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Constrained Kolmogorov widths

यह शोधपत्र यह विश्लेषण करने के लिए प्रतिबंधित कोलमोगोरोव चौड़ाई (Kolmogorov widths) का व्यवस्थित अध्ययन करता है कि सन्निकटन कार्यों (approximating functions) पर स्मूथनेस (smoothness) या मोनोटोनिसिटी (monotonicity) जैसी विशेषताओं को लागू करने से दक्षता कैसे प्रभावित होती है, और यह प्रदर्शित करता है कि शास्त्रीय स्मूथनेस-प्रतिबंधित परिवेशों में, ऐसे प्रतिबंधों को आमतौर पर सन्निकटन सटीकता (approximation accuracy) से समझौता किए बिना लागू किया जा सकता है।

मूल लेखक: Ronald DeVore, Guergana Petrova, Jonathan W. Siegel, Przemysław Wojtaszczyk

प्रकाशित 2026-06-30

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ronald DeVore, Guergana Petrova, Jonathan W. Siegel, Przemysław Wojtaszczyk

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप अपने एक मित्र को एक जटिल, ऊबड़-खाबड़ पर्वत श्रृंखला का वर्णन करने की कोशिश कर रहे हैं जिसके पास बहुत सीमित शब्दावली है। आप सरल शब्दों (जैसे "पहाड़ी," "घाटी," "शिखर") का उपयोग करके एक ऐसी तस्वीर बनाना चाहते हैं जो वास्तविक पहाड़ों के जितनी संभव हो सके उतनी करीब दिखे। यह अनुमान सिद्धांत (approximation theory) की मूल समस्या है: हम एक जटिल चीज़ को एक सरल चीज़ से कितनी अच्छी तरह बदल सकते हैं?

आमतौर पर, गणितज्ञ पूछते हैं: "हम सबसे अच्छा सरल चित्र कैसे बना सकते हैं?" वे इसे कोलमोगोरोव चौड़ाई (Kolmogorov widths) नामक चीज़ का उपयोग करके मापते हैं। इसे एक स्कोर की तरह समझें: कम स्कोर का अर्थ है कि आपका सरल चित्र वास्तविक पर्वत के बहुत करीब है।

लेकिन वास्तविक दुनिया में, हमारे पास अक्सर कुछ नियम (प्रतिबंध) होते हैं।

यदि आप स्टॉक की कीमत का ग्राफ बना रहे हैं, तो आपसे केवल ऐसी रेखाएं बनाने के लिए कहा जा सकता है जो ऊपर जाती हों (एकदिष्टता/monotonicity)।
यदि आप किसी भौतिक वस्तु का मॉडल बना रहे हैं, तो आपको आकार ऐसा रखना पड़ सकता है जो उत्तल (convex) हो (कोई गड्ढा न हो)।
मशीन लर्निंग में, आपको आवश्यकता हो सकती है कि आपका मॉडल ज्ञात डेटा के एक विशिष्ट "सुरक्षित क्षेत्र" के भीतर रहे।

यह शोध पत्र एक बड़ा प्रश्न पूछता है: यदि हम अपने सरल चित्र को इन अतिरिक्त नियमों का पालन करने के लिए मजबूर करते हैं, तो क्या हमारा स्कोर खराब हो जाता है? क्या हम अपनी दक्षता खो देते हैं?

यहाँ लेखकों ने जो पाया है, उसका विवरण सरल उपमाओं का उपयोग करके दिया गया है।

1. "सरल चित्रों" के तीन प्रकार

लेखक इन सरल चित्रों को बनाने के विभिन्न तरीकों की तुलना करते हैं:

मानक तरीका (कोलमोगोरोव चौड़ाई): आप अपने किसी भी सरल उपकरण (जैसे बहुपद या स्प्लाइन्स) के किसी भी संयोजन का उपयोग करके सबसे अच्छा फिट प्राप्त कर सकते हैं। आपके पास पूर्ण स्वतंत्रता है।
"लालची" (Greedy) तरीका: आप एक समय में एक सबसे अच्छा टुकड़ा चुनकर अपना चित्र बनाते हैं। यह आगे देखे बिना, वर्तमान में उपलब्ध सबसे बड़े ब्लॉक को चुनने के समान है।
"प्रतिबंधित" (Constrained) तरीका: आपको अपने उपकरणों का उपयोग करके अपना चित्र बनाना होगा, लेकिन अंतिम परिणाम को एक नियम का पालन करना चाहिए (जैसे, इसे उत्तल होना चाहिए)। यह इस शोध पत्र का मुख्य केंद्र है।

2. बड़ी आश्चर्यजनक बात: नियम हमेशा नुकसान नहीं पहुँचाते

लेखकों ने पाया कि "क्या नियम हमें नुकसान पहुँचाते हैं?" का उत्तर पूरी तरह से स्थिति पर निर्भर करता है।

परिदृश्य A: "विदेशी" (Exotic) मामला (नियम बहुत नुकसान पहुँचाते हैं)
कल्पना कीजिए कि आप एक बहुत ही अजीब, अमूर्त आकार को उच्च-आयामी स्थान (high-dimensional space) में अनुमानित करने की कोशिश कर रहे हैं। यदि आप आकार को एक सख्त नियम का पालन करने के लिए मजबूर करते हैं (जैसे एक विशिष्ट गोले के भीतर रहना), तो आप पाएंगे कि आपके सरल उपकरण लक्ष्य के करीब नहीं पहुँच पाते।

परिणाम: इन अजीब, सैद्धांतिक मामलों में, प्रतिबंध जोड़ने से आपका अनुमान बहुत खराब हो सकता है। त्रुटि मानक विधि की तुलना में बहुत बड़ी हो सकती है। यह केवल सीधी रेखाओं का उपयोग करके एक पूर्ण वृत्त बनाने की कोशिश करने जैसा है, लेकिन आपको केवल ऊपर की ओर झुकी हुई रेखाओं का उपयोग करने के लिए मजबूर किया गया है। आप बुरी तरह विफल हो जाएंगे।

परिदृश्य B: "शास्त्रीय" (Classical) मामला (नियम नुकसान नहीं पहुँचाते)
यह अच्छी खबर है। उन सेटिंग्स में जो अधिकांश वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों (जैसे ध्वनि तरंगों या तापमान परिवर्तन जैसे सुचारू कार्यों का अनुमान लगाना) के लिए महत्वपूर्ण हैं, लेखकों ने सिद्ध किया कि प्रतिबंध जोड़ने से आमतौर पर आपकी कुछ भी हानि नहीं होती है।

परिणाम: यदि आप एक सुचारू कार्य (smooth function) का अनुमान लगा रहे हैं और आप चाहते हैं कि आपका अनुमान भी सुचारू हो (या एक निश्चित सीमा के भीतर रहे), तो आप उतनी ही सटीकता प्राप्त कर सकते हैं जितनी कि बिना किसी नियम के प्राप्त होती।
उपमा: कल्पना कीजिए कि आप एक सुंदर सूर्यास्त को पेंट कर रहे हैं। आपको कहा जाता है, "आपको केवल नीले और नारंगी रंग का उपयोग करना होगा।" इस नियम के बावजूद, आप एक ऐसा सूर्यास्त पेंट कर सकते हैं जो उतना ही सटीक दिखता है जितना कि यदि आपके पास ब्रह्मांड के सभी रंग होते। प्रतिबंध ने आपकी गति धीमी नहीं की।

3. "गामा" ( $\gamma$ ) कारक

शोध पत्र एक अवधारणा पेश करता है जिसे $\gamma$ -प्रतिबंधित चौड़ाई ( $\gamma$ -constrained widths) कहा जाता है।

प्रतिबंध को आपके अनुमत क्षेत्र के चारों ओर एक बाड़ के रूप में सोचें।
एक सख्त प्रतिबंध ( $\gamma = 1$ ) का अर्थ है कि आपको बाड़ के ठीक अंदर रहना होगा।
एक ढीला प्रतिबंध ( $\gamma > 1$ ) का अर्थ है कि आपको बाड़ से थोड़ा बाहर जाने की अनुमति है (शायद बाड़ के आकार का 1.5 गुना)।

लेखकों ने पाया कि यदि आप थोड़ी सी लचीलापन (एक थोड़ा बड़ा घेरा) देते हैं, तो आप लगभग हमेशा उसी पूर्ण सटीकता को प्राप्त कर सकते हैं जो अनियंत्रित विधि से मिलती है। नियम के लिए "दंड" गायब हो जाता है जब तक कि आप अनुमान को थोड़ी सी सांस लेने की जगह देते हैं।

4. सुगमता (Smoothness) महत्वपूर्ण है

शोध पत्र मुख्य रूप से सुगमता (smoothness) पर केंद्रित है।

यदि जिस चीज़ का आप अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं वह "खुरदरी" या "ऊबड़-खाबड़" है (गणितीय रूप से, यदि उसमें सुगमता की कमी है), तो प्रतिबंध बहुत हानिकारक हो सकते हैं।
यदि वह चीज़ "सुचारू" (जैसे एक कोमल वक्र) है, तो प्रतिबंध हानिरहित होते हैं।

लेखकों ने यह सिद्ध करने के लिए उन्नत गणितीय उपकरणों (जैसे इंटरपोलेशन स्पेस और अनुमान वर्ग) का उपयोग किया कि इन सुचारू, शास्त्रीय मामलों के लिए, प्रतिबंध होने या न होने पर भी अनुमान की "दक्षता" समान रहती है।

सारांश

समस्या: क्या हम जटिल चीजों का अनुमान सरल चीजों से लगा सकते हैं यदि हमें अतिरिक्त नियमों का पालन करना पड़े?
बुरी खबर: कुछ अजीब, अमूर्त गणितीय दुनिया में, नियम अनुमान लगाना बहुत कठिन बना सकते हैं।
अच्छी खबर: "वास्तविक दुनिया" के सुचारू कार्यों (जो अधिकांश भौतिकी, इंजीनियरिंग और डेटा विज्ञान की समस्याओं को कवर करते हैं) में, नियम आपकी दक्षता को कम नहीं करते हैं। आप थोड़ी सी लचीलापन प्रदान करके (जैसे सुगमता या सकारात्मकता जैसे प्रतिबंध लगाना) सटीकता खोए बिना प्रतिबंध लागू कर सकते हैं।

यह शोध पत्र मूल रूप से हमें आश्वस्त करता है कि जिन संदर्भों में यह सबसे अधिक मायने रखता है, वहां हमें "नियमों का पालन करने" और "एक अच्छा उत्तर पाने" के बीच चयन करने की आवश्यकता नहीं है। हम आमतौर पर दोनों प्राप्त कर सकते हैं।

तकनीकी सारांश: बाधित कोलमोगोरोव चौड़ाई (Constrained Kolmogorov Widths)

समस्या विवरण

इस शोध पत्र में संबोधित मुख्य समस्या बाधित सन्निकटन (constrained approximation) का मात्रात्मक विश्लेषण है। शास्त्रीय सन्निकटन सिद्धांत (approximation theory) में, लक्ष्य एक कॉम्पैक्ट सेट $K$ (एक मॉडल क्लास) के तत्वों को एक परिमित-आयामी रैखिक स्थान $V$ से उपयोग करके सन्निकट करना होता है, जिसका आयाम $n$ है। इस प्रक्रिया की दक्षता को कोलमोगोरोव चौड़ाई (Kolmogorov width) $d_n(K)_X$ द्वारा मापा जाता है।

हालाँकि, कई अनुप्रयोगों (जैसे, संख्यात्मक PDE, लर्निंग थ्योरी, ज्यामितीय डिज़ाइन) में यह आवश्यक होता है कि सन्निकट करने वाला फलन अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करे, जैसे कि मोनोटोनिसिटी (monotonicity), उत्तलता (convexity), धनात्मकता (positivity) को बनाए रखना, या स्वयं मॉडल क्लास $K$ के भीतर रहना। यह शोध पत्र इस बात की जांच करता है कि ऐसी बाधाएं लगाने से सन्निकटन की दक्षता कैसे प्रभावित होती है। विशेष रूप से, यह बाधित कोलमोगोरोव चौड़ाई $d_n(K, C)_X$ को परिभाषित करता है और अध्ययन करता है, जहाँ सन्निकट करने वाले फलनों को एक रैखिक स्थान $V$ और एक बाधित क्लास $C$ के प्रतिच्छेदन (intersection) का सदस्य होना चाहिए।

प्राथमिक प्रश्न यह है कि क्या इन बाधाओं को लागू करने से सन्निकटन की स्पर्शोन्मुखी दर (asymptotic rate) में गिरावट आती है (अर्थात, क्या $n \to \infty$ होने पर $d_n(K, C)_X$ , $d_n(K)_X$ की तुलना में काफी धीमी गति से घटता है?)।

कार्यप्रणाली और परिभाषाएँ

यह शोध पत्र विभिन्न प्रतिबंधों के तहत सन्निकटन क्षमताओं को मापने के लिए "चौड़ाई" (widths) के एक व्यवस्थित ढांचे का उपयोग करता है।

मानक चौड़ाई (Standard Widths): लेखक कोलमोगोरोव चौड़ाई ( $d_n$ ), रैखिक चौड़ाई ( $\delta_n$ ), और गेल्फ़ैंड चौड़ाई ( $d_n$ ) की परिभाषाओं को याद करते हैं।
बाधित चौड़ाई (Constrained Widths):
- बाधित कोलमोगोरोव चौड़ाई ( $d_n(K, C)_X$ ): $n$ -आयामी स्थानों $V$ के इन्फिमम (infimum) पर आधारित, जब $f \in K$ को $V \cap C$ के तत्वों द्वारा सन्निकट किया जाता है।
- $\gamma$ -बाधित चौड़ाई ( $d_n^{c, \gamma}(K)_X$ ): एक विश्राम (relaxation) जहाँ सन्निकट को $V \cap K_\gamma$ में होना चाहिए, जहाँ $K_\gamma = \bigcup_{0 \le \lambda \le \gamma} \lambda K$ है। यह सन्निकट को मॉडल क्लास का एक स्केल्ड संस्करण बनने की अनुमति देता है।
संबंधित चौड़ाई:
- ग्रीडी चौड़ाई ( $d_n^g(K)_X$ ): $K$ के तत्वों द्वारा स्पैन किए गए सन्निकटन स्थान।
- प्रतिबंधित चौड़ाई ( $d_n^r(K)_X$ ): $K$ के रैखिक विस्तार (linear span) द्वारा स्पैन किए गए सन्निकटन स्थान।
विश्लेषणात्मक उपकरण:
- इंटरपोलेशन थ्योरी (Interpolation Theory): बेज़ोव स्पेस (Besov spaces) और सन्निकटन वर्गों को जोड़ने के लिए वास्तविक इंटरपोलेशन विधियों का उपयोग किया जाता है।
- K-फंक्शनल (K-functional): इंटरपोलेशन स्पेस को परिभाषित करने और चौड़ाई के ऊपरी बाउंड (upper bounds) प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।
- जैकसन और बर्नस्टीन असमानताएँ (Jackson and Bernstein Inequalities): सन्निकटन स्थानों को लक्षणित करने और विभिन्न चौड़ाई परिभाषाओं के बीच समानता स्थापित करने के लिए नियोजित की जाती हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

1. सामान्य गुण और तुलनाएँ (अनुभाग 2–4)

यह शोध पत्र सामान्य बानाच स्पेस (Banach spaces) और कॉम्पैक्ट सेट्स के लिए विभिन्न चौड़ाई के बीच मौलिक संबंधों को स्थापित करता है।

असमानताएँ: यह चौड़ाई का एक पदानुक्रम सिद्ध करता है:
$d_n(K)_X \le d_n^r(K)_X \le d_n^g(K)_X \le \lim_{\gamma \to \infty} d_n^{c, \gamma}(K)_X \le d_n^{c, \gamma}(K)_X \le d_n^c(K)_X$
हिल्बर्ट स्पेस में समानता: एक हिल्बर्ट स्पेस में उत्तल (convex) और केंद्रीय रूप से सममित (centrally symmetric) सेट्स $K$ के लिए, प्रतिबंधित, ग्रीडी, और $\gamma$ -बाधित चौड़ाई, मानक कोलमोगोरोव चौड़ाई के समान होती हैं।
सामान्य सेटिंग्स में दक्षता की हानि: शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि सामान्य बानाच स्पेस और अनिश्चित कॉम्पैक्ट सेट्स के लिए, बाधित चौड़ाई मानक चौड़ाई की तुलना में काफी अधिक हो सकती है।
- प्रमेय 4.6: ऐसे बानाच स्पेस और सेट्स मौजूद हैं जहाँ $d_n^r(K)_X \ge C\sqrt{n} d_n(K)_X$ ।
- प्रमेय 4.7: हिल्बर्ट स्पेस और उत्तल सेट्स के लिए, ऐसा कोई सीधा तुलनात्मक रूप $d_n^c(K)_X \le \lambda_n d_{m_n}(K)_X$ सार्वभौमिक रूप से नहीं है जो लागू हो सके; जब मानक चौड़ाई कम होती है तब भी बाधित चौड़ाई बड़ी बनी रह सकती है।
- लेम्मा 4.8: $\ell_\infty$ में $\ell_1$ के यूनिट बॉल के लिए, मानक चौड़ाई $O(\sqrt{\log(m/n)/n})$ के रूप में घटती है, जबकि बाधित चौड़ाई एक स्थिरांक ( $1/2$ ) से नीचे नहीं जाती है, जो सख्त बाधाओं ( $\gamma=1$ ) के लिए दक्षता की गंभीर हानि को दर्शाती है।

2. शास्त्रीय सेटिंग्स: इंटरपोलेशन और सन्निकटन वर्ग (अनुभाग 5–6)

शोध पत्र अपना ध्यान "शास्त्रीय सेटिंग्स" पर केंद्रित करता है जहाँ $K$ , $L_p$ स्पेस में विशिष्ट स्मूथनेस क्लासेज (बेज़ोव स्पेस, सन्निकटन वर्ग) के यूनिट बॉल हैं।

इंटरपोलेशन स्पेस: लेखक सिद्ध करते हैं कि इंटरपोलेशन स्पेस $X_{\theta, q}$ के लिए, $\gamma$ -बाधित चौड़ाई उसी दर से घटती है जिस दर से मानक चौड़ाई घटती है, बशर्ते $\gamma$ पर्याप्त रूप से बड़ा हो। विशेष रूप से, यदि $d_n(U(Y))_X \sim \delta_n$ , तो $d_n^{c, \tilde{\gamma}}(U(X_{\theta, q}))_X \lesssim \delta_n^\theta$ ।
सन्निकटन वर्ग: सन्निकटन वर्गों $A(\sigma, X)$ $A (σ, X)$ के लिए, शोध पत्र दिखाता है कि प्रतिबंधित, ग्रीडी, और $\gamma$ $γ$ -बाधित चौड़ाई, मानक कोलमोगोरोव चौड़ाई के बराबर होती हैं ( $\gamma$ $γ$ में एक स्थिरांक कारक के साथ)।
- प्रमेय 6.2: एक अनुक्रम $\sigma_n$ द्वारा परिभाषित सन्निकटन वर्गों के लिए, $d_n^r(U(\sigma, X))_X = d_n^{c, \gamma_n}(U(\sigma, X))_X = d_n(U(\sigma, X))_X = \sigma_n$ , जहाँ $\gamma_n$ क्वासी-नॉर्म स्थिरांक पर निर्भर एक स्थिरांक है।
परिष्कृत सन्निकटन स्थान: परिणामों को परिष्कृत स्पेस $A_q^r$ तक विस्तारित किया गया है, यह दिखाते हुए कि पर्याप्त बड़े $\gamma$ के लिए $\gamma$ -बाधित चौड़ाई का स्पर्शोन्मुखी क्षय दर मानक चौड़ाई से मेल खाता है।

3. स्मूथनेस क्लासेज और बेज़ोव स्पेस (अनुभाग 7)

यह शोध पत्र सीमित लिप्सचिट्ज़ डोमेन (Lipschitz domains) पर बेज़ोव स्पेस $B_q^s(L_p(\Omega))$ पर पिछले सैद्धांतिक तंत्र को लागू करता है।

ऊपरी सीमाएँ (Upper Bounds): बेज़ोव स्पेस दोनों इंटरपोलेशन और सन्निकटन स्पेस हैं, इस तथ्य का उपयोग करते हुए, लेखक $\gamma$ -बाधित चौड़ाई के लिए ऊपरी सीमाएँ प्राप्त करते हैं।
मुख्य परिणाम (प्रमेय 7.1): $L_p(\Omega)$ में बेज़ोव बॉल्स $U(B_q^s(L_\tau(\Omega)))$ के लिए, एक $\gamma$ (पैरामीटर्स पर निर्भर) मौजूद है कि:
$d_n^{c, \gamma}(U_s^{\tau, q})_{L_p} \lesssim (n+1)^{-(s/d - (1/\tau - 1/p)_+)}$
यह दर इन क्लासेज के लिए मानक कोलमोगोरोव चौड़ाई के ज्ञात स्पर्शोन्मुखी क्षय से मेल खाती है।
सीमाएँ: लेखक नोट करते हैं कि जबकि ऊपरी सीमाएँ स्थापित की गई हैं, "काशिन रिजीम" (Kashin regime) में बाधित चौड़ाई के लिए निचली सीमाएँ (lower bounds) अभी भी एक खुला प्रश्न है (जहाँ इष्टतम सन्निकटन के लिए शास्त्रीय बहुपदों/स्प्लाइन्स के बजाय संभाव्य विधियों की आवश्यकता होती है)।

महत्व और दावे

शोध पत्र दावा करता है कि यह बाधित सन्निकटन का एक व्यवस्थित अध्ययन प्रदान करता है, जो उन सामान्य सेटिंग्स (जहाँ बाधाएं प्रदर्शन को गंभीर रूप से खराब कर सकती हैं) और शास्त्रीय स्मूथनेस सेटिंग्स (जहाँ वे ऐसा नहीं करतीं) के बीच अंतर करता है।

शास्त्रीय क्लासेज के लिए दक्षता की कोई हानि नहीं: प्राथमिक सकारात्मक परिणाम यह है कि शास्त्रीय मॉडल क्लासेज (बेज़ोव स्पेस, सन्निकटन वर्ग) के लिए $L_p$ स्पेस में, बाधाओं को लागू करना (विशेष रूप से $\gamma$ -बाधा जहाँ सन्निकट मॉडल क्लास का एक स्केल्ड संस्करण है) सन्निकटन की स्पर्शोन्मुखी दर को कम नहीं करता है। बाधित चौड़ाई, बिना बाधित कोलमोगोरोव चौड़ाई की समान दर से घटती है।
$\gamma$ की भूमिका: शोध पत्र इस बात पर प्रकाश डालता है कि जबकि सख्त बाधाएं ( $\gamma=1$ ) महत्वपूर्ण हानि का कारण बन सकती हैं (जैसा कि $\ell_1/\ell_\infty$ उदाहरण में देखा गया है), बाधा को एक स्केलिंग फैक्टर $\gamma$ (यहाँ तक कि एक निश्चित परिमित $\gamma$ ) की अनुमति देकर शिथिल करना अक्सर इष्टतम सन्निकटन दर को पुनः प्राप्त करने के लिए पर्याप्त होता है।
लर्निंग थ्योरी के लिए उपकरण: $\gamma$ -बाधित चौड़ाई की शुरूआत लर्निंग थ्योरी द्वारा प्रेरित है, जहाँ ऐसे सन्निकटों की खोज की जाती है जो मॉडल क्लास के "करीब" हों। परिणाम बताते हैं कि स्मूथनेस से जुड़े कई व्यावहारिक परिदृश्यों में, हम अनुकूलतम अभिसरण दरों (convergence rates) से समझौता किए बिना इन संरचनात्मक बाधाओं को लागू कर सकते हैं।

लेखक "काशिन रिजीम" के संबंध में विनम्र रहते हैं, यह स्पष्ट रूप से कहते हुए कि कुछ मामलों में जहाँ इष्टतम बिना बाधित सन्निकटन गैर-रचनात्मक संभाव्य विधियों पर निर्भर करता है, वहाँ बाधित चौड़ाई का व्यवहार अभी भी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है।