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Two-Sample Hypothesis Testing for Subspace Equality in Network Data

यह शोध पत्र यह निर्धारित करने के लिए सबस्पेस प्रोजेक्शन अंतरों के फ्रोबेनियस नॉर्म (Frobenius norm) पर आधारित एक टू-सैंपल हाइपोथीसिस टेस्ट का प्रस्ताव करता है कि क्या दो नेटवर्क समान अंतर्निहित संरचनात्मक कनेक्टिविटी पैटर्न, जैसे कि समुदायों (communities), को साझा करते हैं, भले ही उनकी एज संभावनाएँ (edge probabilities) भिन्न हों, और विशिष्ट घनत्व स्थितियों के तहत इसके एसिम्प्टोटिक गॉसियन व्यवहार और स्थानीय शक्ति (local power) को स्थापित करता है।

मूल लेखक: Rajdeep Brahma, Joshua Agterberg, Yuguo Chen

प्रकाशित 2026-06-05

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Rajdeep Brahma, Joshua Agterberg, Yuguo Chen

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

मुख्य विचार: क्या ये दो नेटवर्क "एक ही परिवार" के हैं?

कल्पना कीजिए कि आपके पास दो अलग-अलग सोशल नेटवर्क हैं।

नेटवर्क A एक ऐसे प्लेटफॉर्म पर दोस्तों का समूह है जहाँ हर कोई बहुत बातूनी है और बहुत सारे संदेश भेजता है।
नेटवर्क B एक अलग प्लेटफॉर्म पर दोस्तों का समूह है जहाँ लोग शर्मीले हैं और बहुत कम संदेश भेजते हैं।

भले ही बातचीत का वॉल्यूम (मात्रा) पूरी तरह से अलग हो, आपको संदेह हो सकता है कि अंतर्निहित संरचना (structure) एक ही है। शायद दोनों नेटवर्क में एक ही तरह के "क्लिक्स" या "कम्युनिटीज़" (जैसे, गेमर्स का एक समूह, पुस्तक प्रेमियों का एक समूह) हैं, बस उनकी गतिविधि का स्तर अलग है।

समस्या: आप गणितीय रूप से यह कैसे सिद्ध करेंगे कि इन दोनों नेटवर्क का "कंकाल" या "ब्लूप्रिंट" एक ही है, भले ही एक शोर मचा रहा हो और दूसरा शांत हो?

समाधान: इस पेपर के लेखकों ने ठीक इसी सवाल का जवाब देने के लिए एक नया सांख्यिकीय परीक्षण (statistical test) बनाया है। वे यह नहीं पूछ रहे हैं कि, "क्या बिल्कुल वही लोग बात कर रहे हैं?" वे यह पूछ रहे हैं कि, "क्या ये दो नेटवर्क एक ही छिपे हुए समूहों को छिपाए हुए हैं?"

मूल अवधारणा: "परछाई" का रूपक (The "Shadow" Analogy)

उनके तरीके को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक 3D वस्तु (जैसे एक जटिल मूर्ति) दीवार पर अपनी परछाई डाल रही है।

मूर्ति नेटवर्क की छिपी हुई संरचना (कम्युनिटीज़) है।
परछाई वह नेटवर्क डेटा है जिसे हम वास्तव में देखते हैं (कौन किससे जुड़ा है)।
प्रकाश (Lighting) "एज प्रोबेबिलिटीज" (लोग कितनी संभावना से बात करते हैं) का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि आप उसी मूर्ति पर तेज़ रोशनी (उच्च गतिविधि) या मंद रोशनी (कम गतिविधि) डालते हैं, तो परछाई का आकार वही रहता है, भले ही परछाई गहरी या हल्की हो जाए।

लेखकों का परीक्षण यह जाँचता है कि क्या दो अलग-अलग परछाइयाँ (नेटवर्क A और नेटवर्क B) एक ही अंतर्निहित मूर्ति द्वारा बनाई गई हैं। वे इसे "सबस्पेस समानता" (Subspace Equality) की जाँच कहते हैं। गणितीय शब्दों में, वे "लीडिंग सबस्पेस" (leading subspace) को देख रहे हैं, जो मूल रूप से नेटवर्क के छिपे हुए समूहों द्वारा बनाई गई मुख्य ज्यामितीय आकृति है।

यह परीक्षण कैसे काम करता है: "रूलर" और "शोर"

लेखक इस अंतर को मापने के लिए एक विशिष्ट तरीका प्रस्तावित करते हैं।

ब्लूप्रिंट निकालें: सबसे पहले, वे "स्पेक्ट्रल विश्लेषण" नामक एक गणितीय उपकरण का उपयोग करके शोर वाले डेटा से "ब्लूप्रिंट" निकालते हैं। इसे नेटवर्क के कंकाल को देखने के लिए एक विशेष एक्स-रे का उपयोग करने के रूप में समझें, जो रैंडम बातचीत को अनदेखा कर देता है।
दूरी मापें: वे नेटवर्क A के ब्लूप्रिंट और नेटवर्क B के ब्लूप्रिंट के बीच की दूरी की गणना करते हैं।
- यदि दूरी शून्य है (या बहुत कम है), तो नेटवर्क समान संरचना साझा करते हैं।
- यदि दूरी बड़ी है, तो संरचनाएं अलग हैं।
"फ्रोबिनियस नॉर्म" रूलर: वे इस दूरी को मापने के लिए फ्रोबिनियस नॉर्म (Frobenius norm) नामक एक विशिष्ट गणितीय रूलर का उपयोग करते हैं। यह दोनों ब्लूप्रिंट के बीच के कुल "बेमेल" (mismatch) को मापने जैसा है।

जादुई तत्व: "गौसियन" बेल कर्व (The "Gaussian" Bell Curve)

सबसे महत्वपूर्ण बात जो उन्होंने खोजी है, वह यह है कि जब आप बड़े नेटवर्क पर यह परीक्षण चलाते हैं तो क्या होता है।

लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि आप इस दूरी के माप को लेते हैं, इसे थोड़ा समायोजित करते हैं (सेंटरिंग और स्केलिंग), और परीक्षण चलाते हैं, तो परिणाम हमेशा एक बेल कर्व (गौसियन वितरण) का पालन करेंगे।

यह क्यों मायने रखता है?
सांख्यिकी में, यह जानना कि आपके परिणाम एक बेल कर्व का पालन करते हैं, एक परफेक्ट मैप होने जैसा है। यह आपको उच्च विश्वास के साथ यह कहने की अनुमति देता है: "केवल रैंडम किस्मत के कारण इन दोनों नेटवर्कों के बीच इतना अंतर होने की संभावना 5% से कम है।" यह उन्हें यह तय करने में सक्षम बनाता है कि क्या दो नेटवर्क एक ही संरचना साझा करते हैं या नहीं।

वास्तविक दुनिया का प्रमाण: एयरपोर्ट नेटवर्क

अपने तरीके को सिद्ध करने के लिए, उन्होंने केवल नकली कंप्यूटर डेटा का उपयोग नहीं किया; उन्होंने वास्तविक अमेरिकी उड़ान डेटा (US flight data) पर इसका परीक्षण किया।

सेटअप: उन्होंने विभिन्न महीनों के उड़ान नेटवर्क को देखा।
स्थिर महीने: उन्होंने जनवरी की तुलना जनवरी से की (जैसे, जनवरी 2019 बनाम जनवरी 2020)। इन महीनों में आमतौर पर यात्रा के पैटर्न समान होते हैं। उनके परीक्षण ने सही कहा, "ये नेटवर्क एक ही हैं।"
व्यवधान (Disruption): उन्होंने जून 2020 (महामारी का चरम समय) की तुलना अन्य वर्षों से की। इस दौरान, अमेरिकी उड़ान नेटवर्क पूरी तरह से बिखर गया था; कई हवाई अड्डों की उड़ानों की संख्या शून्य थी।
परिणाम: उनका परीक्षण चिल्लाकर बोला, "ये पूरी तरह से अलग हैं!" इसने सफलतापूर्वक पता लगाया कि महामारी के दौरान हवाई अड्डा नेटवर्क का "कंकाल" मौलिक रूप से बदल गया था, जो इसे अन्य वर्षों के स्थिर, आवर्ती पैटर्न से अलग करता है।

"वन-सैंपल" बोनस

पेपर में उनके परीक्षण का एक "वन-सैंपल" संस्करण भी उल्लेखित है। कल्पना कीजिए कि आपके पास एक नेटवर्क है और एक "परफेक्ट" सैद्धांतिक मॉडल है कि उसे कैसा दिखना चाहिए। उनका तरीका यह भी बता सकता है कि वास्तविक नेटवर्क उस आदर्श मॉडल से कितना दूर है। यह जांचने के लिए उपयोगी है कि क्या कोई विशिष्ट नेटवर्क सामान्य व्यवहार कर रहा है या यह अपनी अपेक्षित संरचना से भटक रहा है।

योगदान का सारांश

एक नया परीक्षण: उन्होंने नेटवर्क के "छिपे हुए आकार" की तुलना करने के लिए एक उपकरण बनाया, जो यह अनदेखा करता है कि नेटवर्क कितना व्यस्त या शांत है।
गणितीय प्रमाण: उन्होंने सिद्ध किया कि यह उपकरण विश्वसनीय है और एक अनुमानित बेल कर्व पैटर्न का पालन करता है, जिससे संभावनाओं की गणना करना आसान हो जाता है।
वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग: उन्होंने दिखाया कि यह वास्तविक डेटा पर काम करता है, जिसने महामारी के कारण अमेरिकी हवाई अड्डों में आए बड़े संरचनात्मक बदलाव को सफलतापूर्वक पहचाना।

संक्षेप में, उन्होंने हमें नेटवर्क के शोर और वॉल्यूम से परे देखने का एक तरीका दिया है ताकि यह देखा जा सके कि क्या उनका वास्तविक, छिपा हुआ पारिवारिक वृक्ष (family tree) दूसरे के समान है।

तकनीकी सारांश: नेटवर्क डेटा में सबस्पेस समानता के लिए टू-सैंपल हाइपोथेसिस टेस्टिंग

समस्या का निरूपण (Problem Formulation)

यह शोध पत्र इस मौलिक चुनौती को संबोधित करता है कि क्या दो स्वतंत्र नेटवर्क-मूल्य वाले डेटा सेट समान अंतर्निहित संरचनात्मक कनेक्टिविटी पैटर्न (विशेष रूप से उनके लेटेंट कम्युनिटी स्ट्रक्चर) साझा करते हैं, भले ही उनकी किनारों की प्रायिकता (edge probabilities) में महत्वपूर्ण अंतर हो। कई अनुप्रयोगों में, जैसे कि विभिन्न प्लेटफार्मों पर सोशल नेटवर्क की तुलना करना या समय के साथ हवाई अड्डे की कनेक्टिविटी का विश्लेषण करना, "कम्युनिटीज" (लेटेंट समूह) स्थिर रह सकती हैं जबकि घनत्व या विशिष्ट कनेक्शन प्रायिकताएं उतार-चढ़ाव भरी हो सकती हैं।

औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि $A^{(1)}$ और $A^{(2)}$ आकार $n \times n$ के दो स्वतंत्र एडजेसेंसी मैट्रिसेस (adjacency matrices) हैं, जो सममित (symmetric), लो-रैंक प्रायिकता मैट्रिसेस $P^{(1)}$ और $P^{(2)}$ (रैंक $k$ के) से उत्पन्न होते हैं। लेखक इस शून्य परिकल्पना (null hypothesis) का परीक्षण करने का प्रस्ताव करते हैं कि इन प्रायिकता मैट्रिसेस के लीडिंग आइजनवेक्टर्स द्वारा स्पैन किए गए कॉलम स्पेस (सबस्पेस) समान हैं:
$H_0: V^{(1)}(V^{(1)})^\top = V^{(2)}(V^{(2)})^\top$
बनाम $H_1$ जहाँ सबस्पेस भिन्न होते हैं। यहाँ, $V^{(i)} \in \mathbb{R}^{n \times k}$ में $P^{(i)}$ के गैर-शून्य आइजनवैल्यूज़ के संगत ऑर्थोनॉर्मल आइजनवेक्टर्स शामिल हैं।

यह परिकल्पना दिखाया गया है कि यह परम्यूटेशन और स्केलिंग तक, स्टोकैस्टिक ब्लॉकमॉडेल्स (SBM) और मिक्स्ड-मेंबरशिप स्टोकैस्टिक ब्लॉकमॉडेल्स (MMSBM) में कम्युनिटी स्ट्रक्चर की समानता, और जनरलाइज्ड रैंडम डॉट प्रोडक्ट ग्राफ्स (GRDPG) में लेटेंट फीचर स्पेस की समानता के परीक्षण के समतुल्य है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

टेस्ट स्टैटिस्टिक (Test Statistic)

प्रस्तावित टेस्ट स्टैटिस्टिक दो नेटवर्कों के एम्पिरिकल स्पेक्ट्रल प्रोजेक्शन मैट्रिसेस के बीच फ्रोबेनियस नॉर्म (Frobenius norm) के अंतर पर आधारित है। मान लीजिए कि $\hat{V}^{(i)}$ , $A^{(i)}$ के लीडिंग $k$ एम्पिरिकल आइजनवेक्टर्स का मैट्रिक्स है। स्टैटिस्टिक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$T_n := \| \hat{V}^{(1)}(\hat{V}^{(1)})^\top - \hat{V}^{(2)}(\hat{V}^{(2)})^\top \|_F^2$

एसिम्प्टोटिक थ्योरी (Asymptotic Theory)

मुख्य सैद्धांतिक योगदान एक लिमिट थ्योरम है जो यह स्थापित करता है कि उचित सेंट्रिंग और स्केलिंग के तहत, $T_n$ एक स्टैंडर्ड गॉसियन रैंडम वेरिएबल में अभिसरित (converge) होता है। यह परिणाम निम्नलिखित शर्तों के तहत मान्य है:

स्पैरसिटी (Sparsity): औसत अपेक्षित डिग्री वर्टिस की संख्या ( $n$ ) के साथ कम से कम लॉगरिदमिक रूप से बढ़ती है ( $n\rho_n \gg \log n$ )।
आइजनवैल्यू स्केलिंग: प्रायिकता मैट्रिसेस के गैर-शून्य आइजनवैल्यू $n\rho_n$ के साथ रैखिक रूप से स्केल होते हैं।
इनकोहेरेंस (Incoherence): जनसंख्या आइजनवेक्टर्स की पंक्तियाँ (rows) समान रूप से फैली हुई हैं (एक स्थिति जो संतुलित ब्लॉकमॉडल आकार द्वारा संतुष्ट होती है)।

स्टैटिस्टिक के लिए एसिम्प्टोटिक मीन ( $\mu_2$ ) और वेरिएंस ( $\sigma_2^2$ ) को जनसंख्या मापदंडों के स्पष्ट रूप में व्युत्पन्न किया गया है। व्युत्पत्ति प्रोजेक्शन अंतर के एक नवीन मैट्रिक्स सीरीज़ एक्सपेंशन पर निर्भर करती है, जो स्टैटिस्टिक को एक प्रमुख द्वितीय-क्रम पद (second-order term) और उच्च-क्रम शेष पदों (higher-order remainder terms) में विभाजित करती है। प्रमाण एक मार्टिंगेल सेंट्रल लिमिट थ्योरम का उपयोग करता है ताकि द्वितीय-क्रम पद के लिए गॉसियन लिमिट स्थापित की जा सके, जबकि यह प्रदर्शित करता है कि उच्च-क्रम पद एसिम्प्टोटिक रूप से नगण्य हैं।

डेटा-ड्रिवन एस्टीमेशन (Data-Driven Estimation)

टेस्ट को क्रियाशील बनाने के लिए, लेखक इसके एसिम्प्टोटिक मीन और वेरिएंस के लिए सुसंगत प्लग-इन एस्टिमेटर्स प्रस्तावित करते हैं। ये एस्टिमेटर्स अज्ञात जनसंख्या आइजनवेक्टर्स और आइजनवैल्यूज़ को उनके एम्पिरिकल समकक्षों से बदलते हैं। इन एस्टिमेटर्स की निरंतरता (consistency) एक थोड़े अधिक सख्त "डेंस रिजीम" ( $n\rho_n \gg \sqrt{n}$ ) धारणा के तहत सिद्ध की गई है, जो यह सुनिश्चित करती है कि एस्टीमेशन एरर लिमिटिंग डिस्ट्रीब्यूशन को विकृत नहीं करता है।

वन-सैंपल एनालॉग (One-Sample Analogue)

यह शोध पत्र एक संबंधित लिमिट थ्योरम भी स्थापित करता है, जो एक एम्पिरिकल सबस्पेस और एक ज्ञात संदर्भ सबस्पेस के बीच की दूरी का आकलन करता है। यह परिणाम दो-सैंपल प्रमाण के लिए तकनीकी आधार के रूप में कार्य करता है और इसे एक स्वतंत्र रुचि के परिणाम के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो प्रोजेक्शन डिस्टेंस पर कॉन्फिडेंस इंटरवल प्रदान करने का आधार देता है।

मुख्य योगदान (Key Contributions)

कॉमन सबस्पेस के लिए टू-सैंपल टेस्ट: लेखक लो-रैंक प्रायिकता मैट्रिसेस के कॉलम स्पेस की समानता के लिए एक स्पेक्ट्रल टेस्ट स्टैटिस्टिक प्रस्तावित करते हैं। वे इसकी एसिम्प्टोटिक नॉर्मलिटी सिद्ध करते हैं और इसके मापदंडों के लिए सुसंगत एस्टिमेटर्स प्रदान करते हैं, जिससे बूटस्ट्रैपिंग जैसी गणनात्मक रूप से गहन रीसैंपलिंग विधियों के बिना कठोर टाइप I एरर कंट्रोल संभव होता है।
ब्लॉकमॉडल परिवारों पर अनुप्रयोग: यह फ्रेमवर्क दिखाया गया है कि यह SBM और MMSBM दोनों के लिए लागू है। टेस्ट कम्युनिटी स्ट्रक्चर (मेंबरशिप असाइनमेंट) में बदलावों को प्रभावी ढंग से पहचानता है, भले ही किनारों की प्रायिकता भिन्न हो, जो केवल घनत्व के उतार-चढ़ाव और संरचनात्मक बदलावों के बीच अंतर करता है।
प्रोजेक्शन डिस्टेंस के लिए लिमिट थ्योरम: यह शोध पत्र बर्नौली नॉइज़ के तहत एम्पिरिकल और वास्तविक आइजनस्पेस के बीच प्रोजेक्शन डिस्टेंस के लिए एक लिमिट थ्योरम व्युत्पन्न करता है। यह पिछले परिणामों का सामान्यीकरण करता है जिन्होंने अक्सर गॉसियन नॉइज़ माना था या व्यक्तिगत आइजनवेक्टर्स पर ध्यान केंद्रित किया था, जिससे सबस्पेस एस्टीमेशन एरर के लिए एक वैश्विक वितरण सिद्धांत प्रदान होता है।

परिणाम (Results)

संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulations)

लेखक सिंथेटिक डेटा पर व्यापक सिमुलेशन के माध्यम से पद्धति को मान्य करते हैं:

स्टोकैस्टिक ब्लॉकमॉडेल्स (SBM): टेस्ट अलग-अलग कम्युनिटी स्ट्रक्चर वाले नेटवर्कों के बीच अंतर करने में मजबूत शक्ति प्रदर्शित करता है। नेटवर्क घनत्व बढ़ने के साथ, छोटे व्यवधानों (कुछ नोड्स को पुन: असाइन करना) को भी उच्च प्रायिकता के साथ पहचाना जाता है।
मिक्स्ड-मेंबरशिप SBMs (MMSBM): टेस्ट मिक्स्ड-मेंमेंशिप प्रोफाइल में बदलाव को सफलतापूर्वक पहचानता है। सिमुलेशन संकेत देते हैं कि जबकि टेस्ट प्रभावी है, MMSBM (सॉफ्ट-असाइनमेंट रिजीम) में परिवर्तनों का पता लगाने के लिए SBM (हार्ड-असाइनमेंट रिजीम) की तुलना में थोड़े बड़े व्यवधानों या घने नेटवर्कों की आवश्यकता होती है।
साइज़ कंट्रोल: टेस्ट का एम्पिरिकल साइज़ नाममात्र महत्व स्तर ( $\alpha = 0.05$ ) के करीब रहता है और नेटवर्क घनत्व बढ़ने के साथ बेहतर होता जाता है।

वास्तविक दुनिया का अनुप्रयोग

इस कार्यप्रणाली को हवाई नेटवर्क का विश्लेषण करने के लिए अमेरिकी घरेलू उड़ान डेटा (जनवरी 2016 – सितंबर 2021) पर लागू किया गया है।

स्थिर अवधि: विभिन्न वर्षों में जनवरी और नवंबर के उड़ान नेटवर्कों की तुलना कोई सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण संरचनात्मक अंतर नहीं दिखाती है, जो स्थिर कम्युनिटी स्ट्रक्चर का संकेत देती है।
संरचनात्मक व्यवधान: जून 2020 (COVID-19 महामारी के व्यवधान के चरम) को शामिल करने वाली तुलनाएं अन्य वर्षों की तुलना में नेटवर्क के सबस्पेस स्ट्रक्चर में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर प्रकट करती हैं। यह वास्तविक दुनिया के नेटवर्क डेटा में प्रमुख संरचनात्मक व्यवधानों का पता लगाने की टेस्ट की क्षमता की पुष्टि करता है।

महत्व और दावे (Significance and Claims)

शोध पत्र का दावा है कि यह नेटवर्क हाइपोथेसिस टेस्टिंग के लिए एक कठोर, गणनात्मक रूप से कुशल ढांचा प्रदान करता है जो विशिष्ट पैरामीटर समानता (जैसे सटीक किनारों की प्रायिकता) के परीक्षण से आगे बढ़कर अंतर्निहित ज्यामितीय संरचना (सबस्पेस) की स्थिरता के परीक्षण की ओर बढ़ता है।

मजबूती (Robustness): यह पद्धति जो सटीक पैरामीटर मिलान या विशिष्ट शोर संरचनाओं (जैसे गॉसियन) पर निर्भर करती है, उसके विपरीत किनारे के घनत्व में मामूली उतार-चढ़ाव के प्रति मजबूत है और नेटवर्क डेटा में निहित हेटरोस्केडास्टिक बर्नौली नॉइज़ के लिए अनुकूलित है।
सैद्धांतिक नवीनता: बर्नौली नॉइज़ के तहत प्रोजेक्शन डिस्टेंस के लिए गॉसियन लिमिट का व्युत्पन्न एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक प्रगति के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो उस साहित्य के अंतराल को भरता है जहाँ इस विशिष्ट सेटिंग के लिए ऐसे वितरण संबंधी परिणाम पहले उपलब्ध नहीं थे।
व्यावहारिक उपयोगिता: अपने क्लोज्ड-फॉर्म लिमिटिंग डिस्ट्रीब्यूशन और सुसंगत एस्टिमेटर्स प्रदान करके, यह पद्धति परम्यूटेशन टेस्ट या बूटस्ट्रैप प्रक्रियाओं के कम्प्यूटेशनल बोझ से बचती है, जिससे यह बड़े नेटवर्क डेटासेट के लिए स्केलेबल हो जाती है।

लेखक नोट करते हैं कि हालांकि उनके परिणाम सीमित, स्वतंत्र बर्नौली नॉइज़ के तहत स्थापित हैं, भविष्य के कार्य इन लिमिट थ्योरम्स को हेवी-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशन या डिपेंडेंट एज स्ट्रक्चर तक विस्तारित कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त, वर्तमान विश्लेषण मानता है कि रैंक $k$ ज्ञात है, और रैंक चयन अनिश्चितता को शामिल करना एक खुला विषय बना हुआ है।