Spontaneous breaking of non-invertible symmetries and duality to beyond-Landau transitions

Título: Ruptura espontánea de simetrías no invertibles y dualidad hacia transiciones más allá de Landau

Autores: Xie Chen, Shang Liu, Da-Chuan Lu, Nathanan Tantivasadakarn

Planteamiento del Problema

El estudio de las transiciones de fase en la física de la materia condensada ha dependido tradicionalmente del paradigma de Landau de ruptura espontánea de simetría (SSB), donde las fases se distinguen por la ruptura de simetrías invertibles (de grupo). Sin embargo, el descubrimiento de transiciones "más allá de Landau", como los puntos críticos cuánticos desconfiados (DQCP) y las transiciones entre fases topológicas protegidas por simetría (SPT), requiere un marco más amplio. Los desarrollos recientes han introducido las simetrías no invertibles (descritas por categorías de fusión) como una generalización de las simetrías de grupo. Aunque se sabe que ciertas transiciones más allá de Landau pueden mapearse a transiciones de ruptura de simetría de simetrías no invertibles mediante un procedimiento de gauge generalizado, la naturaleza de la ruptura espontánea de simetría para estas simetrías no invertibles sigue siendo poco comprendida. Específicamente, no está claro cómo caracterizar las fases resultantes, definir parámetros de orden e identificar las simetrías restantes cuando se rompe una simetría no invertible.

Metodología

Los autores emplean un enfoque multifacético que combina teoría de campos topológica, construcción de modelos de red y análisis algebraico:

1. Teoría de Campos Topológica de Simetría (SymTFT): Los autores utilizan el formalismo SymTFT para describir la simetría no invertible $\text{Rep}(H_8)$, donde $H_8$ es el álgebra de Hopf auto-dual más pequeña no conmutativa y no coc conmutativa. Modelan el sistema 1+1D como una estructura de "sándwich" con un volumen topológico 2+1D (el centro de Drinfeld $Z(\text{Rep}(H_8))$) y fronteras con brecha. El volumen se construye mediante condensación de anyones a partir de dos copias del orden topológico de Ising duplicado.
2. Construcción de Modelos de Red: Construyen explícitamente modelos de red de cúbits 1+1D (cadenas de doble cúbit) que realizan las seis fases con brecha permitidas por la simetría $\text{Rep}(H_8)$. Estos modelos son libres de frustración, lo que permite soluciones exactas de los estados fundamentales y los huecos de energía.
3. Gauge Generalizado: Los autores realizan un procedimiento de gauge generalizado sobre un subgrupo específico libre de anomalías de $\text{Rep}(H_8)$. Esto mapea el sistema original $\text{Rep}(H_8)$ a un sistema dual con una simetría de grupo ordinaria $D_8$ que porta una anomalía 't Hooft no trivial ($\gamma \in H^3(D_8, U(1))$).
4. Análisis Algebraico: Analizan el álgebra de fusión de los parámetros de orden locales y las propiedades de transformación de los estados fundamentales (incluyendo "estados de gato" que son superposiciones de estados rotos de simetría de corto alcance) bajo la acción de los operadores de simetría no invertible.

Contribuciones y Resultados Clave

1. Caracterización de la Ruptura de Simetría No Invertible:
El artículo demuestra que la ruptura espontánea de simetrías no invertibles comparte características con, pero difiere significativamente de, la ruptura de simetría de grupo convencional:

• Parámetros de Orden: Las correlaciones de largo alcance de los parámetros de orden locales siguen caracterizando el orden de ruptura de simetría. Sin embargo, estos parámetros de orden se transforman bajo la simetría de manera no local y obedecen un álgebra de fusión dictada por el álgebra de Lagrange de las fronteras con brecha en el sándwich SymTFT.
• Degeneración y Etiquetado del Estado Fundamental:
  • En fases completamente rotas, los estados fundamentales de corto alcance están etiquetados por los objetos simples de la categoría de fusión. A diferencia de las simetrías de grupo, donde una operación de simetría mapea un estado roto a otro estado roto distinto, las operaciones no invertibles pueden mapear un estado roto a una superposición de varios estados rotos.
  • En fases parcialmente rotas, los estados de corto alcance no tienen un etiquetado obvio. Sin embargo, los autores muestran que siempre se puede construir una base de "estados de gato" (superposiciones de estados rotos). Estos estados de gato están etiquetados por los "canales de túnel" entre las fronteras superior e inferior del sándwich SymTFT y se transforman según las reglas de fusión de la simetría.
• Simetría Restante: Definir la simetría "restante" en fases parcialmente rotas es sutil. Mientras que los operadores de simetría individuales pueden no dejar invariante un estado roto específico, ciertas combinaciones lineales de operadores de simetría sí lo hacen. Esto contrasta con las simetrías invertibles, donde el subgrupo no roto está estrictamente definido por el estabilizador del parámetro de orden.

2. Dualidad hacia Puntos Críticos Cuánticos Desconfiados (DQCP):
Los autores establecen una dualidad precisa entre la transición de orden a desorden de la simetría no invertible $\text{Rep}(H_8)$ y un DQCP de una simetría de grupo ordinaria con una anomalía.

• Al hacer gauge del subgrupo diagonal $\mathbb{Z}_2$ de $\text{Rep}(H_8)$, derivan un modelo de red dual con simetría $D_8$ y una anomalía 't Hooft mixta $\gamma$.
• La transición entre la fase completamente simétrica ($H_{14}$) y la fase completamente rota por simetría ($H_{11}$) de $\text{Rep}(H_8)$ se mapea a una transición continua directa entre dos fases de ruptura de simetría incompatibles del modelo dual $(D_8, \gamma)$.
• Esto proporciona una ruta sistemática para comprender los DQCP: son duales a transiciones de ruptura de simetría ordinarias de simetrías no invertibles libres de anomalías.

3. Generalización a Álgebras de Hopf Teóricas de Grupos:
El artículo extiende estos hallazgos más allá del ejemplo específico de $\text{Rep}(H_8)$. Demuestran que para todas las simetrías no invertibles libres de anomalías descritas por álgebras de Hopf teóricas de grupos (lo que incluye todas las simetrías de este tipo con dimensión de Frobenius-Perron menor que 36), las transiciones de ruptura espontánea de simetría pueden mapearse mediante gauge generalizado a transiciones de simetrías de grupo ordinarias.

• Teorema: Un DQCP de una simetría de grupo anómala $(G, \omega)$ es dual a una transición de orden a desorden de una simetría no invertible libre de anomalías si los subgrupos que definen el DQCP satisfacen condiciones específicas de factorización (factorización exacta o factorización retorcida con un 2-cociclo no trivial).
• Por el contrario, cualquier transición de orden a desorden de una simetría no invertible teórica de grupos libre de anomalías es dual a un DQCP de una simetría de grupo ordinaria con una anomalía 't Hooft.

Significado

El artículo proporciona un marco sistemático para comprender las transiciones de fase que involucran simetrías no invertibles, cerrando la brecha entre el paradigma de Landau y los fenómenos más allá de Landau. Mediante la construcción explícita de modelos de red y la derivación de la estructura algebraica de los parámetros de orden y los estados fundamentales, los autores aclaran cómo se rompen las simetrías no invertibles. La dualidad establecida entre la ruptura de simetría no invertible y los DQCP ofrece una herramienta poderosa para estudiar la criticalidad desconfiada, sugiriendo que la física compleja de los DQCP puede entenderse a través de la lente más familiar de la ruptura de simetría en sistemas no invertibles. Además, la identificación de condiciones precisas (factorización de grupos y trivialización de anomalías) bajo las cuales se mantiene esta dualidad proporciona un esquema de clasificación para una amplia clase de álgebras de Hopf teóricas de grupos y sus transiciones de fase asociadas.