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Minimal and Canonical Quotients for Simulation Equivalences

यह शोध पत्र अद्वितीय प्रतिनिधियों और अवस्था-संक्रमण-न्यूनतम (state-transition-minimal) LTSs उत्पन्न करने के लिए अमूर्त प्रक्रियाओं को प्रस्तुत करते हुए, कैनोनिकल और मिनिमल कोटिएंट्स के परिणामों को वीक सिम्युलेशन इक्विवेलेंस (weak simulation equivalence) और कपल्ड सिमिलरिटी (coupled similarity) तक विस्तारित करता है, साथ ही यह भी सिद्ध करता है कि इन इक्विवेलेंस के लिए मिनिमाइजेशन समस्या NP-कम्प्लीट है।

मूल लेखक: Eduardo Costa Martins, Tim Willemse

प्रकाशित 2026-07-02

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Eduardo Costa Martins, Tim Willemse

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आपके पास ऊन का एक विशाल, उलझा हुआ गोला है जो एक कंप्यूटर प्रोग्राम के व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है। यह गोला एक "लेबल वाला ट्रांजिशन सिस्टम" (LTS) है। यह दिखाता है कि प्रोग्राम द्वारा किए जा सकने वाले हर संभव मूव, वह हर स्थिति जिसमें वह हो सकता है, और वह हर क्रिया जो वह ले सकता है। अक्सर, यह गोला बहुत बड़ा होता है और इसमें अनावश्यक लूप होते हैं—ऐसी जगहें जहाँ प्रोग्राम एक ही चीज़ को दो बार करता है, या किसी ऐसी जगह तक पहुँचने के लिए एक लंबा, घुमावदार रास्ता अपनाता है जहाँ वह तुरंत पहुँच सकता था।

इस शोध पत्र का लक्ष्य इस गोले को इसके सबसे छोटे, सबसे साफ और सबसे अनूठे आकार में सुलझाना है, बिना यह बदले कि प्रोग्राम वास्तव में क्या करता है। कंप्यूटर विज्ञान में, हम इस प्रक्रिया को "क्वोटिएंटिंग" (quotienting) या "मिनिमाइजेशन" (minimisation) कहते हैं।

यहाँ उन खोजों की कहानी है जो लेखकों ने की, जिसे सरल रूपकों के माध्यम से समझाया गया है।

"सरलीकरण" के दो प्रकार

लेखकों ने यह देखने के लिए दो विशिष्ट तरीकों का अध्ययन किया कि दो प्रोग्राम "एक समान" (equivalent) हैं या नहीं:

वीक सिमुलेशन (Weak Simulation): इसे ऐसे समझें जैसे यह जाँच करना कि क्या एक प्रोग्राम दूसरे की नकल कर सकता है, भले ही उसे वहाँ पहुँचने के लिए कुछ अतिरिक्त "मौन" (silent) चरणों (जैसे कि एक ठहराव) की आवश्यकता हो।
कपल्ड सिमिलरिटी (Coupled Similarity): यह एक थोड़ा सख्त संस्करण है जहाँ प्रोग्रामों को न केवल एक-दूसरे की नकल करनी चाहिए, बल्कि यदि एक आगे निकल जाए तो दूसरे को "पकड़ने" (catch up) में भी सक्षम होना चाहिए।

यह पेपर इन प्रोग्रामों को सरल बनाने के बारे में दो बड़े प्रश्न पूछता है:

कैनोनिसिटी (Canonicity): क्या इस गोले को छोटा करने का केवल एक ही आदर्श, अनूठा तरीका है? (एक फिंगरप्रिंट की तरह: यदि आप दो समान गोलों को सिकोड़ते हैं, तो क्या आपको बिल्कुल एक ही छोटा गोला मिलता है?)
मिनिमैलिटी (Minimality): क्या हम गोले को उसके पूर्णतः न्यूनतम आकार तक सिकोड़ सकते हैं?

"यूनिवर्सल श्रिंकर" (The ∀-Quotient)

सबसे पहले, लेखकों ने "यूनिवर्सल क्वोटिएंट" नामक एक मानक विधि का परीक्षण किया। कल्पना कीजिए कि एक कमरे में जुड़वा बच्चों का एक समूह है। यह विधि कहती है, "यदि आप समान दिखते हैं, तो एक ही कुर्सी पर बैठें।" यह सभी समान अवस्थाओं (states) को एक में मिला देती है।

परिणाम: यह डुप्लिकेट्स को हटाने के लिए अच्छा काम करता है। हालाँकि, यह जुड़वा बच्चों को मिलाने जैसा है लेकिन उनके सभी अतिरिक्त कपड़े अभी भी पहने हुए छोड़ देना है। परिणामी गोला छोटा तो है, लेकिन यह उतना छोटा नहीं है जितना कि वह हो सकता था। इसमें अभी भी अतिरिक्त धागे (ट्रांजिशन) हो सकते हैं जिनकी आवश्यकता नहीं है।
समस्या: इन विशिष्ट प्रोग्राम समानता के प्रकारों के लिए, यह मानक विधि न तो हमेशा एक अनूठा आकार (canonicity) प्रदान करती है, और न ही हमेशा सबसे छोटा आकार (minimality) प्रदान करती है।

"डीसैचुरेशन" ट्रिक (इसे अनूठा बनाना)

एक अनूठा (canonical) आकार प्राप्त करने के लिए, लेखकों ने एक नई तकनीक पेश की जिसे $\tau$ -Desaturation कहा जाता है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि एक प्रोग्राम एक मौन चरण ( $\tau$ -step) लेकर एक नए कमरे में जाता है, और फिर तुरंत एक दृश्य क्रिया (जैसे बटन दबाना) करता है। यदि प्रोग्राम शुरुआती कमरे से सीधे बटन दबा सकता था, तो उस मौन मोड़ (silent detour) की क्या आवश्यकता थी?
समाधान: लेखक कहते हैं, "मौन चरण को काट दें। यदि आप मौन के बाद बटन दबाने वाले थे, तो बस उसे तुरंत दबा दें।" वे इसे तब तक दोहराते हैं जब तक कि कोई मौन मोड़ शेष न रह जाए।
परिणाम: एक बार जब आप इन मौन मोड़ों को हटा देते हैं और समान अवस्थाओं को मिला देते हैं, तो आपको एक ऐसा आकार प्राप्त होता है जो अनूठा है। चाहे आप कहीं से भी शुरू करें, यदि आप इस नियम को लागू करते हैं, तो आप हमेशा बिल्कुल उसी अंतिम गोले तक पहुँचेंगे। यह "कैनोनिसिटी" की समस्या को हल करता है।

"सैचुरेशन" ट्रैप (कठिन हिस्सा)

अब, लेखक सबसे छोटा संभव गोला (Minimality) खोजना चाहते थे। उन्होंने महसूस किया कि कभी-कभी, गोले को छोटा करने के लिए, आपको वास्तव में कई अन्य चरणों को हटाने से पहले एक मौन चरण जोड़ना पड़ता है।

रूपक: कल्पना कीजिए कि आपके पास एक कमरे में पाँच अलग-अलग दरवाजे हैं जो एक ही गलियारे की ओर ले जाते हैं। यह अस्त-व्यस्त है। लेकिन यदि आप बाहर से सीधे गलियारे में एक गुप्त सुरंग (एक मौन चरण) जोड़ देते हैं, तो अचानक वे पाँचों दरवाजे अनावश्यक हो जाते हैं और उन्हें बंद करके हटाया जा सकता है। आपने एक चीज़ जोड़ी ताकि पाँच चीज़ों को हटाया जा सके।
समस्या: सवाल यह है कि: अधिकतम कमी लाने के लिए आपको कौन सा मौन चरण जोड़ना चाहिए?
- क्या आपको दरवाजा A में सुरंग जोड़नी चाहिए?
- या दरवाजा B में?
- या शायद दोनों का संयोजन?
लेखकों ने पाया: इन विशिष्ट प्रोग्राम प्रकारों के लिए, जोड़ने के लिए बेहतरीन संयोजन खोजना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। यह एक सेट कवर (Set Cover) पहेली को हल करने जैसा है।

सेट कवर सादृश्य:
कल्पना कीजिए कि आपके पास कामों की एक सूची (वे ट्रांजिशन जिन्हें आप हटाना चाहते हैं) और उपकरणों की एक सूची (वे मौन चरण जिन्हें आप जोड़ सकते हैं) है। प्रत्येक उपकरण कार्यों के एक विशिष्ट सेट को संभाल सकता है। आप उन सभी कार्यों को पूरा करने के लिए उपकरणों की सबसे छोटी संख्या चुनना चाहते हैं।

लेखकों ने सिद्ध किया कि इन विशिष्ट प्रोग्राम प्रकारों के लिए, उपकरणों का सबसे अच्छा सेट खोजना NP-complete है।
इसका अर्थ है: हर मामले के लिए इसे पूरी तरह से हल करने के लिए कोई तेज़, आसान एल्गोरिदम नहीं है। जैसे-जैसे प्रोग्राम बड़ा होता जाता है, पूर्णतः न्यूनतम संस्करण खोजने में लगने वाला समय तेजी से बढ़ता जाता है। यह गणितीय अर्थ में एक "कठिन" समस्या है।

समाधान: दो-चरणीय रणनीति

चूँकि पूर्णतम न्यूनतम खोजना कठिन है, इसलिए लेखक एक व्यावहारिक प्रक्रिया का प्रस्ताव करते हैं:

चरण 1: अनूठा आकार प्राप्त करें। पहले, अनूठे, कैनोनिकल गोले को प्राप्त करने के लिए "डीसैचुरेशन" ट्रिक का उपयोग करें। यह तेज़ और आसान है।
चरण 2: इसे और अधिक सिकोड़ने का प्रयास करें। फिर, एक "सेट कवर" सॉल्वर (कठिन पहेलियों के लिए डिज़ाइन किया गया एक विशेष कंप्यूटर टूल) का उपयोग करें यह देखने के लिए कि क्या आप और अधिक अव्यवस्था को हटाने के लिए कुछ मौन चरण जोड़ सकते हैं।

वे स्वीकार करते हैं कि हालांकि यह दूसरा चरण गणनात्मक रूप से भारी (computationally heavy) है, लेकिन वास्तविक प्रोग्रामों द्वारा उत्पन्न "पहेलियाँ" (सेट कवर उदाहरण) आमतौर पर इतनी छोटी होती हैं कि आधुनिक कंप्यूटर उन्हें संभाल सकते हैं।

निष्कर्षों का सारांश

अनूठा आकार: हाँ, हमारे पास इन प्रोग्रामों को एक एकल, अनूठे मानक आकार में बदलने का एक तरीका है (Canonical)।
सबसे छोटा आकार: हाँ, हमारे पास उन्हें यथासंभव छोटा बनाने का एक तरीका है (Minimal)।
कैच (Catch): जबकि अनूठा आकार प्राप्त करना आसान है, सबसे छोटा आकार खोजना गणितीय रूप से बहुत कठिन (NP-complete) है। यह एक अलमारी को करीने से व्यवस्थित करने (आसान) और यात्रा के लिए सामान को पैक करने का सबसे कुशल तरीका खोजने (बहुत कठिन) के बीच के अंतर जैसा है।
विधि: आप पहले इसे करीने से व्यवस्थित करके एक अच्छा परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, और फिर यह देखने के लिए एक स्मार्ट सॉल्वर का उपयोग कर सकते हैं कि क्या आप इसे और भी कसकर पैक कर सकते हैं।

शोध पत्र यह निष्कर्ष निकालता है कि जबकि हम इन सिस्टमों का एक मानक संस्करण हमेशा पा सकते हैं, पूर्णतः न्यूनतम संस्करण की खोज एक जटिल चुनौती है जिसके लिए सरल नियमों के बजाय उन्नत पहेली-समाधान तकनीकों की आवश्यकता होती है।

तकनीकी सारांश: सिमुलेशन तुल्यता के लिए न्यूनतम और कैनोनिकल कोटिएंट्स (Quotients)

समस्या विवरण

लेबल वाले ट्रांज़िशन सिस्टम्स (LTSs) विभिन्न उच्च-स्तरीय विशिष्टता भाषाओं के लिए आधारभूत सिमेंटिक मॉडल के रूप में कार्य करते हैं। स्टेट स्पेस एक्सप्लोजन (state space explosion) की समस्या को प्रबंधित करने के लिए एक सामान्य तकनीक कोटिएंटिंग (quotienting) है, जो समतुल्य अवस्थाओं (equivalent states) को मिलाकर एक छोटा, अर्थपूर्ण रूप से समतुल्य सिस्टम बनाती है। हालांकि कोटिएंटिंग फंक्शन और उनके गुण (कैनोनिसिटी और मिनिमैलिटी) स्ट्रोंग बिसिमिलैरिटी (strong bisimilarity), ब्रांचिंग बिसिमिलैरिटी (branching bisimilarity) और ट्रेस इक्विवेलेंस (trace equivalence) के लिए अच्छी तरह से स्थापित हैं, लेकिन वीक सिमुलेशन इक्विवेलेंस (weak simulation equivalence) और कपल्ड सिमिलैरिटी (coupled similarity) के लिए उनका व्यवहार अभी भी कम खोजा गया है।

अन्य इक्विवेलेंस के लिए मौजूदा परिणाम सफलता के विभिन्न स्तर दिखाते हैं:

बिसिमिलैरिटी के लिए, कोटिएंट्स कैनोनिकल (आइसोमॉर्फिज्म तक अद्वितीय) और मिनिमल होते हैं।
ट्रेस इक्वेलेंस के लिए, मिनिमल कोटिएंट्स अद्वितीय नहीं हो सकते, और उन्हें कंप्यूट करना PSPACE-कम्पलीट है।
वीक सिमुलेशन और कपल्ड सिमिलैरिटी के लिए, यह अज्ञात है कि क्या कैनोनिकल या मिनिमल कोटिएंट्स मौजूद हैं, और उनकी गणना की जटिलता भी स्थापित नहीं है।

यह शोध पत्र वीक सिमुलेशन इक्विवेलेंस ( $\equiv_S$ ) और कपल्ड सिमिलैरिटी ( $\equiv_{CS}$ ) के लिए कैनोनिकल और मिनिमल कोटिएंट्स के अस्तित्व की जांच करता है, और उन्हें खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता का विश्लेषण करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक एक मनमाने LTS को उसके इक्विवेलेंस क्लास के प्रतिनिधि में बदलने के लिए अमूर्त प्रक्रियाओं (abstract procedures) को विकसित करते हैं। कार्यप्रणाली सिमुलेशन प्रीऑर्डर्स (simulation preorders) के गुणों और विशिष्ट $\tau$ -लॉज़ (अदृश्य क्रियाओं को नियंत्रित करने वाले एक्सिओम) पर आधारित रूपांतरणों के एक अनुक्रम पर निर्भर करती है।

1. यूनिवर्सल कोटिएंट और रेडंडेंसी रिमूवल

प्रक्रिया $\forall$ -कोटिएंट के साथ शुरू होती है, जो सभी समतुल्य अवस्थाओं को मर्ज करती है। हालांकि, यह अकेले ही अपर्याप्त है क्योंकि यह "इनर्ट" (inert) ट्रांज़िशन (समतुल्य अवस्थाओं के बीच ट्रांज़िशन) और "डुप्लिकेट" ट्रांज़िशन पेश कर सकता है।

कवर्ड ट्रांज़िशन्स (Covered Transitions): लेखक डुप्लिकेट ट्रांज़िशन की अवधारणा को कवर्ड ट्रांज़िशन्स के रूप में सामान्यीकृत करते हैं। एक ट्रांज़िशन $p \xrightarrow{\alpha} q$ 'कवर्ड' है यदि दूसरा ट्रांज़िशन $p' \xrightarrow{\alpha} q'$ मौजूद है जहाँ $p$ $\tau$ -स्टेप्स के माध्यम से $p'$ तक पहुँच सकता है और $q$ , $q'$ द्वारा सिम्युलेट किया जाता है ( $q \sqsubseteq_x q'$ )।
कवर्ड ट्रांज़िशन्स को हटाने से इक्विवेलेंस बनी रहती है और स्टेट स्पेस कम हो जाता है, लेकिन परिणामी LTS न तो अनिवार्य रूप से कैनोनिकल होता है और न ही मिनिमल।

2. $\tau$ -डिसैचुरेशन (कैनोनिसिटी के लिए)

कैनोनिसिटी प्राप्त करने के लिए, पेपर $\tau$ -लॉज़ ( $\tau.x = x$ और $\tau.(\tau.x + y) = \tau.x + y$ ) पर आधारित $\tau$ -डिसैचुरेशन पेश करता है।

ऑपरेशन: यदि किसी अवस्था $p$ में $q$ की ओर एक $\tau$ -ट्रांज़िशन है ( $p \xrightarrow{\tau} q$ ), तो उस ट्रांज़िशन को हटा दिया जाता है, और $p$ को $q$ के सभी आउटगोइंग ट्रांज़िशन्स के साथ "सैचुरेट" (saturate) कर दिया जाता है। कपल्ड सिमिलैरिटी के लिए, यह आवश्यक है कि $q$ में एक आउटगोइंग $\tau$ -ट्रांज़िशन हो।
प्रभाव: यह रूपांतरण क्रमिक $\tau$ -ट्रांज़िशन्स को समाप्त करता है और अवस्थाओं में आने वाले ट्रांज़िशन्स को कम करता है। बार-बार अनुप्रयोग करने पर यह समाप्त हो जाता है, जिससे एक डिसैचुरेटेड (desaturated) LTS प्राप्त होता है।
परिणाम: $\forall$ -कोटिएंट, $\tau$ -डिसैचुरेशन, कवर्ड ट्रांज़िशन्स को हटाने और अप्राप्य (unreachable) अवस्थाओं को हटाने को मिलाकर, लेखक एक रिड्यूस्ड (reduced) LTS को परिभाषित करते हैं। वे सिद्ध करते हैं कि कोई भी दो रिड्यूस्ड LTS जो एक दूसरे के समतुल्य हैं, वे आइसोमॉर्फिक हैं, जिससे एक कैनोनिकल कोटिएंट का अस्तित्व स्थापित होता है।

3. $\tau$ -सैचुरेशन (मिनिमैलिटी के लिए)

मिनिमैलिटी प्राप्त करने के लिए, लेखक इसके विपरीत ऑपरेशन: $\tau$ -सैचुरेशन पेश करते हैं।

ऑपरेशन: यदि $q \sqsubseteq_x p$ , तो एक $\tau$ -ट्रांज़िशन $p \xrightarrow{\tau} q$ जोड़ा जा सकता है। यह मौजूदा ट्रांज़िशन्स को "कवरेबल" बना सकता है, जिससे उन्हें हटाया जा सकता है।
ऑप्टिमाइज़ेशन चुनौती: $\tau$ -सैचुरेशन स्टेप्स को जोड़ने के चुनाव में नॉन-डिटरमिनिस्टिक (non-deterministic) प्रकृति होती है। अलग-अलग चुनाव अलग-अलग रिडक्शन की ओर ले जाते हैं। अधिकतम रिडक्शन प्राप्त करने के लिए $\tau$ -सैचुरेशन स्टेप्स के इष्टतम सेट को चुनने की समस्या सेट कवर प्रॉब्लम (Set Cover Problem) के समकक्ष है।
एल्गोरिदम: मिनिमल कोटिएंट प्रक्रिया पहले कैनोनिकल कोटिएंट की गणना करती है, फिर प्रत्येक अवस्था के लिए "कवरेबल" ट्रांज़िशन्स की पहचान करती है। यह प्रत्येक अवस्था के लिए सेट कवर इंस्टेंस को हल करने के लिए एक सेट कवर सॉल्वर का उपयोग करती है, ताकि अन्य ट्रांज़िशन्स की अधिकतम संख्या को हटाया जा सके।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. कैनोनिकल कोटिएंट्स का अस्तित्व

पेपर सिद्ध करता है कि वीक सिमुलेशन इक्विवेलेंस और कपल्ड सिमिलैरिटी दोनों के लिए एक कैनोनिकल कोटिएंट मौजूद है।

थ्योरम 4.4: दो रिड्यूस्ड LTS (डिसैचुरेटेड, कोई कवर्ड ट्रांज़िशन नहीं, कोई अप्राप्य अवस्था नहीं, कोई इनर्ट ट्रांज़िशन नहीं, कोई समतुल्य अवस्था नहीं) एक दूसरे के समतुल्य हैं यदि और केवल यदि वे आइसोमॉर्फिक हैं।
एल्गोरिदम 1: इस कैनोनिकल कोटिएंट को कंप्यूट करने के लिए एक पॉलीनोमियल-टाइम प्रक्रिया प्रदान की गई है।

2. मिनिमल कोटिएंट्स की जटिलता

यह पेपर स्थापित करता है कि एक मिनिमल कोटिएंट (एक जिसमें अवस्थाओं और ट्रांज़िशन्स की लेक्सिकोग्राफिकल रूप से सबसे कम संख्या हो) को कंप्यूट करना NP-कम्प्लीट है।

थ्योरम 5.5: $\equiv_x$ के संबंध में मिनिमाइजेशन NP-हार्ड है। इसे सेट कवर प्रॉब्लम से रिडक्शन के माध्यम से सिद्ध किया गया है।
निहितार्थ: बिसिमिलैरिटी मिनिमाइजेशन (जो कि पॉलीनोमियल टाइम में है) के विपरीत, सिमुलेशन इक्विवेलेंसेस के लिए सबसे छोटा समतुल्य LTS खोजना सामान्य मामले में कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन (intractable) है।
एल्गोरिदम 2: एक प्रक्रिया वर्णित है जो सेट कवर प्रॉब्लम के लिए एक ऑरेकल (oracle) का लाभ उठाकर एक मिनिमल कोटिएंट को कंप्यूट करती है। जबकि एल्गोरिदम स्वयं पॉलीनोमियल-टाइम नहीं है (NP-hard सबप्रॉब्लम के कारण), यह सेट कवर सॉल्वर्स के उपयोग की अनुमति देता है। जेनरेट किए गए इंस्टेंस आमतौर पर छोटे (अवस्थाओं के आउट-डिग्री द्वारा सीमित) होते हैं।

3. बिसिमिलैरिटी से अंतर

ये परिणाम बिसिमिलैरिटी से एक मौलिक विचलन को उजागर करते हैं:

बिसिमिलैरिटी के लिए, मिनिमल कोटिएंट अद्वितीय होता है और पॉलीनोमियल टाइम में कंप्यूट किया जा सकता है।
सिमुलेशन इक्विवेलेंसेस के लिए, मिनिमल कोटिएंट्स अद्वितीय नहीं हो सकते (एक ही इक्विवेलेंस क्लास के लिए कई नॉन-आइसोमॉर्फिक मिनिमल LTS हो सकते हैं), और उन्हें खोजना NP-कम्प्लीट है।

महत्व और दावे

पेपर का दावा है कि यह कोटिएंटिंग की सैद्धांतिक समझ को सुस्थापित बिसिमिल्यूशन और ट्रेस इक्वैलेंसेस से आगे बढ़ाता है।

सामान्यीकरण: दृष्टिकोण "डुप्लिकेट ट्रांज़िशन्स" की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है और सिमुलेशन प्रीऑर्डर्स के विशिष्ट $\tau$ -लॉज़ का उपयोग करके कैनोनिकल फॉर्म प्राप्त करता है।
व्यावहारिकता: हालांकि पूर्णतः मिनिमल कोटिएंट खोजना NP-कम्प्लीट है, प्रस्तावित विधि अभ्यासकर्ताओं को स्टेट स्पेस में महत्वपूर्ण कमी लाने के लिए कुशल सेट कवर सॉल्वर्स का लाभ उठाने की अनुमति देती है, क्योंकि इनसे उत्पन्न होने वाले विशिष्ट इंस्टेंस अक्सर छोटे होते हैं।
विनम्रता: लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि उनके परिणाम वीक सिमुलेशन और कपल्ड सिमिलैरिटी के विशिष्ट $\tau$ -लॉज़ पर निर्भर हैं। वे यह दावा नहीं करते कि ये परिणाम पूरे लीनियर टाइम-ब्रांचिंग टाइम स्पेक्ट्रम में सामान्यीकृत होते हैं, जिससे पता चलता है कि अलग-अलग इक्विवेलेंसेस के लिए अलग-अलग $\tau$ -लॉज़ और रूपांतरण रणनीतियों की आवश्यकता हो सकती है।

निष्कर्षतः, यह पेपर वीक सिमुलेशन और कपल्ड सिमिलैरिटी के लिए दोनों (कैनोनिकल और मिनिमल) कोटिएंट प्राप्त करने के लिए पहली अमूर्त प्रक्रियाएं प्रदान करता है, जिसमें पूर्ववर्ती को पॉलीनोमियल-टाइम कंप्यूट करने योग्य और उत्तरवर्ती को NP-कम्प्लीट के रूप में वर्णित किया गया है।