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Ordered Adjoint Logic (Extended Version)

यह शोध पत्र एडजॉइंट मोडैलिटीज़ (adjoint modalities) की एक प्रणाली पेश करके क्रमबद्ध तर्कशास्त्र (ordered logics) पर पूर्ववर्ती कार्यों का सामान्यीकरण करता है जो वीकनिंग (weakening) और कॉन्ट्रैक्शन (contraction) जैसे विभिन्न संरचनात्मक गुणों वाले तर्कशास्त्रों को संयोजित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि परिणामी सीक्वेंट कैलकुलस (sequent calculus) कट एलिमिनेशन (cut elimination) को स्वीकार करता है और इसका नेचुरल डीडक्शन (natural deduction) निरूपण निर्णायक प्रूफ चेकिंग (decidable proof checking) का समर्थन करता है।

मूल लेखक: Sophia Roshal, Frank Pfenning

प्रकाशित 2026-05-20

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Sophia Roshal, Frank Pfenning

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही सख्त, उच्च-सुरक्षा वाले गोदाम (warehouse) का प्रबंधन कर रहे हैं। इस गोदाम में, हर वस्तु (एक "संसाधन") के पास इसे संभालने के विशिष्ट नियमों का एक सेट है। कुछ वस्तुओं को डुप्लिकेट किया जा सकता है, कुछ को फेंका जा सकता है, कुछ को स्वतंत्र रूप से इधर-उधर ले जाया जा सकता है, और अन्य को ठीक एक बार और एक विशिष्ट क्रम में उपयोग किया जाना चाहिए।

लंबे समय से, कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने इन वस्तुओं को प्रबंधित करने के लिए "तर्कशास्त्र" (logics - गणितीय नियमपुस्तिकाएं) बनाए हैं। हालाँकि, अधिकांश नियमपुस्तिकाएं बहुत कठोर थीं। या तो वे वस्तुओं को कहीं भी ले जाने की अनुमति देती थीं (जैसे एक अस्त-व्यस्त कमरा) या उन्हें बिना किसी लचीलेपन के एक सख्त रेखा में रहने के लिए मजबूर करती थीं।

समस्या: "एक-आकार-सभी-के-लिए-फिट" (One-Size-Fits-All) की बाधा
मिश्रित नियमों (जैसे कानोविच एट अल. का कार्य) को आज़माने के पिछले प्रयासों ने इसे हल करने के लिए एक "आधार मोड" (base mode)—एक डिफ़ॉल्ट, अत्यंत सख्त ज़ोन—का उपयोग किया था। कुछ भी लचीला करने के लिए, आपको अपनी वस्तुओं को पैक करना पड़ता था, उन्हें इस सख्त ज़ोन में ले जाना पड़ता था, अपना काम करना पड़ता था, और फिर उन्हें वापस बाहर ले जाना पड़ता था। यह ऐसा था जैसे अपनी मेज से एक पेन उठाने के लिए भी आपको सुरक्षा चेकपॉइंट से गुजरना पड़े। यह बोझिल था और इसमें लगातार स्विच करने की आवश्यकता होती थी।

समाधान: ऑर्डर्ड एडजॉइंट लॉजिक (Ordered Adjoint Logic)
सोफिया रोशाल और फ्रैंक फेनिंग एक नया सिस्टम प्रस्तावित करते हैं जिसे ऑर्डर्ड एडजॉइंट लॉजिक कहा जाता है। इसे केवल एक गोदाम के रूप में नहीं, बल्कि एक स्मार्ट, बहु-स्तरीय लॉजिस्टिक्स नेटवर्क के रूप में सोचें।

यहाँ उनका नया सिस्टम कैसे काम करता है, सरल उपमाओं का उपयोग करते हुए:

1. "मोड्स" (Modes) अलग-अलग ज़ोन हैं

एक सख्त आधार ज़ोन के बजाय, एक इमारत के विभिन्न फ्लोर या "मोड्स" की कल्पना करें।

फ्लोर A (सख्त): यहाँ की वस्तुओं का उपयोग ठीक एक बार, क्रम में किया जाना चाहिए, और उन्हें हिलाया नहीं जा सकता।
फ्लोर B (लचीला): यहाँ की वस्तुओं को कॉपी किया जा सकता है, फेंका जा सकता है, या इधर-उधर व्यवस्थित किया जा सकता है।
फ्लोर C (दिशात्मक): यहाँ की वस्तुएं बाएं जा सकती हैं लेकिन दाएं नहीं, या इसके विपरीत।

इस नए सिस्टम में, आपको हर चीज़ को एक सख्त ज़ोन में डालने की ज़रूरत नहीं है। आप अपनी ज़रूरतों के अनुसार फिट होने वाले फ्लोर पर स्वाभाविक रूप से काम कर सकते हैं।

2. "लिफ्ट" (एडजॉइंट मोडैलिटीज)

उनका सिस्टम लिफ्ट का उपयोग करता है। वे "शिफ्ट" ऑपरेटरों (एडजॉइंट्स) का उपयोग करके वस्तुओं को विभिन्न फ्लोरों के बीच ले जाते हैं।

यदि आपके पास एक लचीली वस्तु है लेकिन आपको उसे एक सख्त ज़ोन में उपयोग करने की आवश्यकता है, तो आप लिफ्ट से नीचे जाते हैं।
यदि आपके पास एक सख्त वस्तु है लेकिन आपको उसे एक लचीले ज़ोन में उपयोग करने की आवश्यकता है, तो आप लिफ्ट से ऊपर जाते हैं।

यह पुराने "बेस मोड" दृष्टिकोण की तुलना में बहुत सहज है क्योंकि आप केवल तभी लिफ्ट लेते हैं जब आपको वास्तव में संदर्भ (context) बदलने की आवश्यकता होती है। आप अपने मूल फ्लोर पर यथासंभव बने रहते हैं।

3. "एक-तरफ़ा सड़कें" (डायरेक्शनल मोबिलिटी)

यह इस शोध पत्र का सबसे बड़ा नवाचार है। पिछले सिस्टमों में, यदि कोई वस्तु हिल सकती थी, तो वह आमतौर पर दोनों दिशाओं (बाएं और दाएं) में हिल सकती थी।

रोशाल और फेनिंग ने महसूस किया कि कभी-कभी आपको वस्तुओं को केवल एक ही दिशा में ले जाने की आवश्यकता होती है।

सुरक्षा उपमा: एक सुरक्षा क्लीयरेंस बैज की कल्पना करें।
- प्राधिकरण (बाएं गतिशील/Left Mobile): आप अपना उच्च-सुरक्षा कार्य शुरू करने से पहले अपनी सुरक्षा क्लीयरेंस प्राप्त कर सकते हैं। आप "प्राधिकरण" वस्तु को "कार्य" वस्तु के बाईं ओर ले जा सकते हैं।
- कार्य (दाएं गतिशील/Right Mobile): आप प्राधिकरण के बाद उच्च-सुरक्षा कार्य कर सकते हैं। आप "कार्य" वस्तु को दाईं ओर ले जा सकते हैं।
- प्रतिबंध: आप कार्य को प्राधिकरण से पहले नहीं ले जा सकते।

उनका सिस्टम लेफ्ट मोबिलिटी (बाएं जाना) और राइट मोबिलिटी (दाएं जाना) को अलग-अलग, स्वतंत्र नियमों के रूप में रखने की अनुमति देता है। यह उन्हें जटिल वास्तविक दुनिया के प्रोटोकॉल (जैसे सुरक्षा जांच) को पहले की तुलना में अधिक सटीक रूप से मॉडल करने में सक्षम बनाता है।

4. "ट्रैफिक पुलिस" (कट एलिमिनेशन)

लॉजिक में, "कट एलिमिनेशन" एक तरह से यह सिद्ध करना है कि ट्रैफिक को निर्देशित करने के लिए ट्रैफिक पुलिस की आवश्यकता नहीं है; कारें स्वयं चौराहे को पार कर सकती हैं।

लेखकों ने सिद्ध किया कि उनके नए, जटिल लिफ्ट और एक-तरफ़ा सड़कों वाले सिस्टम में स्थिरता (stability) है। भले ही उनके पास इतने अलग-अलग नियम हों, आप हमेशा एक प्रमाण (गोदाम के माध्यम से एक पथ) को उसके सबसे सीधे रूप में सरल कर सकते हैं बिना अटके या विरोधाभास पैदा किए। यह सिद्ध करता है कि उनका सिस्टम गणितीय रूप से सुदृढ़ है।

5. "स्वचालित निरीक्षक" (डिसाइडेबिलिटी)

अंत में, उन्होंने इस सिस्टम का एक "नेचुरल डडक्शन" संस्करण बनाया है। इसे कोड के लिए एक स्वचालित निरीक्षक (Automated Inspector) के रूप में समझें।

पुराने सिस्टमों में, यह जांचना कि क्या एक प्रोग्राम नियमों का पालन कर रहा है, आसान था।
इस नए, जटिल सिस्टम में, एक प्रोग्राम की वैधता की जांच करना कठिन है क्योंकि निरीक्षक को यह अनुमान लगाना पड़ता है कि वस्तुएं कहाँ स्थानांतरित (गतिशीलता के कारण) हुई होंगी या कहाँ कॉपी (वीकिंगनिंग के कारण) की गई होंगी।
परिणाम: लेखकों ने सिद्ध किया कि यह निरीक्षक अपना काम हमेशा पूरा करता है। यह अनंत लूप (infinite loop) में नहीं फंसेगा। यह हमेशा निर्णय ले सकता है कि, "हाँ, यह कोड वैध है" या "नहीं, यह नियमों को तोड़ता है," भले ही नियम बहुत सूक्ष्म और छिपे हुए हों।

सारांश

रोशाल और फेनिंग ने कंप्यूटर प्रोग्रामों में संसाधनों को प्रबंधित करने के लिए एक नया, लचीला नियमबुक बनाया है।

अब क्लंकी स्विचिंग की ज़रूरत नहीं: आप अपने विशिष्ट "मोड" में स्वाभाविक रूप से काम करते हैं और केवल तभी स्विच करते हैं जब आवश्यक हो।
एक-तरफ़ा सड़कें: उन्होंने दिशात्मक रूप से (बाएं बनाम दाएं) गति को नियंत्रित करने की क्षमता पेश की, जो सुरक्षा और क्रम के लिए महत्वपूर्ण है।
यह काम करता है: उन्होंने सिद्ध किया कि गणित सही है (कोई क्रैश नहीं होता) और एक कंप्यूटर हमेशा यह जांच सकता है कि क्या कोई प्रोग्राम इन जटिल नियमों का पालन करता है।

यह प्रोग्रामिंग भाषाओं के निर्माण के लिए एक ठोस आधार प्रदान करता है जो डेटा के उपयोग, गति और सुरक्षा के बारे में बहुत सूक्ष्म नियमों को लागू कर सकें, बिना सिस्टम को समझने या सत्यापित करने में अव्यवस्थित बनाए।

"ऑर्डर्ड एडजॉइंट लॉजिक" (Ordered Adjoint Logic) का तकनीकी सारांश

समस्या विवरण (Problem Statement)
ऑर्डर्ड लॉजिक्स और टाइप सिस्टम्स, कम्प्यूटेशनल लिंग्विस्टिक्स से लेकर सुरक्षा प्रोटोकॉल प्रवर्तन (security protocol enforcement) जैसे अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं, जहाँ संसाधनों के उपयोग का क्रम महत्वपूर्ण होता है। अधिकांश सूत्रीकरणों में, ऑर्डर्ड टाइप्स 'लीनियर' भी होते हैं, जिनमें संसाधनों का ठीक एक बार उपयोग करना अनिवार्य होता है। जबकि कानोविच (Kanovich) आदि के पूर्व कार्य ने एक लीनियर ऑर्डर्ड लॉजिक के भीतर सबएक्सपोनेंशियल (subexponentials) के माध्यम से इस बाधा को शिथिल करने वाले कैलकुली की जांच की थी, लेकिन यह दृष्टिकोण एक "बेस मोड" (base mode) पर निर्भर करता है जहाँ सभी निष्कर्ष (inferences) होते हैं। ऑर्डर्ड लॉजिक्स के लिए, इस बेस मोड को सभी स्ट्रक्चरल नियमों (weakening, contraction, exchange) को प्रतिबंधित करना होगा, जिससे अनुप्रयोगों को बार-बार इस प्रतिबंधात्मक मोड में स्विच करने की आवश्यकता होगी। मौजूदा सबएक्सपोनेंशियल सिस्टम पूर्ण रूप से एक-पक्षीय स्ट्रक्चरल गुणों (जैसे, राइट मोबिलिटी के बिना लेफ्ट मोबिलिटी) की संभावना का अन्वेषण नहीं करते हैं। लेखक इन ढांचों को विभिन्न, सूक्ष्म-स्तरीय स्ट्रक्चरल गुणों (जैसे, वीकनिंग, लेफ्ट/राइट कॉन्ट्रैक्शन, और लेफ्ट/राइट मोबिलिटी पर स्वतंत्र नियंत्रण) के साथ एक प्रीऑर्डर ऑफ मोड्स (preorder of modes) का समर्थन करने के लिए सामान्यीकृत करने का लक्ष्य रखते हैं, बिना किसी एकल प्रतिबंधात्मक बेस मोड पर निर्भर रहे।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक ऑर्डर्ड एडजॉइंट लॉजिक (Ordered Adjoint Logic) प्रस्तुत करते हैं, जो एडजॉइंट मोडैलिटीज की स्ट्रक्चरल लचीलेपन और ऑर्डर्ड लॉजिक्स के ऑर्डरिंग बाधाओं को जोड़ता है। कार्यप्रणाली मुख्य रूप से दो चरणों में चलती है:

सीक्वेंट कैलकुलस सूत्रीकरण (Sequent Calculus Formulation):
लेखक एक सीक्वेंट कैलकुलस को परिभाषित करते हैं जहाँ अग्रदूत (antecedents) लेबल किए गए परिकल्पनाओं (hypotheses) के क्रमबद्ध अनुक्रम (ordered sequences) होते हैं। स्ट्रक्चरल नियम वैश्विक नहीं हैं, बल्कि मोड्स के एक प्रीऑर्डर ( $k \geq m$ ) द्वारा नियंत्रित होते हैं। प्रत्येक मोड $m$ एक स्ट्रक्चरल गुणों के सेट $\sigma(m) \subseteq \{W, C, M_{\leftarrow}, M_{\rightarrow}\}$ (वीकनिंग, कॉन्ट्रैक्शन, लेफ्ट मोबिलिटी, राइट मोबिलिटी) से जुड़ा होता है।

शिफ्ट मोडैलिटीज (Shift Modalities): एक बेस मोड के बजाय, सिस्टम विभिन्न मोड्स में तर्क करने के लिए शिफ्ट मोडैलिटीज ( $\downarrow^k_m$ और $\uparrow^m_l$ ) का उपयोग करता है। ये शिफ्ट्स बेंटन (Benton) के एडजॉइंट लॉजिक से व्युत्पन्न हैं, जिन्हें ऑर्डर्ड कॉन्टेक्स्ट को संभालने के लिए सामान्यीकृत किया गया है।
स्ट्रक्चरल नियम (Structural Rules): लेखक मोबिलिटी और कॉन्ट्रैक्शन को एक-पक्षीय वेरिएंट्स में विभाजित करते हैं। मोबिलिटी नियम एक प्रस्ताव (proposition) को अग्रदूत अनुक्रम के भीतर अनिश्चित रूप से बहुत दूर बाईं या दाईं ओर जाने की अनुमति देते हैं, बशर्ते कि उस प्रस्ताव का मोड संबंधित दिशात्मक मोबिलिटी को स्वीकार करता हो। कट एलिमिनेशन (cut elimination) सुनिश्चित करने के लिए, कॉन्ट्रैक्शन को गैर-स्थानीय रूप से (गैर-समीपवर्ती डुप्लिकेट्स को मर्ज करना) अनुमति दी जाती है, जो मानक लीनियर लॉजिक में स्थानीय कॉन्ट्रैक्शन से भिन्न है।
लॉजिकल कनेक्टिव्स (Logical Connectives): भाषा में ऑर्डर्ड इम्पलिकेशन्स ( $\multimap$ और $\multimap$ ), फ्यूज्ड और ट्विस्टेड कंजंक्शन्स, और शिफ्ट्स शामिल हैं। नियम मोड्स में पैरामेट्रिक हैं, जिसमें विशिष्ट शर्तें यह सुनिश्चित करती हैं कि निष्कर्ष से प्रिमिस (premise) की ओर पढ़ते समय मोड इंडिपेंडेंस (जैसे, $k \geq m \geq r$ ) सुरक्षित रहे।

नेचुरल डीडक्शन और डिकिडेबिलिटी (Natural Deduction and Decidability):
लेखक एक नेचुरल डीडक्शन सूत्रीकरण की ओर बढ़ते हैं जहाँ स्ट्रक्चरल नियम निहित (implicit) होते हैं, जिसका लक्ष्य प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए उपयुक्त आधार प्रदान करना है।

स्पष्ट बनाम निहित (Explicit vs. Implicit): प्रारंभ में, वे सीक्वेंट कैलकुलस के साथ अंतर को पाटने के लिए स्पष्ट स्ट्रक्चरल नियमों वाला एक सिस्टम प्रस्तुत करते हैं। इसके बाद, वे एक ऐसा सिस्टम परिभाषित करते हैं जहाँ स्ट्रक्चरल नियम (वीकनिंग, कॉन्ट्रैक्शन, मोबिलिटी) निहित होते हैं।
प्रूफ चेकिंग के लिए एल्गोरिदम: निहित स्ट्रक्चरल नियमों (विशेष रूप से अनबाउंडेड वीकनिंग का अनुप्रयोग और एलिमिनेशन नियमों में वेरिएबल्स का स्थान) द्वारा उत्पन्न गैर-नियतिवाद (non-determinism) को संबोधित करने के लिए, लेखक एक "नॉर्मल फॉर्म" जजमेंट ( $\Omega \gg_{\Gamma, r} \Omega_{nf}$ ) को परिभाषित करते हैं। यह एल्गोरिदम दिए गए कॉन्टेक्स्ट $\Omega$ , हाइपोथीसिस सेट $\Gamma$ , और मोड $r$ के लिए सभी संभावित नॉर्मल फॉर्म्स (बिना दोहराए गए वेरिएबल्स वाले कॉन्टेक्स्ट) के सेट की गणना करता है।
सेट-आधारित जजमेंट्स (Set-Based Judgments): नेचुरल डीडक्शन नियमों को नॉर्मल-फॉर्म कॉन्टेक्स्ट्स ( $\Xi$ ) के सेट पर संचालित करने के लिए लिफ्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, कंजंक्शन इंट्रोडक्शन, कॉन्टेक्स्ट सेट्स के कार्टेशियन प्रोडक्ट की गणना करता है, जबकि इंटरसेक्शन का उपयोग उन नियमों के लिए किया जाता है जिनमें कॉन्टेक्स्ट सहमति (जैसे, एडिटिव कंजंक्शन) की आवश्यकता होती है।

प्रमुख योगदान (Key Contributions)

सामान्यीकृत एडजॉइंट लॉजिक: पेपर ऑर्डर्ड सेटिंग्स में एडजॉइंट लॉजिक को सामान्यीकृत करता है, जिसमें मोड्स का एक प्रीऑर्डर पेश किया गया है जहाँ प्रत्येक मोड स्वतंत्र रूप से वीकनिंग, कॉन्ट्रैक्शन और एक-पक्षीय मोबिलिटी को नियंत्रित करता है।
एक-पक्षीय स्ट्रक्चरल गुण: सिस्टम स्पष्ट रूप से लेफ्ट और राइट मोबिलिटी तथा कॉन्ट्रैक्शन को अलग-अलग, स्वतंत्र स्ट्रक्चरल गुणों के रूप में मॉडल और सिद्ध करता है, जो एक ऐसी विशेषता है जिसकी पूर्ववर्ती सबएक्सपोनेंशियल कार्यों में अपेक्षा की गई थी लेकिन अन्वेषण नहीं किया गया था।
कट एलिमिनेशन (Cut Elimination): लेखक सिद्ध करते हैं कि ऑर्डर्ड एडजॉइंट सीक्वेंट कैलकुलस कट एलिमिनेशन (मल्टीकट के माध्यम से) और आइडेंटिटी एलिमिनेशन को स्वीकार करता है, जिससे यह स्थापित होता है कि सिस्टम एक सुव्यवस्थित ढांचा है।
डिकिडेबिलिटी ऑफ प्रूफ चेकिंग: पेपर एक नेचुरल डीडक्शन सिस्टम प्रस्तुत करता है जिसमें निहित स्ट्रक्चरल नियम हैं और सिद्ध करता है कि इस सिस्टम के लिए प्रूफ चेकिंग डिकिडेबल (decidable) है। यह नॉर्मल-फॉर्म कॉन्टेक्स्ट्स का सेट कंप्यूट करने वाले एक टर्मिनेटिंग एल्गोरिदम के निर्माण के माध्यम से प्राप्त किया गया है।

परिणाम (Results)

सैद्धांतिक सुदृढ़ता (Theoretical Soundness): सीक्वेंट कैलकुलस को कट और आइडेंटिटी एलिमिनेशन को संतुष्ट करने के लिए दिखाया गया है। नेचुरल डीडक्शन सिस्टम को सीक्वेंट कैलकुलस के संबंध में साउंड और कंप्लीट सिद्ध किया गया है।
डिकिडेबिलिटी: नॉर्मल फॉर्म्स की गणना करने वाला एल्गोरिदम ( $NF_{\Gamma, r}(\Omega)$ ) टर्मिनेट होने के लिए सिद्ध है। फलस्वरूप, इंप्लिसिट नेचुरल डीडक्शन सिस्टम में प्रमाणों (proofs) की जाँच करने की समस्या डिकिडेबल है।
सबस्ट्रक्चरल सबसमप्शन (Substructural Subsumption): परिणाम यह संकेत देते हैं कि सबस्ट्रक्चरल सबसमप्शन डिकिडेबल है, जो QRTT (जो स्पष्ट वर्ल्ड्स के साथ क्रिप्के सिमेंटिक्स का उपयोग करता है) जैसे भाषाओं के टाइप-चेकिंग एल्गोरिदम का एक मुख्य घटक है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)
लेखक दावा करते हैं कि ऑर्डर्ड एडजॉइंट लॉजिक एक अभिव्यंजक एडजॉइंट प्रोग्रामिंग लैंग्वेज या लॉजिकल फ्रेमवर्क के लिए एक उपयुक्त आधार प्रदान करता है। सिंगल बेस मोड से स्ट्रक्चरल गुणों को अलग करके और एडजॉइंट शिफ्ट्स का उपयोग करके, यह सिस्टम विभिन्न विषयों (लीनियर, ऑर्डर्ड, अनरिस्ट्रिक्टेड) में नेटिव रीजनिंग और निर्बाध स्विचिंग की अनुमति देता है। इंप्लिसिट स्ट्रक्चरल नियमों के साथ प्रूफ चेकिंग की डिकिडेबिलिटी को कोड के सूक्ष्म-स्तरीय स्ट्रक्चरल गुणों को संभालने वाले फंक्शनल प्रोग्रामिंग भाषाओं के लिए द्विदिश (bidirectional) टाइप चेकर्स को लागू करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में रेखांकित किया गया है। पेपर नोट करता है कि जबकि निर्णय प्रक्रिया (decision procedure) स्थापित कर दी गई है, व्यावहारिक दक्षता (जैसे, अनावश्यक वीकनिंग से होने वाली एक्सपोनेंशियल जटिलता से बचना) भविष्य के अनुकूलन के लिए एक विषय बनी हुई है। यह कार्य कानोविच आदि के सबएक्सपोनेंशियल ऑर्डर्ड लॉजिक का एक सीधा सामान्यीकरण और ऑर्डर को शामिल करने के लिए जिंग (Jang) आदि के एडजॉइंट टाइप्स का एक विस्तार है।