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Large-Scale Portfolio Optimization Problem Under Cardinality Constraint With Enhanced Multi-Objective Evolutionary Algorithms

Dieses Papier schlägt verbesserte multiobjektive evolutionäre Algorithmen vor, die neuartige Lösungsrepräsentationen, Operatoren und Reparaturmechanismen aufweisen, um groß angelegte Portfoliooptimierungsprobleme unter Kardinalitätsbeschränkungen effizient zu lösen, wobei eine schnellere Konvergenz und eine überlegene Leistung im Vergleich zu traditionellen Methoden nachgewiesen werden, wenn die Marktkomplexität zunimmt.

Ursprüngliche Autoren: Danial Ramezani, Mostafa Abouei Ardakan

Veröffentlicht 2026-07-13

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Danial Ramezani, Mostafa Abouei Ardakan

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Stellen Sie sich vor, Sie sind ein Schatzsucher, der versucht, den ultimativen Rucksack für eine lange Reise zusammenzustellen. Sie wollen zwei Dinge: die wertvollsten Goldmünzen (hohe Rendite) und eine möglichst leichte, sichere Last (geringes Risiko). Aber es gibt einen Haken: Ihr Rucksack unterliegt einer strengen Regel. Sie dürfen nur eine bestimmte Anzahl verschiedener Gegenstände tragen, sagen wir zwischen 3 und 10, egal wie viele Schätze auf der Karte verstreut liegen. Dies ist das „Cardinality-Constrained Portfolio Optimization“-Problem (Portfolio-Optimierung mit Kardinalitätsbeschränkung).

Seit Jahrzehnten versuchen Anleger, dies mit „exakten“ mathematischen Methoden zu lösen, etwa indem man versucht, jedes einzelne Sandkorn an einem Strand zu zählen, um eine perfekte Handvoll zu finden. Der Text erklärt, dass dieser Ansatz wie der Versuch ist, aus einem Feuerwehrschlauch zu trinken: Er ist zu langsam und bleibt stecken, wenn die Anzahl der Vermögenswerte (die Sandkörner) riesig wird. Tatsächlich stellen die Autoren fest, dass das Hinzufügen dieser realen Regeln das Problem zu einem Albtraum für Computer macht, bekannt als „NP-schwer“, bei dem traditionelle mathematische Werkzeuge einfach aufgeben oder ewig brauchen.

Die große Idee: Ein neues Rucksack-Design
Anstatt zu versuchen, jedes Sandkorn zu zählen, haben die Autoren einen neuen Typ von Rucksack und ein neues Regelwerk für das Packen entwickelt. Sie haben ein populäres Werkzeug namens NSGA-II genommen (denken Sie an einen smarten, sich entwickelnden Roboter, der verschiedene Rucksack-Kombinationen ausprobiert) und ihm ein großes Upgrade gegeben.

So funktioniert ihr neues System, unter Verwendung ihrer eigenen Analogien und Mechaniken:

1. Der „fest dimensionierte“ Rucksack (Neue Kodierung)
Alte Methoden versuchten, eine Liste aller möglichen Schätze zu tragen und einfach zu markieren, welche man nimmt. Wenn Sie 225 Schätze hatten, war Ihre Liste immer 225 Elemente lang, selbst wenn Sie nur 10 trugen. Das führte dazu, dass der Roboter Zeit damit verschwendete, leere Plätze zu überprüfen.
Die Autoren haben den Rucksack selbst geändert. Jetzt hat der Rucksack genau Kmax Fächer (die maximale Anzahl an Gegenständen, die man tragen darf). Wenn man bis zu 5 Gegenstände tragen darf, hat der Rucksack genau 5 Fächer.

Der Trick: Wenn man denselben Schatz in zwei Fächer legt, zählt dies als ein Gegenstand, aber das Gewicht (das Geld) summiert sich. Dies macht es für den Roboter viel einfacher zu erkennen, ob er gegen die Regeln verstößt. Wenn der Rucksack weniger als Kmin einzigartige Gegenstände enthält (z. B. nur 2 einzigartige Gegenstände, obwohl mindestens 3 benötigt werden), weiß der Roboter, dass er einen neuen Schatz austauschen muss.

2. Die „Zwei-Phasen“-Jagd (Paarungsstrategien)
Der Roboter rät nicht einfach nur zufällig. Er jagt in zwei unterschiedlichen Phasen, wie ein Detektiv, der einen Fall löst:

Phase 1 (Das weite Netz): Zu Beginn ist der Roboter wild. Er nutzt eine „Knie-basierte“ Strategie, um die besten Kombinationen von Schätzen zu finden. Er sucht nach dem „Knie“ der Kurve – dem optimalen Punkt (Sweet Spot), an dem man das meiste Gold für das geringste zusätzliche Gewicht erhält. Er lässt Lösungen, die diesem idealen Punkt nahe kommen, miteinander „paaren“, um die richtige Mischung der Vermögenswerte schnell zu finden.
Phase 2 (Das Feintuning): Sobald er eine gute Liste von Schätzen hat, hört er auf, nach neuen zu suchen, und beginnt stattdessen, die Menge jedes einzelnen Schatzes anzupassen. Er nutzt eine „Ähnlichkeits-basierte“ Strategie, indem er Rucksäcke paart, die bereits dieselben Schätze, aber unterschiedliche Gewichte enthalten, um das exakte Gleichgewicht fein abzustimmen.

3. Das „Explorer“-Werkzeug
Manchmal repariert der Roboter einen kaputten Rucksack (einen, der zu wenige oder zu viele Gegenstände enthält), indem er einfach einen zufälligen Gegenstand hineinlegt. Aber die Autoren erkannten, dass dies plump ist. Sie erfanden ein neues Werkzeug namens „Explorer“.
Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Rucksack, in dem ein Gegenstand fehlt. Anstatt einfach den erstbesten Stein aufzuheben, betrachtet der Explorer verschiedene Möglichkeiten, diese Lücke zu füllen. Er probiert fünf verschiedene „Heuristiken“ (wie das gleichmäßige Verteilen des Geldes oder das Geben von mehr Geld an die sichersten Gegenstände) aus, um zu sehen, welche die beste ist. Dann wählt er die beste Version und geht sogar ein kleines Stück in den „unbekannten“ Raum zwischen dem alten und dem neuen Rucksack hinein, um zu sehen, ob er dort etwas noch Besseres finden kann. Dies stellt sicher, dass die Reparatur nicht nur „okay“, sondern tatsächlich eine Verbesserung ist.

4. Die „Reparaturcrew“ (Umgang mit Beschränkungen)
Wenn der Roboter versehentlich gegen die Regeln verstößt (z. B. zu viele Gegenstände auswählt oder zu viel Geld in einen Gegenstand steckt), wirft er den Rucksack nicht einfach weg. Er hat eine spezialisierte Reparaturcrew:

Die Assoziations-Crew: Schaut sich an, was andere erfolgreiche Rucksäcke in der aktuellen Gruppe enthalten, und kopiert diese Muster.
Die Score-Crew: Gruppiert Schätze danach, wie gut sie zusammen performen, und wählt die beste Gruppe aus.
Die Schwellenwert-Crew: Sucht gezielt nach Schätzen, die nicht im Einklang mit den anderen schwanken (geringe Korrelation), um Diversität hinzuzufügen.

Was sie herausfanden (Die Ergebnisse)
Die Autoren testeten ihr neues System gegen den alten, Standard-Roboter auf vier realen Märkten: dem DAX 100 (Deutschland), S&P 100 (USA), Nikkei 225 (Japan) und der Tehran Stock Exchange (TSE).

Die Größe des Tests: Sie verwendeten Datensätze mit 85, 98, 225 und 418 Vermögenswerten.
Die Regeln: Sie legten den Rucksack so fest, dass er zwischen Kmin und Kmax Gegenstände enthält (z. B. zwischen 2 und 10, oder genau 10).
Das Ergebnis: In Simulationen, die über 100 Iterationen mit einer Population von 100 Lösungen liefen, fand ihr verbesserter Roboter konsistent bessere Rucksäcke.
- Er fand Lösungen, die näher am „perfekten“ theoretischen Limit lagen (gemessen an einer Metrik namens IGD).
- Er deckte ein breiteres Spektrum an guten Optionen ab (gemessen an der Hypervolume).
- Er tat dies schneller und zuverlässiger, insbesondere wenn die Anzahl der Vermögenswerte groß wurde.

Was sie explizit ausschließen
Das Paper ist sehr deutlich darüber, was für dieses spezifische Problem nicht gut funktioniert:

Exakte Methoden: Sie argumentieren, dass traditionelle, exakte mathematische Methoden für dieses Problem ineffizient sind, da es NP-schwer ist. Sie deuten an, dass diese Methoden für große Märkte zu langsam sind.
Penalty-Funktionen (Straffunktionen): Während einige Forscher „Penalty-Funktionen“ verwenden (indem sie kaputten Rucksäcken eine schlechte Bewertung geben), stellt dieses Paper explizit fest, dass die überwiegende Mehrheit der erfolgreichen Studien Reparaturmechanismen (das Reparieren des Rucksacks) verwendet. Sie entschieden sich dafür, die Lösungen zu reparieren, anstatt sie nur zu bestrafen.
Zufälliges Raten: Sie zeigen, dass das bloße Paaren zufälliger Lösungen in der frühen Phase Zeit verschwendet. Ihre „Knie-basierte“ Selektion ist notwendig, um die Suche zu leiten.

Wie sicher sind sie?
Die Autoren sind zuversichtlich in ihre Ergebnisse, bleiben aber in ihrer Sprache vorsichtig. Sie geben an, dass ihr Ansatz die Überlegenheit „indiziert“ und „demonstriert“, basierend auf 100 Durchläufen der Simulation. Sie verwendeten statistische Tests (den Sign-Test und den Wilcoxon-Signed-Rank-Test), um zu beweisen, dass ihre Ergebnisse nicht bloß Glück waren.

Beispielsweise gewann ihre Methode auf dem TSE-Markt in 10 von 10 Fällen gegen die Standardmethode beim Hypervolume-Metrik.
Sie merken jedoch an, dass die Verbesserung in einer spezifischen Metrik (MGD) für den DAX 100-Markt auf dem strengsten Niveau statistisch nicht signifikant war, obwohl sie im Durchschnitt dennoch besser war.

Das Fazit
Das Paper legt nahe, dass wir durch die Änderung der Art und Weise, wie wir das Problem darstellen (der fest dimensionierte Rucksack), wie wir nach Lösungen suchen (die Zwei-Phasen-Jagd) und wie wir Fehler beheben (das Explorer-Werkzeug), bessere Anlageportfolios viel schneller finden können. Dies gilt insbesondere dann, wenn der Markt mit hunderten von Vermögenswerten vollgestopft ist. Die Autoren kommen zu dem Schluss, dass ihr Verfahren zwar eine starke Verbesserung darstellt, aber kein Zauberstab ist; es muss noch angepasst werden, falls Investoren später noch komplexere Regeln wie Transaktionskosten hinzufügen möchten. Aber für den Moment ist es ein wesentlich smarterer Weg, den Rucksack zu packen.

Technische Zusammenfassung: Großskalige Portfolio-Optimierung unter Kardinalitätsbeschränkung mit verbesserten mehrkriteriellen evolutionären Algorithmen

Problemdefinition
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem kardinalitätsbeschränkten Portfolio-Optimierungsproblem (CCPOP), einer Variante des klassischen Mean-Variance-Modells (MV) nach Markowitz. Während das MV-Modell danach strebt, die Rendite zu maximieren und das Risiko zu minimieren, versagt es oft bei der Berücksichtigung realer Randbedingungen, was das Problem NP-schwer macht. Insbesondere konzentriert sich diese Studie auf die Kardinalitätsbeschränkung (CC), welche die Anzahl der Vermögenswerte ( $K$ ) in einem Portfolio auf einen Bereich von $[K_{min}, K_{max}]$ begrenzt, sowie auf die Randwertbeschränkung (BC), welche das Gewicht einzelner Vermögenswerte auf $[\epsilon_i, \delta_i]$ einschränkt. Die Einbeziehung dieser Beschränkungen zusammen mit den gegensätzlichen Zielen von Risiko und Rendite macht exakte Methoden für großskalige Märkte ineffizient, was den Einsatz von Approximationsalgorithmen erforderlich macht.

Methodik
Die Autoren schlagen eine maßgeschneiderte Version des Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) vor, der speziell für die Komplexität des CCPOP entwickelt wurde. Die Methodik führt vier primäre Innovationen ein:

Neuartige Lösungskodierung:
Anstatt eines Standard-Realwertvektors der Größe $N$ (Gesamtzahl der Vermögenswerte) schlagen die Autoren ein Chromosom fester Größe $K_{max}$ vor, das aus zwei Zeilen besteht:
- Zeile 1: Die für das Portfolio ausgewählten Identifikatoren der Vermögenswerte.
- Zeile 2: Die entsprechenden Gewichte.
  Diese Darstellung begrenzt die Anzahl der Vermögenswerte inhärent auf $K_{max}$ und macht somit einen Reparaturmechanismus zur Entfernung überschüssiger Vermögenswerte überflüssig, wenn die Obergrenze verletzt wird. Duplikate von Vermögenswerten in der ersten Zeile sind zulässig; deren Gewichte in der zweiten Zeile werden addiert, um die Gesamtallokation für diesen Vermögenswert zu bestimmen.
Dynamische Paarungsstrategien:
Der Selektionsprozess wird in zwei Phasen unterteilt, um Exploration und Exploitation auszubalancieren:
- Frühe Iterationen (Exploration): Es wird eine Knee-basierte Turnierturnier-Selektion verwendet. Dabei werden Individuen basierend auf ihrem euklidischen Abstand zum „Utopia Point“ (ideale maximale Rendite/minimales Risiko) ausgewählt, wobei Lösungen nahe der „Knie“-Region der Pareto-Front (PF) priorisiert werden, um schnell hochwertige Kombinationen von Vermögenswerten zu finden.
- Späte Iterationen (Exploitation): Eine Ähnlichkeitsbasierte Matrix-Turnier-Selektion wird aktiviert. Sie identifiziert Portfolios mit identischen oder ähnlichen Vermögenswertkombinationen und lässt diese miteinander kreuzen, um die Kapitalallokation (Gewichte) zu verfeinern, anstatt nach neuen Vermögenswertmischungen zu suchen.
Spezialisierte Mutation und der „Explorer“-Operator:
- Mutationen: Drei Arten von Mutationen werden dynamisch kombiniert. Frühe Iterationen nutzen Mutationen, die Vermögenswerte tauschen (globale Suche), während spätere Iterationen sich auf die Anpassung von Gewichten konzentrieren (lokale Suche).
- Explorer-Operator: Ein neuartiger Reparatur- und Optimierungsoperator für Individuen, die gegen Beschränkungen verstoßen. Er generiert Kandidatenlösungen mithilfe von fünf heuristischen Kapitalverteilungsmethoden (z. B. Gleichverteilung, volatilitätsbasiert, Rendite-Risiko-Verhältnis). Er exploriert anschließend den Raum zwischen der Ziellösung und dem besten Kandidaten unter Verwendung einer spezifischen Interpolationsformel (Gleichung 10), um überlegene Gewichtungsallokationen zu finden, ohne den Satz der Vermögenswerte zu verändern.
Mechanismen zur Einhaltung von Beschränkungen:
- Kardinalitäts-Reparatur: Drei Techniken werden vorgeschlagen, um Portfolios hinzuzufügen, die die $K_{min}$ $K_{min}$ -Beschränkung verletzen:
  - Assoziationsbasiert: Nutzt das Clustering der aktuellen Pareto-Front, um Vermögenswerte zu identifizieren, die häufig gemeinsam mit den Vermögenswerten des verletzten Portfolios auftreten.
  - Score-basiert: Clustert das gesamte Universum der Vermögenswerte und wählt Vermögenswerte aus den am höchsten bewerteten Clustern basierend auf Korrelation und Leistungsmetriken aus.
  - Schwellenwertbasiert: Wählt Vermögenswerte mit geringer Korrelation zu den bestehenden Portfolio-Vermögenswerten aus, gesteuert durch einen Strenheitskoeffizienten.
- Randwert-Reparatur: Eine modifizierte Version von Chang et al. (2000) wird verwendet, um die Gewichte anzupassen, damit sie $[\epsilon_i, \delta_i]$ erfüllen, wobei insbesondere Fälle behandelt werden, in denen Duplikate von Vermögenswerten zu Verletzungen des Gesamtgewichts führen.

Wesentliche Beiträge

Effizienz der Kodierung: Die Chromosomenrepräsentation fester Größe vereinfacht die Handhabung der oberen Kardinalitätsgrenze und reduziert den Rechenaufwand für Reparaturmechanismen.
Adaptive Suche: Die zweiphasige Paarungsstrategie (Knee-basiert vs. Ähnlichkeitsbasiert) balanciert effektiv die Entdeckung diverser Vermögenswertkombinationen mit der Optimierung der Kapitalallokation aus.
Verbesserte Reparatur: Der „Explorer“-Operator bietet einen strukturierten Weg zur Re-Optimierung der Gewichte für reparierte Lösungen, wodurch sichergestellt wird, dass die Durchführbarkeit nicht zu Lasten der Performance geht.
Skalierbarkeit: Der Ansatz ist speziell darauf ausgelegt, die Leistung beizubehalten, wenn die Anzahl der verfügbaren Vermögenswerte ( $N$ ) steigt, womit eine bekannte Schwäche von Standard-Evolutionären Algorithmen adressiert wird.

Experimentelle Ergebnisse
Der vorgeschlagene Algorithmus wurde gegen einen Standard-NSGA-II sowie gegen eine Version getestet, die zwar die neue Kodierung, aber die Standard-Paarungsstrategien verwendet. Die Experimente wurden auf vier Datensätzen durchgeführt: DAX 100, S&P 100, Nikkei 225 und die Tehran Stock Exchange (TSE) (418 Vermögenswerte).

Leistungsmetriken: Die Studie verwendete Hypervolumen (HV), Generational Distance (GD), Inverted Generational Distance (IGD) und die Diversitätsmetrik ( $\Delta$ ). Eine „Modifizierte Generational Distance“ (MGD) wurde zusätzlich eingeführt, um Vergleiche zu normalisieren.
Ergebnisse:
- Der vorgeschlagene Ansatz übertraf den Standard-NSGA-II konsistent über alle Metriken und Märkte hinweg.
- Die Leistungslücke vergrößerte sich mit zunehmender Anzahl der Vermögenswerte, was die überlegene Skalierbarkeit demonstriert.
- Der Algorithmus erreichte schnellere Konvergenzraten, was besonders in den IGD-Plots über die Generationen hinweg deutlich wurde.
- Statistische Validierungen mittels Sign-Tests und Wilcoxon-Rangsummentests bestätigten die Signifikanz der Verbesserungen (p < 0,05) in den meisten Metriken, mit Ausnahme der MGD im DAX 100 Markt.
- Die Analyse der Rechenzeit zeigte, dass Python zwar langsamer als C++ ist, die vorgeschlagene Kodierung und Logik jedoch zu Ausführungszeiten führte, die vergleichbar mit oder sogar besser als die Standardansätze sind, selbst für den größeren TSE-Datensatz.

Bedeutung und Behauptungen
Das Paper behauptet, dass die vorgeschlagene Strategie eine robuste Lösung für die großskalige Portfolio-Optimierung unter Kardinalitätsbeschränkungen bietet. Die Autoren führen an, dass ihr Ansatz:

Eine schnellere Konvergenz und eine umfangreichere Suchfähigkeit im Vergleich zu traditionellen Methoden bietet.
Die Leistungsstabilität beibehält, wenn die Marktgröße (Anzahl der Vermögenswerte) wächst, während Standardalgorithmen dazu neigen, an Qualität zu verlieren.
Den Zielkonflikt zwischen dem Finden des optimalen Satzes an Vermögenswerten und der optimalen Allokation der Gewichte durch die phasenweise Paarung und den „Explorer“-Operator effektiv handhabt.

Die Studie kommt zu dem Schluss, dass die aktuelle Formulierung zwar CC und BC adressiert, zukünftige Arbeiten jedoch weitere reale Beschränkungen wie Transaktionskosten und Liquidität einbeziehen könnten, was Modifikationen der vorgeschlagenen Reparaturmechanismen erfordern würde.

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