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Kling-Gupta linear regression

यह शोध पत्र क्लिंग-गुप्ता दक्षता (Kling-Gupta efficiency) को एक रैखिक प्रतिगमन ढांचे (linear regression framework) के भीतर एक सांख्यिकीय अनुमानक (statistical estimator) के रूप में औपचारिक रूप देता है, जो स्पष्ट सूत्र व्युत्पन्न करता है जो दिखाते हैं कि यह प्रतिक्रिया प्रसरण (response variance) को संरक्षित करने के लिए साधारण न्यूनतम वर्ग (ordinary least squares) गुणांकों को कैसे स्केल करता है और इसके अभिसरण गुणों (convergence properties) तथा नैश-सटक्लिफ दक्षता (Nash-Sutcliffe efficiency) को अधिकतम करने के साथ इसके अंतर्निहित समझौते (trade-off) को विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध करता है।

मूल लेखक: Hristos Tyralis, Georgia Papacharalampous

प्रकाशित 2026-06-09

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Hristos Tyralis, Georgia Papacharalampous

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कोच हैं जो एक छात्र (एक कंप्यूटर मॉडल) को यह सिखाने की कोशिश कर रहे हैं कि कितनी बारिश हुई है, उसके आधार पर नदी के जल स्तर की भविष्यवाणी कैसे की जाए। आपके पास पिछले बारिश और नदी के स्तर का इतिहास है, और आप चाहते हैं कि छात्र वास्तविक संख्याओं के जितना संभव हो सके करीब पहुंचे।

जल विज्ञान (hydrology) की दुनिया में, उनके पास छात्र के होमवर्क को ग्रेड देने के दो मुख्य तरीके हैं: OLS (पुराना, मानक तरीका) और Kling-Gupta (एक नया, अधिक जटिल तरीका)। यह शोध पत्र वास्तव में यह गहराई से बताता है कि क्लिंग-गुप्ताटा (Kling-Gupta) विधि कैसे काम करती है, यह डेटा में वास्तव में क्या "देखती" है, और यह मानक विधि से कैसे भिन्न है।

यहाँ उनके निष्कर्षों का सरल भाषा में विवरण दिया गया है:

1. दो ग्रेडिंग सिस्टम

मॉडल को ग्रेड देने वाले दो "शिक्षकों" को समझने के लिए, आपको पहले इस पेपर को समझना होगा:

द स्टैंडर्ड टीचर (OLS - मानक शिक्षक): यह शिक्षक केवल भविष्यवाणी और वास्तविक नदी स्तर के बीच की औसत दूरी की परवाह करता है। यदि मॉडल आज 5 इंच और कल 5 इंच गलत है, तो वह एक विशिष्ट स्कोर है। सबसे अच्छा ग्रेड पाने के लिए, यह शिक्षक मॉडल को "सुरक्षित" रहने के लिए मजबूर करता है। मॉडल एक सपाट, कम नाटकीय रेखा बनाने की भविष्यवाणी करना सीख जाता है। यह बड़ी गलतियों से बचता है, लेकिन यह नदी के बड़े उतार-चढ़ाव (peaks and valleys) को भी मिस कर देता है। यह एक ऐसे छात्र की तरह है जो सुरक्षित खेलता है, कभी पूर्ण स्कोर नहीं पाता लेकिन कभी फेल भी नहीं होता।
द क्लिंग-गुप्ता टीचर (KGE - क्लिंग-गुप्ता शिक्षक): यह शिक्षक अधिक बारीक है। वे केवल औसत दूरी नहीं देखते। वे तीन चीजें जांचते हैं:
1. बायस (Bias): क्या औसत भविष्यवाणी सही है?
2. वेरिएबिलिटी (Variability): क्या भविष्यवाणी वास्तविक नदी की तरह ऊपर-नीचे होती है? (क्या यह बाढ़ के "उत्साह" को पकड़ पाती है?)
3. कोरिलेशन (Correlation): क्या भविष्यवाणियां वास्तविक नदी के साथ तालमेल में चलती हैं?

2. बड़ी खोज: "वॉल्यूम नॉब" प्रभाव

पेपर का मुख्य निष्कर्ष एक गणितीय प्रमाण है कि जब आप मानक शिक्षक के बजाय क्लिंग-गुप्ता शिक्षक का उपयोग करते हैं तो क्या होता है।

कल्पना करें कि स्टैंडर्ड टीचर (OLS) ने ग्राफ पर एक रेखा खींची है। यह सबसे "सुरक्षित" रेखा है।
क्लिंग-गुप्ता टीचर उसी सटीक रेखा को लेता है और उसका वॉल्यूम नॉब (आवाज़ का बटन) बढ़ा देता है।

वे क्या करते हैं: वे रेखा को लंबवत (vertically) खींच देते हैं। वे चोटियों (peaks) को ऊंचा और घाटियों (valleys) को गहरा बना देते हैं।
क्यों? क्योंकि क्लिंग-गुप्ता शिक्षक यह मांग करता है कि भविष्यवाणियों का फैलाव (variance) वास्तविक डेटा के फैलाव से बिल्कुल मेल खाना चाहिए।
परिणाम: क्लिंग-गुप्ता मॉडल एक ऐसी नदी की भविष्यवाणी करता है जो वास्तविक नदी की तरह ही "जंगली" और परिवर्तनशील दिखती है। स्टैंडर्ड मॉडल एक ऐसी नदी की भविष्यवाणी करता है जो बहुत शांत और सपाट दिखती है।

समझौता (Trade-off):

स्टैंडर्ड मॉडल कुल त्रुटि (Mean Squared Error) को कम करने में बेहतर है और "नैश-सटक्लिफ" (Nash-Sutcliffe) मेट्रिक पर उच्च स्कोर प्राप्त करता है।
क्लिंग-गुप्ता मॉडल "क्लिंग-गुप्ता" मेट्रिक पर उच्च स्कोर प्राप्त करता है क्योंकि यह नदी के जंगलीपन की सटीक नकल करता है, लेकिन इसमें वास्तव में अधिक कुल त्रुटि होती है क्योंकि यह दोनों दिशाओं में बहुत अधिक झूल जाता है।

3. "नो फ्री लंच" थ्योरम (No Free Lunch Theorem)

लेखक एक महत्वपूर्ण गणितीय तथ्य सिद्ध करते हैं: आप एक साथ सब कुछ हासिल नहीं कर सकते।

आप एक ऐसा एकल मॉडल नहीं बना सकते जो कुल त्रुटि (स्टैंडर्ड) को कम करने और नदी के जंगलीपन (क्लink-Gupta) को पूरी तरह से मिलाने, दोनों में सर्वश्रेष्ठ हो।

यदि आप स्टैंडर्ड स्कोर के लिए अनुकूलित (optimize) करते हैं, तो आप "जंगलीपन" खो देते हैं।
यदि आप क्लिंग-गुप्ता स्कोर के लिए अनुकूलित करते हैं, तो आप "जंगलीपन" प्राप्त करते हैं लेकिन कुल त्रुटि स्कोर खो देते हैं।

यह रेडियो ट्यून करने जैसा है: यदि आप संगीत को स्पष्ट रूप से सुनने के लिए वॉल्यूम बढ़ाते हैं (वेरिएंस को मैच करने के लिए), तो आप स्टैटिक (शोर) पैदा कर सकते हैं (अधिक त्रुटि)। यदि आप शोर को कम करने के लिए वॉल्यूम कम करते हैं, तो संगीत बहुत धीमा हो जाता है (कम वेरिएंस)। आपको चुनना होगा कि आप किस समस्या को हल करना चाहते हैं।

4. "ब्रोकन स्विच" (टूटा हुआ स्विच) की समस्या

पेपर ने यह भी पाया कि बहुत विशिष्ट स्थितियों में क्लिंग-गुप्ता पद्धति में एक अजीब गड़बड़ी होती है।

यदि आप मॉडल को एक निश्चित शुरुआती बिंदु (एक निश्चित इंटरसेप्ट) रखने के लिए मजबूर करते हैं और डेटा पेचीदा है, तो क्लिंग-गुप्ता शिक्षक भ्रमित हो सकता है। गणित दिखाता है कि कभी-कभी, कोई भी आदर्श उत्तर नहीं होता। शिक्षक एक बेहतर ढलान (slope) की तलाश में रहता है, शून्य के करीब पहुंचता रहता है, लेकिन जैसे ही ढलान शून्य होती है, गणित टूट जाता है (क्योंकि आप एक सपाट रेखा के "फैलाव" की गणना नहीं कर सकते)।

यह एक छात्र की तरह है जो गेंद फेंकने के लिए सही कोण खोजने की कोशिश कर रहा है, लेकिन नियम कहते हैं कि वह गेंद को सपाट नहीं फेंक सकता। छात्र गेंद को सपाट के करीब झुकाने की कोशिश करता रहता है, लेकिन वह कभी भी सही जगह तक नहीं पहुँच पाता क्योंकि "सपाट" क्षेत्र वर्जित है।

5. निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह पेपर यह नहीं कहता कि एक विधि दूसरी से "बेहतर" है। इसके बजाय, यह क्लिंग-गुप्ता पद्धति के लिए गणितीय मैनुअल प्रदान करता है।

इस पेपर से पहले: वैज्ञानिक क्लिंग-गुप्ता को मॉडलों को ग्रेड देने के लिए एक "ब्लैक बॉक्स" टूल के रूप में उपयोग करते थे, अक्सर यह समझे बिना कि यह उनके मॉडल के व्यवहार को कैसे बदलता है।
इस पेपर के बाद: हम अब जानते हैं कि क्लिंग-गुप्ता वास्तव में कैसे काम करता है। हम जानते हैं कि यह एक "वेरिएंस इन्फ्लेटर" (फैलाव बढ़ाने वाला) के रूप में कार्य करता है—यह स्टैंडर्ड मॉडल को लेता है और वास्तविक दुनिया के उतार-चढ़ाव से मेल खाने के लिए उसे खींच देता है।

संक्षेप में: यदि आप एक मॉडल चाहते जो सांख्यिकीय रूप से "सुरक्षित" हो और कुल त्रुटि को कम करे, तो स्टैंडर्ड विधि का उपयोग करें। यदि आप एक ऐसा मॉडल चाहते जो नदी के नाटकीय उतार-चढ़ाव को पकड़े (भले ही इसमें अधिक गलतियाँ हों), तो क्लिंग-गुप्ता का उपयोग करें। लेकिन आपको यह जानना होगा कि ये दोनों लक्ष्य गणितीय रूप से एक-दूसरे के विपरीत हैं, और आपको चुनना होगा कि आपके विशिष्ट प्रोजेक्ट के लिए कौन सा अधिक महत्वपूर्ण है।

तकनीकी सारांश: क्लिंग-गुप्ता रैखिक प्रतिगमन (Kling-Gupta Linear Regression)

समस्या विवरण

यद्यपि हाइड्रोलॉजी (जल विज्ञान) में मॉडल मूल्यांकन के लिए क्लिंग-गुप्ता एफिशिएंसी (KGE) को व्यापक रूप से अपनाया जाता है, इसके एक सांख्यिकीय अनुमानक (statistical estimator) के रूप में इसके सैद्धांतिक गुणों का अन्वेषण अभी तक नहीं किया गया है। एक महत्वपूर्ण अंतराल तब उत्पन्न होता है जब KGE का उपयोग ऑब्जेक्टिव फंक्शन के रूप में किया जाता है, क्योंकि यह पैरामीटर अनुमान (कैलिब्रेशन) और पूर्वानुमान मूल्यांकन के बीच के संबंध को समझने में विफल रहता है। मीन स्क्वेर्ड एरर (MSE) के विपरीत, जो सशर्त माध्य (conditional mean) के लिए एक स्ट्रिक्टली कंसिस्टेंट लॉस फंक्शन है, KGE में योगात्मक संरचना (additive structure) का अभाव है और यह एक M-estimator नहीं है। फलस्वरूप, साहित्य में अक्सर KGE को एक "अनौपचारिक" मीट्रिक के रूप में माना जाता है। यह शोध पत्र KGE को एक एक्सट्रीमम एस्टीमेशन फ्रेमवर्क के भीतर औपचारिक रूप देने की आवश्यकता को संबोधित करता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि जब कोई मॉडल KGE को अधिकतम करने के लिए प्रशिक्षित किया जाता है, तो वह वास्तव में किस सांख्यिकीय फंक्शनल (statistical functional) का पूर्वानुमान लगाता है, और KGE, MSE और नैश-सटक्लिफ एफिशिएंसी (NSE) के बीच के ट्रेड-ऑफ को स्पष्ट किया जा सके।

कार्यप्रणाली

लेखक एक ऋणात्मक उन्मुख लॉस फंक्शन, $L_{KG} = (1 - \text{KGE})^2$ को परिभाषित करके KGE को औपचारिक रूप देते हैं, और मल्टीपल एवं सिंगल-प्रेडिक्टर रैखिक प्रतिगमन मॉडलों के संदर्भ में इसके व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। अध्ययन निम्नलिखित कार्यप्रणाली चरणों के माध्यम से आगे बढ़ता है:

सैद्धांतिक ढांचा: शोध पत्र हाइड्रोलॉजिक मॉडलों को एक सेमीपैरामेट्रिक रिग्रेशन फ्रेमवर्क के भीतर स्थापित करता है, जहाँ भविष्यवाणियों को सशर्त स्ट्रीमफ्लो वितरण के सांख्यिकीय फंक्शनल्स के रूप में माना जाता है। यह M-estimators (जैसे OLS) और एक्सट्रीमम एस्टिमेटर्स के व्यापक वर्ग के बीच अंतर करता है, जिससे KGE मिनिमाइज़र संबंधित है।
क्लोज्ड-फॉर्म समाधानों का व्युत्पत्ति: लेखक उन पैरामीटर अनुमानों (स्लोप और इंटरसेप्ट) के लिए स्पष्ट, क्लोज्ड-फॉर्म सूत्र व्युत्पन्न करते हैं जो रैखिक मॉडलों के लिए $L_{KG}$ को न्यूनतम करते हैं।
तुलनात्मक विश्लेषण: व्युत्पन्न क्लिंग-गुप्ता (KG) एस्टिमेटर्स की तुलना विश्लेषणात्मक और संख्यात्मक रूप से ऑर्डिनरी लीस्ट स्क्वायर्स (OLS) एस्टिमेटर्स से की जाती है। विश्लेषण प्रशिक्षण सेटों पर भविष्यवाणियों के सांख्यिकीय गुणों, जैसे सैंपल मीन, वेरिएंस और कोरिलेशन पर केंद्रित है।
एसिम्प्टोटिक विश्लेषण (Asymptotic Analysis): शोध पत्र यह स्थापित करता है कि नमूना आकार (sample size) अनंत होने पर KG एस्टिमेटर्स का वेल-डिफाइंड पॉपुलेशन लिमिट्स की ओर 'ऑलमोस्ट शुअर कन्वर्जेंस' होता है, और इन लिमिट्स को बीजगणितीय रूप से व्यक्त करता है।
प्रतिबंधित अनुमान (Constrained Estimation): अध्ययन प्रतिबंधित परिदृश्यों की जांच करता है, विशेष रूप से फिक्स्ड रिग्रेशन कोएफिशिएंट वाले मॉडल और फिक्स्ड इंटरसेप्ट वाले सिंगल-प्रेडिक्टर मॉडल, ताकि ग्लोबल मिनिमा के अस्तित्व की जांच की जा सके।
अनुभवजन्य सत्यापन (Empirical Validation): सैद्धांतिक निष्कर्षों को फ्रांस के दस कैचमेंट्स के ऑब्जर्व्ड डेली स्ट्रीमफ्लो टाइम सीरीज़ का उपयोग करके सत्यापित किया गया है, जिसमें ट्रेनिंग और टेस्ट सेट प्रदर्शन मेट्रिक्स की तुलना की गई है।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. वेरिएंस इन्फ्लेशन मैकेनिज्म

प्राथमिक सैद्धांतिक निष्कर्ष यह है कि क्लिंग-गुप्ता रैखिक प्रतिगमन, OLS के सापेक्ष एक वेरिएंस-इन्फ्लेशन प्रक्रिया के रूप में कार्य करता है।

OLS व्यवहार: OLS, MSE को न्यूनतम करता है, जो स्वाभाविक रूप से प्रशिक्षण सेट पर भविष्यवाणियों के वेरिएंस को कम करता है ( $\sigma_{OLS} \leq \sigma(y)$ )।
KG व्यवहार: KG एस्टिमेटर OLS कोएफिशिएंट वेक्टर को $\sigma(y) / \sigma_{OLS}$ के कारक से स्केल करता है। यह स्केलिंग सुनिश्चित करती है कि KG भविष्यवाणियों का सैंपल वेरिएंस प्रशिक्षण सेट पर अवलोकनों के सैंपल वेरिएंस की सटीक नकल करता है ( $\sigma(z_{KG}) = \sigma(y)$ )।
संरक्षित गुण: दोनों एस्टिमेटर्स अवलोकनों के सैंपल मीन ( $\mu(z) = \mu(y)$ ) को बनाए रखते हैं और प्रशिक्षण सेट पर भविष्यवाणियों और अवलोकनों के बीच समान सैंपल कोरिलेशन प्राप्त करते हैं।

2. मेट्रिक्स के बीच ट्रेड-ऑफ

शोध पत्र MSE, NSE और KGE के बीच स्पष्ट सैद्धांतिक ट्रेड-ऑफ स्थापित करता है:

NSE बनाम KGE: कोई भी एकल एस्टिमेटर एक साथ NSE और KGE दोनों को अधिकतम नहीं कर सकता। OLS, NSE को अधिकतम करता है ( $\rho^2$ प्राप्त करता है), जबकि KG एस्टिमेटर KGE को अधिकतम करता है ( $\rho$ प्राप्त करता है)।
प्रदर्शन गिरावट (Performance Degradation): चूंकि $0 \leq \rho \leq 1$ , इसलिए KG एस्टिमेटर का NSE ( $2\rho - 1$ ), OLS के NSE ( $\rho^2$ ) से काफी कम होता है जब $\rho < 1$ हो। यदि कोरिलेशन $\rho < 0.5$ है, तो KG एस्टिमेटर नकारात्मक NSE देता है, जो मीन क्लायमेटोलॉजी बेंचमार्क से भी खराब प्रदर्शन करता है, बावजूद इसके कि यह प्रेक्षित माध्य और वेरिएंस को पूरी तरह से मैच करता है।
लॉस फंक्शन व्यवहार: KG लॉस वेरिएबिलिटी एरर टर्म को समाप्त कर देता है, जो $L_{KG}$ के संदर्भ में OLS की तुलना में दंड (penalty) को आधा कर देता है, लेकिन इसके बदले में MSE बढ़ जाता है।

3. एसिम्प्टोटिक कन्वर्जेंस

लेखक सिद्ध करते हैं कि KG एस्टिमेटर वेल-डिफाइंड पॉपुलेशन लिमिट्स की ओर 'ऑलमोस्ट शुअरली' अभिसरित (converge) होता है। अनंत प्रशिक्षण और परीक्षण डेटा के एसिम्प्टोटिक लिमिट में, स्वतंत्र टेस्ट सेट पर प्रदर्शन मेट्रिक्स (NSE, KGE, MSE) उन्हीं सैद्धांतिक सीमाओं की ओर अभिसरित होते हैं जो प्रशिक्षण सेट पर देखी गई थीं। यह पुष्टि करता है कि पहचाने गए ट्रेड-ऑफ संरचनात्मक हैं और नमूना आकार के बावजूद बने रहते हैं।

4. ग्लोबल मिनिमा का अस्तित्व

प्रतिबंधित सेटिंग्स में, विशेष रूप से फिक्स्ड इंटरसेप्ट वाले सिंगल-प्रेडिक्टर मॉडल में, शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि KG लॉस के लिए ग्लोबल मिनिमम का अस्तित्व नहीं हो सकता है। नॉन-जीरो वेरिएंस ( $\sigma(z) \neq 0$ ) की आवश्यकता वाले डोमेन रिस्ट्रिक्शन और शून्य स्लोप पर होने वाली विच्छिन्नता (discontinuity) के कारण, लॉस फंक्शन एक बाउंड्री वैल्यू की ओर मोनोटोनिक रूप से घट सकता है बिना किसी अनुमत पैरामीटर स्पेस के भीतर न्यूनतम प्राप्त किए।

5. संख्यात्मक और अनुभवजन्य सत्यापन

फ्रांसीसी कैचमेंट डेटा के सिमुलेशन और अनुप्रयोग सैद्धांतिक भविष्यवाणियों की पुष्टि करते हैं:

KG भविष्यवाणियां देखे गए वेरिएंस से मेल खाने के लिए OLS की तुलना में अधिक तीव्र (steeper) स्लोप प्रदर्शित करती हैं।
KG भविष्यवाणियां प्रशिक्षण सेट पर देखे गए माध्य और वेरिएंस से मेल खाती हैं, जबकि OLS भविष्यवाणियां वेरिएंस रिडक्शन प्रदर्शित करती हैं।
प्रशिक्षण सेट पर भविष्यवाणियों और अवलोकनों के बीच कोरिलेशन दोनों विधियों के लिए समान रहता है।
जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, टेस्ट सेट का प्रदर्शन सैद्धांतिक जनसंख्या सीमाओं की ओर अभिसरित होता है।

महत्व और दावे

शोध पत्र का दावा है कि यह हाइड्रोलॉजिक मॉडलिंग में KGE-आधारित अनुमान के लिए एक गणितीय आधार स्थापित करता है। KGE को एक एक्सट्रीमम एस्टिमेटर के रूप में औपचारिक रूप देकर, लेखक उस विशिष्ट सांख्यिकीय फंक्शनल को स्पष्ट करते हैं जिसे यह मीट्रिक लक्षित करता है: KGE के साथ प्रशिक्षित मॉडल अवलोकनों के मार्जिनल वेरिएंस और मीन को पुनरुत्पादित करने को प्राथमिकता देता है, बजाय स्क्वेर्ड एरर्स को कम करने के।

इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

"अनौपचारिक" मेट्रिक्स को स्पष्ट करना: यह KGE को एक अनौपचारिक मूल्यांकन उपकरण से एक सुव्यवस्थित परिभाषित एस्टिमेटर में बदल देता जिसके ज्ञात गुण हैं।
ट्रेड-ऑफ को स्पष्ट करना: यह KGE को अधिकतम करने की लागत (कम हुआ NSE और बढ़ा हुआ MSE) को स्पष्ट रूप से मापता है, जिससे मॉडलर्स को ऑब्जेक्टिव फंक्शन के रूप में KGE चुनने के निहितार्थों की स्पष्ट समझ मिलती है।
मॉडल चयन में मार्गदर्शन: परिणाम सुझाते हैं कि यदि किसी हाइड्रोलॉजिक मॉडलर का प्राथमिक लक्ष्य देखे गए वेरिएंस और मीन को पुनरुत्पादित करना है (जैसे जल आयतन या बाढ़ शिखर परिमाण के लिए), तो KGE एक उपयुक्त विकल्प है। हालांकि, यदि लक्ष्य प्रेडिक्शन एरर (MSE) को कम करना या माध्य के सापेक्ष दक्षता (NSE) को अधिकतम करना है, तो OLS बेहतर है।
सीमाओं को उजागर करना: फिक्स्ड पैरामीटर्स के साथ KGE का उपयोग करते समय संभावित ग्लोबल मिनिमा के गैर-अस्तित्व की पहचान करने वाला कार्य, विशेषज्ञों को अनुकूलन (optimization) की कठिनाइयों के प्रति सचेत करता है।

लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि लॉस फंक्शन का चुनाव मौलिक रूप से परिणामी मॉडल के सांख्यिकीय गुणों को निर्धारित करता है, और "सर्वश्रेष्ठ" एस्टिमेटर उस विशिष्ट फंक्शनल पर निर्भर करता है जिसे मॉडलर प्रेडिक्ट करना चाहता है।