तकनीकी सारांश: सामान्य संरचित डेटा के लिए समूह समरूपता (Group Symmetries) के साथ सशर्त भविष्य कहनेवाला अनुमान (Conditional Predictive Inference)

समस्या विवरण

यह शोध पत्र वितरण-मुक्त भविष्य कहनेवाला अनुमान (distribution-free predictive inference) की एक मौलिक सीमा को संबोधित करता है: सीमांत कवरेज गारंटी (marginal coverage guarantees) पर निर्भरता बनाम सशर्त कवरेज (conditional coverage) की व्यावहारिक आवश्यकता। जबकि मानक कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन (Vovk et al., 2005) यह सुनिश्चित करता है कि एक भविष्यवाणी सेट सभी डेटा वास्तविकताओं पर औसतन $1-\alpha$ प्रायिकता के साथ वास्तविक लक्ष्य को कवर करता है (सीमांत कवरेज), यह विशिष्ट उपसमूहों या डेटा के स्थानीय वास्तविकताओं के लिए वैध अनिश्चितता मात्रा निर्धारण (uncertainty quantification) प्रदान करने में विफल रहता है, विशेष रूप से विषम (heterogeneous) परिवेशों में।

निकट-सशर्त कवरेज (near-conditional coverage) प्राप्त करने का प्रयास करने वाली मौजूदा विधियाँ (जैसे, Gibbs et al., 2025; Hore and Barber, 2024) आमतौर पर विनिमयता (exchangeability - i.i.d. डेटा) की धारणा पर निर्भर करती हैं। हालाँकि, कई वास्तविक दुनिया के संरचित डेटासेट—जैसे नेटवर्क, क्लस्टर्ड डेटा और पदानुक्रमित मॉडल (hierarchical models)—वैश्विक विनिमयता का उल्लंघन करते हैं। जबकि हाल के कार्य द्वारा Dobriban और Yu (2024) ने विनिमयता (exchangeability) से परे सामान्य समूह समरूपता (group symmetries) को संभालने के लिए SymmPI ढांचे को पेश किया, यह केवल सीमांत कवरेज गारंटी प्रदान करता है। यह एक ऐसा अंतराल छोड़ देता है जहाँ कोई भी विधि एक साथ जटिल समूह-सममित संरचनाओं (जैसे नेटवर्क या क्लस्टर) को नहीं संभाल सकती और स्थानीय विषमता (local heterogeneity) के अनुकूल सशर्त कवरेज गारंटी भी प्रदान कर सकती है।

कार्यप्रणाली: C-SymmPI

लेखक C-SymmPI (Conditional Symmetric Predictive Inference) प्रस्तावित करते हैं, जो एक एकीकृत ढांचा है जो सामान्य समूह समरूपता के तहत निकट-सशर्त कवरेज प्राप्त करने के लिए SymmPI दृष्टिकोण का विस्तार करता है।

मुख्य ढांचा

1. समूह-सैद्धांतिक सेटअप (Group-Theoretic Setup): माना जाता है कि डेटा $Z$ एक समूह $G$ के समूह क्रिया $\rho$ के तहत वितरण संबंधी अपरिवर्तनीय (distributionally invariant) है (अर्थात, $Z \stackrel{d}{=} \rho(G)Z$ जहाँ $G \sim U$, हार माप/Haar measure है)। यह विनिमयता (जहाँ $G$ सममित समूह $S_n$ है) को नेटवर्क (ऑटोमोर्फिज्म समूह) और पदानुक्रमित डेटा (नेस्टेड परम्यूटेशन समूह) जैसी संरचनाओं तक विस्तारित करता है।
2. अनुकूली थ्रेशोल्ड लर्निंग (Adaptive Threshold Learning): SymmPI के विपरीत, जो समूह कक्षा (group orbit) पर एक एकल वैश्विक क्वांटाइल थ्रेशोल्ड की गणना करता है, C-SymmPI एक अनुकूली थ्रेशोल्ड फलन $t_z(\cdot)$ सीखता है। यह फलन देखे गए डेटा विशेषताओं को एक थ्रेशोल्ड में मैप करता है, जिससे भविष्यवाणी सेट को स्थानीय विषमता के अनुकूल होने की अनुमति मिलती है।
3. शिथिल बहु-सटीकता परिप्रेक्ष्य (Relaxed Multi-Accuracy Perspective): विधि बहु-सटीकता (multi-accuracy) परिप्रेक्ष्य (Hébert-Johnson et al., 2018) का उपयोग करके सशर्त कवरेज आवश्यकता को पुनर्गठित करती है। यह मांग करने के बजाय कि प्रत्येक वास्तविकता के लिए सटीक सशर्त कवरेज आवश्यक है (जो वितरण संबंधी धारणाओं के बिना अक्सर असंभव है), C-SymmPI एक उपयोगकर्ता-निर्दिष्ट फलन वर्ग $\mathcal{F}$ पर गलत कवरेज त्रुटि (miscoverage error) को कम करता है। विशेष रूप से, यह सुनिश्चित करता है:
   $$\left| \mathbb{E}_Z \left[ f(Z_{\text{obs}}) \left( \mathbb{1}\{Z \in \hat{C}(Z_{\text{obs}})\} - (1-\alpha) \right) \right] \right| \leq \varepsilon$$
   सभी $f \in \mathcal{F}$ के लिए। यह समूह कक्षा पर एक नियमित क्वांटाइल रिग्रेशन (regularized quantile regression) समस्या को हल करके प्राप्त किया जाता है।

दक्षता के लिए एल्गोरिदम वेरिएंट

उच्च-आयामी स्थानों और बड़े समूहों में कम्प्यूटेशनल चुनौतियों को दूर करने के लिए, दो वेरिएंट पेश किए गए हैं:

• प्रोजेक्टेड C-SymmPI (Projected C-SymmPI): थ्रेशोल्ड सीखने से पहले उच्च-आयामी देखे गए डेटा $Z_{\text{obs}}$ को एक निम्न-आयामी एम्बेडिंग $\eta(Z_{\text{obs}})$ पर प्रोजेक्ट करता है। यह फलन सीखने की जटिलता को कम करता है।
• सेम्पल्ड C-SymmPI (Sampled C-SymmPI): समूह तत्वों के एक सीमित मोंटे कार्लो नमूने का उपयोग करके हार अपेक्षा (Haar expectation - समूह औसत) का अनुमान लगाता है। यह अनंत या बहुत बड़े समूहों (जैसे रोटेशन समूह) के लिए महत्वपूर्ण है।

सैद्धांतिक गारंटी

शोध पत्र दो सेटिंग्स के तहत निकट-सशर्त कवरेज के लिए सीमाएं स्थापित करता है:

1. वितरण संबंधी अपरिवर्तनीयता (Distributional Invariance): जब डेटा सख्ती से समूह अपरिवर्तनीयता धारणा को संतुष्ट करता है।
2. वितरण बदलाव (Distribution Shift): जब अपरिवर्तनीयता का उल्लंघन होता है, तो सीमा में वास्तविक वितरण और परम्यूटेड वितरण के बीच कुल भिन्नता (Total Variation - TV) दूरी के समानुपाती एक अतिरिक्त पद शामिल होता है।

विशिष्ट फलन वर्गों के लिए अभिसरण दरें (convergence rates) व्युत्पन्न की गई हैं:

• रैखिक फलन वर्ग (Linear Function Classes): त्रुटि $O(d |H| / |G|)$ की दर से घटती है, जहाँ $d$ आयाम है, $|G|$ समूह का आकार है, और $|H|$ स्टेबलाइज़र उपसमूह का आकार है।
• RKHS (Reproducing Kernel Hilbert Space): त्रुटि $O(1/\sqrt{|G|/|H|})$ की दर से घटती है।

मुख्य योगदान

1. निकट-सशर्त अनुमान के लिए एकीकृत ढांचा: C-SymmPI निकट-सशर्त कवरेज गारंटी को i.i.d./विनिमय योग्य सेटिंग से परे सामान्य डेटा संरचनाओं (जैसे नेटवर्क, पदानुक्रमित क्लस्टर) तक विस्तारित करने वाला पहला ढांचा है।
2. सैद्धांतिक सामान्यीकरण: यह विनिमय योग्य डेटा (Gibbs et al., 2025) के लिए मौजूदा अत्याधुनिक परिणामों को विशेष मामलों के रूप में पुनः प्राप्त करता है और गैर-विनिमय योग्य संरचनाओं के लिए नई गारंटी प्रदान करता है।
3. कम्प्यूटेशनल स्केलेबिलिटी: प्रोजेक्टेड और सेम्पल्ड वेरिएंट का विकास उच्च-आयामी अवलोकनों और बड़े/अनंत समूह समरूपताओं के लिए सशर्त अनुमान को लागू करने में सक्षम बनाता है।
4. व्यापक प्रयोज्यता: इस ढांचे को निम्नलिखित के लिए स्थापित किया गया है:
   • विनिमय योग्य डेटा (Exchangeable Data): सशर्त कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन को पुनः प्राप्त करना।
   • दो-स्तरीय पदानुक्रमित मॉडल (Two-Layer Hierarchical Models): क्लस्टर रैंडमाइज्ड ट्रायल्स (CRTs) सहित, जो क्लस्टर और व्यक्तिगत दोनों स्तरों पर सशर्त गारंटी प्रदान करते हैं।
   • नेटवर्क-संरचित डेटा (Network-Structured Data): नोड-स्तरीय अनुमान के लिए नेटवर्क टोपोलॉजी के अनुकूल होना।

अनुभवजन्य परिणाम (Empirical Results)

लेखक संख्यात्मक सिमुलेशन और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के माध्यम से C-SymmPI को मान्य करते हैं:

• सिमुलेशन (पदानुक्रमित डेटा): विषम शोर वाले दो-स्तरीय पदानुक्रमित मॉडल में, C-SymmPI ऐसे भविष्यवाणी अंतराल (prediction intervals) उत्पन्न करता है जो स्थानीय भिन्नता के अनुकूल होते हैं (कम भिन्नता वाले क्षेत्रों में संकीर्ण, उच्च भिन्नता वाले क्षेत्रों में चौड़े)। प्रतिस्पर्धी विधियाँ (मानक SymmPI, मानक सशर्त CP, सिंगल-ट्री विधियाँ) या तो उच्च-भिन्नता वाले क्षेत्रों को कवर करने में विफल रहती हैं (अल्प-कवरेज) या अत्यधिक रूढ़िवादी चौड़े अंतराल बनाती हैं।
• PPACT क्लस्टर रैंडमाइज्ड ट्रायल: दर्द प्रबंधन पर एक वास्तविक दुनिया के परीक्षण पर लागू किया गया। C-Symmentry C-SymmPI, उपचार प्रभावों के लिए छोटे भविष्यवाणी अंतराल उत्पन्न करके Wang et al. (2024) की Split-CCI विधि से बेहतर प्रदर्शन करता है, जबकि वैध कवरेज बनाए रखता है और लाभकारी उपचारों (नेगेटिव इंटरवल्स) की पहचान करने का उच्च अंश प्राप्त करता है।
• कोरा साइटेशन नेटवर्क (Cora Citation Network): नेटवर्क-सहायता प्राप्त वर्गीकरण कार्य में, C-SymmPI मानक स्प्लिट कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन की तुलना में छोटे भविष्यवाणी सेट प्रदान करता है, जबकि वैध कवरेज बनाए रखता है, जो भविष्यवाणी अनिश्चितता के प्रति अनुकूलता (उच्च-विश्वास भविष्यवाणियों के लिए छोटे अंतराल) प्रदर्शित करता है।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि C-SymmPI संरचित डेटा के लिए अनिश्चितता मात्रा निर्धारण में एक महत्वपूर्ण अंतर को पाटता है। समूह समरूपता के तहत सीमांत से निकट-सशर्त कवरेज की ओर बढ़कर, विधि अधिक सूचनात्मक और स्थिर भविष्यवाणी सेट प्रदान करती है जो जटिल डेटा संरचनाओं (नेटवर्क, क्लस्टर) की अंतर्निहित विषमता का सम्मान करती है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके दृष्टिकोण के लिए मजबूत वितरण संबंधी धारणाओं की आवश्यकता नहीं है, जो डेटा की संरचनात्मक समरूपता का लाभ उठाते हुए वितरण-मुक्त बना रहता है। परिणाम बताते हैं कि जो लोग पदानुक्रमित या नेटवर्क वाले डेटा के साथ काम कर रहे हैं, उनके लिए C-SymmPI मौजूदा सीमांत विधियों के लिए एक मजबूत विकल्प है, जो उस स्थानीय विषमता को छिपाने से रोकता है जो अक्सर पूरे डेटासेट पर औसत निकालने के दौरान होता है। इस ढांचे को एक सामान्य उपकरण के रूप में प्रस्तुत किया गया है जिसे अन्य संरचित सेटिंग्स (जैसे पेड़, चित्र) के लिए अनुकूलित किया जा सकता है जहाँ समूह समरूपता मौजूद है।