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Inexact Proximal Point and Tseng Algorithms with Nonsummable Errors to Solve Monotone Inclusions

यह शोध पत्र, टिखोनोव नियमितीकरण (Tikhonov regularization), संकुचन गुणों (contraction properties) और R-निरंतरता सिद्धांत (R-continuity theory) का लाभ उठाते हुए, गैर-योगज त्रुटियों (nonsummable errors) के तहत हिल्बर्ट स्थानों (Hilbert spaces) में मोनोटोन समावेशों (monotone inclusions) को हल करने के लिए व्यावहारिक इनएक्सैक्ट प्रॉक्सिमल पॉइंट (Inexact Proximal Point) और त्सेंग एल्गोरिदम (Tseng Algorithms) के अभिसरण (convergence) को पहली बार स्थापित करता है।

मूल लेखक: Ba Khiet Le, Boris S. Mordukhovich, Michel A. Thera

प्रकाशित 2026-06-02✓ Author reviewed ⓘ

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ba Khiet Le, Boris S. Mordukhovich, Michel A. Thera

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने नहीं लिखा है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक अंधेरे, धुंधले कमरे के बिल्कुल सटीक केंद्र (जिसे "समाधान" या "solution" कहा जाता है) को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास एक दिशा-सूचक यंत्र (एक एल्गोरिदम) है जो आपको केंद्र की ओर संकेत करता है। एक आदर्श दुनिया में, आपका दिशा-सूचक यंत्र त्रुटिहीन होगा, और आप सीधे केंद्र की ओर चलेंगे।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, आपका दिशा-सूचक यंत्र थोड़ा डगमगाता है। कभी यह थोड़ा बाईं ओर इशारा करता है, तो कभी थोड़ा दाईं ओर। यह "डगमगाहट" जिसे गणितज्ञ त्रुटि (error) कहते हैं।

लंबे समय तक, गणितज्ञों का मानना था कि यदि आपको अंततः सटीक केंद्र तक पहुँचना है, तो ये डगमगाहट वाली त्रुटियाँ धीरे-धीरे छोटी होती जानी चाहिए और पूरी तरह से गायब हो जानी चाहिए। उनका मानना था कि आपकी पूरी यात्रा में कुल "डगमगाहट" का योग एक बहुत ही सूक्ष्म, सीमित संख्या होनी चाहिए। यदि डगमगाहट हमेशा एक स्थिर, ध्यान देने योग्य स्तर पर होती रहती, तो वे सोचते कि आप कभी गोल-गोल घूमना बंद नहीं करेंगे और वास्तवं में केंद्र तक नहीं पहुँच पाएंगे।

यह शोध पत्र कहता है: "ज़रूरी नहीं कि ऐसा हो, लेकिन आप सटीक केंद्र तक भी नहीं पहुँच पाएंगे।"

लेखक, बा खिएत ले, बोरिस एस. मोर्दुकहोइच, और मिशेल थेरा ने नेविगेट करने का एक नया तरीका खोजा है जो तब भी काम करता है जब आपका दिशा-सूचक यंत्र एक स्थिर, न खत्म होने वाली त्रुटि के साथ डगमगाता रहता है। हालाँकि, एक महत्वपूर्ण अंतर है: आप सटीक केंद्र तक नहीं पहुँचते हैं। इसके बजाय, आप एक स्थिर, "पर्याप्त अच्छा" स्थान पर बस जाते हैं जो केंद्र के एक छोटे, अनुमानित दायरे के भीतर रहता है, और उस पड़ोस के आसपास थोड़ा डगमगाता रहता है।

उन्होंने इसे कैसे किया, इसके लिए सरल रूपकों का उपयोग किया गया है:

1. समस्या: "सुम्माबल" (Summable) नियम बनाम वास्तविक दुनिया का शोर

पारंपरिक रूप से, यह गारंटी देने के लिए कि आप सटीक केंद्र को खोज लेंगे, नियम यह था: त्रुटियों को अंततः समाप्त होना होगा।
इसे एक लक्ष्य की ओर चलते हुए हवा के झोंकों से प्रभावित होने की तरह समझें। यदि हवा कमजोर होती जाती है और अंततः रुक जाती है, तो आप अंततः लक्ष्य तक बिल्कुल पहुँच जाएंगे। लेकिन यदि हवा एक स्थिर, परेशान करने वाली गति से चलती रहती है (non-summable error), तो पारंपरिक गणित कहता था कि आप कभी वहाँ नहीं पहुँच पाएंगे।

हालाँकि, वास्तविक दुनिया में, त्रुटियाँ (जैसे कंप्यूटर राउंडिंग शोर) अक्सर पूरी तरह से समाप्त नहीं होती हैं। वे एक छोटे, निश्चित स्तर पर बनी रहती हैं। पुराने नियम कहते थे कि इसका अर्थ विफलता है; यह शोध पत्र कहता है कि इसका अर्थ "स्थिर सन्निकटन" (stable approximation) है।

2. समाधान: एक "चुंबकीय खिंचाव" जोड़ना (Tikhonov Regularization)

लेखकों का गुप्त हथियार टिकोनोव रेगुलराइजेशन (Tikhonov regularization) है।
कल्पना कीजिए कि केवल एक सपाट फर्श पर चलने के बजाय, आप एक हल्की, घुमावदार ढलान पर चल रहे हैं जो सीधे केंद्र की ओर ले जाती है। भले ही हवा (त्रुटि) आपको बगल में धकेलती रहे, ढलान (गणितीय "खिंचाव") आपको लगातार वापस पथ पर खींचती रहती है।

उनके गणित में, वे समस्या में एक छोटा, कृत्रिम "बल" (जिसे $\epsilon$ द्वारा दर्शाया गया है) जोड़ते हैं। यह बल परिदृश्य को अधिक "स्पष्ट" और परिभाषित बनाता है। यह सपाट, फिसलन भरी जमीन को एक कटोरे के आकार में बदल देता है। भले ही आपको एक स्थिर त्रुटि द्वारा रास्ते से हटाया जाए, कटोरे का आकार यह सुनिश्चित करता है कि आप हमेशा के लिए भटक न जाएं। आप ठीक नीचे (सटीक केंद्र) पर नहीं रुकेंगे, लेकिन आप इसके ठीक बगल में एक छोटे, सुरक्षित घेरे के भीतर रहेंगे।

3. दो एल्गोरिदम: पदयात्री और मार्गदर्शक

यह शोध पत्र इस विचार का परीक्षण दो विशिष्ट प्रकार के "पदयात्रियों" (एल्गोरिदम) पर करता है:

इनएक्सैक प्रॉक्सिमल पॉइंट एल्गोरिदम (IPPA): यह एक ऐसे पदयात्री की तरह है जो एक कदम लेता है, मानचित्र की जाँच करता है, और अपने पथ को सुधारता है। लेखक दिखाते हैं कि भले ही मानचित्र में एक निरंतर, छोटा सा धुंधलापन (त्रasi) हो, "चुंबकीय ढलान" यह सुनिश्चित करती है कि पदयात्री लक्ष्य के एक छोटे, सीमित दायरे के भीतर बना रहे, वह बिल्कुल सटीक केंद्र पर तो नहीं बसता, लेकिन लक्ष्य से बहुत दूर भी नहीं भटकता।
इनएक्सैक त्सेंग एल्गोरिदम (ITA): यह एक अधिक जटिल पदयात्री है जिसे एक साथ दो अलग-अलग प्रकार के परिदृश्यों से निपटना पड़ता है। लेखक दिखाते हैं कि इस अतिरिक्त जटिलता और निरंतर त्रुटियों के बावजूद, "चुंबकीय ढलान" अभी भी लक्ष्य के एक स्थिर पड़ोस में पदयात्री को रखने के लिए काम करती है।

4. "R-निरंतरता" (R-continuity) सुरक्षा जाल

इसे सिद्ध करने के लिए, वे R-निरंतरता नामक अवधारणा का उपयोग करते हैं।
इसे एक सुरक्षा जाल के रूप में समझें जो कहता है: "यदि आप लक्ष्य के करीब हैं, तो आपके कदम अनुमानित होंगे।" यह गारंटी देता है कि "चुंबकीय खिंचाव" अनियially व्यवहार नहीं करेगा। जब तक मानचित्र केंद्र के पास अचानक अजीब तरीके से मुड़ता नहीं है, पदयात्री लक्ष्य के एक अनुमानित दायरे के भीतर रहेगा, थोड़ा डगमगाएगा लेकिन कभी भी उस क्षेत्र से बाहर नहीं निकलेगा।

5. परिणाम: "पर्याप्त अच्छा" ही नया लक्ष्य है

यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि इस नई पद्धति के साथ:

आपको परिणाम प्राप्त करने के लिए त्रुटियों के गायब होने की आवश्यकता नहीं है।
आपको त्रुटियों के एक बहुत ही सूक्ष्म संख्या में जुड़ने (जो कि जांचना कठिन है) की आवश्यकता नहीं है।
आपको बस यह सुनिश्चित करना है कि त्रुटियाँ एक निश्चित, प्रबंधनीय सीमा के भीतर रहें (जैसे कि एक दिशा-सूचक यंत्र जो हमेशा 2 डिग्री से अधिक गलत हो सकता है)।

यदि आप अपने मापदंडों (parameters) को सही ढंग से सेट करते हैं, तो पदयात्री दूर जाने के लिए भटकना बंद कर देगा और वास्तविक केंद्र के आसपास एक स्थिर, सीमित कक्षा में बस जाएगा। आप स्थिर त्रुटियों के साथ सटीक केंद्र तक नहीं पहुँचेंगे, लेकिन आप उपयोगी होने के लिए पर्याप्त करीब रहेंगे।

यह क्यों महत्वपूर्ण है (शोध पत्र के अनुसार)

वास्तविक दुनिया की कंप्यूटर गणनाओं में, त्रुटियों को पूरी तरह से समाप्त करना अक्सर असंभव होता है। कंप्यूटरों में हमेशा एक बहुत छोटा "शोर" या "राउंडिंग एरर" होता है जो कभी खत्म नहीं होता।

यह शोध पत्र दावा करता है कि अपनी "चुंबकीय ढलान" तकनीक का उपयोग करके, हम इन एल्गोरिदम पर स्थिर, व्यावहारिक परिणाम खोजने के लिए भरोसा कर सकते हैं, भले ही कंप्यूटर की त्रुटियाँ जिद्दी हों। यह ध्यान को "पूर्ण सटीकता" (जिसके लिए पुराने, सख्त नियम की आवश्यकता थी कि त्रुटियाँ समाप्त होनी चाहिए) से हटाकर "स्थिर सन्निकटन" पर केंद्रित करता है।

महत्वपूर्ण रूप से, वे जिस नियम का उपयोग करते हैं वह बहुत व्यावहारिक है: "प्रत्येक त्रुटि को एक निश्चित छोटी सीमा के नीचे रखें।" यह पुराने नियम की तुलना में जांचना और लागू करना बहुत आसान है, जिसमें यह आवश्यक था कि त्रुटियाँ समय के साथ कम हों और एक सूक्ष्म संख्या में जुड़ें।

संक्षेप में: यह शोध पत्र हमें सिखाता है कि भले ही आपके उपकरण अपूर्ण हों और त्रुटियाँ कभी समाप्त न हों, फिर भी आप समस्या का आकार बदलकर एक स्थिर, पर्याप्त-अच्छा स्थान खोज सकते हैं। आप सटीक केंद्र तक नहीं पहुँचेंगे, लेकिन आप इसके एक छोटे, अनुमानित दायरे के भीतर सुरक्षित रूप से रहेंगे, जो अक्सर वास्तविक दुनिया में हमारे लिए पर्याप्त होता है।

तकनीकी सारांश: गैर-योगात्मक त्रुटियों के साथ इनएक्सैक्ट प्रॉक्सिमल पॉइंट और त्सेंग एल्गोरिदम

समस्या विवरण
यह शोध पत्र एक वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस $H$ में $0 \in Ax$ के रूप में मोनोटोन समावेशन (monotone inclusions) को हल करने की समस्या को संबोधित करता है, जहाँ $A: H \rightrightarrows H$ एक सेट-वैल्यूड मैक्सिमली मोनोटोन ऑपरेटर है। इस कार्य का प्राथमिक ध्यान दो शास्त्रीय एल्गोरिदम के व्यावहारिक, इनएक्सैक्ट संस्करणों के अभिसरण (convergence) पर है: प्रॉक्सिमल पॉइंट एल्गोरिदम (PPA) और त्सेंग एल्गोरिदम (कम्पोजिट समावेशन $0 \in Ax + Bx$ के लिए)।

इस कार्य की एक महत्वपूर्ण विशेषता त्रुटियों का उपचार है। मौजूदा साहित्य के विपरीत, जो यह मानता है कि त्रुटि अनुक्रम योगात्मक (summable) हैं (अर्थात $\sum \|y_k\| < \infty$ , जिसका अर्थ है कि त्रुटियाँ स्पर्शोन्मुखी रूप से शून्य हो जाती हैं), यह शोध पत्र सीमित, गैर-योगात्मक त्रुटियों (bounded, nonsummable errors) के तहत एल्गोरिदम की जांच करता है। विशेष रूप से, त्रुटि अनुक्रम $(y_k)$ इस प्रकार है कि $\|y_k\| \le \delta$ , जहाँ $\delta > 0$ एक निश्चित सहनशीलता (tolerance) है। यह स्थिति उन व्यावहारिक परिदृश्यों से प्रेरित है जहाँ गणना संबंधी त्रुटियाँ कभी शून्य नहीं होती हैं; जबकि सापेक्ष-त्रुटि (relative-error) मानदंड सैद्धांतिक रूप से संभव हैं, वे व्यवहार में सत्यापित करना कठिन होते हैं, जबकि पूर्णतः सीमित त्रुटियाँ (absolutely bounded errors) सत्यापित करने में आसान होती हैं और परिमित-परिशुद्धता गणनाओं (finite-precision computations) के लिए एक यथार्थवादी मॉडल का प्रतिनिधित्व करती हैं जहाँ त्रुटियाँ बनी रह सकती हैं।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित करते हैं जो त्रुटियों की योगात्मकता (summability) पर निर्भरता से बचता है। इसके बजाय, कार्यप्रणाली तीन मुख्य घटकों पर आधारित है:

टिखोनोव रेगुलराइजेशन (Tikhonov Regularization): मूल समावेशन समस्या को एक स्ट्रॉन्गली मोनोटोन पद $\epsilon I$ (जहाँ $\epsilon > 0$ ) जोड़कर रेगुलराइज किया जाता है। PPA के लिए, ऑपरेटर $\tilde{A} = A + \epsilon I$ होता है। कम्पोजिट समस्या के लिए, रेगुलराइज्ड समावेशन $0 \in \tilde{A}x + Bx$ है। यह रेगुलराइजेशन यह सुनिश्चित करता है कि संबंधित रेजोलवेंट ऑपरेटरों (resolvent operators) में स्ट्रॉन्ग कॉन्ट्रैक्शन गुण हों।
कॉन्ट्रैक्शन गुण (Contraction Properties): रेगुलराइजेशन पद द्वारा प्रेरित स्ट्रॉन्ग मोनोटोनिटी का उपयोग करके, लेखक यह प्रदर्शित करते हैं कि रेजोलवेंट ऑपरेटर (और संबंधित त्सेंग मैपिंग) कॉन्ट्रैक्टिव बन जाते हैं। यह त्रुटियों के शून्य होने की आवश्यकता के बिना त्रुटि प्रसार (error propagation) को नियंत्रित करने की अनुमति देता है।
R-कंटिन्यूइटी थ्योरी (R-Continuity Theory): अभिसरण विश्लेषण सेट-वैल्यूड मैपिंग के हाल ही में विकसित R-कंटिन्यूइटी सिद्धांत का लाभ उठाता है। विशेष रूप से, लेखक यह मानते हैं कि व्युत्क्रम ऑपरेटर (जैसे, $A^{-1}$ या $(A+B)^{-1}$ ) मूल बिंदु (origin) पर R-कंटिन्यूअस है। यह गुण लेखकों को रेगुलराइज्ड समस्या के समाधान और मूल समस्या के समाधान सेट के बीच की दूरी को मापने में सक्षम बनाता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

इनएक्सैक्ट प्रॉक्सिमल पॉइंट एल्गोरिदम (IPPA):
यह शोध पत्र IPPA का विश्लेषण करता है जिसे $x_{k+1} = J_{\gamma \tilde{A}}x_k + y_{k+1}$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ $\|y_{k+1}\| \le \delta$ के तहत $y_{k+1}$ रेजोलवेंट ऑपरेटर के मूल्यांकन में प्रति-इटरेशन गणना त्रुटि को दर्शाता है।
- परिणाम: सीमित, गैर-योगात्मक त्रुटियों के तहत, इटरेट्स $x_k$ मूल समावेशन के सटीक समाधान की ओर अभिसरित नहीं होते हैं। इसके बजाय, अनुक्रम समाधान सेट $S = \text{zer}(A)$ के भीतर एक स्थिर, स्पष्ट रूप से बाध्य (explicitly bounded) पड़ोस में रहता है। लेखक एक रचनात्मक ऊपरी सीमा (constructive upper bound) प्राप्त करते हैं:
  $\limsup_{k \to \infty} d(x_k, S) \le \delta(1 + \gamma^{-1}\epsilon^{-1}) + \rho(\epsilon a)$
  जहाँ $\rho$ , 0 पर $A^{-1}$ के R-कंटिन्यूइटी मोडुलस है, और $a$ $S$ के मिनिमल नॉर्म तत्व का नॉर्म है।
- अभिसरण की स्थिति: यह ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि $x_k$ के वास्तविक समाधान बिंदु की ओर वास्तविक (कमजोर) अभिसरण प्राप्त करने के लिए शास्त्रीय योगात्मक-त्रुटि स्थिति ( $\sum \|y_k\| < \infty$ ) की आवश्यकता होती है; यह मजबूत निष्कर्ष इस शोध पत्र की बाउंडेड-एरर सेटिंग के तहत उपलब्ध नहीं है। हालांकि, $\delta = \epsilon^2$ चुनकर, जैसे-जैसे रेगुलराइजेशन पैरामीटर शून्य की ओर बढ़ता है, यह बाउंड लुप्त हो जाता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि एल्गोरिदम मनमाने रूप से सटीक अनुमानित समाधान (एक बाध्यed पड़ोस के अर्थ में) प्रदान करता है।
इनएक्सैक्ट त्सेंग एल्गोरिदम (ITA):
इस दृष्टिकोण को कम्पोजिट समस्या $0 \in Ax + Bx$ के लिए विस्तारित किया गया है, जहाँ $B$ सिंगल-वैल्यूड, मोनोटोन और लिप्सचिट्ज़ निरंतर (Lipschitz continuous) है। ITA को टिखोनोव-रेगुलराइज्ड समस्या पर लागू किया जाता है।
- परिणाम: इस धारणा के तहत कि $(A+B)^{-1}$ , 0 पर R-कंटिन्यूअस है, लेखक सिद्ध करते हैं कि ITA अनुक्रम समाधान की ओर अभिसरित नहीं होता है बल्कि समाधान सेट $S$ के एक बाध्यed दूरी के भीतर रहता है। व्युत्पन्न त्रुटि बाउंड है:
  $d(x_k, S) \le \delta(1 + 2\gamma^{-1}\epsilon^{-1}) + \rho(\epsilon a)$
- IPPA के समान, $\delta = \epsilon^2$ सेट करने से रेगुलराइजेशन पैरामीटर $\epsilon$ के शून्य की ओर जाने पर (दूरी के संदर्भ में) समाधान सेट की ओर अभिसरण प्राप्त होता है, लेकिन गैर-योगात्मक त्रुटियों के तहत इटरेट्स का पॉइंट-वाइज अभिसरण नहीं होता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र केवल सीमित, गैर-योगात्मक त्रुटियों की धारणा के तहत व्यावहारिक इनएक्सैक्ट PPA और त्सेंग एल्गोरिदम की स्थिरता और त्रुटि सीमाओं को स्थापित करने वाला साहित्य में पहला कार्य होने का दावा करता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि टिखोनोव रेगुलराइजेशन पद द्वारा प्रेरित स्ट्रॉन्ग मोनोटोनिटी, न कि त्रुटियों की शास्त्रीय योगात्मकता, इन एल्गोरिदम की स्थिरता और सुव्यवस्थितता (well-posedness) सुनिश्चित करने वाला आवश्यक तंत्र है। उनका तर्क है कि मानक योगात्मकता धारणा को व्यवहार में गारंटी देना अक्सर कठिन होता है, जबकि बाउंडेड-एरर स्थिति गणनात्मक रूप से अधिक यथार्थवादी है।

प्रस्तावित तकनीकों को एक लचीले ढांचे के रूप में प्रस्तुत किया गया है जिसे गैर-योगात्मक विक्षोभों (nonsummable perturbations) वाले अनुकूलन-संबंधी समस्याओं के लिए अन्य इनएक्सैक्ट एल्गोरिदम का विश्लेषण करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है। यह शोध पत्र नए अनुप्रयोगों या प्रयोगात्मक सत्यापन का प्रस्ताव नहीं करता है, बल्कि विशुद्ध रूप से शिथिल त्रुटि स्थितियों के तहत इन एल्गोरिदम के सैद्धांतिक औचित्य पर ध्यान केंद्रित करता है, और स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है कि वे सटीक अभिसरण के बजाय बाध्यed अनुमानित समाधान प्रदान करते हैं।