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Expressivity and Statistical Trade-offs in Diffusion Policy Learning

यह शोध पत्र डिफ्यूजन पॉलिसी लर्निंग में ड्रिफ्ट लिप्सचिट्ज़ बजट $K$ को एक मौलिक ट्रेड-ऑफ पैरामीटर के रूप में स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि जबकि उच्च $K$ जटिल एक्शन डिस्ट्रीब्यूशन को अनुमानित करने के लिए अभिव्यंजनात्मकता (expressivity) को बढ़ाता है, यह सांख्यिकीय जटिलता को भी बढ़ाता है, जिससे विशिष्ट परिमित-नमूना अभिसरण दरें (finite-sample convergence rates) प्राप्त होती हैं जो उपलब्ध डेटा आकार के आधार पर $K$ और न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर के व्यावहारिक चयन का मार्गदर्शन करती हैं।

मूल लेखक: Viet Vu, Renyuan Xu, Jiacheng Zhang, Yufei Zhang

प्रकाशित 2026-07-10

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Viet Vu, Renyuan Xu, Jiacheng Zhang, Yufei Zhang

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रोबोट को एक जटिल वीडियो गेम खेलना सिखाने की कोशिश कर रहे हैं। रोबोट को वर्तमान स्क्रीन के आधार पर यह तय करने की आवश्यकता है कि अगला कदम क्या उठाया जाए। रिइन्फोर्समेंट लर्निंग (RL) की दुनिया में, इस निर्णय लेने की प्रक्रिया को "पॉलिसी" (policy) कहा जाता है।

लंबे समय तक, रोबकों ने चालें चुनने के सरल, अनुमानित तरीके इस्तेमाल किए, जैसे कि एक भारित पासा (weighted die) फेंकना या एक चिकनी बेल कर्व (bell curve) में से चुनना। लेकिन वास्तविक जीवन (और जटिल खेल) अव्यवस्थित होता है। कभी-कभी सबसे अच्छा कदम एक एकल बिंदु नहीं होता; यह एक जंगली, ऊबड़-खाबड़ परिदृश्य हो सकता है जिसमें कई शिखर और घाटियाँ होती हैं। इन स्थितियों को संभालने के लिए, शोधकर्ताओं ने डिफ्यूजन पॉलिसीज़ (Diffusion Policies) का उपयोग करना शुरू किया। इन्हें केवल एक पासा फेंकने के रूप में नहीं, बल्कि एक स्लो-मोशन मूवी के रूप में सोचें। आप संभावनाओं के एक धुंधले, यादृच्छिक बादल से शुरू करते हैं, और समय के साथ, नियमों का एक सेट (जिसे "ड्रिफ्ट" कहा जाता है) उस बादल को धीरे से तब तक धकेलता है जब तक कि वह उस सटीक, स्पष्ट क्रिया में स्थिर न हो जाए जिसकी रोबोट को आवश्यकता है।

बड़ा सवाल यह है कि इन फिल्मों को काम करने के लिए कितने "धक्के" (ड्रिफ्ट) की आवश्यकता है, और उन नियमों को सीखने के लिए कितने डेटा की आवश्यकता है?

जादुई नॉब: "लिप्सचिट्ज बजट" (K)

लेखकों ने एक एकल संख्या की खोज की है, जिसे वे K (ड्रिफ्ट लिप्सचिट्ज बजट) कहते हैं, जो सब कुछ नियंत्रित करती है। आप K को आपके रोबोट के मस्तिष्क पर एक "लचीलेपन के नॉब" (flexibility knob) के रूप में देख सकते हैं।

K को ऊपर घुमाना (उच्च लचीलापन): यदि आप इस नॉब को बहुत अधिक घुमाते हैं, तो रोबोट के नियम अविश्वसनीय रूप से लचीले हो जाते हैं। यह लगभग किसी भी पूर्ण चाल की नकल करने के लिए मुड़ और घूम सकता है, यहाँ तक कि सबसे जटिल चालों की भी। पेपर गणितीय रूप से सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे आप इस नॉब को ऊपर बढ़ाते हैं, रोबोट आदर्श रणनीति के करीब पहुंचता जाता है। विशेष रूप से, त्रुटि (कि रोबोट कितना गलत है) 1/K की दर से कम होती है। इसलिए, यदि आप नॉब को दोगुना करते हैं, तो आप त्रुटि को आधा कर देते हैं।
कैच (Catch): लेकिन इसकी एक कीमत है। पेपर तर्क देता है कि आप केवल इस नॉब को अनंत तक नहीं घुमा सकते और जादू की उम्मीद नहीं कर सकते। यदि रोबोट बहुत अधिक लचीला है, तो वह डेटा में देखी गई हर छोटी गलती को सोखने वाला एक "स्पंज" बन जाता है। वह गेम सीखने के बजाय शोर (noise) को याद करने लगता है। यह सांख्यिकीय लागत (statistical cost) है।

ट्रेड-ऑफ: गोल्डिलॉक्स ज़ोन (The Goldilocks Zone)

पेपर का मुख्य निष्कर्ष यह है कि आपको डेटा की मात्रा के आधार पर K के लिए "गोल्डिलॉक्स" सेटिंग ढूँढनी होगी।

यदि आपके पास छोटा डेटासेट है: आपको छोटा K चाहिए। यदि आप कम डेटा के साथ रोबोट को बहुत अधिक लचीला बनाते हैं, तो वह भ्रमित हो जाएगा और खराब प्रदर्शन करेगा।
यदि आपके पास विशाल डेटासेट है: आप K को और ऊपर बढ़ा सकते हैं। बहुत सारे डेटा के साथ, रोबोट बिना भ्रमित हुए अतिरिक्त जटिलता को संभाल सकता है।

लेखकों ने गणना की है कि ये दोनों बल वास्तव में कैसे संतुलित होते हैं। उन्होंने पाया कि एक मानक न्यूरल नेटवर्क (रोबोट का मस्तिष्क) के लिए, प्रदर्शन अंतराल (रोबोट आदर्श खिलाड़ी से कितना खराब है) जैसे-जैसे आपका डेटा आकार n बढ़ता है, एक विशिष्ट नियम का पालन करते हुए घटता है: मोटे तौर पर n to the power of -2/(m+6), जहाँ m उन चीजों की संख्या है जिन पर रोबलेट को ध्यान देना है (स्टेट डायमेंशन)।

हालाँकि, उन्होंने एक विशेष मामला भी पाया। यदि रोबोट के नियम "डिसिपेटिव" (dissipative) (अर्थात वे स्वाभाविक रूप से शांत हो जाते हैं और पागल नहीं होते, जैसे एक स्प्रिंग अपनी विश्राम अवस्था में वापस आता है) डिज़ाइन किए गए हैं, तो रोबोट और भी तेज़ी से सीखता है। इस विशिष्ट, सुव्यवस्थित परिदृश्य में, त्रुटि n to the power of -2/(m+4) की तीव्र दर से कम होती है।

उन्होंने क्या खारिज किया

पेपर बहुत स्पष्ट है कि क्या काम नहीं करता है या क्या गारंटीकृत नहीं है:

नो फ्री लंच (No Free Lunch): आप केवल रोबोट को अनंत रूप से लचीला बनाकर पूर्ण सटीकता प्राप्त नहीं कर सकते। भले ही आपके पास एक बड़ा K हो, यदि आपके पास पर्याप्त डेटा नहीं है, तो रोबोट विफल हो जाएगा। पेपर सिद्ध करता है कि सामान्य परिस्थितियों में, आप केवल गणित को बदलकर 1/K त्रुटि दर को नहीं हरा सकते; सिस्टम में मौजूद शोर एक कठिन सीमा निर्धारित करता है।
कोई जादुвिक इनिशियलाइजेशन नहीं (No Magic Initialization): रोबोट केवल किसी भी यादृच्छिक जगह से शुरू नहीं हो सकता और तुरंत सीख नहीं सकता। यदि रोबोट एक अजीब जगह से शुरू होता है, तो उसे स्थिर होने के लिए थोड़े "वार्म-अप" समय (बर्न-इन पीरियड) की आवश्यकता होती है इससे पहले कि गणित की गारंटी लागू हो सके।

उन्हें यह कैसे पता चला

लेखकों ने केवल अनुमान नहीं लगाया; उन्होंने एक कठोर गणितीय ढांचा तैयार किया।

प्रमाण (Proofs): उन्होंने उन्नत गणित (ब्राउनियन मोशन और डिफरेंशियल इक्वेशन शामिल करते हुए) का उपयोग करके यह सिद्ध किया कि K को बढ़ाने से अनिवार्य रूप से पूर्ण चाल के सन्निकटन (approximation) में सुधार होता है, लेकिन साथ ही डेटा से सीखने की कठिनाई भी बढ़ती है। उन्होंने सिद्ध किया कि 1/K की दर इस सुधार के लिए सर्वोत्तम संभव गति है।
सिमुलेशन (Simulations): यह सुनिश्चित करने के लिए कि उनका गणित वास्तविकता से मेल खाता है, उन्होंने कंप्यूटर प्रयोग चलाए।
- एक परीक्षण में, उन्होंने एक सामान्य, लचीले रोबोट मस्तिष्क का उपयोग किया। उन्होंने रोबोट के प्रदर्शन को देखा जब उन्होंने K को बदला। परिणाम एक "U-आकार" दिखाते थे: जैसे-जैसे K बढ़ा प्रदर्शन बेहतर हुआ, लेकिन यदि K उपलब्ध डेटा के लिए बहुत अधिक हो गया, तो यह फिर से खराब हो गया। यह उनके n⁻²/(m+6) पूर्वानुमान से पूरी तरह मेल खाता था।
- दूसरे परीक्षण में, उन्होंने विशेष "डिसिपेटिव" (शांत होने वाले) रोबोट का उपयोग किया। यहाँ, K को बढ़ाने से तब तक मदद मिलती रही जब तक कि वह डेटा आकार द्वारा निर्धारित फर्श (floor) तक नहीं पहुँच गया, जो कि तेज़ n⁻²/(m+4) भविष्यवाणी से मेल खाता था।

मुख्य निष्कर्ष (The Takeaway)

यह पेपर इन AI एजेंटों को बनाने के लिए एक व्यावहारिक नियम सुझाता है: केवल यह अनुमान न लगाएं कि आपके रोबोट को कितना जटिल होना चाहिए। इसके बजाय, देखें कि आपके पास कितना डेटा है। यदि आपके पास बहुत अधिक डेटा है, तो आप एक जटिल, उच्च-K वाले रोबोट का खर्च उठा सकते हैं। यदि आपके पास कम डेटा है, तो रोबोट को सरल रखें।

उन्होंने एक नया "ट्रेनिंग फॉर्मूला" (पॉलिसी-ग्रेडिएंट फॉर्मूला) भी प्रदान किया है जो इन जटिल, मूवी-जैसे डिफ्यूजन पॉलिसीज़ को मानक तरीकों का उपयोग करके प्रशिक्षित करने की अनुमति देता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि यह शक्तिशाली दृष्टिकोण केवल एक सैद्धांतिक सपना नहीं है, बल्कि कुछ ऐसा है जिसे हम वास्तव में बना और सिखा सकते हैं।

संक्षेप में: लचीलापन बहुत अच्छा है, लेकिन केवल तभी जब आपके पास उसका समर्थन करने के लिए डेटा हो। यह पेपर हमें बहुत सरल होने और बहुत भ्रमित होने के बीच के सही स्थान (sweet spot) को खोजने का सटीक नक्शा देता है।

तकनीकी सारांश: डिफ्यूजन पॉलिसी लर्निंग में अभिव्यंजना क्षमता और सांख्यिकीय ट्रेड-ऑफ

1. समस्या विवरण

निरंतर एक्शन स्पेस (continuous action spaces) में सुदृढीकरण शिक्षण (Reinforcement Learning - RL) अक्सर स्टोकेस्टिक पॉलिसी पैरामीट्राइजेशन पर निर्भर करता है। जबकि शास्त्रीय परिवार (जैसे Gaussian, Beta, मिश्रण) सुलभ सैंपलिंग और संभावना मूल्यांकन (likelihood evaluation) प्रदान करते हैं, वे अक्सर आधुनिक कार्यों जैसे मल्टी-स्टेज मैनिपुलेशन और लोकोमोशन में पाए जाने वाले जटिल, मल्टीमॉडल, या अत्यधिक गैर-गाऊसी (non-Gaussian) एक्शन डिस्ट्रीब्यूशन को मॉडल करने के लिए आवश्यक अभिव्यंजना क्षमता (expressivity) की कमी रखते हैं।

डिफ्यूजन-आधारित पॉलिसियाँ एक शक्तिशाली विकल्प के रूप में उभरी हैं, जो स्टेट-कंडीशन्ड स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDEs) के टर्मिनल लॉ (terminal laws) के रूप में एक्शन डिस्ट्रीब्यूशन का प्रतिनिधित्व करती हैं। उनकी अनुभवजन्य सफलता के बावजूद, इन पॉलिसियों की सैद्धांतिक समझ सीमित है। विशेष रूप से, यह स्पष्ट नहीं है कि:

कौन सी गणितीय मात्रा डिफ्यूजन पॉलिसियों की इष्टतम नियतात्मक (deterministic) पॉलिसियों को अनुमानित करने की अभिव्यंजना क्षमता (expressivity) को नियंत्रित करती है?
यह बढ़ी हुई अभिव्यंजना क्षमता सांख्यिकीय शिक्षण (statistical learning) को कैसे प्रभावित करती है जब पॉलिसियों को सीमित डेटा से सीखा जाता है?

डिफ्यूजन मॉडल्स के लिए मौजूदा सिद्धांत मुख्य रूप से जनरेटिव मॉडलिंग (सैंपलिंग और स्कोर एस्टीमेशन) पर केंद्रित है, न कि RL में निहित निर्णय लेने के उद्देश्यों पर।

2. कार्यप्रणाली और ढांचा

लेखक स्टेट-कंडीशन्ड स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDEs) द्वारा परिभाषित डिफ्यूजन पॉलिसियों का विश्लेषण करने के लिए एक सैद्धांतिक ढांचे का प्रस्ताव करते हैं:
$d\bar{a}^x_t = f(t, \bar{a}^x_t, x) dt + \sigma(t, \bar{a}^x_t, x) dB_t, \quad \bar{a}^x_0 \sim \mu_0$
जहाँ पॉलिसी $\pi(\cdot|x)$ टर्मिनल स्टेट $\bar{a}^x_T$ का लॉ (law) है।

प्रमुख विश्लेषणात्मक उपकरण

ड्रिफ्ट लिप्सचिट्ज़ बजट ( $K$ ): पहचाना गया केंद्रीय परिमाण एक्शन वेरिएबल $a$ के सापेक्ष ड्रिफ्ट फंक्शन $f$ का लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक (Lipschitz constant) $K$ है। लेखक इस बजट के माध्यम से पॉलिसी क्लास की जटिलता को मापते हैं।
अनुमान सिद्धांत (Approximation Theory): यह पेपर $K$ -लिप्सचिट्ज़ ड्रिफ्ट्स की इष्टतम नियतात्मक एक्शंस के पास केंद्रित होने की क्षमता पर ऊपरी और निचली सीमाएं स्थापित करता है।
परिमित-नमूना शिक्षण (Finite-Sample Learning): ड्रिफ्ट $f$ $f$ को ReLU न्यूरल नेटवर्क द्वारा पैरामीटराइज किया गया है। विश्लेषण कुल त्रुटि को तीन घटकों में विभाजित करता है:
1. डिफ्यूजन अनुमान त्रुटि (Diffusion Approximation Error): वह त्रुटि जो डिफ्यूजन प्रक्रिया के इष्टतम एक्शन पर पूरी तरह से केंद्रित न होने के कारण होती है।
2. न्यूरल नेटवर्क रियलाइजेशन त्रुटि (Neural Network Realization Error): इष्टतम ड्रिफ्ट फंक्शन को एक सीमित-चौड़ाई वाले नेटवर्क के साथ अनुमानित करने की त्रुटि।
3. सांख्यिकीय अनुमान त्रुटि (Statistical Estimation Error): एक सीमित नमूना आकार $n$ से सीखने से उत्पन्न त्रुटि।
गिरसानोव प्रमेय (Girsanov's Theorem) के माध्यम से पॉलिसी ग्रेडिएंट: चूंकि डिफ्यूजन प्रक्रिया का टर्मिनल घनत्व (density) आम तौर पर अग्राह्य (intractable) होता है, इसलिए लेखक एक सुलभ पॉलिसी-ग्रेडिएंट फॉर्मूला व्युत्पन्न करते हैं। गिरसानोव प्रमेय लागू करके, वे अग्राह्य स्कोर फंक्शन को ड्रिफ्ट संवेदनशीलता $\nabla_\theta f$ वाले पाथवाइज लाइकलीहुड-रेशियो टर्म से बदल देते हैं।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम

A. डिफ्यूजन पॉलिसियों की अभिव्यंजना क्षमता

यह पेपर ड्रिफ्ट लिप्सचchitz बजट $K$ के माध्यम से डिफ्यूजन पॉलिसियों की अभिव्यंजना क्षमता को परिमाणित करता है:

ऊपरी सीमा (Upper Bound): $K$ -लिप्सचिट्ज़ ड्रिफ्ट्स वाली डिफ्यूजन पॉलिसियाँ $O(1/K)$ के मीन-स्क्वेर्ड लोकलाइजेशन एरर के साथ नियतात्मक इष्टतम पॉलिसियों का अनुमान लगा सकती हैं। फलस्वरूप, रिवॉर्ड और ट्रांजिशन कर्नेल पर हल्के निरंतरता (continuity) संबंधी धारणाओं के तहत वैल्यू फंक्शन एप्रोक्सिमेशन एरर भी $O(1/K)$ के क्रम का होता है।
निचली सीमा (Lower Bound): लेखक एक मिलान निचली सीमा सिद्ध करते हैं, जो यह दर्शाती है कि नॉन-डीजनरेट डिफ्यूजन नॉइज़ के तहत, कोई भी $K$ -लिप्सचिट्ज़ ड्रिफ्ट टर्मिनल एक्शन को लक्षित एक्शंस के एक परिमित सेट के पास $O(1/K)$ से तेज़ी से लोकलाइज़ नहीं कर सकता। यह इस क्लास के लिए अभिव्यंजना क्षमता की आंतरिक सीमा के रूप में $1/K$ को स्थापित करता है।
निहितार्थ: $K$ को बढ़ाने से इष्टतम नियतात्मकों को अनुमानित करने की क्षमता में सुधार होता है, लेकिन यह फंक्शन क्लास की जटिलता को भी बढ़ाता है।

B. परिमित-नमूना सांख्यिकीय ट्रेड-ऑफ

जब ड्रिफ्ट को ReLU न्यूरल नेटवर्क द्वारा पैरामीटराइज किया जाता है, तो लेखक स्पष्ट परिमित-नमूना ऑरेकल असमानताएं (oracle inequalities) व्युत्पन्न करते हैं। कुल वैल्यू गैप को अनुमान और अनुमान (approximation and estimation) पदों के योग द्वारा सीमित किया जाता है। इन पदों को संतुलित करने से दो अलग-अलग शासन (regimes) प्राप्त होते हैं:

जेनेरिक न्यूरल ड्रिफ्ट शासन (Generic Neural Drift Regime):
एक जेनेरिक $K$ -लिप्सचिट्ज़ न्यूरल ड्रिफ्ट क्लास के लिए, सांख्यिकीय अनुमान त्रुटि $\sqrt{sK/n}$ के क्रम में स्केल करती है (जहाँ $s$ नेटवर्क साइज है)। एप्रोक्सिमेशन एरर ( $1/K$ ) और सांख्यिकीय एरर को संतुलित करने से एक परिमित-नमूना प्रदर्शन गैप प्राप्त होता है:
$\tilde{O}\left(n^{-2/(m+6)}\right)$
जहाँ $m$ स्टेट डायमेंशन है। यह दर $K \asymp n^{2/(m+6)}$ चुनकर प्राप्त की जाती है।
डिसिपेटिव ड्रिफ्ट शासन (Dissipative Drift Regime):
यदि ड्रिफ्ट क्लास एक वन-साइडेड डिसिपेटिविटी स्थिति (जैसे, मीन-रिवर्टिंग ड्रिफ्ट्स) को संतुष्ट करती है, तो पॉलिसी क्लास की स्थिरता में सुधार होता है। सांख्यिकीय पद घटकर $\sqrt{s/n}$ हो जाता है, जिससे $K$ पर निर्भरता समाप्त हो जाती है। यह एक तीव्र दर प्रदान करता है:
$\tilde{O}\left(n^{-2/(m+4)}\right)$
जो $K \asymp (n/\log n)^{2/(m+4)}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।

C. एल्गोरिद्मिक योगदान

यह पेपर निरंतर-समय डिफ्यूजन पॉलिसियों के लिए एक पॉलिसी-ग्रेडिएंट थ्योरम प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि वैल्यू फंक्शन का ग्रेडिएंट, ड्रिफ्ट सेंसिटिविटी और गिरसानोव प्रमेय से प्राप्त एक स्टोकेस्टिक इंटीग्रल को शामिल करने वाले एक एक्सपेक्टेशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह एक सुलभ ट्रेनिंग आइडेंटिटी प्रदान करता है जिसके लिए टर्मिनल एक्शन डिस्ट्रीब्यूशन के स्पष्ट घनत्व की आवश्यकता नहीं होती है।

D. अनुभवजन्य सत्यापन

संख्यात्मक प्रयोग इन सैद्धांतिक शासनों को मान्य करते हैं:

जेनेरिक शासन: एक नॉन-लीनियर मल्टी-स्टेप MDP में, एक जेनेरिक न्यूरल ड्रिफ्ट को प्रशिक्षित करना $K$ में U-आकार का ट्रेड-ऑफ दिखाता है। $K$ को बढ़ाने से अभिव्यंजना क्षमता में सुधार होता है लेकिन निश्चित नमूना आकार के तहत अनुकूलन (optimization) अस्थिर हो जाता है। इष्टतम $K$ , $n^{2/(m+6)}$ के रूप में स्केल करता है।
डिसिपेटिव शासन: एक कॉन्टेक्स्टुअल बैंडिट सेटिंग में जिसमें मीन-रिवर्टिंग (डिसिपेटिव) ड्रिफ्ट है, पॉलिसी रिग्रेट $K$ के साथ $K$ तक मोनोटोनली घटता है जब तक कि वह सेंटर-एस्टिमेशन फ्लोर तक नहीं पहुँच जाता। परिणाम तीव्र स्केलिंग $K \asps (n/\log n)^{2/(m+4)}$ की पुष्टि करते हैं।

4. महत्व और दावे

यह पेपर RL में डिफ्यूजन-आधारित पॉलिसियों के लिए पहले सैद्धांतिक आधार प्रदान करने का दावा करता है जो स्पष्ट रूप से डिफ्यूजन प्रक्रिया की संरचनात्मक मात्रा (ड्रिफ्ट लिप्सचिट्ज़ बजट $K$ ) को दोनों अनुमान क्षमताओं और परिमित-नमूना सांख्यिकीय त्रुटि से जोड़ता है।

सैद्धांतिक अंतर्दृष्टि: यह डिफ्यूजन पॉलिसियों के लिए $K$ को नियतात्मक इष्टतमों के पास "अभिव्यंजना बाधा" (expressivity bottleneck) के रूप में पहचानता है।
व्यावहारिक सिद्धांत: यह ढांचा एक ठोस कार्यान्वयन सिद्धांत का सुझाव देता है: उपलब्ध नमूना आकार $n$ के अनुसार डिफ्यूजन बजट $K$ चुनें, और फिर संगत निश्चित लिप्सचिट्ज़ गुणांक के साथ एक न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर चुनें।
एल्गोरिद्मिक उपयोगिता: व्युत्पन्न पॉलिसी-ग्रेडिएंट फॉर्मूला डिफ्यूजन पॉलिसियों के प्रशिक्षण को संभव बनाता है जिसके लिए टर्मिनल एक्शन डिस्ट्रीब्यूशन के अग्राह्य घनत्व मूल्यांकन की आवश्यकता नहीं होती है, जो सैद्धांतिक विश्लेषण और व्यावहारिक कार्यान्वयन के बीच के अंतर को पाटता है।

लेखक एक मध्यम रुख बनाए रखते हैं, यह नोट करते हुए कि उनके बाउंड्स विशिष्ट ड्रिफ्ट क्लासेज के लिए हैं और भविष्य के कार्य विशिष्ट सांद्रता असमानताओं (concentration inequalities) का पता लगा सकते हैं या व्यावहारिक प्रशिक्षण से होने वाली ऑप्टिमाइजेशन त्रुटियों को शामिल कर सकते हैं।