर MIST का मूल्यांकन करते हैं।

मानक बेंचमार्क्स: निकट-गौसियन डेटासेट पर ग्लोबल पैरामेट्रिक मेथड्स (SLCA, SQDA) के साथ MIST-G और MIST-K प्रतिस्पर्धी हैं। विशेष रूप से, MIST अन्य ट्री-आधारित मेथड्स (VFDT, EFDT) और ग्लोबल मेथड्स की तुलना में काफी कम फॉरगेटिंग के साथ यह उपलब्धि हासिल करता है।
नॉन-गौसियन स्ट्रेस टेस्ट: जटिल ज्योमेट्री वाले डेटासेट्स (जैसे AngularSectors, Multimodal) पर, ग्लोबल पैरामेट्रिक मेथड्स और एन्सेम्बल ट्रीज़ (ARF-NR) लगभग चांस-लेवल पर प्रदर्शन करते हैं। MIST-K, अपने नॉन-पैरामेट्रिक स्केच-आधारित प्रेडिक्टर का लाभ उठाते हुए, अद्वितीय रूप से मजबूत रहता है और सभी बेसलाइन्स को काफी पीछे छोड़ देता है।
एब्लेशन स्टडीज (Ablation Studies):
- इनहेरिटेंस को हटाने से सटीकता में ~9.5% की गिरावट आती है, जो कोल्ड-स्टार्ट अस्थिरता को प्राथमिक विफलता मोड के रूप में पुष्टि करती है।
- GNB लीव्स को मेजॉरिटी वोटिंग से बदलने से ~72% की गिरावट आती है, जो डेंसिटी मॉडलिंग की आवश्यकता को उजागर करती है।
- मैकार्डिम रेडियस एक स्ट्रक्चरल रेगुलराइज़र के रूप में कार्य करता है; होफ़डिंग बाउंड्स का उपयोग करने से मामूली सटीकता लाभ के साथ बहुत बड़े ट्री बनते हैं लेकिन उच्च अस्थिरता होती है।

5. महत्व और दावे (Significance and Claims)

पेपर का दावा है कि MIST यह प्रदर्शित करता है कि स्ट्रीमिंग डिसीजन ट्रीज़ ओपन-वर्ल्ड कॉन्टिनुअल लर्निंग के लिए स्वाभाविक रूप से मॉड्यूलर आर्किटेक्चर हो सकते हैं। स्थानीय प्रेडिक्टिव मॉड्यूल को सख्ती से अलग करते हुए और स्प्लिट समय पर सांख्यिकीय रूप से ठोस ज्ञान हस्तांतरण को सक्षम करके, MIST उन लर्नर्स के लिए एक सिद्धांत आधारित आधार प्रदान करता है जो विनाशकारी विस्मृति (catastrophic forgetting) के बिना विकसित होते हैं।

लेखक जोर देते हैं कि उनका दृष्टिकोण एक्सेम्पलर-फ्री (कोई कच्चा डेटा बफर नहीं), सिंगल-पास, और क्लास-सेट-अनबाउंडेड है। वे MIST को एक समाधान के रूप में प्रस्तुत करते हैं जो स्ट्रीमिंग डेटा माइनिंग (जो अक्सर क्लास इंक्रीमेंटलिटी को अनदेखा करती है) और कॉन्टिनुअल लर्निंग (जो अक्सर रिप्ले या प्री-ट्रेन्ड बैकबोन्स पर निर्भर करती है) के बीच के अंतर को भरता है। यह कार्य मान्य करता है कि स्थानीय अपडेट और बाउंडेड फॉरगेटिंग के लिए सटीकता से समझौता करने की आवश्यकता नहीं है, बशर्ते कि स्प्लिट मानदंड संरचनात्मक रूप से सुदृढ़ हो।

स्वीकृत सीमाएं (Limitations Acknowledged):

MIST-G इनहेरिटेंस प्रोजेक्शन के लिए गौसियन धारणाओं पर निर्भर करता है, जिसे MIST-K स्केचिंग के माध्यम से बायपास करता है।
वर्तमान कार्यान्वयन प्रति-निर्णय यूनियन बाउंड्स का उपयोग करता है; लेखक अनंत क्षितिज (infinite horizons) पर स्प्लिट टाइमिंग को और अधिक अनुकूलित करने के लिए नॉन-नेगेटिव सुपरमार्टिंगेल के माध्यम से टाइम-यूनिफॉर्म कॉन्फिडेंस सीक्वेंस को भविष्य के कार्य के रूप में पहचानते हैं।