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Roughness and entropy measures of a soft set

यह शोध पत्र सॉफ्ट सेट्स (soft sets) के लिए दो नवीन रफनेस मापों (roughness measures) और छह एंट्रॉपी मापों (entropy measures) को प्रस्तुत करता है और उनका व्यवस्थित रूप से अन्वेषण करता है, जो मोलोडत्सोव (Molodtsov) के मौलिक सिद्धांतों को संरक्षित करते हुए शास्त्रीय रफ सेट थ्योरी (rough set theory) से उनकी सैद्धांतिक विशिष्टता को प्रदर्शित करते हैं।

मूल लेखक: Santanu Acharjee, Sankar K. Pal

प्रकाशित 2026-05-15

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Santanu Acharjee, Sankar K. Pal

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप वस्तुओं से भरे एक बिखरे हुए कमरे को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं। कुछ वस्तुएं स्पष्ट रूप से एक "कुर्सी" हैं, कुछ स्पष्ट रूप से एक "मेज" हैं, लेकिन कुछ धुंधली, आपस में जुड़ी हुई या आधी छिपी हुई हैं। आप यह कैसे तय करेंगे कि क्या कहाँ जाना चाहिए?

यह शोध पत्र ठीक इसी समस्या पर काम करता है, लेकिन गणित और कंप्यूटर विज्ञान की दुनिया में। लेखक, संतानु आचार्य और शंकर के. पाल, इस बात को बेहतर बनाने की कोशिश कर रहे हैं कि कंप्यूटर अनिश्चितता (uncertainty) और अस्पष्टता (imprecision) को कैसे संभालते हैं।

यहाँ उन्होंने जो किया है, उसका रोजमर्रा के उदाहरणों का उपयोग करके एक सरल विवरण दिया गया है।

1. समस्या: "धुंधली फोटो" का मुद्दा

दशकों से, गणितज्ञ धुंधले डेटा से निपटने के लिए रफ सेट थ्योरी (Rough Set Theory) नामक एक उपकरण का उपयोग करते आए हैं। कल्पना कीजिए कि आपके पास भीड़ की एक फोटो है। यदि आप "लाल कपड़े पहने लोगों" के चारों ओर एक रेखा खींचने की कोशिश करते हैं, और दो लोग एक-दूसरे के बिल्कुल बगल में खड़े हैं, तो पुराने गणितीय उपकरण भ्रमित हो जाते हैं। यदि वे आपस में ओवरलैप (एक दूसरे के ऊपर) हो रहे हैं, तो वे आसानी से नहीं बता सकते कि एक व्यक्ति कहाँ समाप्त होता है और दूसरा कहाँ शुरू होता है। पुराने उपकरण उस पूरे बिखरे हुए ढेर को एक बड़े, अनिर्धारित आकार के रूप में देखते हैं।

लेखक कहते हैं: "हमें इन ओवरलैप्स को देखने का एक बेहतर तरीका चाहिए।"

2. समाधान: "एट्रीब्यूट टैग" सिस्टम

इसे ठीक करने के लिए, वे सॉफ्ट सेट थ्योरी (Soft Set Theory) की अवधारणा का उपयोग करते हैं। इसे ऐसे समझें जैसे आप अपने कमरे की हर वस्तु को टैग या विशेषताओं (attributes) का एक सेट दे रहे हैं।

केवल यह कहने के बजाय कि "यह एक कुर्सी है," आप कहते हैं "यह एक कुर्सी है जो लकड़ी की है, भूरी है और भारी है।"
उनके गणित में, इन टैग्स को एट्रीब्यूट्स (attributes) कहा जाता है।

लेखकों ने महसूस किया कि यदि आप किसी वस्तु को उसके विशिष्ट टैग्स (एट्रीब्यूट्स) के नजरिए से देखते हैं, तो आप ओवरलैप्स को बहुत अधिक स्पष्ट रूप से देख सकते हैं। यह एक वेन डायग्राम (Venn diagram) की तरह है जहाँ हर सर्कल को एक विशिष्ट विशेषता के साथ लेबल किया गया है।

3. नए उपकरण: "फजीनेस" (Fuzziness) को मापना

यह पेपर स्थिति कितनी "फजी" या "रफ" है, इसे मापने के लिए दो मुख्य नए उपकरण पेश करता है:

A. रफनेस मेजर्स (यह मापने का पैमाना कि "कितना बिखरा हुआ है?")
उन्होंने वस्तुओं के समूह के बिखराव को मापने के दो नए तरीके बनाए हैं।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक चौकोर लकड़ी के टुकड़े (square peg) को गोल छेद में फिट करने की कोशिश कर रहे हैं।
- पुरानी विधि: आप बस कहते हैं, "यह पूरी तरह से फिट नहीं बैठता।"
- नई विधि: उन्होंने एक ऐसा पैमाना बनाया है जो यह मापता है कि लकड़ी का टुकड़ा ठीक कितना बाहर निकला हुआ है और कितना अंदर है, भले ही वह टुकड़ा दबता हुआ हो या दूसरे टुकड़े के साथ ओवरलैप कर रहा हो।
उन्होंने साबित किया कि जब वस्तुएं ओवरलैप होती हैं, तो उनके नए पैमाने बेहतर काम करते हैं, जो इमेज प्रोसेसिंग (फोटो में वस्तुओं की पहचान करना) जैसी चीजों में एक आम समस्या है।

B. एंट्रॉपी मेजर्स (भ्रम मापने वाला मीटर)
विज्ञान में, "एंट्रॉपी" का अर्थ आमतौर पर अव्यवस्था या भ्रम होता है। लेखकों ने एक सॉफ्ट सेट को देखते समय कंप्यूटर कितना भ्रमित है, इसे मापने के लिए छह अलग-अलग मीटर बनाए हैं।

उदाहरण: कल्पना कीजिए कि आप एक गुप्त कोड का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं।
- यदि कोड स्पष्ट है, तो आपका "कन्फ्यूजन मीटर" कम होगा।
- यदि कोड एक उलझा हुआ ढेर है, तो मीटर अधिक होगा।
उन्होंने छह अलग-अलग प्रकार के मीटर डिजाइन किए हैं:
- कुछ लॉगारिदम (logarithms) का उपयोग करते हैं (एक मानक पैमाने की तरह)।
- कुछ एक्सपोनेंट्स (exponents) का उपयोग करते हैं (एक आवर्धक लेंस की तरह जो बिखराव को ज़ूम करता है)।
- कुछ फिक्स्ड (fixed) हैं (हमेशा एक ही तरह से काम करते हैं)।
- कुछ एडजस्टेबल (adjustable) हैं (आप एक डायल घुमाकर उन्हें अधिक या कम संवेदनशील बना सकते हैं)।

4. बड़ी खोज: एक ही आकार सबके लिए सही नहीं होता

सभी छह "कन्फ्यूजन मीटरों" का परीक्षण करने के बाद, लेखकों ने एक महत्वपूर्ण बात पाई: कोई भी एक अकेला "सर्वश्रेष्ठ" मीटर नहीं है।

मीटर #1 (सरल वाला): यह तेज़ और उपयोग में आसान है, जैसे एक त्वरित नज़र। लेकिन, यदि आप एक जटिल तस्वीर का विश्लेषण कर रहे हैं जहाँ बैकग्राउंड और ऑब्जेक्ट आपस में मिले हुए हैं, तो यह कुछ विवरणों को मिस कर सकता है।
मीटर #3 (विस्तृत वाला): यह थोड़ा जटिल है, लेकिन यह सख्त नियमों (axioms) का पालन करता है और भ्रम की अधिक सटीक तस्वीर देता है, खासकर जब आपको वस्तु और उसके बैकग्राउंड को एक साथ देखना हो।

निष्कर्ष: ठीक वैसे ही जैसे आप घड़ी ठीक करने के लिए हथौड़े का उपयोग नहीं करेंगे, आपको हर समस्या के लिए एक ही गणितीय उपकरण का उपयोग नहीं करना चाहिए। यदि आपको गति चाहिए, तो सरल मीटर का उपयोग करें। यदि आपको जटिल ओवरलैप्स के लिए उच्च सटीकता चाहिए, तो विस्तृत वाले का उपयोग करें।

5. यह क्यों महत्वपूर्ण है (पेपर के अनुसार)

लेखकों का दावा है कि "रफनेस" और "कन्फ्यूजन" को मापने का उनका नया तरीका पुराने तरीकों की तुलना में बेहतर है क्योंकि:

यह सॉफ्ट सेट थ्योरी के मूल नियमों का सम्मान करता है (जिन्हें पिछले कुछ प्रयासों ने अनदेखा कर दिया था)।
यह ओवरलैपिंग वस्तुओं को बहुत बेहतर तरीके से संभाल सकता है।
यह विभिन्न उपकरणों का एक टूलकिट प्रदान करता है ताकि विशेषज्ञ अपने विशिष्ट कार्य के लिए सही उपकरण चुन सकें।

वे विशेष रूप से उल्लेख करते हैं कि यह पैटर्न रिकग्निशन (कंप्यूटर को आकृतियों को पहचानना सिखाना) और इमेज प्रोसेसिंग (फोटो को साफ करना या विश्लेषण करना) के लिए बहुत उपयोगी हो सकता है, खासकर जब फोटो में वस्तुएं ओवरलैप हो रही हों या धुंधली हों। वे अंतरिक्ष अन्वेषण (ग्रहों की छवियों का विश्लेषण करना) में इसके संभावित उपयोग का भी संकेत देते हैं, लेकिन वे अपना ध्यान स्वयं गणितीय ढांचे पर ही रखते हैं।

सारांश

इस पेपर को बिखरे हुए डेटा को संभालने के लिए एक नए, मल्टी-टूल स्विस आर्मी नाइफ के आविष्कार के रूप में देखें।

पुराना चाकू (रफ सेट थ्योरी) संघर्ष करता था जब दो चीजें ओवरलैप होती थीं।
नया चाकू (सॉफ्ट रफ सेट्स) ओवरलैप को अलग करने के लिए "टैग्स" का उपयोग करता है।
लेखकों ने इस चाकू में छह अलग-अलग ब्लेड (एंट्रॉपी मेजर्स) जोड़े हैं, जिनमें से प्रत्येक को एक विशिष्ट प्रकार के बिखराव के लिए डिज़ाइन किया गया है।
उन्होंने साबित किया है कि जबकि कुछ ब्लेड तेज़ हैं, अन्य अधिक पैनी हैं, और सबसे अच्छा चुनाव पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या काम कर रहे हैं।

तकनीकी सारांश: एक सॉफ्ट सेट के रफनेस और एंट्रॉपी माप

समस्या विवरण
यह शोध पत्र उन मौजूदा हाइब्रिड मॉडलों की सीमाओं को संबोधित करता है जो सॉफ्ट सेट थ्योरी और रफ सेट थ्योरी को मिलाते हैं। रफ सेट थ्योरी (पॉलक) एप्रोक्सिमेशन स्पेस और इंडिस्कर्निबिलिटी रिलेशन के माध्यम से अनिश्चितता को प्रभावी ढंग से संभालती है, लेकिन यह ओवरलैपिंग ऑब्जेक्ट्स (एक दूसरे पर अध्यारोपित वस्तुओं) वाले परिदृश्यों में संघर्ष करती है, जैसे कि पैटर्न रिकग्निशन और इमेज प्रोसेसिंग में। विशेष रूप से, शास्त्रीय रफ सेट के लोअर और अपर एप्रोक्सिमेशन (निम्न और उच्च सन्निकटन) दो ओवरलैपिंग ऑब्जेक्ट्स की सीमाओं को स्पष्ट रूप से नहीं पहचान सकते हैं। इसके अतिरिक्त, सॉफ्ट सेट्स को रफ सेट्स के साथ एकीकृत करने के पिछले प्रयास (जैसे कि फेंग एट अल., अली, शबिर एट अल. द्वारा) मोलोटसोव द्वारा स्थापित सॉफ्ट सेट थ्योरी के मौलिक गणितीय और दार्शनिक सिद्धांतों से विचलित होते हैं। इन विचलनों में 'सॉफ्ट सबसेट्स' का गलत उपयोग और ऐसे ऑपरेशन्स शामिल हैं जो मोलोटसोव की मूल परिभाषाओं के अनुरूप नहीं हैं, विशेष रूप से एट्रिब्यूट सेट्स के उपचार और पारंपरिक अर्थों में "सॉफ्ट सबसेट्स" के अस्तित्व के संबंध में। फलस्वरूप, एक ऐसा कठोर सैद्धांतिक ढांचा बनाने की कमी है जो मोलोटसोव के एक्सिओम्स (स्वयंसिद्धों) का सख्ती से पालन करते हुए सॉफ्ट सेट्स के लिए रफनेस और एंट्रॉपी मापों को परिभाषित कर सके और प्रभावी ढंग से ओवरलैपिंग एप्रोक्सिमेशन को संभाल सके।

कार्यप्रणाली (मेथोडोलॉजी)
लेखक मोलोटसोव के मौलिक सिद्धांतों का सख्ती से पालन करते हुए "सॉफ्ट रफ सेट्स" के लिए एक नया ढांचा विकसित करते हैं। कार्यप्रणाली में शामिल है:

एप्रोक्सिमेशन को पुनर्परिभाषित करना: यूनिवर्सल सेट के सबसेट्स का सीधे उपयोग करने के बजाय, लेखक एट्रिब्यूट के एप्रोक्सिमेट सबसेट्स के साथ जुड़ाव के आधार पर लोअर और अपर सॉफ्ट एप्रोक्सिमेशन को परिभाषित करते हैं।
- लोअर सॉफ्ट एप्रोक्सिमेशन ( $L(S, A)$ ): इसे $(a_i, \cup B_j)$ के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $B_j$ , एट्रिब्यूट सबसेट $S(a_i)$ के भीतर निहित इक्विवेलेंस क्लासेस (तुल्यता वर्ग) हैं।
- अपर सॉफ्ट एप्रोक्सिमेशन ( $U(S, A)$ ): इसे $(a_i, \cup C_k)$ के संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $C_k$ वे इक्वीवलेंस क्लासेस हैं जिनका $S(a_i)$ के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन (non-empty intersection) है।
- बाउंड्री (सीमा): बाउंड्री को प्रत्येक एट्रिब्यूट के लिए अपर और लोअर सॉफ्ट एप्रोक्सिमेशन के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
रफनेस मेजर्स (Roughness Measures): दो अलग-अलग रफनेस मेजर्स पेश किए गए हैं:
- पॉलक-शैली ( $\theta^P_R$ ): लोअर एप्रोक्सिमेशन के कार्डिनैलिटी (कार्डिनल संख्या) के अनुपात पर आधारित, जिसे सभी एट्रिब्यूट्स पर योग के लिए अनुकूलित किया गया है।
- याओ-प्रेरित ( $\theta^Y_R$ ): एक नया माप जो सटीकता (accuracy) के विशिष्ट एक्सिओम्स (सटीकता, खाली सेट, और ग्रैनुलेशन के संबंध में मोनोटोनिसिटी सहित) को संतुष्ट करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह माप एक ऑब्जेक्ट और उसके बैकग्राउंड के बीच समरूपता सुनिश्चित करने के लिए लोअर एप्रोक्सिमेशन और कॉम्प्लीमेंट के अपर एप्रोक्सिमेशन दोनों को शामिल करता है।
एंट्रॉपी मेजर्स (Entropy Measures): एक सॉफ्ट सेट से जुड़ी जानकारी की अपूर्णता को मापने के लिए छह एंट्रॉपी मेजर्स प्रस्तावित किए गए हैं:
- तीन लॉगरिदमिक मेजर्स (शैनन की एंट्रॉपी पर आधारित): दो पॉलक रफनेस मेजर पर आधारित (ऑब्जेक्ट और उसके कॉम्प्लीमेंट को शामिल करते हुए) और एक याओ-प्रेरित रफनेस मेजर पर आधारित।
- तीन एक्सपोनेंशियल मेजर्स: दो पॉलक रफनेस पर आधारित और एक याओ-प्रेरित रफनेस पर आधारित।
- इन मापों का अधिकतम मान, निरंतरता (continuity), समरूपता (symmetry), और कॉन्केविटी (concavity) जैसे गुणों के लिए विश्लेषण किया गया है।
सैद्धांतिक विश्लेषण: पेपर आंतरिक और बाहरी एप्रोक्सिमेशन, विभिन्न इक्विवेलेंस रिलेशंस (ग्रैनुलैरिटी) के तहत इन मापों के व्यवहार और प्रस्तावित मापों एवं उनके कॉम्प्लीमेंट्स के बीच संबंध के संबंध में गुणों को कठोरता से सिद्ध करता है।

प्रमुख योगदान

नवीन रफ फ्रेमवर्क: पेपर एक सॉफ्ट रफ सेट की अवधारणा पेश करता है जो मोलोटसोव की मूल परिभाषाओं को सुरक्षित रखता है, विशेष रूप से "सॉफ्ट सबसेट्स" की अवधारणा से बचते हुए और आंतरिक/बाहरी एप्रोक्सिमेशन का सही उपयोग करते हुए। यह ओवरलैपिंग ऑब्जेक्ट्स के लिए भी लोअर और अपर एप्रोक्सिमेशन की विशिष्ट परिभाषा की अनुमति देता है।
दो रफनेस मेजर्स: एक पॉलक-शैली के मेजर और एक नए याओ-प्रेरित मेजर का प्रस्ताव जो विशिष्ट एक्सिओमैटिक आवश्यकताओं को पूरा करता है, जो सॉफ्ट सेट्स में सटीकता का आकलन करने का अधिक मजबूत तरीका प्रदान करता है।
छह एंट्रॉपी मेजर्स: प्रस्तावित रफनेस मेजर्स से प्राप्त छह एंट्रॉपी मेजर्स (तीन लॉगरिदमिक, तीन एक्सपोनेंशियल) का व्यवस्थित परिभाषा और विश्लेषण।
एक्सिओमैटिक वैलिडेशन: यह प्रदर्शन कि प्रस्तावित याओ-प्रेरित एक्यूरेसी मेजर उन एक्सिओम्स को संतुष्ट करता है जिन्हें पॉलक-शैली का मेजर नहीं कर पाता, विशेष रूप से एक सेट और उसके कॉम्प्लीमेंट के बीच समरूपता के संबंध में।
तुलनात्मक विश्लेषण: एक विस्तृत तुलना जो दिखाती है कि प्रस्तावित फ्रेमवर्क उन ओवरलैपिंग क्षेत्रों की समस्या को हल करता है जिन्हें शास्त्रीय रफ सेट सिद्धांत नहीं संभाल सकता है, जैसा कि सैद्धांतिक उदाहरणों और विजुअल रिप्रेजेंटेशन के माध्यम से दर्शाया गया है।

परिणाम

सैद्धांतिक गुण: लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि एक सॉफ्ट सेट दूसरे को आंतरिक रूप से एप्रोक्सिमेट करता है, तो उनके लोअर और अपर सॉफ्ट एप्रोक्सिमेशन इस संबंध को बनाए रखते हैं। इसके विपरीत, बाहरी एप्रोक्सिमेशन के लिए, संबंध लोअर एप्रोक्सिमेशन के लिए तो बना रहता है, लेकिन अनिवार्य रूप से अपर एप्रोक्सिमेशन के लिए नहीं।
ग्रैनुलैरिटी का प्रभाव: अध्ययन पुष्टि करता है कि जैसे-जैसे यूनिवर्सल सेट का ग्रैनुलेशन सूक्ष्म (finer) होता जाता है (इक्विवेलेंस क्लासेस छोटी होती जाती हैं), सॉफ्ट सेट की सटीकता बढ़ती है और रफनेस कम होती जाती है।
एंट्रॉपी व्यवहार:
- लॉगरिदमिक एंट्रॉपी मेजर्स को कॉन्केव (concave) और निरंतर (continuous) दिखाया गया है।
- एक्सपोनेंशियल एंट्रॉपी मेजर्स $\beta$ पर निर्भर विशिष्ट मोनोटोनिक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं।
- $Ent^1_P_e$ (पॉलक-आधारित, टू-वेरिएबल) गणनात्मक रूप से कुशल है लेकिन कॉम्प्लीमेंट के संबंध में एक्सिओमैटिक निरंतरता की कमी है।
- $Ent^3_P_e$ (याओ-आधारित, वन-वेरिएबल) को अधिक सैद्धांतिक रूप से सुसंगत और सामान्य-उद्देश्य मॉडलिंग के लिए उपयुक्त माना गया है, विशेष रूप से ऑब्जेक्ट और बैकग्राउंड का एक साथ विश्लेषण करने के लिए।
ओवरलैप को संभालना: प्रस्तावित परिभाषाएं ओवरलैपिंग क्षेत्रों (जैसे, एक इमेज में लाल, नीले और हरे क्षेत्र) के बाउंड्री को सफलतापूर्वक अलग करती हैं, जो मानक पॉलक एप्रोक्सिमेशन के साथ संभव नहीं था।

महत्व
पेपर का दावा है कि इसका प्राथमिक महत्व सॉफ्ट सेट्स में अनिश्चितता के विश्लेषण के लिए एक गणितीय रूप से सुदृढ़ और दार्शनिक रूप से सुसंगत ढांचा प्रदान करने में है, जो विशेष रूप से मौजूदा हाइब्रिड मॉडलों की सीमाओं को संबोधित करता है। मोलोटसोव के सिद्धांतों को सख्ती से संरक्षित करके, प्रस्तावित फ्रेमवर्क रफनेस कैरेक्टराइजेशन के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रदान करता है जो शास्त्रीय रफ सेट थ्योरी से भिन्न है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि यह फ्रेमवर्क ओवरलैपिंग ऑब्जेक्ट्स वाले अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से मूल्यवान है, जैसे कि पैटर्न रिकग्निशन, इमेज प्रोसेसिंग और AI विजन। वे सुझाव देते हैं कि ओवरलैपिंग क्षेत्रों के लिए लोअर और अपर एप्रोक्सिमेशन को अलग ढंग से परिभाषित करने की क्षमता इसे अंतरिक्ष अन्वेषण (जैसे, एक्सोप्लेनेटरी सतहों का विश्लेषण) जैसे जटिल डोमेन में रफ सेट थ्योरी के लिए एक संभावित पूरक उपकरण बनाती है। पेपर इस निष्कर्ष के साथ समाप्त होता है कि हालांकि कोई भी एकल एंट्रॉपी मेजर सार्वभौमिक रूप से इष्टतम नहीं है, प्रस्तावित मापों का परिवार अनिश्चितता के परिमाणीकरण के लिए एक लचीला टूलकिट प्रदान करता है, जहाँ चुनाव विशिष्ट अनुप्रयोग की आवश्यकताओं और एक्सिओमैटिक निरंतरता बनाम गणनात्मक सरलता पर निर्भर करता है।