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A family of variational principles of minima for the plasticity, the friction contact and the fracture mechanics

यह शोध पत्र ब्रेज़िस, एकलैंड और नैरोलेस के कार्यों से प्रेरित, गतिशील अपव्ययी प्रणालियों (डायनामिक डिसिपेटिव सिस्टम्स) के लिए न्यूनतम के एक एकीकृत स्पेस-टाइम वेरिएशनल सिद्धांत को प्रस्तुत करता है, और सैद्धांतिक एवं संख्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से प्लास्टिसिटी, घर्षण संपर्क और फ्रैक्चर मैकेनिक्स में इसके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।

मूल लेखक: Géry de Saxcé

प्रकाशित 2026-06-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Géry de Saxcé

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि मिट्टी का एक टुकड़ा कैसे विकृत (deform) होगा, दो खुरदरी सतहें एक-दूसरे के विरुद्ध कैसे फिसलेंगी, या कांच में एक दरार कैसे फैलेगी। पारंपरिक भौतिकी में, हम आमतौर पर इन समस्याओं को चरण-दर-चरण हल करते हैं, जैसे एक फिल्म के हर फ्रेम को देखना। हम गणना करते हैं कि सेकंड 1 में क्या होता है, फिर सेकंड 2 में, और इसी तरह।

यह शोध पत्र इस समस्या को देखने का एक अलग, अधिक "समग्र" (holistic) तरीका प्रस्तावित करता है। समस्या को फ्रेम-दर-फ्रेम देखने के बजाय, लेखक यह सुझाव देते हैं कि पूरे सिस्टम के शुरू से अंत तक के सबसे "कुशल" या "प्राकृतिक" पथ को खोजने के लिए पूरी फिल्म को एक साथ देखें।

यहाँ रोजमर्रा के उपमाओं (analogies) का उपयोग करके शोध पत्र के विचारों का विवरण दिया गया है:

1. "स्वर्ण पथ" का सिद्धांत (Variational Principles)

एक पहाड़ी से नीचे लुढ़कती हुई गेंद के बारे में सोचें। वह बेतरतीब ढंग से टेढ़ा-मेढ़ा नहीं चलती; वह गुरुत्वाकर्षण और घर्षण द्वारा निर्धारित एक विशिष्ट पथ का अनुसरण करती है। भौतिकी में, हम अक्सर इस पथ को खोजने के लिए "वेरिएशनल सिद्धांतों" का उपयोग करते हैं। मुख्य विचार यह है कि प्रकृति आलसी (या कुशल) है। यह हमेशा उस पथ को चुनती है जो एक निश्चित मात्रा को कम करता है, जो अक्सर ऊर्जा से संबंधित होता है।

यह शोध पत्र BEN सिद्धांत नामक एक विशिष्ट गणितीय उपकरण पर केंद्रित है (गणितज्ञ ब्रेज़िस, एकलैंड और नैरोलेस के नाम पर)। लेखक, जी. डी साक्स (G. de Saxcé) ने इस उपकरण को जटिल, "अव्यवस्थित" वास्तविक दुनिया की स्थितियों को संभालने के लिए उन्नत किया है जहाँ ऊर्जा नष्ट (dissipate) होती है, जैसे घर्षण से उत्पन्न ऊष्मा या प्लास्टिक सामग्री में स्थायी विरूपण।

2. दो इंजन: उत्क्रमणीय बनाम अनुत्क्रमणीय (Reversible vs. Irreversible)

लेखक किसी भी भौतिक प्रणाली की गति को दो भागों में विभाजित करते हैं, जैसे दो अलग-अलग इंजनों वाली एक कार:

उत्क्रमणीय इंजन (सिम्प्लेक्टिक ज्योमेट्री - Symplectic Geometry): यह "आदर्श" भाग है। यदि आप समय को उल्टा कर सकें, तो यह हिस्सा पूरी तरह से पीछे की ओर चलेगा। एक तारे की परिक्रमा करते ग्रह या निर्वात में झूलते पेंडुलम के बारे में सोचें। यह हैमिल्टनियन मैकेनिक्स (संरक्षण के गणित) द्वारा संचालित है।
अनुत्क्रमणीय इंजन (क्षय/Dissipation): यह "वास्तविक दुनिया" वाला भाग है। यहीं पर ऊर्जा ऊष्मा, ध्वनि या स्थायी क्षति के रूप में नष्ट होती है। एक कार के ब्रेक लगाने, मिट्टी के दबने, या एक दरार के बढ़ने के बारे में सोचें। आप मिट्टी को वापस पहले जैसा नहीं बना सकते।

इस शोध पत्र का मुख्य नवाचार इन दोनों इंजनों को एक एकीकृत गणितीय ढांचे में संयोजित करना है। यह उत्क्रमणीय भाग को संभालने के लिए सिम्प्लेक्टिक ज्योमेट्री (गणित की एक शाखा जो फेज स्पेस में क्षेत्रों और रोटेशन से संबंधित है) और अनुत्क्रमणीय, क्षय वाले भाग को संभालने के लिए कॉन्वेक्स एनालिसिस (उन आकृतियों से संबंधित गणित की एक शाखा जो बाहर की ओर मुड़ी हुई होती हैं, जैसे कटोरे) का उपयोग करता है।

3. "न्यूनतम शून्य" की चाल (The "Minimum Zero" Trick)

यह शोध पत्र एक फंकशनल (एक ऐसा सूत्र जो पूरे पथ को इनपुट के रूप में लेता है और एक संख्या आउटपुट के रूप में देता है) पेश करता है। मुख्य दावा यह है:

प्राकृतिक, वास्तविक दुनिया का पथ वह है जो इस सूत्र को बिल्कुल शून्य के बराबर बनाता है।

शून्य क्यों? क्योंकि यह सूत्र एक गणितीय असमानता (फेंचल की असमानता - Fenchel’s inequality) का उपयोग करके बनाया गया है जो कहता है कि परिणाम हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। सिस्टम का वास्तविक, प्राकृतिक अवस्था में होने का एकमात्र तरीका यह है कि वह पूर्ण न्यूनतम मान प्राप्त करे: शून्य।

यह विरोधाभासी लगता है क्योंकि हम आमतौर पर हर क्षण बलों (forces) की गणना करके भौतिकी की समस्याओं को हल करने के बारे में सोचते हैं। यहाँ, लेखक कहते हैं: "घटना के पूरे इतिहास को देखें। वास्तविक इतिहास वही है जहाँ यह विशिष्ट ऊर्जा-संतुलन समीकरण शून्य के बराबर होता है।"

4. "नॉन-एसोसिएटेड" नियमों को संभालना (The Bipotential)

कुछ भौतिक नियम पेचीदा होते हैं। उदाहरण के लिए, कूलम्ब घर्षण (दो फिसलती सतहों के बीच का घर्षण) उन सरल "सामान्य" नियमों का पालन नहीं करता है जिनका पालन अधिकांश प्लास्टिक सामग्रियां करती हैं। फिसलने की दिशा हमेशा घर्षण बल के साधारण ज्यामितीय तरीके से लंबवत नहीं होती है। इन्हें "नॉन-एसोसिएटेड" कानून कहा जाता है।

इन्हें संभालने के लिए, लेखक एक अवधारणा पेश करते हैं जिसे बायपोटेंशियल (Bipotential) कहा जाता है। एक मानक पोटेंशियल (potential) एक एकल पहाड़ी की तरह है। एक बायपोटेंशियल एक दो-स्तरीय मानचित्र की तरह है जो दो अलग-अलग चरों (जैसे बल और वेग) को इस तरह जोड़ता है कि जब संबंध जटिल और गैर-सुचारू (non-smooth) हो, तब भी "न्यूनतम शून्य" सिद्धांत काम कर सके।

5. शोध पत्र में उल्लेखित वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग

यह शोध पत्र इस एकीकृत ढांचे को कई उदाहरणों के साथ स्पष्ट करता है:

प्लास्टिसिटी और विस्कोप्लास्टिसिटी (Plasticity & Viscoplasticity): तनाव के तहत धातु या प्लास्टिक कैसे स्थायी रूप से विकृत होते हैं।
घर्षण संपर्क (Frictional Contact): दो पिंड आपस में कैसे छूते हैं और एक-दूसरे के विरुद्ध फिसलते हैं (जैसे ढलान पर एक ब्लॉक)।
फ्रैक्चर मैकेनिक्स (Fracture Mechanics): दरारें कैसे बढ़ती हैं। शोध पत्र दिखाता है कि यह विधि दरार के बढ़ने की दिशा की भविष्यवाणी कर सकती है, और यह प्रयोगात्मक डेटा के साथ अच्छी तरह मेल खाती है।
तरल पदार्थ (Fluids): यह पानी (नेवियर-स्टोक्स समीकरण) और टूथपेस्ट या कीचड़ जैसे गाढ़े तरल पदार्थों (बिंगहम फ्लूइड्स) तक विस्तारित है।

6. यह क्यों महत्वपूर्ण है?

एकीकृत भाषा: यह बहुत अलग-अलग घटनाओं (ठोस, तरल, दरार, घर्षण) को एक ही अंतर्निहित तर्क का उपयोग करके वर्णित करने के लिए एक ही गणितीय "भाषा" प्रदान करता है।
संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulation): हालांकि गणित अमूर्त है, यह इंजीनियरों को बेहतर कंप्यूटर सिमुलेशन बनाने में मदद करता है। छोटे चरणों को हल करने के बजाय, जिनमें त्रुटियां जमा हो सकती हैं, यह दृष्टिकोण पूरी प्रक्रिया को देख सकता है, जिससे संभावित रूप से अधिक स्थिर और सटीक परिणाम मिल सकते हैं।
गहरी अंतर्दृष्टि: यह प्रकट करता है कि भले ही व्यवस्थाएं (systems) अव्यवस्थित और क्षय वाली हों (जहाँ ऊर्जा नष्ट होती है), उनमें भी एक छिपी हुई "न्यूनतम सिद्धांत" संरचना होती है, जो संरक्षण प्रणालियों के सुंदर नियमों के समान है।

सरल शब्दों में:

कल्पना कीजिए कि आप न्यूयॉर्क से लॉस एंजिल्स तक की सड़क यात्रा की योजना बना रहे हैं।

पारंपरिक भौतिकी: आप हर चौराहे पर सबसे अच्छे मोड़ की गणना करते हैं, एक-एक करके।
इस शोध पत्र का दृष्टिकोण: आप पूरे मानचित्र को देखते हैं और पूछते हैं, "वह कौन सा एकल मार्ग है जो कुल 'लागत' (समय + ईंधन + टूट-फूट) को कम करता है?" शोध पत्र सिद्ध करता है कि सिस्टम द्वारा लिया गया वास्तविक मार्ग वही है जहाँ यह कुल लागत एक विशिष्ट न्यूनतम मान (उनके गणितीय सूत्र में शून्य) तक पहुँचती है।

यह कहने का एक तरीका है कि: "प्रकृति केवल वर्तमान पर प्रतिक्रिया नहीं देती; यह दक्षता के एक वैश्विक नियम का पालन करती है जो पूरी घटना तक फैला हुआ है।"

तकनीकी सारांश: प्लास्टिसिटी, घर्षण संपर्क और फ्रैक्चर मैकेनिक्स के लिए न्यूनतमों के विविध सिद्धांतों का एक परिवार

समस्या और संदर्भ
यह शोध पत्र गतिशील विसरणात्मक प्रणालियों (dynamic dissipative systems) को मॉडल करने के लिए एक एकीकृत वेरिएशनल फ्रेमवर्क की आवश्यकता को संबोधित करता है, विशेष रूप से प्लास्टिसिटी, घर्षण संपर्क (frictional contact) और फ्रैक्चर मैकेनिक्स को लक्षित करते हुए। जबकि वेरिएशनल सिद्धांत पारंपरिक रूप से प्रतिवर्ती प्रणालियों (reversible systems) के लिए उपयोग किए जाते हैं (हैमिल्टन के न्यूनतम क्रिया सिद्धांत के माध्यम से), वे विसरणात्मक प्रणालियों के लिए विफल हो जाते हैं जहाँ ऊर्जा का ह्रास होता है। मौजूदा एकीकृत ढांचे, जैसे कि मोरिसन के मेट्रिप्लेक्टिक सिस्टम (GENERIC) और मिलके और थिल के रेट-इंडिपेंडेंट सिस्टम, विशिष्ट ज्यामितीय संरचनाओं (रीमानियन या सिम्प्लेक्टिक) पर निर्भर करते हैं और अक्सर प्रतिबंधात्मक धारणाएं लागू करते हैं, जैसे कि 1-होमोजेनिटी (1-homogeneity)। लेखक इन सीमाओं को दूर करने के लिए एक गैर-इन्क्रीमेंटल, स्पेस-टाइम वेरिएशनल प्रिंसिपल ऑफ मिनिमा विकसित करने का प्रयास करते हैं जो नॉन-एसोसिएटेड फ्लो रूल्स और सामान्य विसरणात्मक व्यवहारों को बिना 1-होमोजेनिटी की आवश्यकता के समायोजित कर सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)
कार्यप्रणाली कॉनवेक्स एनालिसिस (convex analysis) और सिम्प्लेक्टिक ज्योमेट्री (symplectic geometry) पर आधारित है। मुख्य दृष्टिकोण में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

कॉनवेक्स एनालिसिस की नींव: लेखक फेंचेल ट्रांसफॉर्म (Fenchel transform) और सबडिफरेंशियल (subdifferentials) का उपयोग करते हैं। एक कॉनवेक्स फंक्शन $\varphi$ के लिए, $\partial \varphi(x)$ नॉर्मलिटी लॉ ( $y \in \partial \varphi(x)$ ) के माध्यम से कंस्टिट्यूटिव लॉ को परिभाषित करता है। महत्वपूर्ण रूप से, यह शोध पत्र केवल नॉर्मलिटी लॉ के बजाय एक्स्ट्रेमलिटी कंडीशन $\varphi(x) + \varphi^*(y) = \langle x, y \rangle$ को केंद्रीय गणितीय उपकरण के रूप में महत्व देता है।
डायनेमिक्स के लिए सिम्प्लेक्टिक ज्योमेट्री: सिस्टम को फेज स्पेस $Z = X \times Y$ (डिग्री ऑफ फ्रीडम और मोमेंटा) में मॉडल किया गया है, जो एक कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक फॉर्म $\omega$ से सुसज्जित है। अवस्था के परिवर्तन की दर $\dot{z}$ को एक प्रतिवर्ती भाग (हैमिल्टनियन का सिम्प्लेक्टिक ग्रेडिएंट, $\nabla_\omega H$ ) और एक अपरिवर्तनीय/विसरणात्मक भाग ( $\dot{z}_I$ ) में योगात्मक रूप से विभाजित किया गया है।
सिम्प्लेक्टिक सबडिफरेंशियल और पोलर: सामान्य विसरण (dissipation) को संभालने के लिए, लेखक सिम्प्लेक्टिक सबडिफरेंशियल $\partial_\omega \varphi(\dot{z})$ और सिम्प्लेक्टिक फेंचेल पोलर $\varphi^*_\omega$ को परिभाषित करते हैं। यह एक "सिम्प्लेक्टिक फेंचेल इनइक्वलिटी" को तैयार करने की अनुमति देता है, जो वेरिएशनल प्रिंसिपल का आधार है।
SBEN सिद्धांत: ब्रेज़िस-एकेलैंड-नेयरोल्स (BEN) सिद्धांत से प्रेरित होकर, लेखक सिम्प्लेक्टिक ब्रेज़िस-एकेलैंड-नेयरोल्स (SBEN) सिद्धांत प्रस्तावित करते हैं। यह सिद्धांत बताता है कि एक विसरणात्मक डायनेमिक सिस्टम का प्राकृतिक विकास पथ एक कार्यात्मक $\Pi(z)$ को कम करता है, जिसे विसरण क्षमता (dissipation potential), हैमिल्टनियन और सिम्प्लेक्टिक फॉर्म से बनाया गया है, जिसका न्यूनतम मान शून्य होता है।
नॉन-एसोसिएटेड लॉ के लिए बायपोटेंशियल: नॉन-एसोसिएटेड कंस्टिट्यूटिव लॉ (जैसे कि कूलम्ब घर्षण) के लिए, जहाँ एक एकल कॉनवेक्स पोटेंशियल अपर्याप्त है, लेखक बायपोटेंशियल $b(x,y)$ पेश करते हैं और उन्हें सिम्प्लेक्टिक बायपोटेंशियल $\hat{b}$ तक विस्तारित करते हैं। यह SBEN सिद्धांत को उन प्रणालियों के लिए सामान्य बनाने की अनुमति देता है जिनमें नॉन-एसोसिएटेड फ्लो रूल्स होते हैं।

मुख्य योगदान

एकीकृत ढांचा: यह शोध पत्र एक एकल वेरिएशनल फ्रेमवर्क (SBEN) प्रस्तुत करता है जो इलास्टोप्लास्टिसिटी, विस्कोप्लास्टिसिटी, यूनिलैटरल कॉन्टैक्ट, फ्लूइड डायनेमिक्स (नेवियर-स्टोक्स, बिंगहैम फ्लूइड्स) और फ्रैक्चर मैकेनिक्स सहित विसरणात्मक प्रणालियों के एक विस्तृत स्पेक्ट्रम पर लागू होता है।
1-होमोजेनिटी से परे सामान्यीकरण: सिम्प्लेक्टिक पोलर को पेश करके, यह ढांचा रेट-इंडिपेंडेंट सिस्टम के लिए आवश्यक प्रतिबंधात्मक 1-होमोजेनिटी धारणा को हटा देता है, जिससे विस्कोप्लास्टिसिटी और अन्य रेट-डिपेंडेंट व्यवहारों को समायोजित करना संभव होता है।
नॉन-एसोसिएटेड लॉ को संभालना: सिम्प्लेक्टिक बायपोटेंशियल का परिचय नॉन-एसोसिएटेड कंस्टिट्यूटिव लॉ, जैसे कि कूलम्ब घर्षण के साथ यूनिलैटरल कॉन्टैक्ट, को विस्तारित करता है, जिन्हें मानक कॉनवेक्स पोटेंशियल द्वारा मॉडल नहीं किया जा सकता है।
शास्त्रीय परिणामों की प्राप्ति: यह शोध पत्र दिखाता है कि कैसे शास्त्रीय सिद्धांतों और नियमों को विशेष मामलों के रूप में प्राप्त किया जाता है:
- इलास्टिसिटी के लिए हुक का नियम (डीजेनरेट केस)।
- मानक प्लास्टिसिटी के लिए हिल की असमानता।
- साइनोरिनी कॉन्टैक्ट के लिए लीनियर कॉम्प्लीमेंटरी प्रॉब्लम्स (LCP)।
- अविश्लेषणात्मक (inviscid) प्रवाह के लिए बरनौली का सिद्धांत।

परिणाम और अनुप्रयोग
शोध पत्र कई सैद्धांतिक और संख्यात्मक उदाहरणों के माध्यम से SBEN सिद्धांत को स्पष्ट करता है:

प्लास्टिसिटी और विस्कोप्लास्टिसिटी: सिद्धांत स्टेटिक्स के लिए मानक नॉन-इन्क्रीमेंटल BEN सिद्धांत को पुनः प्राप्त करता है और इसे डायनेमिक्स तक विस्तारित करता है। मोटे और पतले ट्यूबों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन को प्रमाण के रूप में उद्धृत किया गया है।
यूनिलैटरल कॉन्टैक्ट: सिद्धांत को घर्षण के बिना साइनोरिनी कॉन्टैक्ट पर लागू किया गया है, जो शास्त्रीय LCP फॉर्मूलेशन के समकक्षता को दर्शाता है।
द्रव गति विज्ञान (Fluid Dynamics): SBEN सिद्धांत को यूलेरियन स्पेसिफिकेशन और जेट प्रोलॉन्गेशन तकनीकों का उपयोग करके संपीड़ित नेवियर-स्टोक्स समीकरणों और बिंगहैम फ्लूइड्स के लिए विस्तारित किया गया है।
फ्रैक्चर मैकेनिक्स: सिद्धांत को क्रैक के किनारों के बीच घर्षण के साथ क्रैक प्रोपेगेशन पर लागू किया गया है।
- नॉर्मलिटी लॉ का सत्यापन: लेखक मिश्रित-मोड लोडिंग के तहत क्रैक किंकिंग एंगल्स (kinking angles) की भविष्यवाणियों की तुलना PMMA नमूनों के प्रयोगात्मक डेटा से करते हैं। वे तर्क देते हैं कि नॉर्मलिटी लॉ का उपयोग करने वाला एक इम्प्लिसिट स्कीम बहुत अच्छे से प्रयोगों के अनुरूप परिणाम देता है, जबकि एक्सप्लिसिट स्कीमें (जैसे हेलन और ब्लैकबर्न) विफल रहती हैं।
- अनुभवजन्य मानदंड: व्युत्पन्न मानदंड रिचर्ड के अनुभवजन्य मानदंड के साथ अच्छी तरह से मेल खाता है और यह सुझाव देता है कि प्रिंसिपल ऑफ लोकल सिमेट्री ( $K^*_{II}=0$ ) अधिक सामान्य नॉर्मलिटी लॉ का एक विशिष्ट परिदृश्य है।

महत्व और दावे
लेखकों का दावा है कि SBEN सिद्धांत एक सुसंगत ज्यामितीय ढांचा प्रदान करता है जो सैद्धांतिक मॉडलिंग और संख्यात्मक सिमुलेशन के बीच सेतु बनाता है। वे इस बात पर जोर देते हैं कि यह दृष्टिकोण केवल कमजोर फॉर्मूलेशन (weak formulations) प्राप्त करने का एक उपकरण नहीं है, बल्कि कंस्टिट्यूटिव लॉ को मॉडल करने के नए विचारों का स्रोत भी है। शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि "डेरिवेटिंग, इंटीग्रेटिंग और मिनोराइजिंग" के चरणों द्वारा सारांशित वेरिएशनल दृष्टिकोण लैग्रेंजियन और यूलेरियन दोनों स्पेसिफिकेशन में स्मूथ और नॉन-स्मूथ मैकेनिक्स के लिए उपयुक्त है। वे विशेष रूप से फ्रैक्चर मैकेनिक्स में नॉर्मलिटी लॉ द्वारा वर्णित भौतिकी को सही ढंग से पकड़ने के लिए इम्प्लिसिट स्कीम्स के उपयोग की वकालत करते हैं।