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Four intuitionistic modal connectives

यह शोध पत्र चार विशिष्ट संयोजकों (डायमंड और बॉक्स ऑपरेटरों के दो जोड़े) वाले सहज ज्ञान युक्त मोडल लॉजिक (intuitionistic modal logics) के सिंटैक्स और सिमेंटिक्स को प्रस्तुत करता है, प्राथमिक फ्रेम वर्गों (elementary frame classes) पर उनकी मोडल परिभाषित योग्यता (modal definability) और स्वयंसिद्धता (axiomatizability) का विश्लेषण करता है, और सभी फ्रेमों के वर्ग द्वारा परिभाषित न्यूनतम तर्क की निर्णयक्षमता (decidability) को स्थापित करता है।

मूल लेखक: Philippe Balbiani, Çigdem Gencer

प्रकाशित 2026-06-08

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Philippe Balbiani, Çigdem Gencer

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक नए प्रकार की भाषा बनाने की कोशिश कर रहे हैं जो यह वर्णन कर सके कि चीजें कैसे हो सकती हैं, एक ऐसी दुनिया में जहाँ "सत्य" केवल काला या सफेद नहीं है, बल्कि समय के साथ बढ़ और बदल सकता है। यह इंट्यूशनिस्टिक लॉजिक (Intuitionistic Logic) की दुनिया है। इस दुनिया में, यह कहना कि "मैं X को जानता हूँ" और "X सत्य है" के बीच अंतर है, क्योंकि ज्ञान पानी से भरती हुई बाल्टी की तरह संचित होता है; एक बार जब आपके पास यह आ जाता है, तो आप इसे रखते हैं, लेकिन हो सकता है कि अभी आपके पास यह न हो।

अब, कल्पना कीजिए कि इसमें मोडल लॉजिक (Modal Logic) को जोड़ दिया जाए। मोडल लॉजिक "संभवतः" (Possibly) और "अनिवार्य रूप से" (Necessarily) जैसे शब्दों का अध्ययन है।

बालबियानी और जेनसर का शोध पत्र इन "संभवतः" और "अनिवार्य रूप से" शब्दों के लिए एक चार-तरफा ट्रैफिक सिस्टम बनाने के बारे में है। इस पेपर से पहले, अधिकांश लोग केवल दो प्रकार के ट्रैफिक लाइटों का उपयोग करते थे। इन लेखकों ने चार अलग-अलग लाइटें लगाने का निर्णय लिया ताकि वे यह देख सकें कि क्या वे ट्रैफिक जाम में फंसे बिना दुनिया का अधिक सटीक वर्णन कर सकते हैं।

यहाँ उनके कार्य का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. चार ट्रैफिक लाइटें (कनेक्टिव्स/Connectives)

विचारधारा के पुराने स्कूल (फिशर सेवी और विजसेकेरा) में, "संभवतः" की व्याख्या करने के दो मुख्य तरीके थे:

स्कूल A: "संभवतः" का अर्थ है "यहाँ एक रास्ता है जो सीधे एक सत्य की ओर ले जाता है।"
स्कूल B: "संभवतः" का अर्थ है "चाहे आप समय में कितना भी आगे चलें, अंततः आपको एक सत्य का मार्ग मिल जाएगा।"

लेखक कहते हैं, "केवल एक को ही क्यों चुनें?" वे चार अलग-अलग लाइटें पेश करते हैं:

$\diamond$ (द "प्रेनोसिल" लाइट): यह एक "पीछे की ओर देखने वाली" संभावना है। यह पूछती है, "क्या मेरे पीछे कहीं कोई ऐसा सत्य है जिससे मैं आ सकता था?"
$\square$ (द "फिशर सेवी" लाइट): यह एक क्लासिक "आगे की ओर देखने वाली" अनिवार्यता है। "यदि मैं आगे जाऊं, तो क्या मैं हमेशा इस सत्य को पाऊंगा?"
$\diamond$ (द "विजसेकेरा" लाइट): यह एक "आगे की ओर देखने वाली" संभावना है। "यदि मैं आगे जाऊं, तो क्या कोई ऐसा मार्ग है जहाँ मुझे यह सत्य मिल जाए?"
$\blacksquare$ (द "ड्यूल" लाइट): यह एक नई, "पीछे की ओर देखने वाली" अनिवार्यता है। "क्या यह सत्य है कि मैं जहाँ से भी आया हूँ, मुझे इस सत्य से होकर गुजरना ही पड़ा होगा?"

उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक जंगल में खड़े हैं।

$\square$ पूछता है: "यदि मैं आगे चलूँ, तो क्या मैं हमेशा एक पेड़ देखूँगा?"
$\diamond$ पूछता है: "यदि मैं आगे चलूँ, तो क्या मैं अंततः एक पेड़ देखूँगा?"
$\diamond$ (प्रेनोसिल) पूछता है: "क्या मैं ऐसी जगह से आया हूँ जहाँ मैं एक पेड़ देख सकता था?"
$\blacksquare$ पूछता है: "क्या यह सच है कि मैं जिस भी रास्ते से यहाँ पहुँचा, वह रास्ता एक पेड़ के पास से होकर गुजरा था?"

2. जंगल के नियम (सिमेंटिक्स और फ्रेम्स/Semantics and Frames)

इन लाइटों को काम करने के लिए, लेखकों ने जंगल का एक मानचित्र बनाया जिसे फ्रेम (Frame) कहा जाता है। इस मानचित्र में दो प्रकार के पथ हैं:

विकास पथ ( $\le$ ): यह समय या बढ़ते हुए ज्ञान का प्रतिनिधित्व करता है। यदि आप बिंदु A पर हैं और बिंदु B की ओर बढ़ते हैं, तो आप वह सब कुछ जानते हैं जो A जानता था, और शायद उससे भी अधिक।
मोडल पथ ( $R$ ): यह "संभावना" के संबंधों का प्रतिनिधित्व करता है।

लेखकों ने महसूस किया कि यदि आप इन चार लाइटों को विकास पथ के साथ मिलाते हैं, तो आपको यह सुनिश्चित करने के लिए बहुत विशिष्ट नियमों की आवश्यकता होती है कि जंगल ढह न जाए। उन्होंने सिद्ध किया कि आपको जंगल को "पूरी तरह से सममित" (symmetrical) पथों (जहाँ यदि आप A से B जा सकते हैं, तो आप B से A भी जा सकते हैं) वाला बनाने की आवश्यकता नहीं है ताकि तर्क काम कर सके। आप अव्यवस्थित, एक-तरफा जंगलों के साथ भी रह सकते हैं, और तर्क फिर भी बना रहता है।

3. "क्या हम इसे परिभाषित कर सकते हैं?" परीक्षण (कोरेस्पोंडेंस/Correspondence)

लेखकों ने पूछा: "क्या हम अपनी नई भाषा में एक ऐसा वाक्य लिख सकते हैं जो एक विशिष्ट प्रकार के जंगल का वर्णन करता हो?"

उदाहरण: "क्या हम एक ऐसा वाक्य लिख सकते हैं जो कहता है, 'इस जंगल में कोई डेड एंड (बंद रास्ता) नहीं है'?" (सीरियलिटी/Seriality)
उदाहरण: "क्या हम एक ऐसा वाक्य लिख सकते हैं जो कहता है, 'यह जंगल पूरी तरह से सममित है'?" (सिमेट्री/Symmetry)

उन्होंने पाया कि कुछ जंगल प्रकारों (जैसे "कोई डेड एंड नहीं") के लिए, हम एक सटीक वाक्य लिख सकते हैं। लेकिन अन्य प्रकारों (जैसे "पूर्ण सममिति") के लिए, हमारी चार लाइटें उन्हें वर्णित करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं। यह एक 3D वस्तु को केवल 2D छाया का उपयोग करके वर्णित करने जैसा है; कभी-कभी छाया पूरे आकार को पकड़ने में विफल रहती है।

4. नियम पुस्तिका (एक्सिओमैटाइजेशन/Axiomatization)

लेखकों ने इस नए तर्क के लिए एक नियम पुस्तिका लिखी।

उन्होंने बुनियादी सत्यों (Axioms) की सूची बनाई जिनसे सभी को सहमत होना चाहिए।
उन्होंने उन नियमों की सूची बनाई कि इन सत्यों को कैसे जोड़ा जाए (Inference Rules)।
उन्होंने सिद्ध किया कि यह नियम पुस्तिका पूर्ण (Complete) है। इसका अर्थ है: "यदि कोई कथन हर उस संभावित जंगल में सत्य है जो हमारे नियमों का पालन करता है, तो हमारी नियम पुस्तिका के पास इसे सिद्ध करने का एक तरीका है।" आपको हर एक जंगल की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है; आपको बस नियम पुस्तिका की जाँच करने की आवश्यकता है।

5. "क्या हम इसे हल कर सकते हैं?" परीक्षण (डिसाइडेबिलिटी/Decidability)

तर्कशास्त्र का सबसे बड़ा प्रश्न यह है: "यदि मैं आपको एक वाक्य दूँ, तो क्या आप एक कंप्यूटर प्रोग्राम लिख सकते हैं जो अंततः आपको बताएगा कि 'हाँ, यह सत्य है' या 'नहीं, यह असत्य है'?"

कुछ तर्क प्रणालियाँ बिना किसी निकास वाले भूलभुलैया की तरह होती हैं; एक कंप्यूटर उन्हें हल करने के लिए अनंत काल तक चल सकता है।
लेखकों ने सिद्ध किया कि उनके मिनिमल (minimal) तर्क (केवल बुनियादी नियमों के साथ सबसे सरल संस्करण) के लिए, उत्तर हाँ है। यह डिसाइडेबल (Decidable) है।
उन्होंने इसे एक जटिल वन-लॉजिक को एक सरल, अच्छी तरह से समझे गए भाषा (प्रथम-क्रम तर्क के "गार्डेड फ्रैगमेंट") में अनुवादित करके किया। यह एक जटिल कविता को एक सरल गणितीय समीकरण में अनुवाद करने जैसा है जिसे कैलकुलेटर तुरंत हल कर सकता है।

सारांश

यह शोध पत्र "संभावना" और "अनिवार्यता" के बारे में बात करने के एक नए, अधिक लचीले तरीके का ब्लूप्रिंट है, जहाँ सत्य समय के साथ बढ़ता है।

उन्होंने दो के बजाय चार अलग-अलग उपकरण पेश किए।
उन्होंने दिखाया कि ये उपकरण बिना दुनिया को पूरी तरह से सममित बनाए काम करते हैं।
उन्होंने इन उपकरणों के लिए एक पूर्ण नियम पुस्तिका लिखी।
उन्होंने सिद्ध किया कि एक कंप्यूटर हमेशा यह तय कर सकता है कि इन उपकरणों का उपयोग करने वाला कोई कथन सत्य है या असत्य।

उन्होंने इस पेपर में चिकित्सा, इंजीनियरिंग या AI पर इसे लागू नहीं किया; उन्होंने केवल इंजन बनाया और सिद्ध किया कि यह सुचारू रूप से चलता है। बाकी सब भविष्य के ड्राइवरों पर निर्भर है कि वे इसे कहाँ चलाना चाहते हैं।

तकनीकी सारांश: चार अंतर्ज्ञानवादी मोडल संयोजक (Intuitionistic Modal Connectives)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र अंतर्ज्ञानवादी मोडल लॉजिक (IMLs) के आधारभूत अर्थशास्त्र (semantics) और स्वयंसिद्धीकरण (axiomatization) को संबोधित करता है। पारंपरिक रूप से, IMLs मोडल संयवों की व्याख्या रिलेशनल संरचनाओं $(W, \leq, R, V)$ के भीतर करते हैं, जहाँ $\leq$ एक प्रीऑर्डर (preorder) है और $R$ एक बाइनरी संबंध है। संभावना (possibility) ऑपरेटर के संबंध में दो प्रमुख विचारधाराओं के बीच एक केंद्रीय तनाव विद्यमान है:

फिशर सर्वी (Fischer Servi) का दृष्टिकोण: $\diamond_{FS}$ को इस प्रकार परिभाषित करता है कि $s \models \diamond_{FS} A$ यदि और केवल यदि एक $t$ मौजूद है जहाँ $sRt $और$ t \models A$। यह दृष्टिकोण आमतौर पर 'हेरिटेडी प्रॉपर्टी' (heredity property/monotonicity) को संतुष्ट करने के लिए मॉडलों के वर्ग को "फॉरवर्ड और बैकवर्ड कॉन्फ्लुएंट" (forward and backward confluent) फ्रेम्स तक सीमित करने की आवश्यकता रखता है।
विजेसेकेरा (Wijesekera) का दृष्टिकोण: $\diamond_{W}$ को इस प्रकार परिभाषित करता है कि $s \models \diamond_{W} A$ यदि और केवल यदि सभी $t \geq s$ के लिए, एक $u$ मौजूद है जहाँ $tRu $और$ u \models A$। यह दृष्टिकोण हेरिटेडी प्रॉपर्टी के बने रहने के लिए कड़ाई से कॉन्फ्लुएंस (confluence) की आवश्यकता नहीं रखता है।

लेखक तर्क देते हैं कि चर्चा को केवल कॉन्फ्लुएंट मॉडलों (जैसा कि फिशर सर्वी करते हैं) तक सीमित करना एक मनमाना चुनाव है जो अंतर्ज्ञानवादी प्रथम-क्रम तर्क (Intuitionistic First-Order Logic) के अन्य संस्करणों के बजाय एक विशिष्ट संस्करण को विशेषाधिकार देता है। इसके अतिरिक्त, वे नोट करते हैं कि IMLs का प्रथम-क्रम तर्क में मानक अनुवाद अक्सर विफल हो जाता है यदि इसे केवल कॉन्फ्लुएंट मॉडलों तक ही सीमित रखा जाए। फलस्वरूप, यह शोध पत्र एक एकीकृत ढांचा स्थापित करने का प्रयास करता है जो बिना किसी पूर्व-निर्धारित फ्रेम प्रतिबंध के चार विशिष्ट मोडल संयवों को समाहित करता है, जिससे अंतर्ज्ञानवादी मोडलिटीज के पूर्ण परिदृश्य की खोज की जा सके।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक रिलेशनल सिमेंटिक्स, कॉरेस्पोंडेंस थ्योरी (correspondence theory), बीजगणितीय प्रमाण प्रणालियों (algebraic proof systems) और मॉडल-थ्योरेटिक तकनीकों के एक कठोर संयोजन का उपयोग करते हैं:

सिंटैक्स और सिमेंटिक्स:
- वे एक ऐसी भाषा प्रस्तुत करते हैं जिसमें मानक अंतर्ज्ञानवादी संयोजक ( $\to, \top, \bot, \lor, \land$ ) और एक द्वैत निहितार्थ/सह-निहितार्थ (dual implication/co-implication) ( $\leftarrow$ ) शामिल है।
- चार मोडल ऑपरेटर परिभाषित किए गए हैं:
  - $\Diamond$ (प्रेनोसिल-शैली की संभावना): $s \models \Diamond A$ यदि $\exists t \leq s, \exists u (tRu \land u \models A)$ ।
  - $\Box$ (फिशर सर्वी-शैली की अनिवार्यता): $s \models \Box A$ यदि $\forall t \geq s, \forall u (tRu \to u \models A)$ ।
  - $\Diamond$ (विजेसेकेरा-शैली की संभावना): $s \models \Diamond A$ यदि $\forall t \geq s, \exists u (tRu \land u \models A)$ ।
  - $\blacksquare$ (द्वैत अनिवार्यता): $s \models \blacksquare A$ यदि $\exists t \leq s, \forall u (tRu \to u \models A)$ ।
- सिमेंटिक्स को सभी फ्रेम्स के वर्ग पर परिभाषित किया गया है (बिना कॉन्फ्लुएंस प्रतिबंध के), और सभी सूत्रों के लिए हेरिटेडी प्रॉपर्टी के सिद्ध होने की पुष्टि की गई है।
कॉरेस्पोंडेंस थ्योरी (Correspondence Theory):
- शोध पत्र मौलिक फ्रेम वर्गों (जैसे सीरियल, रिफ्लेक्सिव, सिमेट्रिक, ट्रांजिटिव, कॉन्फ्लुएंट) की मोडल परिभाषितता (modal definability) की जांच करता है।
- यह हस्ताक्षरित सूत्रों (signed formulas) और अनुमान नियमों (inference rules) का उपयोग फ्रेम गुणों को चरितार्थ करने के लिए करता है।
- यह फ्रेमों के कुछ वर्गों के लिए मोडल डेफिनैबिलिटी समस्या की अनडिसाइडेबिलिटी (undecidability) को सिद्ध करने के लिए मॉडल थ्योरी से "रिलेटिवलाइजेशन प्रॉपर्टी" (Relativization Property) का उपयोग करता है।
स्वयंसिद्धीकरण और पूर्णता (Axiomatization and Completeness):
- एक हिल्बर्ट-शैली प्रणाली (Hilbert-style system) प्रस्तुत की गई है जो हस्ताक्षरित सूत्रों (सकारात्मक और नकारात्मक) के सेट का उपयोग करती है, जो यूनिफॉर्म प्रतिस्थापन और विशिष्ट अनुमान नियमों (द्वैत निहितार्थ और मोडलिटीज के बीच परस्पर क्रिया सहित) के तहत बंद है।
- लेखक "बैलेंस्ड क्लिप्स" (प्राइम फिल्टर, प्राइम आइडियल और सहायक सूत्रों का त्रिक) का उपयोग करके एक कैनोनिकल मॉडल का निर्माण करते हैं। यह निर्माण चार मोडलिटीज और द्वैत निहितार्थ के बीच जटिल अंतःक्रियाओं को संभालने के लिए आवश्यक है।
- न्यूनतम तर्क (minimal logic) और विशिष्ट फ्रेम वर्गों (रिफ्लेक्सिव, सीरियल, फॉरवर्ड/डाउनवर्ड कॉन्फ्लुएंट) के अनुरूप इसके विस्तार के लिए पूर्णता प्रमेय (completeness theorems) सिद्ध किए गए हैं।
निर्णयक्षमता (Decidability):
- निर्णयक्षमता सिद्ध करने के लिए, वे न्यूनतम IML को क्लासिकल फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक के मोनाडिक टू-वैरिएबल गार्डेड फ्रैगमेंट (Monadic Two-Variable Guarded Fragment) में समाहित करते हैं।
- वे अंतर्ज्ञानवादी सूत्रों को गार्डेड फर्स्ट-ऑर्डर सूत्रों में मैप करने वाले ट्रांसलेशन फंक्शन को परिभाषित करते हैं, जो गार्डेड फ्रैगमेंट की ज्ञात निर्णयक्षमता का लाभ उठाते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

एकीकृत ढांचा: शोध पत्र सफलतापूर्वक चार अलग-अलग मोडल संयवों ( $\Diamond, \Box, \Diamond, \blacksquare$ ) को एक एकल अंतर्ज्ञानवादी ढांचे में एकीकृत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि वे सभी फ्रेम्स के वर्ग पर एक-दूसरे से परिभाषित (interdefinable) नहीं हैं।
एलिमिनेबिलिटी विश्लेषण: यह दिखाया गया है कि फॉरवर्ड और डाउनवर्ड कॉन्फ्लुएंट फ्रेम्स ( $C_{fd}$ ) के वर्ग पर, चारों संयोजक एलिमिनेबल (परस्पर परिभाषित) हैं। हालांकि, व्यापक वर्गों (जैसे $C_{bdu}$ ) पर, वे भिन्न हैं।
कॉरेस्पोंडेंस परिणाम:
- फॉरवर्ड कॉन्फ्लुएंट ( $C_f$ ) और डाउनवर्ड कॉन्फ्लुएंट ( $C_d$ ) फ्रेम सकारात्मक रूप से परिभाषित (positively definable) हैं।
- रिफ्लेक्सिव ( $C_{ref}$ ), सिमेट्रिक ( $C_{sym}$ ), ट्रांजिटिव ( $C_{tra}$ ), यूक्लिडियन ( $C_{Euc}$ ), और डिटर्मिनिस्टिक ( $C_{det}$ ) फ्रेम, सभी फ्रेम्स (या विशिष्ट उप-वर्गों जैसे $C_{fbdu}$ ) के संबंध में मोडली डिफिनेबल नहीं हैं।
- बैकवर्ड कॉन्फ्लुएंट ( $C_b$ ) और अपवर्ड कॉन्फ्लुएंट ( $C_u$ ) फ्रेम $C_{fd}$ के संबंध में मोडली डिफिनेबल नहीं हैं।
स्वयंसिद्धीकरण: शोध पत्र न्यूनतम तर्क ( $L_{min}$ ) और रिफ्लेक्सिविटी, सीरियलिटी और कॉन्फ्लुएंस गुणों के अनुरूप इसके विस्तार के लिए पूर्ण स्वयंसिद्धीकरण प्रदान करता है। न्यूनतम तर्क को सभी फ्रेम्स का तर्क दिखाया गया है।
निर्णयक्षमता: न्यूनतम अंतर्ज्ञानवादी मोडल लॉजिक ( $L_{min}$ ) और इसके कई विस्तारों (रिफ्लेक्सिव, सीरियल, कॉन्फ्लुएंट) के लिए सदस्यता समस्या (membership problem) को निर्णयक्षम (decidable) सिद्ध किया गया है। यह मोनाडिक टू-वैरिएबल गार्डेड फ्रैगमेंट की संतुष्टि समस्या में कमी लाकर प्राप्त किया गया है।
डेफिनैबिलिटी की अनडिसाइडेबिलिटी: शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि यह निर्धारित करने की निर्णय समस्या कि क्या फ्रेमों का एक प्रारंभिक वर्ग मोडली, पॉजिटिवली या नेगेटिवली डिफिनेबल है, अनडिसाइडेबल (undecidable) है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि उनका कार्य कॉन्फ्लुएंट मॉडलों तक मनमाने प्रतिबंध लगाने से बचकर IMLs के लिए अधिक स्वाभाविक और कम प्रतिबंधात्मक आधार प्रदान करके अधिक प्रभावी बनाता है। द्वैत निहितार्थ और चार मोडल संयवों को पेश करके, वे एक सममित और व्यापक भाषा प्रदान करते हैं जो अंतर्ज्ञानवादी मोडल व्यवहारों की पूरी सीमा को पकड़ती है।

शोध पत्र विनम्रतापूर्वक नोट करता है कि जबकि न्यूनतम तर्क की निर्णयक्षमता स्थापित की गई है, इस समस्या का कॉम्प्लेक्सिटी क्लास (complexity class) एक खुला प्रश्न बना हुआ है। इसके अतिरिक्त, लेखक इस बात पर प्रकाश डालते हैं कि जबकि कुछ अनुमान नियमों (विशेष रूप से $R8+$ और $R8-$ ) का उपयोग पूर्णता प्रमाणों में किया गया था, वर्तमान में यह अज्ञात है कि क्या इन नियमों को सूत्रों के एक परिमित सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। वे सिमेट्रिक और ट्रांजिटिव फ्रेम्स के अनुरूप लॉजिक के परिमित स्वयंसिद्धीकरण (finite axiomatizability) के संबंध में, साथ ही इस विशिष्ट सेटिंग में फिल्ट्रेशन तकनीकों को अनुकूलित करने की क्षमता के बारे में भी खुले प्रश्न रखते हैं।

यह कार्य पारंपरिक फिशर सर्वी और विजसेकेरा द्विभाजन (dichotomy) से आगे बढ़ते हुए, विभिन्न अंतर्ज्ञानवादी मोडल सिमेंटिक्स और उनके संबंधित फ्रेम गुणों के बीच परस्पर क्रिया को समझने के लिए एक आधारभूत कदम के रूप में कार्य करता है।