Large-Scale Portfolio Optimization Problem Under Cardinality Constraint With Enhanced Multi-Objective Evolutionary Algorithms

कल्पना कीजिए कि आप एक खजाना खोजने वाले (treasure hunter) हैं जो एक लंबी यात्रा के लिए एक बेहतरीन बैकपैक बनाना चाहते हैं। आप दो चीजें चाहते हैं: सबसे मूल्यवान सोने के सिक्के (उच्च रिटर्न) और सबसे हल्का, सुरक्षित भार (कम जोखिम)। लेकिन एक पेंच है। आपके बैकपैक का एक सख्त नियम है: आप केवल वस्तुओं की एक विशिष्ट संख्या ही ले जा सकते हैं, मान लीजिए कि मानचित्र पर बिखरे हुए खजानों की संख्या चाहे कितनी भी हो, आप केवल 3 से 10 के बीच अलग-अलग वस्तुएं ही रख सकते हैं। यह "कार्डिनैलिटी-कंस्ट्रेंड पोर्टफोलियो ऑप्टिमाइज़ेशन" (Cardinality-Constrained Portfolio Optimization) समस्या है।

दशकों से, निवेशकों ने इसे "सटीक" गणितीय तरीकों का उपयोग करके हल करने की कोशिश की है, जैसे कि एक आदर्श मुट्ठी ढूँढने के लिए समुद्र तट पर रेत के हर एक कण को गिनने की कोशिश करना। यह लेख बताता है कि यह दृष्टिकोण एक 'फायरहोज़' (आग की तेज़ धार) से पानी पीने जैसा है; यह बहुत धीमा हो जाता है और जब संपत्तियों (रेत के कणों) की संख्या बहुत अधिक हो जाती है, तो यह फंस जाता है। वास्तव में, लेखक नोट करते हैं कि इन वास्तविक दुनिया के नियमों को जोड़ने से यह समस्या कंप्यूटरों के लिए एक दुःस्वप्न बन जाती है, जिसे "NP-hard" कहा जाता है, जहाँ पारंपरिक गणितीय उपकरण या तो हार मान लेते हैं या बहुत अधिक समय लेते हैं।

बड़ी अवधारणा: एक नया बैकपैक डिज़ाइन
हर एक कण को गिनने के बजाय, लेखकों ने एक नया प्रकार का बैकपैक और इसे पैक करने के नए नियम बनाए। उन्होंने एक लोकप्रिय टूल लिया जिसे NSGA-II कहा जाता है (इसे एक स्मार्ट, विकसित होते रोबोट के रूप में सोचें जो बैकपैक के विभिन्न संयोजन आज़माता है) और इसे एक बड़ा अपग्रेड दिया।

यहाँ उनका नया सिस्टम कैसे काम करता है, उनके अपने उपमाओं और तंत्रों का उपयोग करते हुए:

1. "फिक्स्ड-साइज़" बैकपैक (नया एनकोडिंग)
पुराने तरीकों में सभी संभावित खजानों की एक सूची रखने की कोशिश की जाती थी और बस यह चिह्नित किया जाता था कि कौन से लेने हैं। यदि आपके पास 225 खजाने थे, तो आपकी सूची हमेशा 225 वस्तुओं लंबी होती थी, भले ही आप केवल 10 ही ले जा रहे हों। इससे रोबोट खाली स्लॉट्स की जाँच करने में अपना समय बर्बाद करता था।
लेखकों ने बैकपैक को ही बदल दिया। अब, बैकपैक में ठीक Kmax स्लॉट हैं (अधिकतम संख्या में वस्तुएं जो आप ले जाने की अनुमति रखते हैं)। यदि आपको 5 वस्तुएं ले जाने की अनुमति है, तो आपके बैकपैक में ठीक 5 स्लॉट होंगे।

• ट्रिक: यदि आप एक ही खजाने को दो स्लॉट्स में रखते हैं, तो यह एक वस्तु के रूप में गिना जाता है, लेकिन वजन (पैसा) जुड़ता जाता है। यह रोबдно के लिए बहुत आसान बनाता है कि वह देख सके कि क्या वह नियमों का उल्लंघन कर रहा है। यदि बैकपैक में Kmin से कम अद्वितीय (unique) वस्तुएं हैं (उदाहरण के लिए, यदि आपको कम से कम 3 की आवश्यकता है लेकिन केवल 2 अद्वितीय वस्तुएं हैं), तो रोबोट जानता है कि उसे एक नया खजाना बदलना होगा।

2. "दो-चरणीय" शिकार (मेटिंग रणनीतियाँ)
रोबोट केवल अंदाज़ा नहीं लगाता। वह दो अलग-अलग चरणों में शिकार करता है, जैसे एक जासूस केस सुलझाता है:

• चरण 1 (चौड़ा जाल - The Wide Net): शुरुआत में, रोबोट "जंगली" होता है। यह खजानों के सर्वोत्तम संयोजनों को खोजने के लिए एक "नी-बेस्ड" (Knee-based) रणनीति का उपयोग करता है। यह उस "नी" (घुटने/मोड़) की तलाश करता है जहाँ आप कम से कम अतिरिक्त वजन के लिए सबसे अधिक सोना प्राप्त करते हैं—वह 'स्वीट स्पॉट' जहाँ आपको कम से कम अतिरिक्त वजन के बदले सबसे अधिक सोना मिलता है। यह सही मिश्रण खोजने के लिए उन समाधानों को मिलाता है जो इस आदर्श बिंदु के करीब हैं।
• चरण 2 (फाइन-ट्यूनिंग): एक बार जब उसके पास खजानों की एक अच्छी सूची आ जाती है, तो वह नए खजानों की तलाश करना बंद कर देता है और प्रत्येक खजाने की मात्रा को समायोजित करना शुरू कर देता है। यह एक "सिमिलैरिटी-बेस्ड" (समानता-आधारित) रणनीति का उपयोग करता है, यानी ऐसे बैकपैक को मिलाता है जिनमें पहले से ही समान खजाने हैं लेकिन अलग-अलग वजन हैं, ताकि सटीक संतुलन बनाया जा सके।

3. "एक्सप्लोरर" टूल
कभी-कभी, रोबोट एक टूटे हुए बैकपैक (जिसमें बहुत कम या बहुत अधिक आइटम हैं) को ठीक करने के लिए बस एक यादृच्छिक (random) आइटम बदलकर काम चलाता है। लेकिन लेखकों ने महसूस किया कि यह बहुत अनाड़ी तरीका है। उन्होंने "एक्सप्लोरर" नामक एक नया टूल बनाया।
कल्पना कीजिए कि आपके बैकपैक में एक आइटम की कमी है। केवल एक यादृच्छिक पत्थर उठाने के बजाय, एक्सप्लोरर इस कमी को भरने के कई अलग-अलग तरीकों को देखता है। यह पाँच अलग-अलग "ह्यूरिस्टिक" (heuristic) विधियों को आज़माता है (जैसे पैसा समान रूप से फैलाना, या सबसे सुरक्षित वस्तुओं को अधिक पैसा देना) यह देखने के लिए कि कौन सा तरीका बैकपैक को बेहतर बनाता है। फिर यह सबसे अच्छे संस्करण को चुनता है और पुराने और नए बैकपैक के बीच के "अज्ञात" स्थान में थोड़ा आगे चलकर यह देखता है कि क्या वह कुछ बेहतर पा सकता है। यह सुनिश्चित करता है कि सुधार केवल "ठीक-ठाक" नहीं, बल्कि वास्तव में एक सुधार है।

4. "रिपेयर क्रू" (बाधाओं को संभालना)
जब रोबोट गलती से नियमों को तोड़ देता है (जैसे कि बहुत अधिक आइटम चुन लेना या एक ही वस्तु में बहुत अधिक पैसा डाल देना), तो वह उसे केवल फेंक नहीं देता। उसके पास एक विशेष मरम्मत दल (repair crew) होता है:

• एसोसिएशन क्रू (Association Crew): यह देखता है कि वर्तमान समूह के अन्य सफल बैकपैक क्या रख रहे हैं और उन पैटर्नों की नकल करता है।
• स्कोर क्रू (Score Crew): खजानों को इस आधार पर समूहों में बांटता है कि वे एक साथ कैसा प्रदर्शन करते हैं और सबसे अच्छे समूह को चुनता है।
• थ्रेशोल्ड क्रू (Threshold Crew): विशेष रूप से उन खजानों को देखता है जो दूसरों के साथ तालमेल (sync) में नहीं चलते (कम सहसंबंध/correlation), ताकि विविधता जोड़ी जा सके।

उन्होंने क्या पाया (परिणाम)
लेखकों ने अपने नए सिस्टम का परीक्षण चार वास्तविक दुनिया के बाजारों के विरुद्ध किया: DAX 100 (जर्मनी), S&P 100 (USA), Nikkei 225 (जापान), और तेहरान स्टॉक एक्सचेंज (TSE)।

• परीक्षण का आकार: उन्होंने क्रमशः 85, 98, 225, और 418 संपत्तियों वाले डेटासेट का उपयोग किया।
• नियम: उन्होंने बैकपैक को Kmin और Kmax वस्तुओं के बीच रखने के लिए सेट किया (उदाहरण के लिए, 2 और 10 के बीच, या ठीक 10)।
• परिणाम: 100 इटरेशन (iterations) के सिमुलेशन और 100 समाधानों की आबादी के साथ, उनके अपग्रेड किए गए रोबोट ने लगातार बेहतर बैकपैक खोजे।
  • इसने "परफेक्ट" सैद्धांतिक सीमा के करीब समाधान खोजे (जिसे IGD नामक मीट्रिक द्वारा मापा गया है)।
  • इसने अच्छे विकल्पों की एक विस्तृत श्रृंखला को कवर किया (जिसे Hypervolume द्वारा मापा गया है)।
  • इसने यह सब अधिक तेज़ी से और अधिक विश्वसनीयता के साथ किया, विशेष रूप से तब जब संपत्तियों की संख्या बढ़ गई।

उन्होंने स्पष्ट रूप से किसे खारिज किया
पेपर बहुत स्पष्ट है कि इस विशिष्ट समस्या के लिए क्या काम नहीं करता है:

• सटीक विधियाँ (Exact Methods): वे तर्क देते हैं कि इस समस्या के लिए पारंपरिक, सटीक गणितीय तरीके अक्षम हैं क्योंकि यह NP-hard है। उनका सुझाव है कि बड़े बाजारों के लिए ये तरीके बहुत धीमे हैं।
• पेनल्टी फंक्शन्स (Penalty Functions): जबकि कुछ शोधकर्ता पेनल्टी फंक्शन का उपयोग करते हैं (टूटे हुए बैकपैक को बुरा स्कोर देना), यह पेपर स्पष्ट रूप से कहता है कि अधिकांश सफल अध्ययन रिपेयर मैकेनिज्म (बैकपैक को ठीक करना) का उपयोग करते हैं। उन्होंने समाधानों को दंडित करने के बजाय उन्हें ठीक करना चुना।
• यादृच्छिक अनुमान (Random Guessing): वे दिखाते हैं कि शुरुआत में यादृच्छिक समाधानों को मिलाने से समय बर्बाद होता है। उनका "नी-बेस्ड" चयन खोज को निर्देशित करने के लिए आवश्यक है।

वे कितने आश्वस्त हैं?
लेखक अपने परिणामों को लेकर आश्वस्त हैं, लेकिन वे अपनी भाषा के प्रति सावधान हैं। वे कहते हैं कि उनका दृष्टिकोण सिमुलेशन के 100 रन के आधार पर श्रेष्ठता को "इंगित" (indicates) और "प्रदर्शित" (demonstrates) करता है। उन्होंने यह साबित करने के लिए कि उनके परिणाम केवल भाग्य नहीं थे, सांख्यिकीय परीक्षणों (Sign Test और Wilcoxon Signed-Rank Test) का उपयोग किया।

• उदाहरण के लिए, TSE बाजार में, उनके तरीके ने Hypervolume मीट्रिक के लिए 10 में से 10 बार मानक पद्धति के मुकाबले जीत हासिल की।
• हालाँकि, वे नोट करते हैं कि DAX 100 बाजार के लिए, एक विशिष्ट मीट्रिक (MGD) में सुधार सबसे सख्त स्तर पर सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं था, हालांकि यह औसत रूप से बेहतर था।

निष्कर्ष (The Bottom Line)
पेपर सुझाव देता है कि समस्या के प्रतिनिधित्व को बदलकर (फिक्स्ड-साइज़ बैकपैक), समाधान खोजने के तरीके को बदलकर (दो-चरणीय शिकार), और गलतियों को ठीक करने के तरीके को बदलकर (एक्सप्लोरर टूल), हम बहुत बेहतर पोर्टफोलियो बहुत तेज़ी से पा सकते हैं। यह विशेष रूप से तब प्रभावी होता है जब बाजार सैकड़ों संपत्तियों के साथ बहुत भीड़भाड़ वाला हो जाता है। लेखक निष्कर्ष निकालते हैं कि हालांकि उनकी विधि एक मजबूत सुधार है, लेकिन यह कोई जादू की छड़ी नहीं है; यदि निवेशक बाद में लेनदेन लागत (transaction costs) जैसे और भी जटिल नियम जोड़ना चाहते हैं, तो इसे अनुकूलित करने की आवश्यकता होगी। लेकिन फिलहाल के लिए, यह बैकपैक पैक करने का एक बहुत अधिक स्मार्ट तरीका है।