Breakdown of the classical rupture theory and earthquake propagation in the "forbidden" super-Rayleigh range

तकनीकी सारांश: शास्त्रीय विखंडन सिद्धांत (Classical Rupture Theory) और "वर्जित" सुपर-रेले रेंज में भूकंपीय प्रसार का विश्लेषण

समस्या विवरण
भूकंपीय विखंडन (earthquake ruptures) के प्रसार की गति, भूकंपीय ऊर्जा विकिरण और भूगर्भीय गति के खतरे का एक महत्वपूर्ण निर्धारक है। जबकि यह स्थापित है कि कुछ बड़े भूकंप "सुपर-शीयर" (super-shear) विखंडन के रूप में प्रसारित होते हैं (जो शियर वेव-स्पीड, $c_s$ से अधिक होते हैं), सब-शीयर (sub-shear) से सुपर-शीयर गति में संक्रमण का तंत्र भूकंप भौतिकी के लिए एक मौलिक चुनौती बना हुआ है।

शास्त्रीय द्वि-आयामी (2D) विखंडन सिद्धांत, रेले वेव-स्पीड ($c_R$) और शियर वेव-स्पीड ($c_s$) के बीच एक "वर्जित" (forbidden) प्रसार सीमा की भविष्यवाणी करता है। इस सिद्धांत के अनुसार, एक विखंडन सुपर-रेले रेंज के माध्यम से निरंतर रूप से प्रसारित नहीं हो सकता; इसके बजाय, इसे एक द्वितीयक ("डौटर" या पुत्री) विखंडन के न्यूक्लिएशन (nucleation) के माध्यम से एक विच्छिन्न "सुपर-शीयर संक्रमण" से गुजरना चाहिए, जिसे अक्सर मुख्य ("मदर" या मातृ) विखंडन के आगे स्थित दिखाया जाता है। यह भविष्यवाणी विशिष्ट इलास्टोडायनामिक क्षेत्रों और घर्षण संरचनात्मक नियम (frictional constitutive law) के संबंध में विशिष्ट धारणाओं पर निर्भर करती है, विशेष रूप से इस धारणा पर कि विखंडन किनारे के पीछे अवशिष्ट घर्षण शक्ति (residual frictional strength) स्लिप दर (slip rate) से स्वतंत्र है।

कार्यप्रणाली
लेखक शास्त्रीय 2D विखंडन सिद्धांत की धारणाओं का पुनरावलोकन करने के लिए एक सामान्यीकृत "अनकन्वेंशनल सिंगुलैरिटी थ्योरी" (Unconventional Singularities Theory - UST) विकसित करते हैं। कार्यप्रणाली में शामिल है:

1. सैद्धांतिक विकास:

   • लेखक दर-स्वतंत्र अवशिष्ट घर्षण की शास्त्रीय धारणा को शिथिल करते हैं। इसके बजाय, वे घर्षण शक्ति ($\tau$) की स्लिप दर ($v$) पर एक रैखिककृत निर्भरता को शामिल करते हैं, जिसे $\tau(v) \simeq \tau_0 + \eta_{\text{eff}} v$ के रूप में व्यक्त किया गया है।
   • वे विखंडन किनारे के लिए सामान्यीकृत सिंगुलर फील्ड्स (singular fields) व्युत्पन्न करते हैं, जो एक गैर-सार्वभौमिक सिंगुलैरिटी ऑर्डर $\xi$ की अनुमति देते हैं (जहाँ $\xi \neq -1/2$)। शास्त्रीय सिद्धांत में, $\xi = -1/2$ दर-स्वतंत्र धारणा द्वारा निर्धारित होता है।
   • वे एक गैर-सार्वभौमिक सिंगुलैरिटी ऑर्डर $\xi$, विखंडन गति $c_r$, और प्रभावी श्यान-घर्षण गुणांक (effective viscous-friction coefficient) $\eta_{\text{eff}}$ के बीच एक संबंध स्थापित करते हैं, जो सीमा शर्त (boundary condition) $\sigma_{xy} = \tau(v)$ के माध्यम से प्राप्त होता है। यह $\xi$ के लिए एक चयन समीकरण (selection equation) की ओर ले जाता है जो रेले फंक्शन $R(c_r)$ पर निर्भर करता है।
   • वे एक सामान्यीकृत ऊर्जा संतुलन समीकरण व्युत्पन्न करते हैं जो ऊर्जा रिलीज दर $G$ को ब्रेकडाउन ऊर्जा $G_f(\delta)$ से जोड़ता है, जो अब $\xi$ द्वारा निर्धारित पावर लॉ (power law) के अनुसार स्लिप $\delta$ के साथ स्केल करता है।

2. संख्यात्मक सिमुलेशन (Numerical Simulations):

   • एक गैर-रैखिक, रेट-एंड-स्टेट घर्षण नियम का उपयोग करके बड़े पैमाने पर 2D बाउंड्री इंटीग्रल मेथड सिमुलेशन किए गए। इस नियम में एक N-आकार का स्टेडी-स्टेट घर्षण वक्र है, जो प्रयोगात्मक अवलोकनों के अनुरूप है, जहाँ उच्च-स्लिप-रेट शाखा में रेट-स्ट्रेंथनिंग व्यवहार ($\eta_{\text{eff}} > 0$) प्रदर्शित होता है।
   • विखंडन को विभिन्न बैकग्राउंड स्ट्रेस स्तरों ($\tau_d$) के तहत न्यूक्लिएट किया गया ताकि निम्न सब-रेले (sub-Rayleigh) गति ($c_r \approx 0.27 c_R$) से लेकर $c_s$ से अधिक की गति तक प्रसार को नियंत्रित किया जा सके।
   • सिमुलेशन ने स्लिप दर, फॉल्ट स्ट्रेंथ और विखंडन गति के स्थानिक-कालिक (spatiotemporal) क्षेत्रों को ट्रैक किया ताकि सैद्धांतिक भविष्यवाणियों का मात्रात्मक परीक्षण किया जा सके।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• सब-रेले व्यवस्था में UST का सत्यापन: अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि UST, जो $\xi \neq -1/2$ की अनुमति देता है, रेले वेव-स्पीड ($c_R$) के नीचे और उसके करीब की विखंडन गति के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन के साथ उत्कृष्ट मात्रात्मक सहमति में है। विशेष रूप से, सिंगुलैरिटी ऑर्डर $\xi$ (जो लगभग $-0.36$से$-0.34$मापा गया है) और ब्रेकडाउन ऊर्जा स्केलिंग, शास्त्रीय$\xi = -1/2$ भविष्यवाणी से स्वतंत्र, ऊर्जा संतुलन और घर्षण सीमा शर्त दोनों से सुसंगत रूप से प्राप्त किए गए हैं।
• शास्त्रीय सिद्धांत का पतन: परिणाम पुष्टि करते हैं कि शास्त्रीय 2D विखंडन सिद्धांत मध्यम गति पर भी संख्यात्मक डेटा को मात्रात्मक रूप से समझाने में विफल रहता है क्योंकि यह गलत तरीके से दर-स्वतंत्र घर्षण मान लेता है।
• "वर्जित" सीमा वर्जित नहीं है: जैसे-जैसे विखंडन की गति $c_R$ के करीब पहुँचती है, घर्षण नियम की रैखिक सन्निकटन (linear approximation) बढ़ती गैर-रैखिकता के कारण टूट जाती है। फलस्वरूप, UST स्वयं अपने पतन का संकेत देता है क्योंकि $\xi \to 0$ होता है। महत्वपूर्ण रूप से, संख्यात्मक सिमुलेशन प्रकट करते हैं कि विखंडन विच्छिन्न छलांग (discontinuous jump) नहीं लगाता है। इसके बजाय, यह "वर्जित" सुपर-रेले रेंज ($c_R < c_r < c_s$) के माध्यम से और सुपर-शीयर शासन ($c_r > c_s$) में निरंतर और सुचारू रूप से प्रसारित होता है।
• तीव्र संक्रमण का अभाव: सिमुलेशन में प्रयुक्त घर्षण नियमों के लिए तीव्र सुपर-शीयर संक्रमण (जैसे कि "मदर-डौटर" तंत्र) का कोई प्रमाण नहीं मिला है। विखंडन की गति सुचारू रूप से बढ़ती है, $c_R$ और $c_s$ को बिना किसी विचलन (divergence) या तनाव क्षेत्रों के चिह्न परिवर्तन के पार करती है, जैसा कि शास्त्रीय सिद्धांत द्वारा $\xi = -1/2$ के साथ भविष्यवाणी की गई थी।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि "वर्जित" सुपर-रेले गति सीमा का अस्तित्व घर्षण विखंडन की एक सार्वभौमिक विशेषता नहीं है, बल्कि यह शास्त्रीय सिद्धांत की दर-स्वतंत्र अवशिष्ट घर्षण की धारणा का एक आर्टिफैक्ट (artifact) है। दर-निर्भर घर्षण को शामिल करके, अध्ययन यह प्रदर्शित करता है कि:

1. घर्षण विखंडन (frictional ruptures) निरंतर रूप से सुपर-रेले रेंज के माध्यम से प्रसारित हो सकते हैं।
2. सुपर-शीयर गतियों में संक्रमण बिना किसी विच्छिन्न छलांग या द्वितीयक विखंडन के न्यूक्लिएशन के सुचारू रूप से हो सकता है।
3. शास्त्रीय 2D विखंडन सिद्धांत की सीमाएं हैं जब इसे तेज़ भूकंपीय प्रसार (fast earthquake propagation) के लिए लागू किया जाता है जहाँ घर्षण दर-निर्भरता महत्वपूर्ण होती है।

लेखक नोट करते हैं कि जबकि उनके परिणाम "वर्जित" सीमा की सार्वभौमिकता को चुनौती देते हैं, सुपर-शीयर उभरने की विशिष्ट प्रकृति इंटरफेशियल कॉन्स्टिट्यूटिव लॉ (interfacial constitutive law) के विस्तृत गुणों पर निर्भर कर सकती है। वे निष्कर्ष निकालते हैं कि घर्षण दर-निर्भरता का तेज़ भूकंपीय प्रसार को समझने में गहरा प्रभाव है और भविष्य के कार्यों को इन निष्कर्षों को भू-भौतिकीय क्षेत्र अवलोकनों पर लागू करना चाहिए और इस सिद्धांत को तीन आयामों में विस्तारित करना चाहिए।