Uniqueness for an inverse problem of determining order and temporal factor of the source for time-fractional evolution equations

तकनीकी सारांश: समय-आंशिक विकास समीकरणों के लिए स्रोत के क्रम और टेम्पोरल फैक्टर के निर्धारण की व्युत्क्रम समस्या के लिए अद्वितीयता

समस्या का निरूपण
यह शोध पत्र एक हिल्बर्ट स्पेस $X$ में एक समय-आंशिक विकास समीकरण (time-fractional evolution equation) से जुड़ी एक व्युत्क्रम समस्या (inverse problem) की जांच करता है। अग्रवर्ती समस्या (forward problem) को निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:
$$\partial_t^\alpha u(t) = -Au(t) + p(t)f$$
जहाँ $A$ एक धनात्मक निश्चित स्व-संयोजक (positive definite self-adjoint) ऑपरेटर है जिसका कॉम्पैक्ट व्युत्क्रम (compact inverse) है, $f \in X$ एक ज्ञात स्रोत प्रोफाइल है, और अज्ञात चर आंशिक क्रम $\alpha \in (0, 1) \cup (1, 2)$ और समय-निर्भर स्रोत कारक $p(t) \in C[0, T]$ हैं। प्रारंभिक स्थिति को इस आवश्यकता द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित किया गया है कि समाधान $u$ भिन्नात्मक सोबोलेव स्पेस (fractional Sobolev space) $H^\alpha(0, T; X)$ में thuộc हो, जो यह सुनिश्चित करता है कि $u(0)=0$ (और यदि $\alpha > 1$ हो तो $u'(0)=0$) जहाँ भी ट्रेस (traces) के संदर्भ में लागू हो।

इस व्युत्क्रम समस्या को हल करने के लिए प्रदान की गई अति-निर्धारण स्थिति (overdetermination condition) एक निश्चित भार फलन (weight function) $\psi \in D(A)$ के साथ समाधान का अदिश गुणन (scalar product) है:
$$(u(t), \psi)_X = \Psi(t), \quad 0 < t < T.$$
मुख्य उद्देश्य $\alpha$ और $p(t)$ दोनों को डेटा से एक साथ पुनः प्राप्त करने की अद्वितीयता (uniqueness) का निर्धारण करना है।

कार्यप्रणाली
लेखक स्पेक्ट्रल अपघटन (spectral decomposition) दृष्टिकोण को संयोजन (combining) के साथ $t=0$ के पास स्पर्शोन्मुखी विश्लेषण (asymptotic analysis) का उपयोग करते हैं। कार्यप्रणाली निम्नलिखित प्रमुख चरणों पर निर्भर करती है:

1. आइजनफंक्शन विस्तार (Eigenfunction Expansion): समाधान $u(t)$ का ऑपरेटर $A$ के आइजनफंक्शन्स का उपयोग करके विस्तार किया जाता है। यह विकास समीकरण को मिट्टैग-लेफ़लर फलनों (Mittag-Leffler functions) $E_{\alpha, \beta}(z)$ के एक श्रेणी (series) में परिवर्तित कर देता है।
2. स्पर्शोन्मुखी अपघटन (Asymptotic Decomposition): $t=0$ के पास समाधान (या उसके अदिश गुणन) का एक "न्यूनतम चिकना" (least smooth) अग्रणी घटक और एक "अधिक चिकने" (smoother) शेष भाग में अपघटन एक केंद्रीय तकनीक है। विशेष रूप से, लेखक इस गुण का उपयोग करते हैं कि भिन्नात्मक समाकलन $J^\alpha$ और भिन्नात्मक अवकलज $\partial_t^\alpha$ अग्रणी पद को उच्च-क्रम के पदों से अलग करने की अनुमति देते हैं, जो $t^{\alpha+m}$ (जहाँ $m$, $t=0$ पर $p(t)$ के अग्रणी क्रम से संबंधित है) की तरह व्यवहार करता है।
3. सक्षम वर्ग (Admissible Classes): विश्लेषण अज्ञात स्रोत कारकों $p(t)$ और $q(t)$ को विशिष्ट सक्षम वर्गों ($P$ और $\tilde{P}$) तक सीमित करता है। इन वर्गों के लिए आवश्यक है कि फलन $t=0$ के पास $p(t) \sim p_0 t^m$ के रूप में व्यवहार करें, जिसमें शेष भाग पर विशिष्ट चिकनाई (smoothness) की शर्तें हों।
4. स्पर्शोन्मुखी विश्लेषण द्वारा अद्वितीयता (Uniqueness via Asymptotics): दो संभावित समाधानों $(\alpha, p)$ और $(\beta, q)$ के लिए डेटा $(u(t), \psi)_X$ के स्पर्शोन्मुखी विस्तारों की तुलना करके, लेखक विरोधाभास उत्पन्न करते हैं जब तक कि पैरामीटर समान न हों। इसमें विस्तार में $t$ की अग्रणी घातों (leading powers) का विश्लेषण शामिल है।
5. समाकल समीकरण और स्थिरता (Integral Equations and Stability): जब $\alpha$ ज्ञात हो, तो $p(t)$ की पुनः प्राप्ति के लिए समस्या को एक वोल्टेरा समाकल समीकरण (Volterra integral equation) में बदल दिया जाता है। लेखक अस्तित्व, अद्वितीयता और लिप्सिट्ज़ स्थिरता अनुमान (Lipschitz stability estimates) स्थापित करने के लिए सामान्यीकृत ग्रोनवाल असमानताओं (generalized Gronwall inequalities) का उपयोग करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• भिन्नात्मक क्रम ($\alpha$) की अद्वितीयता: यह शोध पत्र स्थापित करता है कि $\alpha$ डेटा $(u(t), \psi)_X$ द्वारा $0 < t < T$ के लिए अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है, जो ऑपरेटर $A$ के विशिष्ट रूप और स्रोत फलन $p(t)$ से स्वतंत्र है, बशर्ते $p$, वर्ग $P$ में हो और $(f, \psi)_X \neq 0$ हो। यह तब भी मान्य है जब ऑपरेटर $A$ अज्ञात हो (अर्थात, दो संभावित रूप से भिन्न ऑपरेटरों $\tilde{A}$ वाले सिस्टम की तुलना करना)।
• स्रोत कारक ($p(t)$) की अद्वितीयता:
  • यदि $\alpha$ ज्ञात है और $A$ दोनों प्रणालियों के लिए समान है, तो $p(t)$ अद्वितीय रूप से निर्धारित होता है।
  • यदि $\alpha$ अज्ञात है, तो यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि यदि $p, q \in \tilde{P}$ (एक संकीर्ण वर्ग जो उच्च चिकनाई, $a \ge m+2$ की आवश्यकता करता है) है, तो $p(t)$ को $\alpha$ के साथ मिलकर अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
  • प्रमेय 1.1 और प्रमेय 1.2 स्पष्ट करते हैं कि यदि डेटा $t \in (0, T)$ के लिए सभी मानों के लिए मेल खाता है, तो $\alpha = \beta$ और $p = q$ होगा।
• प्रारंभिक डेटा की भूमिका: शोध पत्र इस बात पर जोर देता है कि $u(0)=0$ (जो $u \in H^\alpha$ द्वारा निहित है) की धारणा महत्वपूर्ण है। एक उदाहरण दिया गया है जो दिखाता है कि यदि प्रारंभिक डेटा गैर-शून्य है ($u(0) \neq 0$), तो $p(t)$ के लिए अद्वितीयता विफल हो सकती है।
• $\alpha \in (0, 1)$ के लिए परिष्कृत परिणाम: $\alpha \in (0, 1)$ के मामले के लिए, लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि डेटा $(u(t), \psi)_X$ पर्याप्त रूप से चिकना है (विशेष रूप से, यदि $\partial_t^\alpha (u, \psi)_X \in H^\theta$ जहाँ $\theta > 1/2$), तो यदि डेटा शून्य है तो स्रोत कारक $p(t)$ को शून्य होना चाहिए। यह उन मामलों में अद्वितीयता परिणामों का विस्तार करता है जहाँ $p(t)$ आवश्यक रूप से $t=0$ पर शून्य नहीं होता है लेकिन विशिष्ट नियमितता शर्तों को पूरा करता है।
• स्थिरता (Stability): प्रमेय 1.3 जब $\alpha$ ज्ञात हो, तो $p(t)$ के निर्धारण के लिए एक दो-तरफा लिप्सिट्ज़ स्थिरता अनुमान प्रदान करता है, जो $p$ के नॉर्म को प्रेक्षित डेटा के भिन्नात्मक अवकलज के नॉर्म से जोड़ता है।

महत्व और दावे
यह शोध पत्र भिन्नात्मक क्रम और समय-निर्भर स्रोत कारक को पूर्व ज्ञान के बिना ऑपरेटर $A$ की पहचान करने की व्युत्क्रम समस्या को हल करने का दावा करता है। पिछले कार्यों के विपरीत, जो अक्सर बिंदुवार प्रेक्षण $u(x_0, t)$ या विशिष्ट आइजनफंक्शन्स पर निर्भर करते हैं, यह कार्य प्रदर्शित करता है कि एक यादृच्छिक भार फलन $\psi \in D(A)$ पर्याप्त है, बशर्ते प्रेक्षण अंतराल $(0, T)$ पर निरंतर हो।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनके परिणाम समाधान को $t=0$ के पास एक विलक्षण अग्रणी पद (singular leading term) और एक चिकने शेष भाग में विघटित करने पर निर्भर करते हैं। यह तकनीक उन्हें डेटा के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार से सीधे भिन्नात्मक क्रम $\alpha$ को निकालने की अनुमति देती है। शोध पत्र यह भी नोट करता है कि जबकि परिणाम अमूर्त हिल्बर्ट स्पेस के लिए स्थापित किए गए हैं, वे बाउंडेड डोमेन में डिरिचलेट बाउंडरी कंडीशन के साथ लाप्लास ऑपरेटर के लिए भी संभवतः विस्तार योग्य हैं, हालांकि यह भविष्य के अनुसंधान का विषय बना हुआ है। यह कार्य कोई नए प्रयोगात्मक अनुप्रयोग प्रस्तावित नहीं करता है बल्कि भिन्नात्मक कलन (fractional calculus) में इन व्युत्क्रम समस्याओं की अद्वितीयता के लिए एक कठोर सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।