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Mathematical Morphology in Machine Learning

यह शोध पत्र एक तीव्र मॉर्फोलॉजिकल रिकंस्ट्रक्शन क्लस्टरिंग एल्गोरिदम, एक नवीन हाइब्रिड डिस्टेंस मेट्रिक जो गति और सटीकता में मानक दूरियों से काफी बेहतर प्रदर्शन करता है, और नए क्लासिफायर प्रस्तावित करके मशीन लर्निंग में मैथमेटिकल मॉर्फोलॉजी को प्रस्तुत करता है जो विशिष्ट रूप से आकार, घनत्व और फ्रैक्टल जानकारी को मॉडल करते हैं।

मूल लेखक: Erick Oliveira Rodrigues, Aura Conci

प्रकाशित 2026-06-01

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Erick Oliveira Rodrigues, Aura Conci

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक बिखरा हुआ कमरा है जो खिलौनों से भरा हुआ है। आपका लक्ष्य उन्हें ढेरों में छाँटना है। अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्राम जो इस तरह के कार्य करते हैं (जिसे "मशीन लर्निंग" कहा जाता है) वे खिलौनों को देखते हैं और उन्हें इस आधार पर समूहों में बांटने की कोशिश करते हैं कि वे एक-दूसरे से कितनी दूर हैं। वे कह सकते हैं, "ये दो लाल ब्लॉक पास हैं, इसलिए ये एक ढेर में जाएंगे," या "ये नीली कारें दूर हैं, इसलिए वे दूसरे ढेर में जाएंगी।"

इस शोध पत्र के लेखक, एरिक ओलिवेरा रोड्रिग्स और ऑरा कोंसी, तर्क देते हैं कि यह दृष्टिकोण एक महत्वपूर्ण विवरण को छोड़ देता है: आकार और घनत्व (shape and density)। कभी-कभी, दो खिलौने पास होते हैं लेकिन वे अलग-अलग समूहों का हिस्सा होते हैं क्योंकि वे एक घने, सघन क्लस्टर का हिस्सा होते हैं, जबकि अन्य खिलौने दूर होते हैं लेकिन एक ही ढीले समूह का हिस्सा होते हैं।

यह शोध पत्र डेटा को छाँटने के एक नए तरीके को पेश करता है जिसे मैथमेटिकल मॉर्फोलॉजी (Mathematical Morphology) नामक क्षेत्र कहा जाता है। इसे गणित की समस्या के रूप में नहीं, बल्कि फैलते हुए बुलबुलों (expanding bubbles) के एक खेल के रूप में सोचें।

सॉर्टिंग (क्लस्टरिंग) के लिए "बुलबुला" दृष्टिकोण

दूरी मापने के बजाय, लेखक एक एल्गोरिदम प्रस्तावित करते हैं जिसे k-मॉर्फोलॉजिकल सेट्स (k-MS) कहा जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप एक स्पंज पर पानी की एक बूंद गिराते हैं। पानी फैलता है, हर उस कोने और दरार को भर देता है जहाँ तक वह पहुँच सकता है। यदि स्पंज में सूखे स्थानों के दो अलग-अलग द्वीप हैं, तो पानी पहले द्वीप को भरेगा, फिर रुक जाएगा, और अंततः दूसरे द्वीप को भी भर देगा।

पुराना तरीका: अधिकांश एल्गोरिदम रेखाएं खींचकर यह अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं कि द्वीप कहाँ हैं।
नया तरीका (k-MS): एल्गोरिदम उस पानी की तरह काम करता है। यह एक छोटे "स्ट्रक्चरिंग एलिमेंट" (जैसे एक छोटा स्पंज) से शुरू होता है और फैलता है। यह पहले घने क्षेत्रों को भरता है। यदि पानी किसी दीवार (डेटा के अंतराल) से टकराता है, तो यह रुक जाता है।
परिणाम: यह विधि डेटा के "घने" समूहों को "विरल" शोर (noise) से स्वाभाविक रूप से अलग करती है। यह एक घनी भीड़ और कुछ बिखरे हुए व्यक्तियों के बीच अंतर करने के समान है, भले ही वे एक-दूसरे के बगल में खड़े हों।

यह क्यों शानदार है?

यह गंदगी को साफ करता है: यदि फर्श पर कुछ इधर-उधर बिखरे हुए खिलौने (शोर) हैं, तो यह विधि उन्हें स्वाभाविक रूप से अनदेखा कर देती है या उन्हें अपने स्वयं के छोटे, बेकार ढेर में डाल देती है, बजाय इसके कि उन्हें किसी वास्तविक समूह में जबरदस्ती डाला जाए।
यह तेज़ है: क्योंकि यह एक सरल विस्तार प्रक्रिया की तरह काम करता है, इसे बहुत तेज़ी से किया जा सकता है, विशेष रूप से आधुनिक कंप्यूटर चिप्स (GPUs) पर जो एक साथ कई छोटे कार्यों को करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
इसे पता है कि कब रुकना है: एल्गोरिदम में इस बात की एक "अंतर्निहित समझ" होती है कि वह वास्तव में कितने समूह बना सकता है, बजाय इसके कि केवल समूहों की एक विशिष्ट संख्या को जबरदस्ती थोपा जाए।

"अष्टकोण" का शॉर्टकट (नया दूरी मीट्रिक)

दूसरा प्रमुख योगदान बिंदुओं के बीच की दूरी मापने का एक नया तरीका है।

कंप्यूटर की दुनिया में, दो बिंदुओं के बीच की दूरी को आमतौर पर दो तरीकों से मापा जाता है:

"सिटी ब्लॉक" (मैनहट्टन/चेबिशेव): कल्पना कीजिए कि आप सड़कों के ग्रिड वाले शहर में चल रहे हैं। आप केवल उत्तर, दक्षिण, पूर्व या पश्चिम में चल सकते हैं। दूरी उन ब्लॉकों की संख्या है जो आप चलते हैं। इसकी गणना करना तेज़ है, लेकिन यह थोड़ा "चौकोर" है और सीधी रेखा जैसा महसूस नहीं होता है।
"सीधी रेखा" (यूक्लिडियन): कल्पना कीजिए कि आप एक पक्षी की तरह सीधी रेखा में उड़ रहे हैं। यह सबसे सटीक दूरी है, लेकिन यह कंप्यूटर के लिए गणना करना बहुत कठिन और धीमा है, खासकर जब आपको इसे लाखों बार करना पड़ता है।

लेखकों ने एक हाइब्रिड दूरी का आविष्कार किया है जो एक अष्टकोण (octagon) की तरह है।

यदि आप "सिटी ब्लॉक" दूरी को देखते हैं, तो यह एक वर्ग की तरह दिखता है।
यदि आप "पक्षी की दृष्टि" वाली दूरी को देखते हैं, तो यह एक वृत्त की तरह दिखता है।
लेखकों की नई दूरी एक अष्टकोण की तरह दिखती है।

इससे क्या फर्क पड़ता है?
एक अष्टकोण, एक वर्ग की तुलना में एक वृत्त के बहुत करीब होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक "सीधी रेखा" का अधिक सटीक अहसास देता है। लेकिन क्योंकि यह सरल गणितीय नियमों से बना है, इसकी गणना "सिटी ब्लॉक" विधि जितनी ही तेज़ है।

शोध पत्र का दावा है कि यह नया "अष्टकोण रूलर" है:

मानक "पक्षी की दृष्टि" (यूक्लिडियन) विधि की तुलना में 329 गुना तेज़ है।
"सिटी ब्लॉक" (मैनहट्टन) विधि से 1.3 गुना तेज़ है।
अधिक सटीक: जब 33 विभिन्न डेटासेट्स (जैसे ईमेल को छाँटना या छवियों की पहचान करना) पर परीक्षण किया गया, तो इस नए रूलर ने एक क्लासिफायर (एक प्रोग्राम जो किसी चीज़ का अनुमान लगाता है) को अन्य 14 रूलर्स की तुलना में अधिक बार सही उत्तर देने में मदद की।

बड़ी तस्वीर

लेखक मूल रूप से कह रहे हैं: "हमने आकारों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक दृश्य उपकरण (मैथमेटिकल मॉर्फोलॉजी) को मशीन लर्निंग में लागू किया है। हमने एक 'बुलबुला-विस्तारित करने वाला' सॉर्टर बनाया है जो डेटा के आकार और घनत्व का सम्मान करता है, और हमने एक नया 'अष्टकोण रूलर' बनाया है जो कंप्यूटर के उपयोग के लिए अविश्वसनीय रूप से तेज़ और सटीक है।"

उन्होंने इन विचारों का वास्तविक डेटा पर परीक्षण किया और पाया कि उनकी विधियाँ वर्तमान सर्वोत्तम तकनीकों की तुलना में तेज़ और अक्सर अधिक सटीक हैं, और साथ ही वे बिना किसी अतिरिक्त सफाई चरण के "शोर" (बिखरे हुए डेटा) को संभालने में सक्षम हैं।

तकनीकी सारांश: मशीन लर्निंग में गणितीय आकारिकी (Mathematical Morphology)

समस्या विवरण
यद्यपि गणितीय आकारिकी (Mathematical Morphology - MM) आकार, आकार और उत्तलता (convexity) के आधार पर ग्राफ़िकल वस्तुओं के विश्लेषण के लिए विज़ुअल कंप्यूटिंग में एक स्थापित सिद्धांत है, मशीन लर्निंग में इसका अनुप्रयोग अभी भी कम उपयोग किया जाता है। मौजूदा मशीन लर्निंग तकनीकें अक्सर आकार और घनत्व (density) की जानकारी का पर्याप्त दोहन करने में विफल रहती हैं। इसके अलावा, वर्तमान क्लस्टरिंग और वर्गीकरण विधियाँ या तो उन ह्यूरिस्टिक्स (heuristics) पर निर्भर करती हैं जो MM सिद्धांतों का पूरी तरह से पालन नहीं करते हैं, या उनमें फ्रैक्टल सूचना, आकार और घनत्व को एक साथ मॉडल करने की क्षमता का अभाव होता है। इसके अतिरिक्त, असतत वातावरणों (जैसे कि GPU-आधारित प्रोसेसिंग) में, मानक दूरी मेट्रिक्स (distance metrics) व्यापार-संतुलन (trade-offs) प्रस्तुत करते हैं: यूक्लिडियन दूरी (Euclidean distance) गणनात्मक रूप से महंगी है और इसके लिए क्वांटाइजेशन की आवश्यकता होती है, जबकि चेबिशेव (Chebyshev) और मैनहट्टन (Manhattan) दूरियाँ तेज़ हैं लेकिन "वर्गाकार" प्रकृति की हैं, जो यूक्लिडियन दूरी के गोलाकार पुनरावृत्ति (circular iteration) का प्रभावी ढंग से अनुमान लगाने में विफल रहती हैं।

कार्यप्रणाली
यह शोध पत्र तीन प्राथमिक घटकों के माध्यम से मशीन लर्निंग में गणितीय आकारिकी को एकीकृत करने वाला एक ढांचा प्रस्तावित करता है:

k-मॉर्फोलॉजिकल सेट्स (k-MS) क्लस्टरिंग एल्गोरिदम:
- यह एल्गोरिदम बाइनरी ऑपरेशंस (पिछले बाइनरी मॉर्फोलॉजी क्लस्टरिंग एल्गोरिदम के विपरीत) के बजाय मॉर्फोलॉजिकल रिकंस्ट्रक्शन (morphological reconstruction) का उपयोग करता है।
- यह एक ग्रिड पर कार्य करता है जहाँ डेटा इंस्टेंस मैप किए जाते हैं। रिकंस्ट्रक्शन करने के लिए एक स्ट्रक्चरिंग एलिमेंट $B$ (जिसमें प्रारंभ में शून्य होते हैं) और एक मास्क $M$ का उपयोग किया जाता है।
- एल्गोरिदम एक आंतरिक चर $\delta$ का उपयोग करता है जो स्ट्रक्चरिंग एलिमेंट के आकार को नियंत्रित करता है। यह क्लस्टर्स को बढ़ाने के लिए $\delta$ को पुनरावर्ती रूप से बढ़ाता है जब तक कि एक इडेम्पोटेंट (idempotent) अवस्था प्राप्त न हो जाए या क्लस्टर्स की पूर्व-निर्धारित अधिकतम संख्या ( $k$ ) के करीब न पहुँच जाए।
- यदि अद्वितीय क्लस्टर इंडेक्स की संख्या $k$ से अधिक हो जाती है, तो $\delta$ को बढ़ाया जाता है; यदि रिकंस्ट्रक्शन गैर-इडेम्पोटेंट हो जाता है (क्लस्टर्स आपस में मिल जाते हैं), तो $\delta$ को 1 पर रीसेट कर दिया जाता है, और प्रक्रिया दोहराई जाती है।
- यह विधि अतिरिक्त प्रसंस्करण लागत के बिना शोर (noise) को छोटे, स्वतंत्र क्लस्टर्स में स्वाभाविक रूप से विभाजित करती है।
नया दूरी मेट्रिक (Novel Distance Metric):
- असतत स्थानों (विशेष रूप से GPU कार्यान्वयन के लिए) में पड़ोस पुनरावृत्ति (neighborhood iteration) को अनुकूलित करने के लिए, एक नया दूरी मेट्रिक प्रस्तावित किया गया है।
- यह चेबिशेव दूरी और मिंकोव्स्की (Minkowski) दूरी का एक भारित संयोजन (weighted combination) है (समीकरण 1: $d_{R^p}(x,y) = w_1 \sum |x_i - y_i|^p + w_2 \max |x_i - y_i|$ )।
- $w_1$ और $w_2$ भारों और पैरामीटर $p$ को समायोजित करके, यह मेट्रिक चेबिशेव या मिंकोव्स्की व्यवहार की ओर अभिसरित (converge) हो सकता है।
- 2D ( $R^2$ ) में, यह दूरी अष्टकोणीय (octagonal) आकार बनाती है, जो ज्यामितीय रूप से मैनहट्टन या चेबिशेव दूरियों द्वारा उत्पन्न वर्गाकार आकृतियों की तुलना में यूक्लिडियन दूरी के गोलाकार आकार के अधिक निकट है।
मॉर्फोलॉजिकल क्लासिफायर (Morphological Classifiers):
- लेखक अनलेबल स्पेस को कवर करने के लिए डाइलेशन (dilations) का उपयोग करके प्रशिक्षण इंस्टेंस को बढ़ाने वाले क्लासिफायर प्रस्तावित करते हैं।
- इन क्लासिफायर्स को ग्राफिक्स प्रोसेसिंग यूनिट्स (GPUs) पर लागू किया गया है ताकि समानांतर प्रोसेसिंग का लाभ उठाया जा सके, जहाँ ग्रिड सेल एक साथ बढ़ते हैं।
- जब विकास (growth) के दौरान प्रतिच्छेदन (intersections) होते हैं, तो एक वोटिंग स्कीम लेबल निर्धारित करती है।

प्रमुख योगदान

k-MS एल्गोरिदम: एक क्लस्टरिंग तकनीक जो आकार और घनत्व को संरक्षित करती है, जो बनाए जा सकने वाले अधिकतम क्लस्टर्स की एक अंतर्निहित समझ प्रदान करती है, और बिना किसी अतिरिक्त कम्प्यूटेशनल ओवरहेड के शोर को हटा देती है।
हाइब्रिड डिस्टेंस मेट्रिक: एक नया मेट्रिक जो चेबिशेव और मिंकोव्स्की दूरियों को जोड़ता है, जो "वर्गाकार" दूरियों की कम्प्यूटेशनल दक्षता और यूक्लिडियन दूरी की ज्यामितीय सटीकता के बीच संतुलन प्रदान करता है।
GPU-अनुकूलित कार्यान्वयन: लो-लेवल GPU वातावरण के लिए विशेष रूप से तैयार किए गए मॉर्फोलॉजिकल क्लासिफायर और दूरी गणनाओं का विकास, जो धीमे कर्नेल एक्सेस और अनिश्चित कर्नेल आकार से बचते हैं।
व्यापक मूल्यांकन: 33 UCI डेटासेट्स पर प्रस्तावित दूरी मेट्रिक का k-निकटतम पड़ोसियों (k-NN) क्लासिफायर का उपयोग करके व्यापक परीक्षण।

परिणाम

क्लस्टरिंग दक्षता: k-MS एल्गोरिदम को डेंसिटी-आधारित क्लस्टरिंग तकनीकों की तुलना में तेज़ पाया गया, जबकि इसने शोर हटाने और आकार संरक्षण जैसी अनूठी विशेषताएं भी प्रदान कीं। समानांतर k-Means (CPU) के विरुद्ध समय विश्लेषण में, k-MS ने प्रतिस्पर्धी या बेहतर प्रदर्शन दिखाया, विशेष रूप से क्लस्टर्स की संख्या बढ़ने पर 'अर्ली-ब्रेक ऑप्टिमाइजेशन' के कारण।
दूरी मेट्रिक प्रदर्शन:
- गति: $Z^2$ में असतत पड़ोस पुनरावृत्ति कार्यों में, प्रस्तावित दूरी मैनहट्टन दूरी की तुलना में लगभग 1.3 गुना तेज़ और यूक्लिडियन दूरी की तुलना में 329.5 गुना तेज़ थी।
- सटीकता: 33 UCI डेटासेट्स पर k-NN के साथ मूल्यांकन करने पर, प्रस्तावित दूरी ने 33 में से 26 मामलों में 14 अन्य दूरियों के औसत से बेहतर सटीकता प्राप्त की। इसने 33 में से 9 मामलों में एकल सर्वश्रेष्ठ सटीकता प्राप्त की।
विज़ुअल क्लस्टरिंग: शोर वाले डेटासेट्स में, k-MS ने वास्तविक क्लस्टर्स और आउटलेर्स (outliers) को सफलतापूर्वक अलग किया, जबकि अन्य एल्गोरिदम (जैसे Chameleon) कभी-कभी आउटलेर्स को वास्तविक क्लस्टर्स के साथ जोड़ देते थे, और अन्य (जैसे Mitosis) शोर को अलग करने में विफल रहे।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि यह कार्य पूरी तरह से गणितीय आकारिकी तकनीकों पर आधारित वर्गीकरण और क्लस्टरिंग तकनीकों का पहला प्रस्ताव है, जो केवल ह्यूरिस्टिक कनेक्शनों से आगे बढ़ता है। पेपर का तर्क है कि वर्तमान साहित्य में कोई भी अन्य क्लासिफायर आकार, घनत्व और फ्रैक्टल सूचना को एक साथ ठीक से मॉडल नहीं कर सकता है।

इस कार्य का महत्व विज़ुअल कंप्यूटिंग सिद्धांत और मशीन लर्निंग के बीच के अंतर को पाटने में निहित है, जो ऐसे उपकरण प्रदान करता है जो न केवल आकार और घनत्व के संबंध में सैद्धांतिक रूप से सुदृढ़ हैं, बल्कि आधुनिक हार्डवेयर (GPUs) के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल भी हैं। प्रस्तावित दूरी मेट्रिक को उच्च-प्रदर्शन कंप्यूटिंग वातावरण के लिए एक व्यावहारिक समाधान के रूप में रेखांकित किया गया है जहाँ यूक्लिडियन दूरी बहुत धीमी है और मैनहट्टन/चेबिशेव दूरियों में पर्याप्त ज्यामितीय शुद्धता का अभाव है। लेखक नोट करते हैं कि इन योगदानों ने पहले ही पैटर्न रिकग्निशन और पैटर्न रिकग्निशन लेटर्स जैसे प्रतिष्ठित जर्नल्स में कई प्रकाशनों के रूप में परिणाम दिए हैं।

सॉर्टिंग (क्लस्टरिंग) के लिए "बुलबुला" दृष्टिकोण

"अष्टकोण" का शॉर्टकट (नया दूरी मीट्रिक)

बड़ी तस्वीर

तकनीकी सारांश: मशीन लर्निंग में गणितीय आकारिकी (Mathematical Morphology)

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