🔬 condensed matter

Spontaneous breaking of non-invertible symmetries and duality to beyond-Landau transitions

यह शोधपत्र लैटिस मॉडलों में गैर-प्रतिवर्ती (non-invertible) सममितियों के स्वतःस्फूर्त टूटने की जांच करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऐसे चरण सामान्यीकृत बीजगणितीय संरचनाओं का पालन करने वाले स्थानीय क्रम मापदंडों (local order parameters) के दीर्घ-परासी सहसंबंधों द्वारा अभिलक्षित होते हैं और सामान्यीकृत गेजिंग (generalized gauging) के माध्यम से प्रतिवर्ती सममितियों के विमुक्त क्वांटम क्रांतिक बिंदुओं (deconfined quantum critical points) के द्वैत हो सकते हैं, जिससे लैंडौ-से-परे (beyond-Landau) चरण संक्रमणों के अध्ययन के लिए एक व्यवस्थित ढांचा प्रदान होता है।

मूल लेखक: Xie Chen, Shang Liu, Da-chuan Lu, Nathanan Tantivasadakarn

प्रकाशित 2026-05-28

📖 6 मिनट में पढ़ें🧠 गहराई से पढ़ें

CC BY 4.0

मूल लेखक: Xie Chen, Shang Liu, Da-chuan Lu, Nathanan Tantivasadakarn

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: समरूपता (Symmetry) के नियमों को तोड़ना

दशकों से, भौतिकविदों ने यह समझा है कि सामग्रियां अपनी अवस्था कैसे बदलती हैं (जैसे पानी का बर्फ में बदलना) इसके लिए एक नियम पुस्तिका है जिसे लैंडा का प्रतिमान (Landau's paradigm) कहा जाता है। इसका मूल विचार है समरूपता का टूटना (Symmetry Breaking)। एक गोल मेज की कल्पना करें जिसमें समान सीटें हैं। जब तक मेज खाली है, आप इसे किसी भी दिशा में घुमाएं यह एक जैसी ही दिखती है (उच्च समरूपता)। लेकिन जैसे ही एक व्यक्ति बैठ जाता है, समरूपता "टूट" जाती है। अब मेज की एक विशिष्ट दिशा हो जाती है।

आमतौर पर, ये समरूपताएं दोस्तों के एक समूह की तरह होती हैं जो आपस में जगह बदल सकते हैं और यदि वे वापस अपनी जगह पर आ जाएं, तो मूल व्यवस्था वैसी ही रहती है। इसे "इन्वर्टिबल" (invertible) समरूपता कहा जाता है।

हालाँकि, हाल के वर्षों में, भौतिकविदों ने ऐसी "अजीब" (exotic) समरूपताओं की खोज की है जो इन नियमों का पालन नहीं करती हैं। ये नॉन-इन्वर्टिबल (non-invertible) समरूपताएं हैं। एक जादू के खेल की कल्पना करें जहाँ आप दो लोगों को आपस में बदलते हैं, लेकिन आप उन्हें वापस पहले जैसा करने के लिए बस दोबारा नहीं बदल सकते; सिस्टम इस तरह बदल जाता है जिसे वापस नहीं बदला जा सकता। यह शोध पत्र पूछता है: क्या होता है जब ये "अन-डू-एबल" (un-undoable) यानी जिन्हें वापस न बदला जा सके, ऐसी समरूपताएं टूटती हैं?

मुख्य खोज: एक नए प्रकार का क्रम

लेखकों ने पाया कि भले ही ये अजीब समरूपताएं विचित्र हैं और इन्हें उल्टा नहीं किया जा सकता, फिर भी ये सामान्य समरूपताओं की तरह ही अलग-अलग अवस्थाओं (phases) का निर्माण करने के लिए टूटती हैं।

"सैंडविच" का सादृश्य (Analogy):
इसे समझने के लिए, लेखक एक मानसिक मॉडल का उपयोग करते हैं जिसे "सिमेट्री टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी" (SymTFT) कहा जाता है। एक सैंडविच की कल्पना करें:
- ऊपरी ब्रेड का स्लाइस एक स्थिर, कठोर सीमा है।
- निचला स्लाइस वह जगह है जहाँ हलचल होती है (वह सामग्री जिसका हम अध्ययन कर रहे हैं)।
- फिलिंग (Filling) एक 3D "टोपोलॉजिकल सूप" (एक विशेष प्रकार का क्वांटम तरल) है।
इस मॉडल में, "समरूपता" फिलिंग के माध्यम से क्षैतिज रूप से दौड़ने वाली एक डोरी की तरह है। "ऑर्डर पैरामीटर्स" (वे चीजें जो हमें बताती हैं कि सामग्री बदल गई है) लंबवत डोरी की तरह हैं, जो ऊपर की ब्रेड से नीचे की ब्रेड तक टनल करती हैं।

मुख्य निष्कर्ष: भले ही ये अजीब, गैर-प्रतिवर्ती (non-reversible) समरूपताएं हैं, फिर भी "लंबवत डोरी" (order parameters) लंबे समय तक चलने वाले पैटर्न बनाती हैं। यदि आप काफी दूर तक देखते हैं, तो आप अभी भी बता सकते हैं कि सामग्री की अवस्था बदल गई है। लेखकों ने मानचित्रित किया कि ये पैटर्न कैसे व्यवहार करते हैं, जिससे पता चला कि वे सामान्य समरूपता टूटने के सरल नियमों की तुलना में अधिक जटिल नियमों (एक बीजगणित/algebra) का पालन करते हैं।

"जादुई दर्पण" (Duality)

इस शोध पत्र का सबसे रोमांचक हिस्सा एक ड्युअलिटी (duality) या "जादुई दर्पण" संबंध की खोज है।

लेखक दिखाते हैं कि इन विचित्र समरूपताओं वाले सिस्टम में दो अवस्थाओं के बीच का संक्रमण (transition), पूरी तरह से अलग सिस्टम के संक्रमण के समान है, जिसमें "सामान्य" समरूपताएं हैं, लेकिन एक ट्विस्ट के साथ।

सादृश्य:
कल्पना कीजिए कि आप एक नदी पार करने की कोशिश कर रहे हैं।
- पक्ष A (विचित्र सिस्टम): आप एक ऐसी नदी पार करने की कोशिश कर रहे हैं जहाँ पानी अजीब, गैर-प्रतिवर्ती लूपों में बहता है। यह अराजक और समझने में कठिन लगता है।
- पक्ष B (सामान्य सिस्टम): आप सामान्य धाराओं वाली नदी पार कर रहे हैं, लेकिन इसमें एक छिपा हुआ "एनोमली" (भौतिकी में एक गड़बड़ी/glitch) है जो पानी को एक विशिष्ट तरीके से अजीब बनाता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि पक्ष A और पक्ष B वास्तव में एक ही नदी हैं, बस उन्हें अलग-अलग कोणों से देखा जा रहा है।
- जब विचित्र सिस्टम एक "फेज ट्रांजिशन" (अवस्था परिवर्तन) से गुजरता है, तो यह सामान्य सिस्टम में एक डीकन्फाइंड क्वांटम क्रिटिकल पॉइंट (DQCP) के बिल्कुल समान होता है।
- एक DQCP एक विशेष, महत्वपूर्ण क्षण है जहाँ कोई सामग्री बदलने की कगार पर होती है, लेकिन वह केवल एक नई अवस्था नहीं चुनती; बल्कि वह एक जटिल, गैपलेस अवस्था में ठहर जाती है जहाँ दो अलग-अलग प्रकार के क्रम (order) आपस में प्रतिस्पर्धा करते हैं।
यह क्यों महत्वपूर्ण है: यह एक बहुत कठिन समस्या (विचित्र, गैर-प्रतिवर्ती समरूपताओं को समझना) को एक ऐसी समस्या में बदल देता है जिसे हम पहले से ही हल करना जानते हैं (एनोमली वाले सामान्य समरूपताओं को समझना)।

विशिष्ट उदाहरण: $H_8$ हॉफ अलजेब्रा (Hopf Algebra)

इसे सिद्ध करने के लिए, लेखकों ने केवल अमूर्त गणित का उपयोग नहीं किया; उन्होंने Rep( $H_8$ ) नामक एक विशिष्ट गणितीय संरचना का उपयोग करके एक ठोस मॉडल बनाया।

सादृश्य: इसे एक विशिष्ट LEGO सेट बनाने के रूप में सोचें।
- उन्होंने दो क्यूबिट्स (क्वांटम बिट्स) की श्रृंखलाओं का उपयोग दो समानांतर ट्रेन ट्रैक की तरह किया।
- उन्होंने विशिष्ट "सिमेट्री ऑपरेटर्स" (ट्रैक पर स्विचों को पलटने के नियम) को परिभाषित किया।
- उन्होंने पाया कि इस सिस्टम के लिए छह अलग-अलग "गैप्ड फेसेस" (स्थिर अवस्थाएं) मौजूद हैं।
- उन्होंने ठीक से मानचित्रित किया कि यह सिस्टम इन छह अवस्थाओं के बीच कैसे परिवर्तित होता है।
उन्होंने दिखाया कि जब सिस्टम इस विचित्र मॉडल में एक पूर्णतः व्यवस्थित अवस्था से पूरी तरह से अव्यवस्थित अवस्था की ओर बढ़ता है, तो यह एक "सामान्य" मॉडल के बीच संक्रमण के साथ पूरी तरह मेल खाता है, जिसमें एक विशिष्ट "गड़बड़ी" (anomaly) है।

दावों का सारांश

विचित्र समरूपताएं टूट सकती हैं: भले ही ये समरूपताएं जिन्हें उल्टा नहीं किया जा सकता (non-invertible), स्वतः टूट सकती हैं, जिससे पदार्थ की अलग-अलग अवस्थाएँ बनती हैं।
क्रम अभी भी मौजूद है: इन अवस्थाओं को लंबी दूरी के सहसंबंधों (long-range correlations - ऐसे पैटर्न जो सामग्री में फैले होते हैं) को देखकर अभी भी पहचाना जा सकता है, भले ही उनके बनने के नियम सामान्य से अधिक जटिल हों।
"सैंडविच" मॉडल काम करता है: "सैंडविच" मॉडल (SymTFT) इन व्यवहारों को देखने और गणना करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।
ड्युअलिटी ब्रिज: यह विचित्र संक्रमणों को एनोमली वाले सामान्य समरूपताओं वाले सिस्टम के "डीकन्फाइंड क्वांटम क्रिटिकल पॉइंट्स" (DQCPs) से जोड़ने वाला एक सटीक गणितीय पुल प्रदान करता है।
व्यवस्थित दृष्टिकोण: यह "बियॉन्ड-लैंडा" (beyond-Landau) संक्रमणों का अध्ययन करने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है, उन्हें उन समस्याओं में अनुवादित करके जिन्हें हम पहले से समझते हैं।

यह शोध पत्र क्या दावा नहीं करता है:
यह शोध पत्र नए कंप्यूटर बनाने, बीमारियों के इलाज या तत्काल तकनीकी अनुप्रयोगों के बारे में चर्चा नहीं करता है। यह एक सैद्धांतिक भौतिकी का शोध पत्र है जो इस बात को समझने पर केंद्रित है कि पदार्थ की अवस्थाएँ मौलिक रूप से कैसे बदलती हैं और विभिन्न प्रकार की समरूपताओं के बीच गणितीय संबंध क्या हैं। यह पूरी तरह से सैद्धांतिक संघनित पदार्थ भौतिकी (theoretical condensed matter physics) के दायरे में रहता है।

शीर्षक: गैर-व्युत्क्रमणीय (non-invertible) सममितिओं का स्वतःस्फूर्त टूटना और लैंडौ से परे संक्रमणों (beyond-Landau transitions) के प्रति द्वैतता

लेखक: ज़ी चेन, शांग लियू, डा-चुआन लू, नथानन तंतिवासदकर्न

समस्या विवरण

कंडेंस्ड मैटर फिजिक्स में चरण संक्रमण (phase transitions) का अध्ययन पारंपरिक रूप से लैंडौ के स्वतःस्फूर्त सममिति टूटने (SSB) के प्रतिमान पर निर्भर रहा है, जहाँ चरणों को व्युत्क्रमणीय (group) सममितिओं के टूटने द्वारा अलग किया जाता है। हालाँकि, "लैंडौ से परे" (beyond-Landau) संक्रमणों की खोज, जैसे कि डीकन्फाइंड क्वांटम क्रिटिकल पॉइंट्स (DQCPs) और सिमेट्री प्रोटेक्टेड टोपोलॉजिकल (SPT) चरणों के बीच संक्रमण, एक व्यापक ढांचे की आवश्यकता को रेखांकित करती है। हाल के विकास ने गैर-व्युत्क्रमणीय सममितिओं (जो फ्यूजन कैटेगरी द्वारा वर्णित हैं) को समूह सममितिओं के एक सामान्यीकरण के रूप में पेश किया है। जबकि यह ज्ञात है कि कुछ beyond-Landau संक्रमणों को सामान्यीकृत गेजिंग (generalized gauging) के माध्यम से गैर-व्युत्क्रमणीय सममितिओं के टूटने वाले संक्रमणों में मैप किया जा सकता है, गैर-व्युत्क्रमणीय सममितिओं के इस स्वतःस्फूर्त टूटने की प्रकृति अभी भी कम समझ में आती है। विशेष रूप से, यह स्पष्ट नहीं है कि इन चरणों को कैसे वर्गीकृत किया जाए, ऑर्डर पैरामीटर्स को कैसे परिभाषित किया जाए, और गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति के टूटने पर शेष रहने वाली सममितिओं की पहचान कैसे की जाए।

कार्यप्रणाली

लेखक टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी, लैटिस मॉडल निर्माण और बीजगणितीय विश्लेषण को संयोजित करने वाला एक बहुआयामी दृष्टिकोण अपनाते हैं:

सिमेट्री टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी (SymTFT): लेखक गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति $\text{Rep}(H_8)$ का वर्णन करने के लिए SymTFT फॉर्मलिज्म का उपयोग करते हैं, जहाँ $H_8$ सबसे छोटा गैर-कम्यूटेटिव और गैर-कोकम्यूटेटिव स्व-द्वैत (self-dual) हॉफ अल्जेब्रा है। वे 1+1D सिस्टम को एक "सैंडविच" संरचना के रूप में मॉडल करते हैं जिसमें 2+1D टोपोलॉजिकल बल्क (Drinfeld center $Z(\text{Rep}(H_8))$ ) और गैप्ड बाउंड्रीज़ होती हैं। बल्क का निर्माण दो डबल आइज़िंग टोपोलॉजिकल ऑर्डर के किसीं (anyon) कंडेंसेशन के माध्यम से किया गया है।
लैटिस मॉडल निर्माण: वे $\text{Rep}(H_8)$ सममिति द्वारा अनुमत सभी छह गैप्ड चरणों को साकार करने वाले स्पष्ट 1+1D क्यूबिट लैटिस मॉडल (डबल क्यूबिट चेन्स) का निर्माण करते हैं। ये मॉडल फ्रस्ट्रेशन-फ्री (frustration-free) हैं, जो ग्राउंड स्टेट्स और एनर्जी गैप के सटीक समाधानों की अनुमति देते हैं।
सामान्यीकृत गेजिंग (Generalized Gauging): लेखक $\text{Rep}(H_8)$ के एक विशिष्ट एनोमी-फ्री (anomaly-free) सबग्रुप पर एक सामान्यीकृत गेजिंग प्रक्रिया करते हैं। यह उनके मूल $\text{Rep}(H_8)$ सिस्टम को एक द्वैत सिस्टम में मैप करता है जिसमें एक साधारण $D_8$ समूह सममिति है जो एक गैर-तुच्छ 't Hooft एनोमी ( $\gamma \in H^3(D_8, U(1))$ ) वहन करती है।
बीजगणितीय विश्लेषण: वे स्थानीय ऑर्डर पैरामीटर्स के फ्यूजन अल्जेब्रा और गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति ऑपरेटरों के प्रभाव के तहत ग्राउंड स्टेट्स (जिनमें "कैट-स्टेट्स" भी शामिल हैं जो शॉर्ट-रेंज कोरिलेटेड सममिति-टूटे हुए अवस्थाओं के सुपरपोजिशन हैं) के रूपांतरण गुणों का विश्लेषण करते हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति टूटने का लक्षण वर्णन:
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति का स्वतःस्फूर्त टूटना पारंपरिक समूह सममिति टूटने के साथ समानताएं साझा करता है, फिर भी उससे काफी भिन्न है:

ऑर्डर पैरामीटर्स: स्थानीय ऑर्डर पैरामीटर्स के लॉन्ग-रेंज कोरिलेशन अभी भी सममिति-टूटने के क्रम को चिह्नित करते हैं। हालाँकि, ये ऑर्डर पैरामीटर्स सममिति के तहत गैर-स्थानीय (non-local) तरीके से रूपांतरित होते हैं और एक फ्यूजन अल्जेब्रा का पालन करते हैं जो SymTFT सैंडविच के गैप्ड बाउंड्रीज़ के लैग्रेंजियन अल्जेब्रा द्वारा निर्धारित होता है।
ग्राउंड स्टेट डिजेनेसी और लेबलिंग:
- पूर्णतः टूटे हुए चरणों (fully broken phases) में, शॉर्ट-रेंज कोरिलेटेड ग्राउंड स्टेट्स को फ्यूजन कैटेगरी के सिंपल ऑब्जेक्ट्स द्वारा लेबल किया जाता है। जहाँ समूह सममितिओं में एक सममिति ऑपरेशन एक टूटी हुई अवस्था को दूसरी अलग टूटी हुई अवस्था में मैप करता है, वहीं गैर-व्युत्क्रमणीय ऑपरेशंस एक टूटी हुई अवस्था को कई टूटी हुई अवस्थाओं के सुपरपोजिशन में मैप कर सकते हैं।
- आंशिक रूप से टूटे हुए चरणों (partially broken phases) में, शॉर्ट-रेंज कोरिलेटेड अवस्थाओं के पास कोई स्पष्ट लेबलिंग नहीं होती है। हालाँकि, लेखक दिखाते हैं कि एक "कैट-स्टेट" आधार (टूटी हुई अवस्थाओं के सुपरपोजिशन) हमेशा बनाया जा सकता है। ये कैट-स्टेट्स SymTFT सैंडविच के ऊपर और नीचे की बाउंड्रीज़ के बीच "टनलिंग चैनल्स" द्वारा लेबल किए जाते हैं और सममिति के फ्यूजन रूल्स के अनुसार रूपांतरित होते हैं।
शेष सममिति: आंशिक रूप से टूटे हुए चरणों में "शेष" सममिति को परिभाषित करना सूक्ष्म है। जबकि व्यक्तिगत सममिति ऑपरेटर किसी विशिष्ट टूटी हुई अवस्था को अपरिवर्तित नहीं छोड़ सकते हैं, सममिति ऑपरेटरों के कुछ रैखिक संयोजन (linear combinations) अपरिवर्तित रह सकते हैं। यह व्युत्क्रमणीय सममितिओं के विपरीत है जहाँ अपरिवर्तित सबग्रुप ऑर्डर पैरामीटर के स्टेबलाइज़र द्वारा सख्ती से परिभाषित होता है।

2. डीकन्फाइंड क्वांटम क्रिटिकल पॉइंट्स (DQCPs) के प्रति द्वैतता:
लेखक गैर-व्युत्क्रमणीय $\text{Rep}(H_8)$ सममिति के ऑर्डर-टू-डिसऑर्डर ट्रांजिशन और एक एनोमी वाले साधारण समूह सममिति के DQCP के बीच एक सटीक द्वैतता स्थापित करते हैं।

$\text{Rep}(H_8)$ के डायगोनल $\mathbb{Z}_2$ सबग्रुप को गेज करके, वे $D_8$ सममिति और एक मिश्रित 't Hooft एनोमी $\gamma$ वाला एक द्वैत लैटिस मॉडल प्राप्त करते हैं।
$\text{Rep}(H_8)$ के पूर्णतः सममित चरण ( $H_{14}$ ) और पूर्णतः सममिति-टूटे हुए चरण ( $H_{11}$ ) के बीच का संक्रमण, द्वैत $(D_8, \gamma)$ मॉडल के दो असंगत सममिति-टूटने वाले चरणों के बीच एक प्रत्यक्ष निरंतर संक्रमण के रूप में मैप किया जाता है।
यह DQCPs को समझने के लिए एक व्यवस्थित मार्ग प्रदान करता है: वे एक एनोमी वाली साधारण समूह सममिति के गैर-व्यटक्रमणीय (anomaly-free) सममिति टूटने वाले संक्रमणों के द्वैत हैं।

3. ग्रुप-थियोरेटिक हॉफ अल्जेब्रा तक सामान्यीकरण:
यह शोध पत्र अपने निष्कर्षों को विशिष्ट $\text{Rep}(H_8)$ उदाहरण से आगे बढ़ाता है। वे सिद्ध करते हैं कि सभी एनोमी-फ्री गैर-व्युत्क्रमणीय सममितिओं के लिए (जिसमें सभी ऐसी सममिति शामिल हैं जिनका फ्रोबियस-पेरॉन डाइमेंशन 36 से कम है), जो ग्रुप-थियोरेटिक हॉफ अल्जेब्रा द्वारा वर्णित हैं, उनके स्वतःस्फूर्त सममिति टूटने के संक्रमणों को सामान्यीकृत गेजिंग के माध्यम से साधारण समूह सममितिओं के संक्रमणों में मैप किया जा सकता है।

प्रमेय (Theorem): एक एनोमलस समूह सममिति $(G, \omega)$ का DQCP, एक एनोमी-फ्री गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति के ऑर्डर-टू-डिसऑर्डर ट्रांजिशन के द्वैत है यदि DQCP को परिभाषित करने वाले सबग्रुप विशिष्ट फैक्टराइजेशन स्थितियों (एक्जैक्ट फैक्टराइजेशन या एक गैर-तुच्छ 2-कोसाइकिल के साथ ट्विस्टेड फैक्टराइजेशन) को पूरा करते हैं।
इसके विपरीत, किसी भी एनोमी-फ्री ग्रुप-थियोरेटिक गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति का ऑर्डर-टू-डिसऑर्डर ट्रांजिशन, एक 't Hooft एनोमी वाले साधारण समूह सममिति के DQCP के द्वैत है।

महत्व

यह शोध पत्र गैर-व्युत्क्रमणीय सममितिओं से जुड़े चरण संक्रमणों को समझने के लिए एक व्यवस्थित ढांचा प्रदान करता है, जो लैंडौ के प्रतिमान और लैंडौ से परे (beyond-Landau) घटनाओं के बीच के अंतर को पाटता है। अपने लैटिस मॉडल का निर्माण करके और ऑर्डर पैरामीटर्स तथा ग्राउंड स्टेट्स की बीजगणितीय संरचना को व्युत्पन्न करके, लेखक स्पष्ट करते हैं कि गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति कैसे टूटती है। गैर-व्युत्क्रमणीय सममिति टूटने और DQCPs के बीच स्थापित द्वैतता डीकन्फाइंड क्रिटिकलिटी के अध्ययन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करती है, जो यह सुझाव देती है कि DQCPs की जटिल भौतिकी को गैर-व्युत्क्रमणीय प्रणालियों में सममिति टूटने के अधिक परिचित लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। इसके अलावा, उन सटीक स्थितियों (समूहों के फैक्टराइजेशन और एनोमी ट्रिवियलाइजेशन) की पहचान, जिनके तहत यह द्वैतता मान्य है, एक विस्तृत वर्ग के ग्रुप-थियोरेटिक हॉफ अल्जेब्रा और उनके संबंधित चरण संक्रमणों के लिए एक वर्गीकरण योजना प्रदान करती है।