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Robust Simulation Based Inference Through Robust Optimal Transport

यह शोध पत्र एक सुदृढ़ सिमुलेशन आधारित अनुमान (Simulation Based Inference) ढांचे का प्रस्ताव करता है जो कि एक कुलबैक-लीब्लर (Kullback-Leibler) सूचित सुदृढ़ इष्टतम परिवहन (Optimal Transport) विचलन का उपयोग करता है, जो एक अभिसारी स्टोकेस्टिक उप-ग्रेडिएंट एल्गोरिदम और एक समानांतरकृत बूटस्ट्रैप प्रक्रिया द्वारा समर्थित है, ताकि ज्यामितीय और टोटल वेरिएशन (Total Variation) विसंगतियों द्वारा सांख्यिकीय मॉडल के मिसस्पेसिफाइड होने पर भी मापदंडों का विश्वसनीय रूप से अनुमान लगाया जा सके और अनिश्चितता को मापा जा सके।

मूल लेखक: Peter Matthew Jacobs, Lekha Patel, Anirban Bhattacharya, Debdeep Pati

प्रकाशित 2026-05-19

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Peter Matthew Jacobs, Lekha Patel, Anirban Bhattacharya, Debdeep Pati

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने वाले जासूस हैं। आपके पास एक सिद्धांत है कि दुनिया कैसे काम करती है (एक सांख्यिकीय मॉडल), और आपके पास घटनास्थल से एकत्र किए गए सुरागों (डेटा) का एक संग्रह है। आपका लक्ष्य आपके सिद्धांत के उन वास्तविक "सेटिंग्स" या मापदंडों (parameters) का पता लगाना है जो इन सुरागों की सबसे अच्छी व्याख्या करते हैं।

आमतौर पर, जासूस यह मान लेते हैं कि उनका सिद्धांत पूर्ण है और सुराग साफ-सुथरे हैं। लेकिन वास्तविक दुनिया में, सिद्धांत अक्सर थोड़े गलत होते हैं, और सुराग अव्यवस्थित, छेड़छाड़ किए गए या यहाँ तक कि किसी शरारती तत्व द्वारा प्लांट किए गए हो सकते हैं। यह शोध पत्र एक नया, अत्यंत सुदृढ़ (robust) जासूसी टूलकिट पेश करता है जिसे B-MRLS (बूटस्ट्रैप्ड मिनिमम रोबस्ट सेमी-कंस्ट्रेंड वॉसरस्टीन-2) कहा जाता है, ताकि ऐसी अव्यवस्थित स्थितियों को संभाला जा सके।

यहाँ शोध पत्र इस समस्या और समाधान को सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके समझाता है:

1. समस्या: दो प्रकार की गंदगी (Mess)

लेखक कहते हैं कि वास्तविक दुनिया का डेटा शायद ही कभी पूर्ण होता है। वे दो मुख्य तरीकों की पहचान करते हैं जिनसे डेटा "दूषित" (contaminated) हो जाता है:

"साबोतिर" या शरारती तत्व (Huber Contamination): कल्पना कीजिए कि कोई आपके सबूतों के थैले में घुसपैठ करता है और आपके 5% सुरागों को पूरी तरह से नकली सुरागों (जैसे कि एक नकली उंगलियों के निशान प्लांट करना) से बदल देता है। मानक जासूसी कार्य यहाँ विफल हो जाता है क्योंकि वह हर सुराग (नकली सुरागों सहित) को अपने सिद्धांत में फिट करने की कोशिश करता है, जिससे गलत निष्कर्ष निकलता है।
"खिसकी हुई जमीन" (Geometric Contamination): कल्पना कीजिए कि सुराग असली हैं, लेकिन किसी ने उन्हें थोड़ा सा खिसका दिया है। एक उंगली का निशान जो बिंदु A पर होना चाहिए था, अब वह A+1 पर है। सटीक दूरियों पर निर्भर रहने वाली मानक विधियाँ इन छोटे बदलावों से भ्रमित हो जाती हैं।

मौजूदा अधिकांश उपकरण या तो "साबोतिर" को संभाल सकते हैं या "खिसकी हुई जमीन" को, लेकिन शायद ही कभी दोनों को एक साथ संभाल पाते हैं। यह शोध पत्र उस परिदृश्य को संबोधित करता है जहाँ दोनों चीजें एक साथ हो रही हैं।

2. चुनौती: "ब्लैक बॉक्स" सिम्युलेटर

कई आधुनिक क्षेत्रों (जैसे जीव विज्ञान या रोबोटिक्स) में, "सिद्धांत" कोई सरल गणितीय सूत्र नहीं है जिसे आप कागज पर लिख सकें। इसके बजाय, यह एक जटिल कंप्यूटर सिमुलेशन ("ब्लैक बॉक्स") है। आप बॉक्स में एक सेटिंग डाल सकते हैं, और वह डेटा बाहर निकालता है, लेकिन आप सीधे संभावनाओं (probabilities) की गणना करने के लिए इसके अंदर के गणित को देख नहीं सकते।

रहस्य को सुलझाने के लिए, आपको सही सेटिंग्स का अनुमान लगाने के लिए सिमुलेशन को हजारों बार चलाना होगा। इसे सिमुलेशन बेस्ड इंफरेंस (SBI) कहा जाता है। चुनौती इसे बिना नकली या खिसके हुए सुरागों से ठगे गए, मजबूती से (robustly) करने की है।

3. समाधान: एक नया "दूरी" मीट्रिक

सही सेटिंग्स खोजने के लिए, जासूस को यह मापने का एक तरीका चाहिए कि उनकी "थ्योरी डेटा" (सिमुलेशन से) और "रियल डेटा" (सुरागों) के बीच कितनी दूरी है।

पुराना तरीका (वॉसरस्टीन डिस्टेंस): कल्पना कीजिए कि दूरी को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलकर मापने की प्रक्रिया। यह यह देखने के लिए बहुत अच्छा है कि चीजें कितनी दूर हैं, लेकिन यदि कोई साबोतिर एक भारी पत्थर (एक नकली सुराग) दूर गिरा देता है, तो वह आपकी पूरी माप को पटरी से उतार देता है।
नया तरीका (रोबस्ट ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट): लेखक एक नया तरीका आविष्कार करते हैं जिससे दूरी मापी जाती है। इसे एक "स्मार्ट मूविंग कंपनी" के रूप में सोचें।
- जब आपकी थ्योरी डेटा को रियल डेटा से मिलाने के लिए ले जाया जाता है, तो इस कंपनी का एक विशेष नियम है: यह सबसे परेशान करने वाले, दूर के या संदिग्ध डेटा के कुछ हिस्सों को अनदेखा (या "डाउन-वेट") करने का विकल्प चुन सकती है।
- यह डेटा को अनदेखा करने के लिए एक छोटा सा "जुर्माना" (penalty) देती है, लेकिन इतना भी नहीं कि वह असली सुरागों को भी अनदेखा कर दे। यह एक आदर्श संतुलन पाती है: नकली साबोतिर के सुरागों को अनदेखा करना जबकि अभी भी थोड़े खिसके हुए असली सुरागों से मेल खाना।

यह नया मीट्रिक $\lambda$ -रोबस्ट सेमी-कंस्ट्रेंड वॉसरस्टीन-2 है। ग्रीक अक्षर $\lambda$ (लैम्ब्डा) एक "संवेदनशीलता नॉब" (sensitivity knob) की तरह है।

यदि आप नॉब को बहुत कम रखते हैं, तो आप कुछ भी अनदेखा नहीं करते (और साबोतिर के जाल में फंस जाते हैं)।
यदि आप इसे बहुत अधिक रखते हैं, तो आप सब कुछ अनदेखा कर देते हैं (और डेटा का आकार खो देते हैं)।
शोध पत्र स्वचालित रूप से इस नॉब के लिए परफेक्ट मिडिल सेटिंग खोजने का एक चतुर, डेटा-संचित तरीका प्रदान करता है।

4. प्रक्रिया: "बूटस्ट्रैप" सुरक्षा जाल

एक बार जब जासूस इस नए मीट्रिक का उपयोग करके सर्वोत्तम सेटिंग्स ढूंढ लेता है, तो उसे कैसे पता चलेगा कि वह केवल भाग्यशाली नहीं है?

शोध पत्र बूटस्ट्रैपिंग (Bootstrapping) नामक तकनीक का उपयोग करता है। कल्पना कीजिए कि जासूस अपने सुरागों के ढेर को लेता है, उन्हें आपस में मिलाता है, और मूल ढेर से यादृच्छिक रूप से (randomly) सुराग चुनकर (रिप्लेसमेंट के साथ) 100 नए "नकली" सबूतों के थैले बनाता है। वह प्रत्येक 100 बैगों के लिए रहस्य को हल करता है।

यदि उत्तर सभी 100 बैगों में समान है, तो वे बहुत आश्वस्त हैं।
यदि उत्तर बहुत अधिक भिन्न होते हैं, तो वे जानते हैं कि रहस्य अभी भी धुंधला है।

यह उन्हें एक कॉन्फिडेंस इंटरवल (विश्वास अंतराल) देता—संभावित उत्तरों की एक सीमा—न कि केवल एक एकल अनुमान।

5. परिणाम: यह क्यों काम करता है

लेखकों ने एक कठिन बेंचमार्क (एक जटिल वितरण जिसे "g-and-k" कहा जाता है) पर अपने तरीके का परीक्षण किया। उन्होंने इसकी तुलना एक लोकप्रिय मौजूदा पद्धति (NPL-MMD) से की।

प्रतिद्वंद्वी: मौजूदा पद्धति केवल तभी अच्छी तरह काम करती थी जब जासूस ने सही "बैंडविड्थ" (एक ट्यूनिंग पैरामीटर) का अनुमान लगाया हो। यदि उन्होंने थोड़ा भी गलत अनुमान लगाया, तो विधि पूरी तरह से विफल हो गई, विशेष रूप से जब साबोतिर मौजूद थे।
नया तरीका: B-MRSW तरीका बहुत अधिक उदार (forgiving) था। भले ही "संवेदनशीलता नॉब" ( $\lambda$ ) को एक विस्तृत रेंज के भीतर समायोजित किया गया हो, विधि ने सही उत्तर खोज लिया और विश्वसनीय कॉन्फिडेंस इंटरवल प्रदान किए। इसने सफलतापूर्वक नकली सुरागों को अनदेखा किया और खिसके हुए सुरागों को संभाला।

सारांश

संक्षेप में, यह शोध पत्र एक नया, मजबूत तरीका प्रस्तुत करता है जिससे रहस्य सुलझाए जा सकें जब:

डेटा अव्यवस्थित हो (कुछ नकली, कुछ खिसके हुए)।
सिद्धांत एक जटिल कंप्यूटर सिमुलेशन हो (कोई सरल गणितीय सूत्र नहीं)।
आपको न केवल यह जानने की आवश्यकता हो कि उत्तर क्या है, बल्कि यह भी कि आप उस पर कितने आश्वस्त हो सकते हैं।

उन्होंने एक "स्मार्ट मूविंग कंपनी" एल्गोरिदम बनाया जो शोर (noise) को अनदेखा कर सकता है, एक "संवेदनशीलता नॉब" जो खुद को स्वचालित रूप से ट्यून करता है, और एक "शफल-एंड-चेक" (मिलाओ और जाँचो) प्रणाली बनाई जो परिणामों को भरोसेमंद बनाने की गारंटी देती है।

तकनीकी सारांश: रोबस्ट ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट के माध्यम से रोबस्ट सिमुलेशन आधारित अनुमान (Robust Simulation Based Inference)

समस्या विवरण
सिमुलेशन आधारित अनुमान (SBI) एक सांख्यिकीय अनुमान ढांचा है जब एक पैरामीट्रिक मॉडल $\{P_\theta : \theta \in \Theta\}$ का लाइकलीहुड फंक्शन (likelihood function) विश्लेषणात्मक रूप से अगम्य (intractable) होता है, लेकिन मॉडल से सिमुलेशन संभव होते हैं। मानक SBI विधियाँ अक्सर यह मानती हैं कि डेटा जनरेटिंग डिस्ट्रीब्यूशन $P$ सटीक रूप से मॉडल का एक सदस्य है ( $P = P_{\theta^*}$ )। हालांकि, व्यवहार में, मॉडल शायद ही कभी सटीक होते हैं, और डेटा संदूषण (contamination) के अधीन हो सकता है। मौजूदा रोबस्ट विधियाँ या तो "हूबर संदूषण" (mass contamination जहाँ डेटा का एक अंश $\epsilon$ मनमाने शोर द्वारा बदल दिया जाता है) को संबोधित करती हैं या ज्यामितीय विचलनों (geometric perturbations, जहाँ डेटा बिंदुओं को एक छोटी दूरी द्वारा स्थानांतरित किया जाता है) को। एक महत्वपूर्ण अंतर उन विधियों में मौजूद है जो विशेष रूप से दोनों प्रकार के संदूषण को एक साथ संभाल सकती हैं, विशेष रूप से SBI सेटिंग के भीतर जहाँ लाइकलीहुड्स उपलब्ध नहीं होते हैं। इसके अलावा, कई रोबस्ट SBI दृष्टिकोण मैक्सिमम मीन डिस्क्रिपेंसी (MMD) या वासेस्टीन (Wasserstein) दूरी पर निर्भर करते हैं, जो हाइपरपैरामीटर चयन (जैसे, कर्नेल बैंडविड्थ) के प्रति संवेदनशील होते हैं या मास संदूषण के प्रति रोबस्टिटी की कमी रखते हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक बूटस्ट्रैप्ड मिनिमम रोबस्ट सेमी-कन्स्ट्रेंड वासेस्टीन-2 (B-MRSW) प्रस्तावित करते हैं, जो अनिश्चितता मात्रा निर्धारण (uncertainty quantification) के लिए रेगुलर बूटस्ट्रैप के साथ एक नए डायवर्जेंस मेजर को एकीकृत करता है।

डायवर्जेंस ( $\ell_\lambda$ ): इस पद्धति का मूल $\lambda$ -रोबस्ट सेमी-कन्स्ट्रेंड वासेस्टीन-2 ( $\lambda$ -RSW) डायवर्जेंस है। प्रायिकता मापों $P_1, P_2$ के लिए, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$\ell_\lambda(P_1, P_2) := \inf_{Q \ll P_1} \left[ \frac{1}{\lambda} KL(Q, P_1) + W_2^2(P_2, Q) \right]$
जहाँ $KL$ कुलबैक-लीब्लर (Kullback-Leibler) डायवर्जेंस है और $W_2$ वासेस्टीन-2 दूरी है। यह सूत्रीकरण मानक ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट के कठोर मार्जिनल बाधा को शिथिल करता है, जिससे पहले मार्जनल को पुन: भारित (reweighted) करने की अनुमति मिलती है (वाया $Q$ ), जिसका लागत दंड $KL$ द्वारा निर्धारित होता है। यह डिस्ट्रिब्यूशनली कंस्ट्रेंड एम्पेरिकल लाइकलीहुड से प्रेरित है।
- रोबस्टनेस: लेखक सिद्ध करते हैं कि मध्यवर्ती $\lambda$ मानों (जैसे, $\lambda=1$ ) के लिए, $\ell_\lambda(P, P_\theta)$ को मिनिमाइज करना ज्यामितीय+हूबर (G+H) संदूषण मॉडल के प्रति रोबस्ट पैरामीटर अनुमान प्रदान करता है, जहाँ $P = (1-\epsilon)Q + \epsilon F$ और $W_2(Q, P_{\theta^*}) \le \rho$ ।
- सीमाएँ: जैसे-जैसे $\lambda \to 0$ होता है, $\ell_\lambda$ , $W_2^2$ की ओर अभिसरित होता है (जो हूबर संदूषण के प्रति संवेदनशील है)। जैसे-जैसे $\lambda \to \infty$ होता है, यह औसत निकटतम-पड़ोसी दूरी की ओर अभिसरित होता है (जो वेरिएंस अनुमान के लिए सूचनाहीन है)।
सेमी-डिस्क्रीट सन्निकटन के लिए एल्गोरिदम:
चूंकि $P_n$ (एम्पिरिकल डेटा) डिस्क्रीट है और $P_\theta$ अक्सर कंटीन्यूअस होता है, इसलिए यह समस्या सेमी-डिस्क्रीट है। लेखक एक ड्यूल फॉर्मुलेशन (थ्योरम 3.1) व्युत्पन्न करते हैं जो मिनी-मिन समस्या को एक वेक्टर $g \in \mathbb{R}^n$ पर कॉनकेव मैक्सिमाइजेशन समस्या में परिवर्तित करता है:
$\ell_\lambda(P_n, P_\theta) = \sup_{g \in \mathbb{R}^n} \mathbb{E}_{X \sim P_\theta} \left[ \min_{j \in [n]} (\|X - Y_j\|^2 - g_j) - \frac{1}{\lambda} \log \left( \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n e^{-\lambda g_t} \right) \right]$
वे इस मान को अनुमानित करने के लिए एक एल्गोरिदम 1 प्रस्तावित करते हैं, जो एक स्टोकेस्टिक सब-ग्रेडिएंट एसेंट (SGA) एल्गोरिदम है, जो $O(n^2/\epsilon^2)$ समय में $O(\epsilon)$ अपेक्षित पूर्ण त्रुटि (expected absolute error) की अभिसरण गारंटी प्रदान करता है।
अनुमान पाइपलाइन (Inference Pipeline):
- $\lambda$ चयन: एक डेटा-संचालित ह्यूरिस्टिक $\lambda$ का चयन करता है, जो $\lambda$ के विभिन्न मानों की एक रेंज में फिट किए गए मॉडल और पुन: भारित एम्पिरिकल मेजर के बीच वासेस्टीन-2 दूरी के "एल्बो" (elbow) को देखकर किया जाता है।
- पैरामीटर अनुमान: न्यूनतम डायवर्जेंस एस्टिमेटर $\hat{\theta}_\lambda$ को नॉन-कॉन्वेक्स ऑब्जेक्टिव $\ell_\lambda(P_n, P_\theta)$ को ऑप्टिमाइज़ करने के लिए कोवेरिएंस मैट्रिक्स एडेप्टिव-इवोल्यूशन स्ट्रेटजी (CMA-ES) का उपयोग करके खोजा जाता है, जिसे एल्गोरिदम 1 के माध्यम से मूल्यांकित किया जाता है।
- अनिश्चितता मात्रा निर्धारण: न्यूनतम $\lambda$ -RSW एस्टिमेटर पर रेगुलर बूटस्ट्रैप लागू किया जाता है। $M$ बूटस्ट्रैप डेटासेट उत्पन्न किए जाते हैं, और प्रत्येक के लिए CMA-ES/SGA पाइपलाइन चलाई जाती है ताकि अनुमानों का एक वितरण प्राप्त हो सके, जो कॉन्फिडेंस इंटरवल बनाता है।

प्रमुख योगदान

सैद्धांतिक रोबस्टनेस: यह पेपर स्थापित करता है कि $\lambda$ -RSW डायवर्जेंस संयुक्त ज्यामितीय+हूबर संड्यूषण मॉडल के तहत सैद्धांतिक रोबस्टनेस प्रदान करता है, जो एक ऐसा सेटिंग है जिसे पहले किसी एकल एकीकृत विधि द्वारा संबोधित नहीं किया गया था।
एल्गोरिद्मिक विकास: लेखक सेमी-डिस्क्रीट रोबस्ट सेमी-कंस्ट्रेंड ऑप्टिमल ट्रांसपोर्ट को कंप्यूट करने के लिए अभिसरण गारंटी वाला पहला एल्गोरिदम प्रदान करते हैं, जो स्टोकेस्टिक सब-ग्रेडिएंट एसेंट दृष्टिकोण का उपयोग करता है।
डेटा-संचालित ट्यूनिंग: रोबस्टनेस पैरामीटर $\lambda$ के चयन के लिए एक सिद्धांत आधारित, डेटा-संचालित ह्यूरिस्टिक पेश किया गया है, जो मनमाने उपयोगकर्ता विनिर्देश की आवश्यकता को हटा देता है।
अनिश्चितता मात्रा निर्धारण: फ्रेमवर्क उचित एसिम्प्टोटिक कवरेज के साथ कॉन्फिडेंस सेट्स प्रदान करने के लिए रेगुलर बूटस्ट्रैप को एकीकृत करता है, जो रोबस्ट बेयसियन और फ्रीक्वेंटिस्ट अनुमानों के एक सामान्य विफलता मोड को संबोधित करता है।

परिणाम
विधि का मूल्यांकन दो बेंचमार्क पर किया गया है:

यूनिवेरिएट नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन: G+H संदूषण (एक डिराक मास के साथ स्टूडेंट्स $t$ या डिस्क्रीटाइज्ड नॉर्मल को मिक्स करना) के तहत, B-MRSW माध्य (mean) और वेरिएंस को सफलतापूर्वक रिकवर करता है। इसके विपरीत, मानक मिनिमम वासेस्टीन-2 एस्टीमेशन हूबर संड्यूषण के तहत विफल हो जाता है।
G-and-K डिस्ट्रीब्यूशन: एक जटिल, चार-पैरामीटर वाला डिस्ट्रीब्यूशन जिसका उपयोग मानक SBI बेंचमार्क के रूप में किया जाता है। लेखक B-MRSW की तुलना NPL-MMD विधि (डेलापोर्टा एट अल., 2022) से करते हैं।
- संवेदनशीलता: NPL-MMD का प्रदर्शन गौसियन कर्नेल बैंडविड्थ के प्रति अत्यधिक संवेदनशील है; छोटे बदलाव स्क्यूनेस (skewness) अनुमान में भारी त्रुटियों और खराब कवरेज की ओर ले जाते हैं।
- रोबस्टनेस: B-MRSW $\lambda$ के विस्तृत रेंज के माध्यम से कम मीन स्क्वेर्ड एरर (MSE) और उच्च कवरेज दर बनाए रखता है, जिसे ह्यूरिस्टिक द्वारा चुना गया है।
- दक्षता: यद्यपि B-MRSW को NPL-MMD की तुलना में अधिक सिम्युलेटर कॉल्स की आवश्यकता होती है क्योंकि इसमें CMA-ES का उपयोग किया जाता है (लोकल ग्रेडिएंट डिसेंट के बजाय), लेखक तर्क देते हैं कि लोकल मिनिमा से बचने और रोबस्टनेस सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि B-MRSW उन परिदृश्यों में SBI के लिए एक रोबस्ट विकल्प प्रदान करता है जहाँ मॉडल मिसस्पेसिफाइड हैं और डेटा में दोनों प्रकार के ज्यामितीय और मास संदूषण मौजूद हैं। लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि मौजूदा विधियों के विपरीत जो सावधानीपूर्वक, अक्सर कठिन-से-ट्यून किए जाने वाले हाइपरपैरामीटर्स (जैसे MMD में कर्नेल बैंडविड्थ) पर निर्भर करती हैं, उनका दृष्टिकोण रोबस्टनेस पैरामीटर के लिए एक डेटा-संचालित रणनीति का उपयोग करता है। वे नोट करते हैं कि हालांकि बूटस्ट्रैप और ग्लोबल ऑप्टिमाइजेशन की आवश्यकताओं के कारण B-MRSW गणनात्मक रूप से गहन है, लेकिन यह पैरेललाइज़ेबल है। यह कार्य यह दावा नहीं करता है कि यह सभी SBI समस्याओं को हल करता है, बल्कि विशेष रूप से लाइकलीहुड-फ्री सेटिंग्स में ज्यामितीय रोबस्टनेस और हूबर रोबस्टनेस के बीच के अंतर को लक्षित करता है, जो एक ऐसा टूल प्रदान करता है जो वास्तविक पैरामीटर को (पहचान क्षमता तक) लक्षित करता है और वैध कॉन्फिडेंस सेट्स प्रदान करता है। कंप्यूटेशनल लागत को कम करने के लिए नॉन-पैरामीट्रिक सरोगेट्स को प्रशिक्षित करने के सुझाव के साथ भविष्य के कार्य की संभावना भी व्यक्त की गई है।