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Asymptotically Optimal Learning for Parametric Prophet Inequalities

यह शोध पत्र एक्सपोनेंशियल-प्रकार के पैरामीट्रिक परिवारों से प्राप्त i.i.d. रिवॉर्ड्स (इनामों) से संबंधित प्रोफ़ेट इनइक्वेलिटीज (prophet inequalities) के लिए इष्टतम एसिम्प्टोटिक कॉम्पिटिटिव रेश्यो (asymptotic competitive ratios) स्थापित करता है और एक कॉन्फिडेंस-आधारित डायनेमिक प्रोग्रामिंग पॉलिसी का प्रस्ताव करता है जो केवल ऑनलाइन अवलोकनों का उपयोग करके, बिना किसी बाहरी ऑफलाइन नमूनों के, इन इष्टतम दरों को प्राप्त करती है।

मूल लेखक: Jung-hun Kim, Anna Grebennikova, Vianney Perchet

प्रकाशित 2026-06-26

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Jung-hun Kim, Anna Grebennikova, Vianney Perchet

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक कार्निवल गेम में हैं जिसका नाम है "द प्रॉफिट्स प्राइज़" (The Prophet's Prize)।

यह इस प्रकार काम करता है:

एक मशीन एक-एक करके कई पुरस्कारों को प्रकट करती है (एक चमकदार सिक्का, एक टेडी बियर, एक गोल्डन टिकट, आदि)।
आपको तुरंत यह निर्णय लेना होगा कि क्या आप वर्तमान पुरस्कार को लेकर रुक जाना चाहते हैं, या उसे हमेशा के लिए छोड़ देना चाहते हैं और बाद में बेहतर पुरस्कार की उम्मीद करना चाहते हैं।
एक बार जब आपने किसी पुरस्कार को "ना" कह दिया, तो आप कभी वापस नहीं जा सकते।
एक "प्रॉफिट" (एक जादुई सर्वज्ञ प्राणी) है जो पूरे खेल की शुरुआत से पहले सभी पुरस्कारों को देख लेता है। प्रॉफिट बस पूरी लाइन में से सबसे बेहतरीन पुरस्कार चुन लेता है।
आपका लक्ष्य: आप एक ऐसा पुरस्कार पकड़ना चाहते हैं जो प्रॉफिट के सबसे अच्छे चुनाव के लगभग बराबर हो, भले ही आपको यह न पता हो कि आगे क्या आने वाला है।

समस्या: "अननोन रेसिपी" (The Unknown Recipe)

क्लासिक वर्ज़न्स में जहाँ यह खेल खेला जाता है, नियम सरल होते हैं: आप जानते हैं कि पुरस्कारों का वितरण (distribution) कैसा है (जैसे, "50% सिक्के हैं, 50% भालू हैं")। लेकिन वास्तविक दुनिया में, आपको अक्सर 'रेसिपी' (नियम) पता नहीं होती। शायद मशीन को ज्यादातर छोटे पुरस्कार देने के लिए सेट किया गया है, या यह एक "हैवी-टेल्ड" (heavy-tailed) मशीन है जहाँ छोटे पुरस्कार आम हैं, लेकिन कभी-कभी बहुत बड़े जैकपॉट भी आते हैं।

यदि आपको नियम पता नहीं हैं, तो आप आमतौर पर केवल अनुमान लगाते हैं। पिछले शोधों ने दिखाया है कि बिना नियमों को जाने, आप प्रॉफिट की तुलना में 3.7% से बेहतर प्रदर्शन नहीं कर सकते। बेहतर करने के लिए, आपको शुरू करने से पहले पिछले खेलों का एक विशाल "ट्रेनिंग सेट" (सीखने का समूह) की आवश्यकता होती है।

पेपर का बड़ा विचार: खेलते समय सीखना (Learning While Playing)

यह पेपर पूछता है: क्या हम खेल खेलते समय ही रेसिपी सीख सकते हैं, बिना किसी विशाल ट्रेनिंग सेट के?

लेखक विशिष्ट प्रकार की "रेसिपियों" (गणितीय वितरणों) पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जिनमें शामिल हैं:

एक्सपोनेंशियल (Exponential): जैसे छोटे-से-मध्यम पुरस्कारों की एक निरंतर धारा।
पारेटो (Pareto): जैसे एक ऐसी मशीन जहाँ छोटे पुरस्कार आम हैं, लेकिन कभी-कभी बहुत बड़े जैकपॉट आते हैं (हैवी-टेल्ड)।
बाउंडेड (Bounded): जैसे एक ऐसी मशीन जहाँ पुरस्कारों की एक अधिकतम सीमा होती है (जैसे, टेडी बियर से बड़ा कुछ नहीं)।

वे मानते हैं कि ये रेसिपी एक विशिष्ट गणितीय पैटर्न का पालन करती हैं जिसमें केवल एक अज्ञात संख्या (एक पैरामीटर, मान लीजिए $\theta$ ) होती है।

समाधान: "कॉन्फिडेंस-फर्स्ट" रणनीति (The "Confidence-First" Strategy)

लेखक एक स्मार्ट एल्गोरिदम (एल्गोरिदम 1) का प्रस्ताव करते हैं जो एक सतर्क खोजकर्ता (explorer) की तरह कार्य करता है। यह इस प्रकार काम करता है, स्टेप-बाय-स्टेप:

"वॉर्म-अप" चरण (एक्सप्लोरेशन):
एल्गोरिदम शुरू में केवल डेटा इकट्ठा करने के लिए पहले कुछ (मान लीजिए पहले 50) पुरस्कारों को बिना सोचे-समझे स्वीकार कर लेता है। वह अभी जीतने की कोशिश नहीं करता; वह केवल अज्ञात संख्या $\theta$ का अनुमान लगाने के लिए डेटा एकत्र करता है।
"सेफ्टी नेट" (कॉन्फिडेंस बाउंड):
केवल सटीक संख्या का अनुमान लगाने के बजाय, एल्गोरिदम एक "सुरक्षित ऊपरी सीमा" (safe upper bound) की गणना करता है। कल्पना कीजिए कि यह कहता है, "जो मैंने देखा है उसके आधार पर, इस मशीन की वास्तविक कठिनाई X के आसपास है, लेकिन सुरक्षित रहने के लिए, आइए मान लें कि यह थोड़ी अधिक कठिन (एक उच्च संख्या) है।"
- रूढ़िवादी क्यों होना? यदि आप मान लेते हैं कि मशीन वास्तव में जितनी है उससे अधिक कठिन है, तो आप अपनी अपेक्षाएं कम कर लेंगे। यह आपको बहुत अधिक चयनात्मक होने से रोकता है, जिससे आप एक ऐसे "परफेक्ट" पुरस्कार की प्रतीक्षा में अच्छे पुरस्कारों को हाथ से गंवाने से बच जाते हैं जो शायद कभी न आए।
"डायनामिक प्लान" (प्लग-इन DP):
इस "सुरक्षित" अनुमान का उपयोग करके, एल्गोरिदम एक पूर्व-निर्धारित योजना (डायनामिक प्रोग्रामिंग) चलाता है। यह हर एक टर्न के लिए एक विशिष्ट थ्रेशोल्ड (सीमा) निर्धारित करता है।
- टर्न 100: "मैं तभी रुकूँगा यदि पुरस्कार $5 से बड़ा हो।"
- टर्न 101: "मैं तभी रुकूँगा यदि पुरस्कार $4.50 से बड़ा हो।"
- और इसी तरह।
परिणाम:
इस "सीखते-जाते-खेलने" वाले तरीके का उपयोग करके, एल्गोरिदम वही प्रदर्शन प्राप्त करता है जैसा कि तब होता यदि उसे शुरुआत से ही रेसिपी पूरी तरह पता होती। यह "प्रॉफिट" की दक्षता से मेल खाता है, यहाँ तक कि उन कठिन, हैवी-टेल्ड मशीनों के लिए भी जहाँ अन्य तरीके विफल हो जाते हैं।

यह क्यों मायने रखता है (द "आहा!" मोमेंट)

यह पेपर उनके तरीके और पुराने "रैंक-बेस्ड" (Rank-Based) तरीकों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को उजागर करता है।

पुराना तरीका (रैंक-बेस्ड): कल्पना कीजिए कि एक खिलाड़ी जो केवल इस बात पर ध्यान देता है कि एक पुरस्कार उनके द्वारा देखे गए पिछले पुरस्कारों की तुलना में कैसा है। "क्या यह अब तक का सबसे बड़ा पुरस्कार है जो मैंने देखा है?" यह कुछ खेलों के लिए ठीक काम करता है, लेकिन पेपर साबित करता है कि यह "हैवी-टेल्ड" खेलों (जैसे पारेटो वितरण) के लिए पूरी तरह विफल हो जाता है। उन खेलों में, सबसे बड़ा पुरस्कार अक्सर इतना विशाल होता है कि पिछले छोटे पुरस्कारों के साथ तुलना करने से आपको उसके वास्तविक मूल्य का एहसास नहीं हो पाता।
नया तरीका (पैरामीट्रिक): लेखकों का एल्गोरिदम पुरस्कारों के वास्तविक मूल्य को देखता है और खेल की गणितीय संरचना का उपयोग करता है। यह यह समझने जैसा है कि, "आह, यह मशीन कभी-कभी $1,000 का नोट गिराती है," बजाय इसके कि केवल यह पूछा जाए, "क्या यह अब तक का सबसे बड़ा नोट है जो मैंने देखा है?"

निष्कर्ष (The Bottom Line)

यह पेपर सिद्ध करता है कि यदि आप जानते हैं कि आप किस प्रकार का खेल खेल रहे हैं (भले ही आपको उसके सटीक सेटिंग्स पता न हों), तो आप चलते-फिरते उन सेटिंग्स को सीख सकते हैं और पूरी तरह से खेल सकते हैं। आपको सीखने के लिए पिछले खेलों के विशाल पुस्तकालय की आवश्यकता नहीं है; आपको बस यह समझने की आवश्यकता है कि आप वर्तमान में खेल रहे कुछ खेलों का उपयोग कैसे करते हैं।

संक्षेप में: उन्होंने एक ऐसा रोबोट बनाया है जो खेलते समय कार्निवल गेम के नियमों को सीख लेता है, और अपने अनुमानों के बारे में थोड़ा सावधान रहकर, वह उतना ही अक्सर जीतता है जितना कि एक जादुई सर्वज्ञ प्रॉफिट।

तकनीकी सारांश: पैरामेट्रिक प्रोफ़ेट इनइक्वेलिटीज़ के लिए एसिम्प्टोटिकली ऑप्टिमल लर्निंग

समस्या विवरण

यह शोध पत्र एक ऐसी प्रोफ़ेट इनइक्वेलिटीज़ (prophet inequalities) के संदर्भ में ऑनलाइन निर्णय लेने की समस्या को संबोधित करता है जहाँ रिवॉर्ड डिस्ट्रीब्यूशन (पुरस्कार वितरण) अज्ञात है लेकिन एक विशिष्ट पैरामेट्रिक परिवार से संबंधित है। शास्त्रीय प्रोफ़ेट इनइक्वेलिटी सेटिंग में, एक निर्णय निर्माता $n$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (i.i.d.) गैर-ऋणात्मक रिवॉर्ड्स $X_1, \dots, X_n$ का एक अनुक्रम देखता है और अधिकतम रिवॉर्ड प्राप्त करने के लिए उसे कब रुकना है, इसका अपरिवर्तनीय निर्णय लेना होता है। प्रदर्शन को एक "प्रोफ़ेट" बेंचमार्क $OPT(\theta) = \mathbb{E}[\max_{t \in [n]} X_t]$ के विरुद्ध मापा जाता है, जो सभी वास्तविकताओं को पहले से जानता है।

जबकि शास्त्रीय परिणाम यह मानते हैं कि रिवॉर्ड डिस्ट्रीब्यूशन ज्ञात है (जो इष्टतम कॉम्पिटिटिव रेश्यो $\kappa \approx 0.745$ प्रदान करते हैं), यह कार्य उस परिदृश्य पर केंद्रित है जहाँ डिस्ट्रीब्यूशन पैरामीटर $\theta$ अज्ञात है। लेखक एक एक्सपोनेंशियल-टाइप पैरामेट्रिक फैमिली पर विचार करते हैं जिसे संचयी वितरण फलन (CDF) द्वारा परिभाषित किया गया है:
$F_\theta(x) = 1 - \exp(-\theta \phi(x))$
जहाँ $\phi$ एक ज्ञात स्ट्रिक्टली इंक्रीजिंग (strictly increasing) फलन है। यह परिवार निम्नलिखित को समाहित करता है:

लाइट-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशंस (Light-tailed distributions): एक्सपोनेंशियल ( $\phi(x)=x$ )।
हैवी-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशंस (Heavy-tailed distributions): पारेटो ( $\phi(x)=\log(x/x_0)$ )।
बाउंडेड-सपोर्ट डिस्ट्रीब्यूशंस (Bounded-support distributions): $[x_0, x_F]$ पर पावर-फैमिली ( $\phi(x)=\log(\frac{x_F-x_0}{x_F-x})$ )।

लक्ष्य एक ऑनलाइन लर्निंग पॉलिसी डिज़ाइन करना है जो केवल अनुक्रमिक अवलोकनों (बिना किसी बाहरी ऑफलाइन सैंपल्स के) का उपयोग करके $\theta$ का अनुमान लगाए और उस डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट एसिम्प्टोटिक कॉम्पिटिटिव रेश्यो को प्राप्त करे जो तब प्राप्त किया जा सकता था यदि $\theta$ ज्ञात होता।

कार्यप्रणाली (Methodology)

1. फुल-इंफॉर्मेशन बेंचमार्क्स का लक्षण वर्णन

लेखक पहले यह स्थापित करते हैं कि जब $\theta$ ज्ञात हो, तो प्रदर्शन की सैद्धांतिक सीमाएँ क्या होती हैं। वे इनवर्स फंक्शन $\psi = \phi^{-1}$ पर एक एंडपॉइंट रेगुलैरिटी कंडीशन (असमप्शन 3) लागू करते हैं, जो ग्रोथ/डिके कांस्टेंट $c_+$ (अनबाउंडेड सपोर्ट) या $c_-$ (बाउंडेड सपोर्ट) द्वारा अभिलक्षित है।

अनबाउंडेड सपोर्ट (Unbounded Support): इष्टतम कॉम्पिटिटिव रेश्यो निम्न में परिवर्तित होता है:
$\rho(c_+, \theta) = \frac{1}{\Gamma(1 - c_+/\theta)} \left( \frac{\theta}{\theta - c_+} \right)^{c_+/\theta}$
यह सीमा टेल व्यवहार (हैवी टेल्स के फ्रेट (Fréchet) डोमेन ऑफ अट्रैक्शन से संबंधित) पर निर्भर करती है।
बाउंडेड सपोर्ट (Bounded Support): इष्टतम कॉम्पिटिटिव रेश्यो 1 पर परिवर्तित होता है।

2. कॉन्फिडेंस-बेस्ड डायनेमिक प्रोग्रामिंग (CDP-OL)

इस बेंचमार्क को प्राप्त करने के लिए, बिना $\theta$ जाने, यह शोध पत्र एल्गोरिदम 1 (CDP-OL) प्रस्तावित करता है, जो एक कॉन्फिडेंस-बेस्ड डायनेमिक प्रोग्रामिंग पॉलिसी है। यह एल्गोरिदम दो चरणों में कार्य करता है:

एक्सप्लोरेशन फेज (Exploration Phase): पहले $m$ अवलोकनों को एकत्र किया जाता है लेकिन उन्हें अस्वीकार कर दिया जाता है। एल्गोरिदम प्लग-इन एस्टीमेटर $\hat{\theta}_m = (\frac{1}{m}\sum \phi(X_i))^{-1}$ की गणना करता है।
एक्सप्लोइटेशन फेज (Exploitation Phase): $\theta$ $θ$ के लिए एक अपर कॉन्फिडेंस बाउंड $\theta^{(U)}$ $θ^{(U)}$ बनाया जाता है। एल्गोरिदम फिर $\theta^{(U)}$ $θ^{(U)}$ को पैरामीटर के रूप में उपयोग करके डायनेमिक प्रोग्रामिंग (DP) थ्रेशोल्ड्स की गणना करता है।
- मुख्य अंतर्दृष्टि: चूंकि एक बड़ा रेट पैरामीटर $\theta$ , स्टोकेस्टिकली छोटे रिवॉर्ड डिस्ट्रीब्यूशन का संकेत देता है, इसलिए एक अपर कॉन्फिडेंस बाउंड $\theta^{(U)} \ge \theta$ का उपयोग करने से कंजर्वेटिव कंटीन्यूएशन वैल्यूज़ और लोअर थ्रेशोल्ड्स प्राप्त होते हैं। यह पॉलिसी को पैरामीटर अनिश्चितता के तहत अत्यधिक चयनात्मक होने से रोकता है, जिससे अपेक्षित रिवॉर्ड प्रतिस्पर्धी बना रहता है।

3. कन्वर्जेंस एनालिसिस (Convergence Analysis)

लेखक विशिष्ट डिस्ट्रीब्यूशंस के लिए रिफाइंड कन्वर्जेंस रेट्स को निम्नलिखित त्रुटि पदों (error terms) का विश्लेषण करके व्युत्पन्न करते हैं:

पैरामीटर एस्टीमेशन (कॉन्फिडेंस बाउंड विड्थ)।
एक्सप्लोरेशन लॉस (पहले $m$ सैंपल्स को त्यागना)।
अंतर्निहित फाइनाइट-होराइजन गैप्स (ज्ञात पैरामीटर्स के साथ भी)।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. इष्टतम फुल-इंफॉर्मेशन एसिम्प्टोटिक्स

यह शोध पत्र एक्सपोनेंशियल-टाइप फैमिली के लिए सटीक एसिम्प्टोटिक कॉम्पिटिटिव रेश्यो को अभिलक्षित करता है।

अनबाउंडेड सपोर्ट के लिए (जैसे पारेटो), सीमा $c_+$ द्वारा नियंत्रित होती है और 1 से कम होती है।
बाउंडेड सपोर्ट के लिए, सीमा 1 है।
यह एक डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट बेंचमार्क प्रदान करता है जो डिस्ट्रीब्यूशन-अगनॉस्टिक वर्स्ट-केस कांस्टेंट $\kappa \approx 0.745$ से काफी अधिक है।

2. एसिम्प्टोटिकली ऑप्टिमल ऑनलाइन लर्निंग

प्रस्तावित CDP-OL पॉलिसी केवल ऑनलाइन अवलोकनों का उपयोग करके पूर्ण फुल-इंफॉर्मेशन डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट सीमा को प्राप्त करती है।

अनबाउंडेड सपोर्ट: पॉलिसी किसी भी $\delta > 0$ के लिए $(1-\delta)\rho(c_+, \theta)$ का कॉम्पिटिटिव रेश्यो प्राप्त करती है, बशर्ते कि एक्सप्लोरेशन लेंथ $m$ उपयुक्त रूप से स्केल करे (जैसे, $m = \omega(\log^2 n)$ )।
बाउंडेड सपोर्ट: पॉलिसी 1 के करीब पहुँचने वाला कॉम्पिटिटिव रेश्यो प्राप्त करती है।

3. डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट कन्वर्जेंस रेट्स

शोध पत्र नॉन-पैरामेट्रिक, रैंक-बेस्ड अप्रोच की तुलना में बेहतर विशिष्ट कन्वर्जेंस गारंटी प्रदान करता है:

एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन: पॉलिसी $O(1/\log n)$ की कन्वर्जेंस रेट प्राप्त करती है, जो फुल-इंफॉर्मेशन ऑप्टिमल रेट से मेल खाती है। यह रैंक-बेस्ड मेथड्स (गोल्डनश्लुगर और ज़ीवी [2022]) के $O(\log \log \log n / \log n)$ रेट से बेहतर है।
पारेटो डिस्ट्रीब्यूशन (हैवी-टेल्ड): पॉलिसी इष्टतम एसिम्प्टोटिक रेश्यो $\rho(1, \theta)$ प्राप्त करती है। महत्वपूर्ण रूप से, लेखक सिद्ध करते हैं कि कोई भी रिलेटिव-रैंक-बेस्ड नियम फ्रेट (Fréchet) हैवी-टेल्ड रिजीम में इस सीमा को प्राप्त नहीं कर सकता; रैंक-बेस्ड नियम एसिम्प्टोटिकली इष्टतम फुल-इंफॉर्मेशन बेंचमार्क से दूर रहते हैं।
बाउंडेड-सपोर्ट पावर फैमिली: पॉलिसी $O(n^{-1/\theta})$ की कन्वर्जेंस रेट प्राप्त करती है, जो ऑप्टिमल फुल-इंफॉर्मेशन पॉलिसी के अंतर्निहित फाइनाइट-होराइजन रेट से मेल खाती है। यह यूनिफॉर्म डिस्ट्रीब्यूशन के लिए रैंक-बेस्ड मेथड्स के $O(\log n / n)$ रेट से बेहतर है।

4. संख्यात्मक प्रयोग (Numerical Experiments)

एक्सपोनेंशियल, पारेटो और बाउंडेड-सपोर्ट डिस्ट्रीब्यूशंस के सिंथेटिक इंस्टेंस पर किए गए प्रयोग पुष्टि करते हैं कि प्रस्तावित एल्गोरिदम लगातार सैद्धांतिक इष्टतम एसिम्प्टोटिक रेश्यो के करीब पहुँचता है। एल्गोरिदम बेसलाइन की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करता है, विशेष रूप से पारेटो केस में जहाँ रैंक-बेस्ड मेथड्स विफल हो जाते हैं।

महत्व और दावे

यह शोध पत्र इस बात का सकारात्मक उत्तर देता है कि क्या अज्ञात पैरामीटर्स को ऑनलाइन सीखने और फुल-इंफॉर्मेशन डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट बेंचमार्क से मेल खाने के लिए पैरामेट्रिक डिस्ट्रीब्यूशनल स्ट्रक्चर का लाभ उठाया जा सकता है।

वर्स्ट-केस गारंटी से परे: पूर्ववर्ती कार्यों के विपरीत जो डिस्ट्रीब्यूशन-अगनॉस्टिक गारंटी (जैसे $1-1/e$ या $\kappa \approx 0.745$ को रिकवर करना) पर ध्यान केंद्रित करते हैं, यह कार्य तीक्ष्ण, डिस्ट्रीब्यूशन-विशिष्ट सीमाओं को लक्षित करता है।
रैंक-बेस्ड सीमाओं को पार करना: यह कार्य प्रदर्शित करता है कि हैवी-टेल्ड (फ्रेट) रिजीम में, केवल रिलेटिव रैंक पर निर्भर रहना मौलिक रूप से उप-इष्टतम (suboptimal) है। इष्टतम सीमा को प्राप्त करने के लिए रिवॉर्ड वैल्यूज़ की स्पष्ट पैरामेट्रिक संरचना का लाभ उठाना आवश्यक है।
सैंपल एफिशिएंसी: पॉलिसी बिना किसी बाहरी ऑफलाइन सैंपल की आवश्यकता के इन इष्टतम रेश्यो को प्राप्त करती है, जो केवल ऑनलाइन एक्सप्लोरेशन-एक्सप्लोइटेशन ट्रेड-ऑफ पर निर्भर करती है।

लेखक नोट करते हैं कि उनकी गारंटी एक्सपोनेंशियल-टाइप फैमिली के भीतर एक-आयामी अज्ञात पैरामीटर पर निर्भर करती है। वे समृद्ध पैरामेट्रिक, कॉन्टेक्स्टुअल, या मिसस्पेसिफाइड मॉडल्स के लिए इस दृष्टिकोण को विस्तारित करना भविष्य के कार्य के रूप में देखते हैं।