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Time and Supply Fairness in Electricity Distribution using $k$ -times bin packing

यह शोध पत्र निष्पक्ष बिजली वितरण को मॉडल करने के लिए $k$ -टाइम्स बिन पैकिंग समस्या को प्रस्तुत करता है, जो कनेक्शन समय आवंटन के लिए इसकी प्रयोज्यता को सिद्ध करता है और यह प्रदर्शित करता है कि फर्स्ट-फिट एल्गोरिदम के सामान्यीकरण मौजूदा ह्यूरिस्टिक्स से बेहतर प्रदर्शन करते हैं, और आगे परिमित $k$ के लिए एक असंभवता परिणाम को सिद्ध करने के बावजूद नए ह्यूरिस्टिक बेंचमार्क के माध्यम से अधिक जटिल वाट आवंटन संस्करण को संबोधित करता है।

मूल लेखक: Dinesh Kumar Baghel, Alex Ravsky, Erel Segal-Halevi

प्रकाशित 2026-05-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Dinesh Kumar Baghel, Alex Ravsky, Erel Segal-Halevi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

यहाँ इस शोध पत्र का सरल भाषा और रचनात्मक उपमाओं (analogies) के साथ विवरण दिया गया है।

बड़ी तस्वीर: "पावर कट" की समस्या

एक छोटे से गाँव की कल्पना करें जहाँ स्थानीय पावर स्टेशन केवल आधे घरों को चलाने के लिए पर्याप्त बिजली पैदा कर सकता है। गाँव में 100 परिवार हैं, लेकिन ग्रिड केवल 50 को संभाल सकता है। यदि वे एक साथ सभी को चालू करने की कोशिश करते हैं, तो सिस्टम क्रैश हो जाएगा।

गाँव के बुजुर्गों को बिजली साझा करने का एक निष्पक्ष तरीका चाहिए।

पुराना तरीका: वे गाँव को दो समूहों में बाँट सकते हैं। समूह A को 12 घंटे बिजली मिलेगी, फिर समूह B को 12 घंटे। हर किसी को 50% बिजली मिलती है।
समस्या: यह हमेशा सबसे निष्पक्ष नहीं होता है। हो सकता है कि परिवार X को एक बड़े फ्रिज के लिए बहुत अधिक बिजली की आवश्यकता हो, जबकि परिवार Y को केवल एक बल्ब के लिए थोड़ी सी बिजली चाहिए। यदि वे केवल समूहों को बदलते हैं, तो परिवार X अभी भी नाखुश हो सकता है क्योंकि उसके हिस्से का "केक का टुकड़ा" उसके फ्रिज को प्रभावी ढंग से चलाने के लिए बहुत छोटा है।

इस पेपर के लेखक केक को काटने का एक स्मार्ट तरीका प्रस्तावित करते हैं, जो बिन पैकिंग (Bin Packing) नामक एक गणितीय पहेली का उपयोग करता है।

पहेली: "k-टाइम्स बिन पैकिंग"

उनके समाधान को समझने के लिए, आइए सूटकेस के साथ एक खेल खेलते हैं।

क्लासिक गेम (बिन पैकिंग):
आपके पास अलग-अलग आकार के कई सूटकेस हैं और एक ट्रक है जिसमें निश्चित कार्गो स्पेस है। आपका लक्ष्य कम से कम ट्रकों में अधिक से अधिक सूटकेस पैक करना है।

पेपर के संदर्भ में: "सूटकेस" परिवारों की बिजली की ज़रूरतें हैं। "ट्रक" पावर स्टेशन की क्षमता है।

नया गेम (k-टाइम्स बिन पैकिंग):
लेखकों ने इसमें एक नया मोड़ दिया है। वे कहते हैं: "ठीक है, सूटकेस को ट्रकों में पैक करें, लेकिन यहाँ एक नियम है: प्रत्येक सूटकेस को ठीक k अलग-अलग ट्रकों में दिखाई देना चाहिए।"

उपमा: कल्पना कीजिए कि आपकी एक पसंदीदा किताब है। आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि वह किताब k अलग-अलग पुस्तकालयों में उपलब्ध हो ताकि यदि एक पुस्तकालय बंद हो जाए, तो भी आप उसे कहीं और पा सकें। लेकिन आप एक ही किताब की दो प्रतियाँ एक ही पुस्तकालय में नहीं रख सकते।
ऐसा क्यों करें? प्रत्येक परिवार को कई "समूहों" (ट्रकों) में शामिल करके, आप बिजली को अधिक बार चालू और बंद (rotate) कर सकते हैं। इस तरह, समूह A को लगातार 12 घंटे बिजली मिलने के बजाय, आपके पास 10 अलग-अलग समूह हो सकते हैं, और हर परिवार को 1 घंटा बिजली मिलेगी, फिर 1 घंटा बंद, फिर 1 घंटा चालू। यह अनुभव को सुचारू बनाता है और इसे अधिक निष्पक्ष बनाता है।

मुख्य खोज: हमें कितने प्रतियों (copies) की आवश्यकता है?

लेखकों ने एक गहरा गणितीय प्रश्न पूछा: "क्या कोई जादुई संख्या k है जो सबसे निष्पक्ष परिणाम की गारंटी देती है?"

उत्तर: हाँ! उन्होंने साबित किया कि किसी भी गाँव के आकार के लिए, एक विशिष्ट संख्या k (जो केवल परिवारों की संख्या पर निर्भर करती है) मौजूद है जो आपको पूर्ण निष्पक्षता प्राप्त करने की अनुमति देती है।
चुनौती: परफेक्ट पैकिंग ढूँढना एक गणितीय दुःस्वप्न है (यह "NP-hard" है, जिसका अर्थ है कि बड़े गाँवों के लिए कंप्यूटर इसे पूरी तरह से हल करने में बहुत अधिक समय लेता है)।
समाधान: चूँकि हम तुरंत सटीक उत्तर नहीं निकाल सकते, इसलिए लेखकों ने प्रसिद्ध, तेज़ एल्गोरिदम (जैसे First-Fit और First-Fit Decreasing) को लिया और उन्हें इस "k-टाइम्स" नियम को संभालने के लिए संशोधित किया।
- First-Fit: कल्पना कीजिए कि आपके पास लोगों की एक कतार है। आप पहले व्यक्ति को पहले खाली स्थान में रखते हैं। यदि वे फिट नहीं होते हैं, तो आप एक नई सीट खोलते हैं।
- संशोधन: उन्होंने इसे इस तरह से संशोधित किया कि जैसे-जैसे वे सीटें भरते हैं, वे सुनिश्चित करते हैं कि हर कोई समय के साथ k अलग-अलग सीटों पर बैठ सके।

परिणाम: उनके संशोधित एल्गोरिदम अविश्वसनीय रूप से कुशल हैं। वे पुराने तरीकों की तरह ही लगभग तेज़ चलते हैं लेकिन बहुत अधिक निष्पक्ष वितरण प्रदान करते हैं। नाइजीरिया के 367 घरों के वास्तविक डेटा का उपयोग करते हुए परीक्षणों में, उनकी विधि ने पिछले तरीकों की तुलना में लोगों को अधिक घंटों तक बिजली और अधिक समान वितरण दिया।

दूसरी चुनौती: "फेयर वॉट्स" बनाम "फेयर टाइम"

पेपर ने एक दूसरी, अधिक कठिन समस्या पर भी काम किया।

परिदृश्य A: फेयर टाइम (Fair Time)
"हर किसी को ग्रिड से जुड़े रहने का समान समय मिलता है।"

उपमा: हर किसी को हॉट टब में ठीक 10 मिनट बैठने का मौका मिलता है।
परिणाम: "k-टाइम्स बिन पैकिंग" इसी को पूरी तरह से हल करता है।

परिदृश्य B: फेयर वॉट्स (Fair Watts - बिजली की मात्रा)
"हर किसी को समान मात्रा में बिजली (ऊर्जा) मिलती है, चाहे वे कितने भी समय के लिए जुड़े हों।"

उपमा: हर किसी को ठीक 10 लीटर पानी मिलता है।
- यदि आपके पास एक छोटा कप (कम मांग) है, तो आपको 10 लीटर पाने के लिए लंबे समय तक जुड़े रहने की आवश्यकता हो सकती है।
- यदि आपके पास एक बड़ी बाल्टी (उच्च मांग) है, तो आप बहुत जल्दी अपने 10 लीटर प्राप्त कर सकते हैं।
समस्या: लेखकों ने साबित किया कि इस विशिष्ट लक्ष्य के लिए, कोई जादुई संख्या k नहीं है जो सभी के लिए काम करे। कभी-कभी, इसे पूरी तरह से निष्पक्ष बनाने के लिए, आपको अनंत संख्या में समूहों की आवश्यकता होगी, जो असंभव है।

जुगाड़ (Workaround):
चूँकि "फेयर वॉट्स" के लिए पूर्ण गणितीय समाधान मौजूद नहीं है, इसलिए लेखकों ने चार "Heuristic" (स्मार्ट अनुमान) एल्गोरिदम बनाए।

इन्हें चार अलग-अलग रणनीतियों के रूप में सोचें जिनका उपयोग एक गाँव का मुखिया जितना संभव हो सके उतना निष्पक्ष होने के लिए कर सकता है।
उन्होंने इन रणनीतियों का परीक्षण किया और पाया कि एक विशिष्ट रणनीति (HA1 को उनके संशोधित पैकिंग एल्गोरिदम के साथ मिलाकर) सबसे अच्छी थी, जो यह सुनिश्चित करने में सफल रही कि जिस व्यक्ति के पास सबसे कम बिजली है, उसे भी पर्याप्त मात्रा में बिजली मिले।

निष्कर्षों का सारांश

"k-टाइम्स" का तरीका काम करता है: प्रत्येक परिवार को कई बिजली-साझाकरण समूहों का हिस्सा बनाकर, आप केवल दो बड़े समूहों में लोगों को बाँटने की तुलना में बहुत अधिक निष्पक्ष कार्यक्रम बना सकते हैं।
तेज़ और निष्पक्ष: उन्होंने इस कार्य को तेज़ी से करने के लिए मानक कंप्यूटर एल्गोरिदम को अनुकूलित किया। वास्तविक दुनिया के परीक्षणों में, इन नए एल्गोरिदम ने मौजूदा तरीकों की तुलना में घरों को अधिक कनेक्शन समय और कम असमानता दी।
समय बनाम शक्ति (Time vs. Power): सभी के लिए समय को निष्पक्ष बनाना गणितीय रूप से आसान है। एक साधारण दोहराव वाले पैटर्न का उपयोग करके सभी के लिए सटीक बिजली की मात्रा (वॉट्स) को पूरी तरह से निष्पक्ष बनाना गणितीय रूप से असंभव है। हालाँकि, उनके नए "स्मार्ट अनुमान" एल्गोरिदम सर्वोत्तम संभव परिणाम के बहुत करीब पहुँच जाते हैं।

संक्षेप में: यह पेपर बिजली के केक को काटने का एक नया, गणितीय रूप से सिद्ध तरीका प्रदान करता है ताकि कोई भी व्यक्ति यह महसूस न करे कि उसे "छोटा हिस्सा" मिल रहा है, विशेष रूप से उन स्थानों पर जहाँ एक साथ सभी के लिए पर्याप्त बिजली नहीं है।

तकनीकी सारांश: k-टाइम्स बिन पैकिंग का उपयोग करके बिजली वितरण में समय और आपूर्ति की निष्पक्षता

1. समस्या की परिभाषा

यह शोध पत्र विकासशील देशों में निष्पक्ष बिजली वितरण की समस्या को संबोधित करता है जहाँ कुल घरेलू मांग उपलब्ध आपूर्ति क्षमता ( $S$ ) से अधिक होती है। मुख्य चुनौती विविध मांगों ( $D$ ) वाले $n$ घरों के बीच सीमित बिजली को इस तरह आवंटित करने की है जिससे निष्पक्षता अधिकतम हो सके।

लेखक दो अलग-अलग अनुकूलन उद्देश्यों (optimization objectives) को परिभाषित करते हैं:

कनेक्शन समय का समतावादी आवंटन (Egalitarian Allocation of Connection Time): लक्ष्य यह है कि किसी भी घर के ग्रिड से जुड़े रहने के न्यूनतम समय को अधिकतम किया जाए। एक एजेंट की उपयोगिता (utility) बाइनरी है: उन्हें उपयोगिता तभी प्राप्त होती है जब उनकी पूरी मांग एक समय अंतराल के दौरान पूरी हो जाती है; आंशिक पूर्ति शून्य उपयोगिता प्रदान करती। यह उन परिदृश्यों को मॉडल करता है जहाँ गतिविधियों के लिए एक विशिष्ट पावर थ्रेशोल्ड की आवश्यकता होती है।
वाट (आपूर्ति) का समतावादी आवंटन (Egalitarian Allocation of Watts/Supply): लक्ष्य किसी भी घर को आवंटित की गई विद्युत ऊर्जा (kWh में) की न्यूनतम मात्रा को अधिकतम करना है। समय-आधारित मॉडल के विपरीत, यह वितरित की गई बिजली के आयतन (volume) पर विचार करता है, जिसका उद्देश्य एजेंटों द्वारा प्राप्त कुल ऊर्जा को समान करना है, भले ही उनके कनेक्शन का समय भिन्न हो।

शोध पत्र समय-आधारित समस्या को क्लासिक बिन पैकिंग समस्या के एक संस्करण के रूप में औपचारिक रूप देता है, जिसे k-टाइम्स बिन-पैकिंग (kBP) कहा जाता है। kBP में, वस्तुओं (मांगों) के एक सेट और बिन क्षमता $S$ के दिए जाने पर, उद्देश्य वस्तुओं को न्यूनतम संख्या में बिन में पैक करना है ताकि:

प्रत्येक बिन में वस्तुओं का योग $S$ से अधिक न हो।
प्रत्येक वस्तु ठीक $k$ अलग-अलग बिनों में उपस्थित हो।
कोई भी बिन एक ही वस्तु की एक से अधिक प्रति (copy) को नहीं रखता हो।

2. कार्यप्रणाली और सैद्धांतिक ढांचा

सैद्धांतिक आधार

लेखक बिजली विभाजन समस्या और kBP के बीच एक सैद्धांतिक संबंध स्थापित करते हैं।

इष्टतम $k$ का अस्तित्व: वे सिद्ध करते हैं कि $n$ घरों वाले किसी भी बिजली विभाजन उदाहरण के लिए, एक परिमित पूर्णांक $k$ मौजूद है, जिससे kBP समस्या को इष्टतम रूप से हल करने पर इष्टतम समतावादी कनेक्शन-टाइम समस्या प्राप्त होती है।
$k$ पर सीमाएँ: शोध पत्र $n$ घरों के आधार पर इस $k$ के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है, विशेष रूप से $k \le a(n)$ , जहाँ $a(n)$ एक $n \times n$ बाइनरी मैट्रिक्स का अधिकतम डिटरमिनेंट (maximal determinant) है (हैडामार्ड मैट्रिसेस से संबंधित)। विशिष्ट उदाहरणों के लिए $k \ge n-1$ का निचला स्तर भी स्थापित किया गया है।
वाट के लिए असंभवता: इसके विपरीत, वाट के समतावादी आवंटन के लिए, लेखक एक असंभवता परिणाम सिद्ध करते हैं: कोई भी परिमित $k$ जो केवल एजेंटों की संख्या $n$ पर निर्भर करता हो, इष्टतम समाधान की गारंटी देने के लिए पर्याप्त नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इष्टतम समाधानों के लिए छोटी मांग वाले एजेंटों को काफी लंबे समय तक जुड़ा रहने की आवश्यकता हो सकती है, जिसके लिए अनबाउंडेड (unbounded) पुनरावृत्ति अनुपात की आवश्यकता होती है।

एल्गोरिद्मिक विस्तार

चूंकि kBP एक NP-hard समस्या है, शोध पत्र मौजूदा बिन-पैकिंग सन्निकटन एल्गोरिदम (approximation algorithms) को kBP सेटिंग में विस्तारित करने पर ध्यान केंद्रित करता है:

तेज़ कॉन्स्टेंट-फैक्टर सन्निकटन (Fast Constant-Factor Approximations):
- $FF_k$ (First-Fit): लेखक इनपुट इंस्टेंस ( $D^k$ ) की $k$ प्रतियों को प्रोसेस करने के लिए फर्स्ट-फिट एल्गोरिदम का विस्तार करते हैं। वे एक एसिम्प्टोटिक एप्रोक्सिमेशन रेशियो $(1.5 + \frac{1}{5k}) \cdot OPT(D^k) + 3k$ सिद्ध करते हैं। जैसे-जैसे $k$ बढ़ता है, यह अनुपात 1.5 के करीब पहुँच जाता है, जो मानक फर्स्ट-फिट अनुपात 1.7 से बेहतर है।
- $FFD_k$ (First-Fit Decreasing): लेखक फर्स्ट-फिट डिक्रीजिंगिंग का विस्तार करते हैं। हालांकि एक टाइट अपर बाउंड सिद्ध नहीं किया गया है, वे सिमुलेशन डेटा के आधार पर $11/9$ (लगभग 1.22) के एक अनुमानित (conjectured) एसिम्प्टोटिक अनुपात का सुझाव देते हैं, जो मानक FFD अनुपात से बेहतर है।
- $NF_k$ (Next-Fit): नेक्स्ट-फिट के विस्तार को 2 के एसिम्प्टोटिक अनुपात के साथ दिखाया गया है।
पॉलीनोमियल-टाइम एप्रोक्सिमेशन स्कीम्स (PTAS):
- शोध पत्र फर्नांडीज डी ला वेगा-ल्युकर (Fernandez de la Vega-Lueker) और कर्मर-कार्प (Karmarkar-Karp) एल्गोरिदम का सामान्यीकरण करता है।
- फर्नांडीज डी ला वेगा-लुकर का विस्तार $(1 + 2\epsilon)OPT(D^k) + k$ बिन प्राप्त करता है।
- कर्मर-कार्प एल्गोरिदम 1 और 2 के विस्तार $k$ और $\epsilon$ पर निर्भर जोड़ने वाले पदों (additive terms) के साथ समाधान प्रदान करते हैं, जो पॉलीनोमियल समय में चलते हैं।
वाट आवंटन के लिए ह्यूरिस्टिक्स (Heuristics for Watts Allocation):
- वाट आवंटन के लिए एक सार्वभौमिक $k$ की असंभवता के कारण, लेखक चार ह्यूरिस्टिक एल्गोरिदम (HA1–HA4) प्रस्तावित करते हैं।
- ये ह्यूरिस्टिक्स एक दो-चरणीय प्रक्रिया का उपयोग करते हैं:
  1. उन एजेंटों के उपसमुच्चय (subset) की पहचान करना जिनकी मांग सबसे कम है और जिन्हें निरंतर (पूरे समय) जुड़ा रहना है।
  2. न्यूनतम वाट आवंटन को अधिकतम करने के लिए शेष एजेंटों और कम की गई आपूर्ति पर kBP-आधारित रणनीतियों ( $FF_k$ या $FFD_k$ का उपयोग करके) को लागू करना।
- एल्गोरिदम लेक्सिमिन (leximin) वेक्टर को अधिकतम करने के लिए (जो सबसे खराब स्थिति वाले एजेंट को प्राथमिकता देता है) निरंतर जुड़े रहने वाले उपसमुच्चय ( $g$ ) के इष्टतम आकार को निर्धारित करने के लिए टर्नरी सर्च (ternary search) का उपयोग करते हैं।

3. प्रमुख परिणाम और प्रयोगात्मक मूल्यांकन

सैद्धांतिक परिणाम

सन्निकटन अनुपात (Approximation Ratios): शोध पत्र $FF_k$ और $NF_k$ के सन्निकटन अनुपातों के लिए कठोर प्रमाण प्रदान करता है। $FF_k$ के लिए, अनुपात $k$ बढ़ने के साथ सुधरता है, जो सैद्धांतिक रूप से 1.5 की ओर अभिसरित (converge) होता है।
असंभवता: वाट आवंटन के लिए एक परिमित $k$ (जो केवल $n$ पर निर्भर हो) पर्याप्त नहीं होने का प्रमाण ह्यूरिस्टिक दृष्टिकोण की ओर बदलाव को प्रेरित करता है।

प्रयोगात्मक परिणाम

लेखकों ने अपने एल्गोरिदम का मूल्यांकन दो डेटासेट्स का उपयोग करके किया:

सिंथेटिक डेटा: ज्ञात इष्टतम समाधानों वाले उदाहरण उत्पन्न किए गए ताकि $FF_k$ और $FFD_k$ के सन्निकटन अनुपातों को सत्यापित किया जा सके। परिणामों ने इस अनुमान का समर्थन किया कि $FF_k$ 1.375 का अनुपात प्राप्त करता है और $FFD_k$ $k > 1$ के लिए $11/9$ प्राप्त करता है।
वास्तविक दुनिया का डेटा: नाइजीरिया के 367 घरों का एक डेटासेट (ओलुवासुजी एट अल. [34, 35] से), जिसमें 13 सप्ताह की प्रति घंटा मांग शामिल है।

कनेक्शन टाइम पर प्रदर्शन (Egalitarian Time):

$FF_k$ और $FFD_k$ एल्गोरिदम (जिसमें $k=100$ का परीक्षण किया गया) ने मौजूदा ह्यूरिस्टिक और ILP-आधारित तरीकों (जैसे [35] से कम्फर्ट मॉडल और सप्लाई मॉडल) की तुलना में समतावादी कनेक्शन टाइम के मामले में काफी बेहतर प्रदर्शन किया।
उन्होंने एजेंटों के बीच लगभग शून्य अधिकतम उपयोगिता अंतर प्राप्त किया, जो अत्यधिक न्यायसंगत वितरण को दर्शाता है।
उनके एल्गोरिदम एजेंटों की संख्या के सापेक्ष लगभग रैखिक समय (linear time) में चले।

वाट आवंटन पर प्रदर्शन (Egalitarian Watts):

चार ह्यूरिस्टिक्स में से, HA1 ( $FFD_k$ का उपयोग करते हुए) ने सबसे खराब स्थिति वाले एजेंट को अधिकतम बिजली की आपूर्ति करने में सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन किया।
HA4 ( $FF_k$ का उपयोग करते हुए) ने कुल डिलीवर किए गए वाट और कुल कनेक्शन समय में अन्य से बेहतर प्रदर्शन किया।
ह्यूरिस्टिक्स ने छोटे-मांग वाले एजेंटों को निरंतर जोड़ने और बड़े-मांग वाले एजेंटों को निष्पक्ष रूप से शेष आपूर्ति वितरित करने के बीच संतुलन बनाने में सफलता प्राप्त की।

4. महत्व और दावे

शोध पत्र दावा करता है कि यह संसाधन-बाधित वातावरण में बिजली विभाजन के लिए एक व्यावहारिक, निष्पक्ष और कुशल ढांचा प्रदान करता है। इसके प्राथमिक योगदान हैं:

औपचारिकीकरण (Formalization): k-टाइम्स बिन-पैकिंग समस्या को निष्पक्ष संसाधन आवंटन के लिए एक गणितीय अमूर्तता (mathematical abstraction) के रूप में परिभाषित करना, जहाँ वस्तुओं को विसंयुक्त (disjoint) सेटों में दोहराया जाना चाहिए।
एल्गोरिद्मिक सुधार: यह प्रदर्शित करना कि मानक बिन-पैकिंग ह्यूरिस्टिक्स को kBP सेटिंग में विस्तारित करने से मूल एल्गोरिदम की तुलना में बेहतर सन्निकटन अनुपात प्राप्त होता है, विशेष रूप से कनेक्शन समय के लिए समतावादी परिणाम में सुधार होता है।
व्यावहारिक अनुप्रयोग: यह सत्यापित करना कि ये सैद्धांतिक विस्तार मौजूदा स्टेट-ऑफ-द-आर्ट विधियों की तुलना में लोड-शेडिंग समस्याओं को अधिक प्रभावी ढंग से हल कर सकते हैं, विशेष रूप रूप से सभी घरों के लिए न्यूनतम कनेक्शन समय को अधिकतम करने के मामले में।
नए बेंचमार्क: वाट के समतावादी आवंटन के लिए नए बेंचमार्क स्थापित करना, यह दिखाते हुए कि जबकि ऊर्जा आयतन (वाट) की निष्पक्षता को अधिकतम करने के लिए एक सैद्धांतिक इष्टतम $k$ मौजूद नहीं है, ह्यूरिस्टिक दृष्टिकोण मौजूदा समाधानों की तुलना में बेहतर निष्पक्षता मेट्रिक्स दे सकते हैं।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि kBP का उपयोग करना निष्पक्ष बिजली वितरण के लिए एक व्यवहार्य मार्ग प्रदान करता है, विशेष रूप से जब उद्देश्य प्रत्येक एजेंट के जुड़े रहने के समय को अधिकतम करना हो, और ऊर्जा आयतन (वाट) के वितरण की निष्पक्षता को अधिकतम करने के लिए ह्यूरिस्टिक अनुकूलन आवश्यक और प्रभावी हैं।