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Functional Bilevel Optimization for Predictive Fairness

यह शोध पत्र निरंतर, उच्च-आयामी संवेदनशील विशेषताओं को संभालने के लिए माध्य जनसांख्यिकीय समानता (DPVar) का उपयोग करते हुए प्रेडिक्टिव फेयरनेस (predictive fairness) के लिए एक कार्यात्मक बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन फ्रेमवर्क पेश करता है, जिसमें दो एल्गोरिदम (FBO और ITD) प्रस्तावित किए गए हैं जो सिंथेटिक और सेमी-सिंथेटिक बेंचमार्क में निष्पक्षता और सटीकता के बीच संतुलन बनाने में मौजूदा बेसलाइन से बेहतर प्रदर्शन करते हैं।

मूल लेखक: Ieva Petrulionyte, Julien Mairal, Michael Arbel

प्रकाशित 2026-07-07

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Ieva Petrulionyte, Julien Mairal, Michael Arbel

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बड़ी समस्या: जब "निष्पक्षता" (Fairness) को परिभाषित करना बहुत कठिन हो जाता है

कल्पना कीजिए कि आप एक हायरिंग मैनेजर (AI) हैं जो यह अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि कौन एक अच्छा कर्मचारी बनेगा। आपके पास उम्मीदवारों के बारे में बहुत सारा डेटा है, लेकिन आपके पास एक "संवेदनशील" जानकारी भी है, जैसे कि उनकी आयु (age) या आय का स्तर (income level)।

अतीत में, शोधकर्ताओं ने AI को निष्पक्ष बनाने के लिए यह कहकर प्रयास किया था: "AI को आयु के बारे में कुछ भी पता नहीं होना चाहिए।" वे चाहते थे कि AI की भविष्यवाणियां आयु से पूरी तरह स्वतंत्र (completely independent) हों।

समस्या: वास्तविक दुनिया में, आयु और आय केवल "हाँ/नहीं" वाली श्रेणियां (जैसे "पुरुष/महिला") नहीं हैं। वे निरंतर संख्याएं (continuous numbers) हैं (25, 26, 27... या $50k,$ 51k, $52k...)।
यदि आप मांग करते हैं कि AI आयु से पूरी तरह स्वतंत्र हो, तो आप AI को उम्मीदवार की प्रोफाइल के उपयोगी हिस्सों को भी अनदेखा करने के लिए मजबूर कर देते हैं। यह एक केक बनाने की कोशिश करने जैसा है लेकिन आपको बताया जाता है कि आप थोड़ा भी आटा, चीनी या अंडे का उपयोग नहीं कर सकते क्योंकि वे "अनुचित" सामग्री हो सकती हैं। परिणाम एक बुरा केक (एक खराब भविष्यवाणी) होता है।

नया विचार: "औसत निष्पक्षता" (Average Fairness - DPVar)

लेखक निष्पक्षता के बारे में सोचने का एक स्मार्ट तरीका प्रस्तावित करते हैं। AI को आयु के प्रति पूरी तरह अंधा बनाने के बजाय, वे औसत निष्पक्षता (Average Fairness) की मांग करते हैं।

उपमा (Analogy):
कल्पना कीजिए कि आप छात्रों को ग्रेड देने वाले एक शिक्षक हैं।

पुराना तरीका (पूर्ण स्वतंत्रता): आप छात्रों के नाम या पृष्ठभूमि को देखने से ही इनकार कर देते हैं। आप बस अनुमान लगाते हैं।
नया तरीका (DPVar): आप छात्रों की पृष्ठभूमि देखते हैं, लेकिन आप यह वादा करते हैं: "चाहे छात्र किसी भी आयु समूह में हो, मेरे द्वारा दिया गया औसत (average) ग्रेड समान होना चाहिए।"

यदि 20 साल के लोगों का औसत ग्रेड 85 है, और 60 साल के लोगों का औसत ग्रेड भी 85 है, तो यह निष्पक्ष है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि 20 साल के लोगों के ग्रेड 60 से 100 के बीच हैं, और 60 साल के लोगों के ग्रेड 80 से 90 के बीच हैं। जब तक केंद्र बिंदु (average) समान है, सिस्टम निष्पक्ष है।

लेखक इस मीट्रिक को DPVar (डेमोग्राफिक पैरिटी वेरिएंस) कहते हैं। यह मापता है कि संवेदनशील विशेषता (जैसे आयु) बदलने पर औसत भविष्यवाणी कितनी बदलती है। यदि औसत बहुत अधिक बदलता है, तो सिस्टम अनुचित है। यदि औसत स्थिर रहता है, तो सिस्टम निष्पक्ष है।

तकनीकी चुनौती: "दो-स्तरीय" पहेली (The "Two-Level" Puzzle)

यहाँ पेचीदा हिस्सा है: यह जांचने के लिए कि क्या औसत निष्पक्ष है, AI को यह जानने की आवश्यकता है कि प्रत्येक विशिष्ट आयु के लिए औसत क्या होगा। लेकिन AI को यह पहले से पता नहीं होता; इसे यह सीखना पड़ता है जबकि वह नौकरी के प्रदर्शन की भविष्यवाणी करना सीख रहा होता है।

यह एक बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन (Bilevel Optimization) समस्या बनाता है। इसे एक शेफ (Chef) और एक फूड क्रिटिक (Food Critic) के रूप में सोचें जो एक साथ काम कर रहे हैं:

शेफ (मुख्य AI): गलतियों को कम करने के लिए सबसे अच्छा भोजन (नौकरी के प्रदर्शन की भविष्यवाणी) बनाने की कोशिश करता है।
क्रिटिक (आंतरिक AI): यह पता लगाने की कोशिश करता है, "विभिन्न आयु के लोगों के लिए इस भोजन का औसत स्वाद क्या है?"

शेफ एक शानदार भोजन बनाना चाहता है, लेकिन क्रिटिक लगातार चेक करता रहता है: "हे, क्या आप औसतन वृद्ध लोगों को बेहतर भोजन दे रहे हैं?" यदि शेफ औसत को ठीक करने के लिए रेसिपी बदलता है, तो क्रिटिक को फिर से मूल्यांकन करना पड़ता है। वे एक लूप में फंसे होते हैं जहाँ शेफ भोजन को अनुकूलित (optimize) करता है, और क्रिटिक निष्पक्षता की जांच को अनुकूलित करता है।

समाधान: दो नए एल्गोरिदम

लेखों ने इस शेफ-क्रिटिक लूप को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए दो नए "किचन" (एल्गोरिदम) बनाए हैं।

1. FBO (द "शॉर्टकट" शेफ)

यह कैसे काम करता है: यह तरीका एक गणितीय ट्रिक (एक "क्लोज्ड-फॉर्म एडजॉइंट") का उपयोग करता है जो एक शॉर्टकट की तरह काम करता है। क्रिटिक को औसत खोजने के लिए रेसिपी के हर एक बदलाव को चखने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि शेफ एक फॉर्मूले का उपयोग करके तुरंत "निष्पक्षता सुधार" (fairness correction) की गणना कर सकता है।
सबसे अच्छा: जब गणित सरल हो (जैसे मानक स्क्वेयर्ड-एरर लॉस)। यह तेज़ और सटीक है।

2. ITD (द "अनरोल्ड" शेफ)

यह कैसे काम करता है: यह तरीका अधिक लचीला है। शॉर्टकट लेने के बजाय, यह क्रिटिक द्वारा रेसिपी को कई बार स्टेप-बाय-स्टेप चखने का अनुकरण (simulate) करता है (अनरोलिंग स्टेप्स)। यह देखता है कि क्रिटिक अपना स्वाद कैसे बदलता है, और फिर उस पूरी प्रक्रिया के आधार पर शेफ के खाना बनाने के तरीके को एडजस्ट करता है।
सबसे अच्छा: जब गणित जटिल हो या "स्वाद" सरल न हो। यह धीमा है लेकिन अधिक कठिन समस्याओं के लिए काम करता है।

प्रमाण: क्या यह काम आया?

लेखकों ने इन तरीकों का परीक्षण दो तरीकों से किया:

सिंथेटिक डेटा (सिमुलेशन): उन्होंने एक नकली दुनिया बनाई जहाँ वे जानते थे कि AI किस तरह से अनुचित व्यवहार कर रहा है। उन्होंने पाया कि उनके नए तरीके (FBO और ITD) पुराने तरीकों की तुलना में "अच्छी भविष्यवाणियों" और "निष्पक्ष औसत" के बीच संतुलन बनाने में बहुत बेहतर थे। पुराने तरीके या तो बहुत सख्त थे (जिससे खराब भविष्यवाणियां हुईं) या वे बारीकियों को समझने में चूक गए।
वास्तविक दुनिया का डेटा (60-डेटासेट बेंचमार्क): उन्होंने 60 वास्तविक डेटासेट (जैसे हाउसिंग प्राइस या मेडिकल कॉस्ट) लिए और उन्हें एक निष्पक्षता परीक्षण में बदल दिया। उन्होंने "नकली" संवेदनशील विशेषताओं (जैसे आय और आयु का मिश्रण) को बनाया ताकि यह देखा जा सके कि AI उन्हें कैसे संभालता है।
- परिणाम: उनके तरीके प्रतिस्पर्धा (जिसमें 'एडवर्सरियल' ट्रिक्स या जटिल सांख्यिकीय दंड वाले तरीके शामिल हैं) को लगातार पीछे छोड़ते गए। उन्होंने सबसे अच्छा संतुलन हासिल किया: उच्च सटीकता के साथ कम अनुचितता।

निचोड़ (The Bottom Line)

यह पेपर निरंतर डेटा (जैसे आयु या आय) के लिए AI को निष्पक्ष बनाने का एक नया तरीका पेश करता है, बिना इसकी अच्छी भविष्यवाणियां करने की क्षमता को नष्ट किए।

पुराना नियम: "संवेदनशील जानकारी को बिल्कुल न देखें।" (बहुत कठिन, जिससे खराब परिणाम मिलते हैं)।
नया नियम: "सुनिश्चित करें कि सभी समूहों में औसत परिणाम समान हो।" (प्राप्य, अच्छे परिणाम देता है)।
कैसे: एक विशेष दो-चरणीय प्रशिक्षण प्रक्रिया (बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन) का उपयोग करके, जिसमें दो नए एल्गोरिदम (FBO और ITD) गणित को कुशलतापूर्वक हल करते हैं।

लेखक चेतावनी देते हैं कि यह केवल औसत को ठीक करता है। यह यह गारंटी नहीं देता कि परिणामों का फैलाव (spread) निष्पक्ष है (उदाहरण के लिए, यदि एक समूह के परिणाम बहुत असंगत हैं जबकि दूसरा स्थिर है, तो यह तरीका उसे नहीं पकड़ पाएगा)। लेकिन हाई-डायमेंशनल डेटा में "औसत पूर्वाग्रह" (average bias) को नियंत्रित करने के लिए, यह एक बड़ा कदम है।

तकनीकी सारांश: प्रेडिक्टिव फेयरनेस के लिए फंक्शनल बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन

समस्या विवरण

मानक मशीन लर्निंग मॉडल अक्सर संवेदनशील गुणों (जैसे आयु, आय, जनसांख्यिकीय स्कोर) से जुड़े सांख्यिकीय संकेतों का लाभ उठाते हैं, जिससे पक्षपाती भविष्यवाणियाँ (unfair predictions) होती हैं। जबकि फेयरनेस (fairness) को अक्सर भविष्यवाणियों और संवेदनशील गुणों के बीच पूर्ण सांख्यिकीय स्वतंत्रता लागू करने के रूप में फ्रेम किया जाता है, यह दृष्टिकोण अक्सर बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक होता है, विशेष रूप से जब संवेदनशील गुण निरंतर (continuous) और उच्च-आयामी (high-dimensional) होते हैं। ऐसे शासन (regimes) में, पूर्ण स्वतंत्रता पूरी भविष्यवाणी वितरण (prediction distribution) को बाधित करती है, जबकि व्यावहारिक फेयरनेस संबंधी चिंता अक्सर संवेदनशील गुण के विभिन्न मानों के माध्यम से औसत भविष्यवाणियों (average predictions) में व्यवस्थित बदलावों तक सीमित होती है।

मौजूदा रिलैक्सेशन (relaxations) निरंतर गुणों के लिए अप्रत्यक्ष निर्भरता दंड (indirect dependence penalties) (जैसे HSIC, म्यूचुअल इंफॉर्मेशन), एडवरसैरियल स्कीम्स, या लीनियर-डिपेंडेंस बाधाओं पर निर्भर करते हैं। ये विधियाँ अक्सर कंडीशनल मीन (conditional mean) को नियंत्रित करने के विशिष्ट फेयरनेस-एक्यूरेसी ट्रेड-ऑफ को सीधे लक्षित करने में विफल रहती हैं, या वे कम-आयामी या असतत (discrete) गुणों तक सीमित होती हैं।

लेखक इस अंतर को दूर करने के लिए, मीन डेमोग्राफिक पैरिटी (Mean Demographic Parity) को अनुकूलित करने का प्रस्ताव देते हैं, जिसे संवेदनशील गुण के दिए गए मान के आधार पर कंडीशनल-मीन भविष्यवाणी के वेरिएंस को कम करने के रूप में औपचारिक रूप दिया गया है। इस मीट्रिक को DPVar कहा गया है:
$\text{DPVar}(\omega) = \text{Var}_A \left( \mathbb{E}[f_\omega(X) \mid A] \right)$
जहाँ $f_\omega$ प्रेडिक्टर है और $A$ संवेदनशील गुण है।

कार्यप्रणाली (Methodology)

फंक्शनल बाइलेवल फॉर्मूलेशन (The Functional Bilevel Formulation)

DPVar को अनुकूलित करना एक अनूठी चुनौती पेश करता है: ऑब्जेक्टिव फंक्शन कंडीशनल मीन फंक्शन $h^\star_\omega(a) = \mathbb{E}[f_\omega(X) \mid A=a]$ पर निर्भर करता है, जो अज्ञात है और इसे डेटा से अनुमानित किया जाना चाहिए। लेखक इसे एक फंक्शनल बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या के रूप में तैयार करते हैं:

इनर प्रॉब्लम (Inner Problem): प्रेडिक्टर के आउटपुट और संवेदनशील गुण के फंक्शन के बीच स्क्वेर्ड-लॉस को कम करके कंडीशनल मीन फंक्शन $h^\star_\omega$ का अनुमान लगाना:
$h^\star_\omega \in \arg\min_{h \in \mathcal{H}} \mathbb{E}[(f_\omega(X) - h(A))^2]$
आउटर प्रॉब्लम (Outer Problem): प्रेडिक्टर पैरामीटर्स $\omega$ को अनुकूलित करना ताकि भविष्यवाणी सटीकता (prediction accuracy) और DPVar पेनल्टी (जो इनर प्रॉब्लम के समाधान $h^\star_\omega$ पर निर्भर है) के बीच एक ट्रेड-ऑफ को कम किया जा सके:
$\min_\omega \mathbb{E}[(f_\omega(X) - Y)^2] + \alpha \text{Var}_A(h^\star_\omega(A))$

चूंकि इनर वेरिएबल एक फंक्शन है न कि एक परिमित-आयामी (finite-dimensional) पैरामीटर वेक्टर, इसलिए यह एक फंक्शनल बाइलेवल समस्या है।

प्रस्तावित एल्गोरिदम

पेपर इस समस्या को हल करने के लिए दो एल्गोरिदम पेश करता है, जो आशावादी पूर्वाग्रह (optimistic bias) को रोकने के लिए IN (इनर एस्टीमेशन के लिए) और OUT (आउटर इवैल्यूएशन के लिए) डेटा स्प्लिट का उपयोग करते हैं।

FBO (फंक्शनल बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन):
- मैकेनिज्म: यह विधि स्क्वेर्ड-लॉस इनर ऑब्जेक्टिव की विशिष्ट संरचना का लाभ उठाती है। लेखक आउटर पैरामीटर्स के सापेक्ष इनर सॉल्यूशन की संवेदनशीलता के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म एडजॉइंट (closed-form adjoint) निकालते हैं।
- लाभ: यह व्युत्पत्ति एक सटीक, हेसियन-मुक्त हाइपरग्रेडिएंट (exact, Hessian-free hypergradient) प्रदान करती है। यह हेसियन को उलटने या इनर जैकोबियन की गणना करने की कम्प्यूटेशनल लागत से बचता है, जिसमें प्रत्येक आउटर स्टेप के लिए केवल एक इनर रिग्रेशन और दो एम्पिरिकल मीन्स की आवश्यकता होती है।
- सीमा: यह स्क्वेर्ड-लॉस इनर ऑब्जेक्टिव के लिए विशिष्ट है।
ITD (इटरेटिव डिफरेंशिएशन):
- मैकेनिज्म: यह विधि इनर ऑप्टिमाइज़ेशन स्टेप्स को अनरोल (unroll) करने की एक व्यापक रणनीति का उपयोग करती है। इनर रिग्रेसर को $K$ ग्रेडिएंट स्टेप्स के लिए अपडेट किया जाता है, और आउटर ऑब्जेक्टिव को इस अनरोल्ड कंप्यूटेशन ग्राफ के माध्यम से डिफरेंशिएट किया जाता है।
- लाभ: यह सामान्यीकरण योग्य (generalizable) है और गैर-स्क्वेर्ड-लॉस इनर ऑब्जेक्टिव्स (जैसे हूबर लॉस) के लिए भी उपयुक्त है, और इसके लिए इनर हेसियन के क्लोज्ड-फॉर्म इनवर्स की आवश्यकता नहीं होती है।
- ट्रेड-ऑफ: यह अनुमानित (approximate) है और FBO की तुलना में प्रति आउटर स्टेप अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है (जो $K$ के साथ रैखिक रूप से स्केल करता है)।

मुख्य योगदान

DPVar मानदंड: निरंतर और उच्च-आयामी संवेदनशील गुणों के लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए फेयरनेस मानदंड के रूप में DPVar को अपनाना, जो पूर्ण स्वतंत्रता के बजाय कंडीशनल-मीन दृष्टिकोण पर केंद्रित है।
फंक्शनल बाइलेवल फ्रेमवर्क: DPVar ऑप्टिमाइज़ेशन को एक फंक्शनल बाइलेवल समस्या के रूप में तैयार करना जो आधुनिक न्यूरल नेटवर्क प्रेडिक्टर्स के साथ स्वाभाविक रूप से एकीकृत होता है, एक ऐसा क्षेत्र जो पिछले कंडीशनल-मीन दृष्टिकोणों द्वारा कवर नहीं किया गया था।
एल्गोरिद्मिक नवाचार:
- स्क्वेर्ड-लॉस केस के लिए क्लोज्ड-फॉर्म एडजॉइंट का व्युत्पन्न, जो सटीक FBO एल्गोरिदम को सक्षम बनाता है।
- व्यापक अनुप्रयोग के लिए इटरेटिव डिफरेंशिएशन के माध्यम से ITD एल्गोरिदम का विकास।
सेमी-सिंथेटिक बेंचमार्क: 60 वास्तविक टैबुलर रिग्रेशन डेटासेट्स से निर्मित एक बड़े पैमाने के, मानकीकृत मूल्यांकन सूट का निर्माण, जो नियंत्रित, नॉन-ट्रिवियल फेयरनेस-एक्यूरेसी ट्रेड-ऑफ परिदृश्यों को प्रदान करने के लिए फीचर्स से निरंतर संवेदनशील गुण बनाता है।

प्रयोगात्मक परिणाम

विधियों का सिंथेटिक डेटा और नए सेमी-सिंथेटिक टैबुलर बेंचमार्क पर HSIC, एडवरसैरियल डीबायसिंग, लीनियर-डिपेंडेंस पेनल्टी और जनरलाइज्ड डेमोग्राफिक पैरिटी (GDP) सहित मजबूत बेसलाइन्स के विरुद्ध मूल्यांकन किया गया।

सिंथेटिक डेटा: उन रेजिम्स में जहाँ अनफेयरनेस फर्स्ट-मोमेंट शिफ्ट्स द्वारा संचालित होती है, सभी विधियाँ समान प्रदर्शन करती हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे प्रेडिक्शन समस्या अधिक जटिल होती जाती है (संवेदनशील और गैर-संवेदनशील फीचर्स के बीच इंटरैक्शन पेश करते हुए), FBO और ITD लगातार बेहतर फेयरनेस-एक्यूरेसी ट्रेड-ऑफ प्राप्त करते हैं। वे पूर्ण वितरण स्वतंत्रता (HSIC, एडवरसैरियल) या लीनियर पेनल्टी पर निर्भर विधियों से बेहतर प्रदर्शन करते हैं, जो या तो बहुत प्रतिबंधात्मक हैं या नॉन-लीनियर प्रभावों को मिस कर देती हैं।
टैबुलर बेंचमार्क: 27 इंफॉर्मेटिव डेटासेट्स में, FBO और ITD DPVar बाधाओं के तहत सबसे कम या निकटतम एग्रीगेट एक्यूरेसी रिग्रेट प्राप्त करते हैं।
- टाइट (tight) और मिड-लेवल फेयरनेस बजट के तहत, FBO और ITD सबसे अधिक बार जीतते हैं।
- लूज (loose) बजट के तहत, GDP एक मजबूत प्रतिस्पर्धी बन जाता है।
- दोनों प्रस्तावित विधियाँ लगातार HSIC, एडवरसैरियल और लीनियर-डिपेंडेंस बेसलाइन्स के बराबर या उनसे बेहतर प्रदर्शन करती हैं।

महत्व और दावे

पेपर का दावा है कि पूर्ण वितरण के बजाय कंडीशनल मीन को लक्षित करके, DPVar निरंतर, उच्च-आयामी गुणों के लिए अधिक उपयुक्त और अनुमान लगाने योग्य फेयरनेस मीट्रिक प्रदान करता है। इस कार्य का महत्व निम्नलिखित में निहित है:

इस विशिष्ट फेयरनेस मानदंड के लिए एक प्रत्यक्ष ऑप्टिमाइज़ेशन पथ प्रदान करना, जो एडवरसैरियल या कर्नेल-आधारित पेनल्टी की अप्रत्यक्षता से बचता है।
यह प्रदर्शित करना कि फंक्शनल बाइलेवल ऑप्टिमाइज़ेशन को आधुनिक न्यूरल नेटवर्क प्रेडिक्टर्स के लिए व्यावहारिक और कुशल (FBO के माध्यम से) बनाया जा सकता है।
एक मानकीकृत बेंचमार्क प्रदान करना जो निरंतर गुणों पर फेयरनेस विधियों के व्यवस्थित मूल्यांकन के लिए हाथ से चुने गए डेटासेट्स से आगे बढ़ता है।

दायरा और सीमाएँ:
लेखक स्पष्ट रूप से नोट करते हैं कि DPVar एक मीन-पैरिटी मानदंड (mean-parity criterion) है। यह औसत भविष्यवाणियों में व्यवस्थित बदलावों को नियंत्रित करता है लेकिन उच्च-क्रम मोमेंट्स (वेरिएंस, टेल्स) या पूर्ण वितरण फेयरनेस की गारंटी नहीं देता है। इसलिए, इसे पूर्ण वितरण समानता की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों में समग्र फेयरनेस के प्रमाण के रूप में व्याख्या नहीं किया जाना चाहिए। इसके अलावा, यह विधि कंडीशनल मीन फंक्शन का अनुमान लगाने पर निर्भर करती है, जो उच्च आयामों में सांख्यिकीय रूप से चुनौतीपूर्ण हो सकती है। बेंचमार्क सेमी-सिंथेटिक है, जिसे विशिष्ट कानूनी या सामाजिक फेयरनेस दावों के बजाय पद्धतिगत मूल्यांकन के लिए डिज़ाइन किया गया है।