Null-Calibrated Conformal Selection via Target-Membership Scores

तकनीकी सारांश: लक्ष्य-सदस्यता स्कोर के माध्यम से नल-कैलिब्रेटेड कॉन्फॉर्मल चयन (Null-Calibrated Conformal Selection)

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

कॉन्फॉर्मल चयन (Conformal selection) का उद्देश्य एक पूल से उन परीक्षण उम्मीदवारों (test candidates) की पहचान करना है जिनके अज्ञात उत्तर (responses) उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट लक्ष्य क्षेत्र $I \subseteq \mathcal{Y}$ के भीतर आते हैं, जबकि फॉल्स डिस्कवरी रेट (FDR) को नियंत्रित किया जाता है। चुनौती दो उद्देश्यों के बीच संतुलन बनाने में निहित है: गलत खोजों (false discoveries - जहाँ $Y \notin I$) को न्यूनतम करना और शक्ति (power) को अधिकतम करना (जितने संभव हो उतने वास्तविक लक्ष्यों को चुनना)।

मौजूदा पद्धतियाँ आमतौर पर कॉन्फॉर्मल प्रेडिक्शन से नॉन-कन्फॉर्मिटी स्कोर (nonconformity scores) विरासत में लेती हैं, जैसे कि साइन्ड रेसिडुअल्स (signed residuals), क्लिप्ड रेसिडुअल्स (clipped residuals), या कंडीशनल क्वांटाइल स्कोर। ये स्कोर भविष्यवाणी कार्यों (जैसे $Y$ का अनुमान लगाना) के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, न कि चयन कार्यों (यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $Y \in I$) के लिए। लेखक तर्क देते हैं कि ये प्रेडिक्शन-ओरिएंटेड स्कोर चयन उद्देश्य के साथ संरचनात्मक रूप से गलत संरेखित (misaligned) हो सकते हैं, विशेष रूप से जब लक्ष्य क्षेत्र एक अंतराल (interval), विचरण-संचालित (variance-driven), बहु-मोडल (multimodal), या कई स्थितियों द्वारा परिभाषित हो। ऐसे मामलों में, एक उच्च भविष्यवाणी स्कोर (जैसे, एक बड़ा कंडीशनल मीन) आवश्यक रूप से लक्ष्य सदस्यता की उच्च संभावना को नहीं दर्शाता है।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लक्ष्य-सदस्यता सिद्धांत (The Target-Membership Principle)
यह शोध पत्र स्कोर चयन में एक मौलिक बदलाव का प्रस्ताव करता है: चयन के लिए स्वाभाविक स्कोर लक्ष्य-सदस्यता प्रायिकता (target-membership probability) है:
$$\eta_I(x) = P(Y \in I \mid X = x)$$
यह स्कोर चयन समस्या को एक बाइनरी क्लासिफिकेशन कार्य के रूप में मानता है जहाँ लेबल $Z = \mathbb{I}\{Y \in I\}$ है। नेमन-पियर्सन लेम्मा (Neyman–Pearson lemma) के अनुसार, $\eta_I(x)$ के किसी भी मोनोटोन ट्रांसफॉर्म का थ्रेशोल्डिंग करना, एक निश्चित नल चयन स्तर पर लक्ष्य चयन की प्रायिकता को अधिकतम करने के लिए ऑरेकल रैंकिंग (oracle ranking) प्रदान करता है।

स्कोर-लक्ष्य संरेखण लक्षण वर्णन (Score-Target Alignment Characterization)
शोध पत्र कठोरता से इस बात का लक्षण वर्णन करता है कि पारंपरिक स्कोर कब पर्याप्त होते हैं और कब विफल होते हैं:

• मीन-मोनोटोन लक्ष्य (Mean-Monotone Targets): एक-तरफा लक्ष्यों के लिए (जैसे, $I = [c, \infty)$) जहाँ लक्ष्य सदस्यता कंडीशनल मीन में मोनोटोन होती है, पारंपरिक स्कोर (रेसिडुअल्स, लाइकलीहुड रेश्यो) $\eta_I(x)$ के समान ही रैंकिंग प्रदान करते हैं। इन व्यवस्थाओं में, नया सिद्धांत मौजूदा अभ्यास को पुनः प्राप्त करता है बिना किसी शक्ति लाभ के।
• गलत संरेखित लक्ष्य (Misaligned Targets): अंतराल लक्ष्यों, विचरण-संचालित लक्ष्यों, बहु-मोडल वितरणों, या बहु-शर्त वाले लक्ष्यों के लिए, पारंपरिक स्कोर अक्सर $\eta_I(x)$ के साथ संरेखित होने में विफल रहते हैं। उदाहरण के लिए, एक विचरण-संचालित अंतराल लक्ष्य में, कंडीशनल मीन सदस्यता के बारे में कोई जानकारी प्रदान नहीं कर सकता है, जबकि $\eta_I(x)$ प्रासंगिक सिग्नल को कैप्चर करता है।

नल-कैलिब्रेटेड कॉन्फॉर्मल सिलेक्शन (NCCS)
$\eta_I(x)$ को संचालित करने के लिए, शोध पत्र NCCS पेश करता है, जो एक विशिष्ट कैलिब्रेशन मार्ग है जो रैंकिंग को परिमित-नमूना वैध (finite-sample valid) p-मानों में परिवर्तित करता है।

1. स्कोर लर्निंग: एक समर्पित स्प्लिट ($D_{sc}$) पर बाइनरी लेबल $Z_i = \mathbb{I}\{Y_i \in I\}$ का उपयोग करके एक लक्ष्य-सदस्यता स्कोर $g(x)$ सीखा जाता है। शोध पत्र कॉस्ट-सेंसिटिव लॉजिस्टिक रिग्रेशन या ग्रेडिएंट-बूस्टेड ट्रीज़ के उपयोग का सुझाव देता है।
2. नल कैलिब्रेशन: मानक कॉन्फॉर्मल सिलेक्शन के विपरीत, जो परीक्षण स्कोर की तुलना सभी कैलिब्रेशन उदाहरणों से करता है, NCCS परीक्षण स्कोर की तुलना केवल पुष्ट गैर-लक्ष्य कैलिब्रेशन उदाहरणों ($C_0 = \{i \in D_{cal} : Y_i \notin I\}$) से करता है।
3. P-वैल्यू निर्माण: एक परीक्षण उम्मीदवार $j$ के लिए, नल-कैलिब्रेटेड p-वैल्यू है:
   $$p_j(g) = \frac{1 + \#\{i \in C_0 : g(X_i) \ge g(X_{N+j}\})}{|C_0| + 1}$$
4. चयन: इन p-मानों को अंतिम सेट चुनने के लिए मल्टीपल-टेस्टिंग प्रक्रिया (जैसे, बेनजामिनी-होचबर्ग या बेनजामिनी-येकुटीली) में फीड किया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

1. लक्ष्य-सदस्यता सिद्धांत: शोध पत्र यह स्थापित करता है कि कॉन्फॉर्मल चयन को $Y \in I$ की एक क्लासिफिकेशन समस्या के रूप में देखा जाना चाहिए। यह $\eta_I(x)$ को ऑरेकल रैंकिंग स्कोर के रूप में पहचानता है, जो स्कोर चयन के लिए एक सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है जो प्रेडिक्शन-ओरिएंटेड स्कोर से भिन्न है।
2. संरेखण लक्षण वर्णन: यह सटीक रूप से उस सीमा को रेखांकित करता है जहाँ पारंपरिक स्कोर काम करते हैं (मीन-मोनोटोन लक्ष्य) बनाम जहाँ वे विफल होते हैं (अंतराल, विचरण-संचालित, बहु-मोडल लक्ष्य), और यह समझाता है कि क्यों मेंबरशिप स्कोरिंग इन मामलों के लिए "कैनोनिकल रिपेयर" है।
3. NCCS के माध्यम से परिमित-नमूना वैधता: शोध पत्र एक विशिष्ट कैलिब्रेशन रूट (NCCS) को अलग करता है जो नल एक्सचेंजेबिलिटी (null exchangeability) के तहत परिमित-नमूना नल p-वैल्यू वैधता की गारंटी देता है। यह इसे प्रत्यक्ष एम्पिरिकल-FDP थ्रेशोल्डिंग (जैसे, किन एट अल, 2025) से अलग करता है, जो केवल एसिम्प्टोटिक रूप से FDR को नियंत्रित करता है और दुर्लभ लक्ष्यों के मामले में एंटी-कंजर्वेटिव हो सकता है।
4. अनुभवजन्य सत्यापन: प्रयोगों से पुष्टि होती है:
   • मीन-मोनोटोन लक्ष्यों पर, मेंबरशिप स्कोर पारंपरिक स्कोर के समान प्रदर्शन करते हैं।
   • विचरण-संचालित अंतराल लक्ष्यों पर, मेंबरशिप स्कोर मीन-स्कोर चयन (जो विफल हो जाता है) की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करते हैं।
   • NCCS परिमित नमूनों में सख्त FDR नियंत्रण बनाए रखता है, जबकि डायरेक्ट थ्रेशोल्डिंग (direct thresholding) नामित FDR स्तर से ऊपर जा सकता है, विशेष रूप से दुर्लभ-लक्ष्य व्यवस्थाओं में।

4. परिणाम और सीमाएँ (Results and Limitations)

प्रायोगिक निष्कर्ष

• मीन-मोनोटोन व्यवस्था: एक अपर-टेल टारगेट सेटिंग में, NCCS-BH (बेनजामिनी-होचबर्ग का उपयोग करते हुए) क्लिप्ड cfBH या डायरेक्ट नेमन-पियर्सन (Qin-NP) थ्रेशोल्डिंग की तुलना में अधिक कंजर्वेटिव था, जिसके परिणामस्वरूप कम पावर लेकिन समान FDR नियंत्रण प्राप्त हुआ। यह पुष्टि करता है कि यह सिद्धांत कृत्रिम रूप से वहां शक्ति नहीं बढ़ाता जहां पारंपरिक तरीके पहले से ही काम कर रहे हैं।
• विचरण-संचालित व्यवस्था: कंडीशनल वेरिएंस द्वारा संचालित एक अंतराल लक्ष्य सेटिंग में, मीन-स्कोर विधियाँ (Mean-Null-BH) पूरी तरह विफल रहीं (पावर $\approx 0$)। NCCS-BH ने ऑरेकल ($0.354$) की तुलना में पर्याप्त शक्ति ($0.288$) बनाए रखी, जो मीन-आधारित दृष्टिकोणों से काफी बेहतर है।
• दुर्लभ लक्ष्य: जब लक्ष्य आवृत्ति कम थी, तो डायरेक्ट एम्पिरिकल-FDP थ्रेशोल्डिंग (Qin-NP) ने बढ़ा हुआ FDR दिखाया (जैसे, 0.170 बनाम नामित 0.10), जबकि NCCS-BH नामित स्तर से नीचे रहा, जो दुर्लभ-घटना परिदृश्यों में इसकी मजबूती को प्रदर्शित करता है।

मामूली दावे और सीमाएँ
लेखक स्पष्ट रूप से कहते हैं कि NCCS को सार्वभौमिक पावर विजेता के रूप में प्रस्तुत नहीं किया गया है।

• पावर ट्रेड-ऑफ: NCCS अक्सर डायरेक्ट नेमन-पियर्सन थ्रेशोल्डिंग की तुलना में अधिक कंजर्वेटिव होता है क्योंकि यह एसिम्प्टोटिक FDP अनुमान के बजाय परिमित-नमूना p-वैल्यू वैधता पर निर्भर करता है।
• दुर्लभ लक्ष्य: स्वयं मेंबरशिप स्कोर को सीखना कठिन हो सकता है जब लक्ष्य घटना दुर्लभ हो, जिसके लिए दक्षता के लिए डिस्ट्रिब्यूशनल या बेयसियन मॉडल की आवश्यकता हो सकती है।
• एक्सचेंजेबिलिटी: NCCS की परिमित-नमूना वैधता नल एक्सचेंजेबिलिटी की धारणा पर निर्भर करती है। कोवेरिएट शिफ्ट या लेबल शिफ्ट के तहत, नल कैलिब्रेशन सेट अब नल टेस्ट उम्मीदवारों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है, जिसके लिए वेटेड कैलिब्रेशन की आवश्यकता होगी (एक भविष्य का कार्यक्षेत्र)।
• दायरा: शोध पत्र एक एकल विधि को श्रेष्ठ बताने के बजाय सिद्धांत और उसके लक्षण वर्णन पर केंद्रित है। इसका योगदान सामान्य लक्ष्यों के लिए सही स्कोर की पहचान करना और एक विशिष्ट वैधता गारंटी वाला कैलिब्रेशन मार्ग प्रदान करना है।

5. महत्व (Significance)

इस शोध पत्र का महत्व कॉन्फॉर्मल चयन को एक क्लासिफिकेशन समस्या के रूप में पुनर्गठित करने में निहित है, जिससे लक्ष्य-सदस्यता प्रायिकता को सैद्धांतिक रूप से इष्टतम स्कोर के रूप में पहचाना गया है। यह एक स्पष्ट, परीक्षण योग्य सीमा प्रदान करता है कि कब यह नया दृष्टिकोण आवश्यक है (गैर-मोनोटोन लक्ष्य) और कब यह अनावश्यक है। इसके अलावा, यह NCCS को एक व्यावहारिक पद्धति के रूप में पेश करता है जो एसिम्प्टोटिक पावर के बजाय परिमित-नमूना वैधता को प्राथमिकता देती है, जो उन चयन समस्याओं के लिए एक मजबूत समाधान प्रदान करती है जहाँ छोटे नमूनों या दुर्लभ-घटना व्यवस्थाओं में गलत खोजों को नियंत्रित करना महत्वपूर्ण है।