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Corrected Integrated Laplace Approximation for Bayesian Inference in Latent Gaussian Models

यह शोध पत्र लेटेंट गॉसियन मॉडल्स के लिए बेयसियन इन्फरेंस में इंटीग्रेटेड लाप्लास एप्रोक्सिमेशन द्वारा उत्पन्न त्रुटियों को सुधारने के लिए एक इम्पोर्टेंस सैंपलिंग स्कीम का प्रस्ताव करता है, जो ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन फ्रेमवर्क के भीतर सूडो-मार्जिनलाइजेशन और रैंडमाइज्ड क्वासी-मोंटे कार्लो जैसी तकनीकों के माध्यम से सही पोस्टीरियर की ओर अभिसरण (कन्वर्जेंस) को सक्षम बनाता है।

मूल लेखक: Jinlin Lai, Charles C. Margossian, Daniel R. Sheldon

प्रकाशित 2026-05-21

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jinlin Lai, Charles C. Margossian, Daniel R. Sheldon

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक विशाल, बहु-स्तरीय पहेली को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं। सांख्यिकी (statistics) की दुनिया में, इस पहेली को लेटेंट गॉसियन मॉडल (Latent Gaussian Model - LGM) कहा जाता है। यह डेटा को समझने का एक तरीका है जिसमें छिपे हुए पैटर्न (लेटेंट भाग) और दृश्य परिणाम होते हैं।

समस्या यह है कि पहेली के छिपे हुए हिस्से इतने असंख्य और जटिल हैं कि पूरे को एक साथ सुलझाने की कोशिश करना एक तेज़ जलधारा (firehose) से पानी पीने जैसा है। यह मानक उपकरणों के लिए गणनात्मक रूप से असंभव है।

पुराना शॉर्टकट: "सबसे अच्छा अनुमान" वाला मानचित्र

इसे प्रबंधनीय बनाने के लिए, सांख्यिकीविद एक चतुर शॉर्टकट का उपयोग करते हैं जिसे इंटीग्रेटेड लैप्लेस एप्रोक्सिमेशन (Integrated Laplace Approximation - ILA) कहा जाता है।

पहेली के छिपे हुए हिस्सों को एक धुंधली पर्वत श्रृंखला के रूप में सोचें। इसका मानचित्र बनाने के लिए, आप हर एक पेड़ और चट्टान का मानचित्र नहीं बनाते हैं। इसके बजाय, आप उच्चतम शिखर (मोड) को पाते हैं और यह मान लेते हैं कि उसके आसपास का भूभाग एक चिकनी, आदर्श पहाड़ी की तरह है। आप केवल उस शिखर के आधार पर एक मानचित्र खींचते हैं।

यह तेज़ और कुशल है। हालाँकि, पेपर बताता है कि मानचित्र गलत है। वास्तविक पर्वत एक आदर्श चिकनी पहाड़ी नहीं है; इसमें उभार, घाटियाँ और अजीब आकार हैं। क्योंकि मानचित्र एक अति-सरलीकरण है, इसलिए उस मानचित्र के आधार पर लिया गया रास्ता आपको गलत गंतव्य तक ले जाता है। सांख्यिकी में, इसका अर्थ है कि आपके अंतिम निष्कर्ष (पोस्टीरियर) पक्षपाती और गलत हैं।

नया समाधान: "करेक्शन क्रू" (सुधार दल)

लेखक इस समस्या को हल करने के लिए एक तरीका प्रस्तावित करते हैं जो शॉर्टकट की गति को बनाए रखता है लेकिन त्रुटियों को ठीक करता है। वे इम्पॉर्टेंस सैंपलिंग (Importance Sampling) नामक एक तकनीक का उपयोग करते हैं, जिसे वे मानचित्र की जाँच करने के लिए एक "करेक्शन क्रू" भेजने के रूप में वर्णित करते हैं।

यहाँ उनके तीन नए तरीके दिए गए हैं, उपमाओं (analogies) का उपयोग करते हुए:

1. "स्यूडो-मार्जिनल" विधि (PM-ADLA)

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक मानचित्र बना रहे हैं, लेकिन केवल शिखर को देखने के बजाय, आप अलग-अलग जगहों की यादृच्छिक (randomly) जांच करने के लिए खोजकर्ताओं की एक टीम भेजते हैं। फिर आप बेहतर तस्वीर पाने के लिए उनकी रिपोर्टों का औसत निकालते हैं।
यह कैसे काम करता है: यहाँ गणित थोड़ा भारी हो जाता है। वे सिस्टम में "शोर" (यादृच्छिक चर) जोड़ते हैं। कई यादृच्छिक नमूनों को औसत करके, त्रुटि रद्द हो जाती है, और मानचित्र लंबे समय में गणितीय रूप से सटीक हो जाता है।
समझौता (Trade-off): यह बहुत सटीक है, लेकिन क्योंकि आपको हर कदम के लिए खोजकर्ताओं की एक पूरी टीम भेजनी पड़ती है, यह प्रक्रिया को काफी धीमा कर देता है। यह पूर्ण सटीकता के लिए गति का त्याग करने जैसा है।

2. "क्वासी-मोंटे कार्लो" विधि (QMC-ADLA)

उपमा: यादृच्छिक रूप से खोजकर्ताओं को भेजने के बजाय (जो एक ही क्षेत्र में जमा हो सकते हैं), आप उन्हें एक व्यवस्थित ग्रिड में भेजते हैं, जैसे कि शतरंज का बोर्ड, ताकि वे सुनिश्चित कर सकें कि वे हर इंच को समान रूप से कवर करें।
यह कैसे काम करता है: वे पहाड़ के नमूने लेने के लिए एक विशेष, गैर-यादृच्छिक अनुक्रम (जिसे लो-डिस्क्रिपेंसी सीक्वेंस कहा जाता है) का उपयोग करते हैं। यह यादृच्छिक नमूना लेने की तुलना में बहुत अधिक कुशल है।
समझौता: यह पहले तरीके की तुलना में तेज़ है। हालाँकि, पेपर ने पाया कि कभी-कभी, एक पूर्ण ग्रिड के साथ भी, मानचित्र में एक "ब्लाइंड स्पॉट" (अंध बिंदु) हो सकता है यदि पहाड़ का आकार बहुत अजीब हो। जैसे-जैसे आप अधिक ग्रिड बिंदु जोड़ते हैं, त्रुटि कम होती जाती है, लेकिन कठिन समस्याओं के लिए यह पूरी तरह से समाप्त नहीं हो सकती है।

3. "रैंडमाइज्ड क्वासी-मोंटे कार्लो" विधि (RQMC-ADLA)

उपमा: यह "गोल्डिलॉक्स" (बीच का रास्ता) समाधान है। आप अपने व्यवस्थित शतरंज के ग्रिड को लेते हैं, लेकिन शुरू करने से पहले आप पूरे बोर्ड को एक हल्का सा यादृच्छिक झटका (shake) देते हैं।
यह कैसे काम करता है: वे ग्रिड की दक्षता को थोड़ी सी यादृच्छिकता के साथ मिलाते हैं। यह ग्रिड की दक्षता को बनाए रखता है लेकिन उन "ब्लाइंड स्पॉट्स" को हटा देता है जो तब होते थे जब ग्रिड बहुत कठोर होता था।
समझौता: यह तरीका मुख्य आकर्षण है। यह तेज़ है, यह पहेली को बड़ा नहीं बनाता (पहले तरीके के विपरीत), और यह अन्य तरीकों की तुलना में त्रुटियों को बेहतर ढंग से ठीक करता है। हालाँकि, "झटके" (modulo ऑपरेशन) के कारण, भूभाग थोड़ा "ऊबड़-खाबड़" हो जाता है, इसलिए खोजकर्ताओं को नेविगेट करने के लिए छोटे, अधिक सावधान कदमों की आवश्यकता होती है।

परिणाम: यह क्यों महत्वपूर्ण है

लेखकों ने तीन प्रकार की पहेलियों पर इन विधियों का परीक्षण किया:

सिंथेटिक गॉसियन प्रोसेसेज: एक बनाया गया डेटासेट जिसे कठिन बनाया गया है।
स्पार्स कर्नेल इंटरैक्शन मॉडल्स: एक मॉडल जिसका उपयोग जटिल इंटरैक्शन वाले वास्तविक दुनिया के डेटा के लिए किया जाता है।
मिक्सड-इफेक्ट्स मॉडल्स: क्लिनिकल ट्रायल डेटा (जैसे मरीजों में दौरों की गिनती) के लिए उपयोग किया जाता है।

उन्होंने क्या पाया:

पुराना तरीका (मानक लैप्लेस): तेज़, लेकिन उत्तर लगातार गलत (पक्षपाती) थे।
"बेस" तरीका (बिना शॉर्टकट के): सबसे सटीक, लेकिन इतना धीमा और अस्थिर था कि यह अक्सर क्रैश हो जाता या अटक जाता (divergent transitions)।
नए तरीके: उन्होंने पाया कि उनके नए तरीकों (विशेष रूप से रैंडमाइज्ड वाला) ने पुराने शॉर्टकट की तुलना में सत्य के बहुत करीब उत्तर दिए, बिना "बेस" तरीके की तरह क्रैश हुए। उन्होंने "गलत मानचित्र" की समस्या को ठीक किया और गति के लाभों को बनाए रखा।

संक्षेप में

पेपर कहता है: "हमने एक ऐसा तरीका खोजा है जिससे हम उन टूटे हुए मानचित्रों को ठीक कर सकें जिनका उपयोग सांख्यिकीविद वर्षों से कर रहे हैं। हमने शॉर्टकट को फेंका नहीं है; हमने बस एक स्मार्ट सुधार प्रणाली जोड़ी है जो शॉर्टकट को फिर से सटीक बनाती है। यह हमें पहले की तुलना में तेज़ी से और अधिक सही ढंग से जटिल सांख्यिकीय पहेलियों को हल करने में सक्षम बनाता है।"

उन्होंने इसे आधुनिक सॉफ़्टवेयर टूल (JAX और BlackJAX का उपयोग करके) में लागू किया है ताकि अन्य शोधकर्ता इन "सुधारे गए मानचित्रों" का तुरंत उपयोग कर सकें।

तकनीकी सारांश: बेयसियन इन्फरेंस के लिए सुधारा गया एकीकृत लाप्लास सन्निकटन (Integrated Laplace Approximation)

समस्या विवरण

लेटेंट गॉसियन मॉडल (LGMs), गैसीय प्रक्रियाएं (Gaussian processes), स्थानिक मॉडल (spatial models) और मिश्रित प्रभाव मॉडल (mixed-effect models) सहित बेयसियन पदानुक्रमित मॉडलों (Bayesian hierarchical models) की एक सर्वव्यापी श्रेणी हैं। इन्हें संयुक्त घनत्व $\pi(\theta, z, y) = \pi(\theta)\pi(z|\theta)\pi(y|\theta, z)$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $\theta$ हाइपरपैरामीटर को, $z$ लेटेंट गॉसियन चरों को और $y$ प्रेक्षणों (observations) को दर्शाता है।

LGMs के लिए बेयसियन इन्फरेंस में एक प्राथमिक चुनौती $z$ की उच्च विमा (high dimensionality) और संयुक्त पश्च वितरण (joint posterior) $\pi(\theta, z|y)$ की जटिल ज्यामिति है, जो कुशल सैंपलिंग में बाधा डालती है। एक सामान्य रणनीति $\pi(\theta|y)$ को इन्फर करने के लिए $z$ को मार्जिनलाइज़ (marginalize) करना है, जो एक निम्न-विमीय लक्ष्य है। जब संभावना (likelihood) $\pi(y|\theta, z)$ गैर-गॉसियन होती है, तो सटीक मार्जिनलाइजेशन कठिन (intractable) हो जाता है। मानक दृष्टिकोण, इंटीग्रेटेड नेस्टेड लाप्लास एप्रोक्सिमेशन (INLA), मोड $\hat{z}$ पर केंद्रित एक गॉसियन के रूप में सशर्त पश्च वितरण $\pi(z|\theta, y)$ को सन्निकट (approximate) करने के लिए लाप्लास एप्रोक्सिमेशन का उपयोग करता है।

यद्यपि यह कुशल है, यह सन्निकटन एक व्यवस्थित "पोस्टीरियर एरर" (posterior error) पेश करता है। जब संभावना गैर-गॉसियन होती है, तो अनुमानित मार्जिनल पश्च $\hat{\pi}(\theta|y)$ , वास्तविक पश्च $\pi(\theta|y)$ से भिन्न होता है, यहाँ तक कि एसिम्प्टोटिक रूप से भी। मौजूदा विधियाँ जैसे एडजॉइंट-डिफरेंशिएटेड लाप्लास एप्रोक्सिमेशन (ADLA), ग्रेडिएंट-आधारित सैंपलिंग (जैसे हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो) के लिए अनुमति देती हैं, लेकिन वे लाप्लास सन्निकटन द्वारा उत्पन्न अंतर्निहित पूर्वाग्रह (bias) को ठीक नहीं करती हैं। पूर्ण संयुक्त पश्च $\pi(\theta, z|y)$ पर MCMC चलाना एसिम्प्टोटिक रूप से सटीक है, लेकिन $z$ की उच्च विमा के कारण अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यवहार्य होता है।

कार्यप्रणाली

लेखक इस त्रुटि को ठीक करने के लिए एक इम्पोर्टेंस सैंपलिंग फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो मार्जिनलाइजेशन के कम्प्यूटेशनल लाभों को बनाए रखते हुए लाप्लास सन्निकटन द्वारा पेश की गई त्रुटि को सुधारता है। मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि एकीकृत लाप्लास सन्निकटन को एक एकल नमूने (single sample) वाले इम्पोर्टेंस सैंपलिंग एस्टिमेटर के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। नमूनों की संख्या बढ़ाकर, एस्टिमेटर वास्तविक मार्जिनल की ओर अभिसरित (converge) होता है।

पेपर इस विचार के तीन विशिष्ट कार्यान्वयनों का विवरण देता है, जिन्हें ग्रेडिएंट-आधारित इन्फरेंस का समर्थन करने के लिए एक ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन फ्रेमवर्क (JAX) में एकीकृत किया गया है:

स्यूडो-मार्जिनल ADLA (PM-ADLA):
- तंत्र: यह पैरामीटर्स $\theta$ और सहायक यादृच्छिक चरों $\epsilon$ पर लक्षित एक विस्तारित वितरण प्रदान करता है जिनका उपयोग लाप्लास सन्निकटन से नमूने $z_i$ उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, $z_i = \hat{z} + \sqrt{\Sigma}\epsilon_i$ , जहाँ $\epsilon_i \sim \mathcal{N}(0, I)$ ।
- विशेषताएं: यह मार्जिनल लाइकलीहुड का एक निष्पक्ष (unbiased) एस्टिमेटर प्रदान करता है। जैसे-जैसे नमूनों की संख्या $n \to \infty$ होती है, पश्च वितरण सही वितरण की ओर अभिसरित होता है।
- समझौता (Trade-off): यह इन्फरेंस समस्या की विमा को $(n-1)d_z$ (जहाँ $d_z$ $z$ की विमा है) से बढ़ा देता है और प्रत्येक HMC स्टेप के लिए $n$ घनत्व मूल्यांकन (density evaluations) की आवश्यकता होती है।
क्वासी-मोंटे कार्लो ADLA (QMC-ADLA):
- तंत्र: यादृच्छिक सहायक चरों के बजाय, यह विधि एक लो-डिस्क्रिपेंसी सीक्वेंस (LDS), जैसे कि सोबोल (Sobol) अनुक्रम का उपयोग करके यादृच्छिकता को स्थिर करती है। सहायक चर $u_i$ यूनिट क्यूब में निश्चित बिंदु हैं, और $z_i$ को इनवर्स-CDF ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से उत्पन्न किया जाता है।
- विशेषताएं: यह अनुमानित विचरण (estimation variance) को उचित स्थितियों के तहत $O(n^{-2})$ तक कम कर देता है, जो मानक मोंटे कार्लो की तुलना में तेज़ अभिसरण प्रदान करता है। यह एक निम्न-विमीय पैरामीटर स्पेस बनाए रखता है (ADLA के समान)।
- समझौता: हालांकि यह एसिम्प्टोटिक रूप से सही है, पेपर नोट करता है कि परिमित $n$ के लिए, पूर्वाग्रह महत्वपूर्ण बना रह सकता है और मध्यम $n$ के साथ भी व्यवहार में बड़े एरर दे सकता है।
रैंडमाइज्ड क्वासी-मोंटे कार्लो ADLA (RQMC-ADLA):
- तंत्र: यह पिछले दोनों दृष्टिकोणों को एकीकृत करता है। यह सहायक चरों को उत्पन्न करने के लिए एक निश्चित LDS पर एक एकल रैंडम शिफ्ट वेरिएबल $U$ का उपयोग करता है, जहाँ $u_i = (v_i + U) \pmod 1$ ।
- विशेषताएं: यह मार्जिनल लाइकलीहुड का एक निष्पक्ष एस्टिमेटर प्रदान करता है और मॉडल की विमा को नहीं बढ़ाता है (सहायक चर $U$ की विमा $z$ के समान है, लेकिन यह नमूनों में साझा है)।
- समझौता: मॉड्युलो ऑपरेशन $U$ के सापेक्ष लक्ष्य घनत्व में विच्छेदन (discontinuities) पेश करता है, जिससे मानक HMC लागू नहीं होता है। लेखक एक मेट्रोपोलिस-विदिन-गिब्स (MwG) सैंपलर प्रस्तावित करते हैं: $U$ पर सशर्त $\theta$ के लिए HMC अपडेट करता है, और $\theta$ पर सशर्त $U$ के लिए एक मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स स्टेप अपडेट करता है।

लेटेंट वेरिएबल्स की रिकवरी:
पेपर यह भी वर्णन करता है कि वास्तविक पश्च $\pi(z|\theta, y)$ के करीब लेटेंट वेरिएबल्स $z$ के नमूने कैसे प्राप्त किए जाएं। $n$ नम들이 $z_1, \dots, z_n$ के लिए इम्पोर्टेंस वेट्स की गणना करके, वास्तविक सशर्त पश्च का एक डिस्क्रीट सन्निकटन बनाया जा सकता है, जिससे लेटेंट वेरिएबल इन्फरेंस को भी सुधारा जा सकता है।

प्रमुख योगदान

सैद्धांतिक पुनर्गठन: लेखक प्रदर्शित करते हैं कि एकीकृत लाप्लास सन्निकटन एक एकल नमूने वाले इम्पोर्टेंस सैंपलिंग एस्टिमेटर का एक विशिष्ट मामला है। वे सिद्ध करते हैं कि इस फ्रेमवर्क में नमूनों की संख्या बढ़ाकर सही पश्च प्राप्त किया जा सकता है।
एल्गोरिदमिक वेरिएंट्स: वे तीन अलग-अलग एल्गोरिदम (PM-ADLA, QMC-ADLA, RQMC-ADLA) प्रस्तावित और कार्यान्वित करते हैं जो कम्प्यूटेशनल दक्षता, विमा और एसिम्प्टोटिक शुद्धता के बीच संतुलन बनाते हैं।
ग्रेडिएंट कंप्यूटेशन: यह कार्य इम्पोर्टेंस सैंपलिंग एस्टिमेटर्स के लिए ग्रेडिएंट कंप्यूट करने के लिए ADLA फ्रेमवर्क का विस्तार करता है, जिससे हैमिल्टोनियन मोंटे कार्लो (HMC) और अन्य ग्रेडिएंट-आधारित सैंपलर का उपयोग संभव होता है।
लेटेंट वेरिएबल रिकवरी: मार्जिनल इन्फरेंस के दौरान प्राप्त इम्पोर्टेंस वेट्स का उपयोग करके लेटेंट वेरिएबल्स $z$ के बेहतर पश्च नमूने प्राप्त करने के लिए एक प्रक्रिया प्रदान की गई है।

प्रयोगात्मक परिणाम

इन विधियों का मूल्यांकन पॉइसन लाइकलीहुड वाले सिंथेटिक गॉसियन प्रोसेस, वास्तविक डेटा पर स्पार्स कर्नल इंटरैक्शन मॉडल्स (SKIMs), और मिश्रित प्रभाव मॉडल (Epil2 डेटासेट) पर किया गया।

त्रुटि में कमी: सभी प्रयोगों में, प्रस्तावित विधियों (PM, QMC, RQMC) ने मानक ADLA की तुलना में पैरामीटर माध्य के अनुमान की त्रुटि को काफी कम कर दिया।
अभिसरण (Convergence):
- PM-ADLA: इसने प्रभावी ढंग से पोस्टीरियर एरर को सुधारा, लेकिन बढ़ी हुई विमा और कई घनत्व मूल्यांकनों के कारण यह कम्प्यूटेशनल रूप से धीमा था।
- QMC-ADLA: इसने कम विचरण दिखाया लेकिन कुछ मामलों में (जैसे SKIMs में विशिष्ट पैरामीटर्स के माध्य का अनुमान लगाना) बड़े $n$ के साथ भी निरंतर पूर्वाग्रह (persistent bias) प्रदर्शित किया।
- RQMC-ADLA: इसने पूर्वाग्रह को ठीक करने में ADLA के साथ प्रदर्शन के मामले में संतुलन बनाया, हालांकि इसके गिब्स सैंपलिंग स्टेप ने प्रति इटरेशन उच्च कम्प्यूटेशनल लागत ली।
डाइवर्जेंस (Divergences): जिन मॉडलों में मानक HMC पूर्ण पश्च पर डाइवर्जेंट ट्रांजिशन से ग्रस्त था, उन सभी में मार्जिनलाइजेशन विधियों (ADLA और प्रस्तावित सुधारों सहित) ने डाइवर्जेंस को समाप्त कर दिया, जो दर्शाता है कि अनुमानित मार्जिनल ज्यामिति अच्छी तरह से व्यवहार करती है।
दक्षता: जबकि ADLA सबसे तेज़ था, इसमें पूर्वाग्रह था। प्रस्तावित विधियों ने एक ट्यूनेबल ट्रेड-ऑफ प्रदान किया: $n$ बढ़ाने से कम्प्यूटेशन समय की लागत पर पूर्वाभास (bias) कम हुआ।

महत्व और दावे

पेपर दावा करता है कि यह एकीकृत लाप्लास सन्निकटन का एक "सुधारा गया" संस्करण प्रदान करता है जो मार्जिनलाइजेशन की स्केलेबिलिटी को बनाए रखते हुए शुद्धता की एसिम्प्टोटिक गारंटी भी देता है। इसका महत्व इस बात में है कि यह कुशल सन्निकटन विधियों (जैसे INLA/ADLA) और सटीक MCMC के बीच के अंतर को पाटता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनकी विधियाँ उपयोगकर्ताओं को ऑटोमैटिक डिफरेंशिएशन (वाया प्रोबेबिलिस्टिक प्रोग्रामिंग लैंग्वेजेस) का लाभ उठाने की अनुमति देती हैं, बिना लाप्लास सन्निकटन की सटीकता सीमाओं से बंधे रहे। वे RQMC-ADLA को एक विशेष रूप से आशाजनक दृष्टिकोण के रूप में प्रस्तुत करते हैं जो मॉडल की विमा को बढ़ाए बिना पोस्टीरियर एरर को ठीक करता है, भले ही इसमें विच्छेदन (discontinuities) को संभालने के लिए एक अधिक जटिल सैंपलिंग स्कीम (MwG) शामिल हो। यह कार्य सुझाव देता है कि कई अनुप्रयोगों के लिए, इन सुधारों की कम्प्यूटेशनल लागत पोस्टीरियर पूर्वाग्रह को कम करने के लिए उचित है, जिससे अधिक विश्वसनीय डाउनस्ट्रीम अनुप्रयोग सक्षम होते हैं।