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Adaptable Regularized CCA Tests for Independence of High-Dimensional Random Vectors

यह शोध पत्र रिज रेगुलराइजेशन (ridge regularization) और प्रिंसिपल कंपोनेंट-आधारित डाइमेंशन रिडक्शन को कैनोनिकल कोरिलेशन एनालिसिस फ्रेमवर्क में एकीकृत करके, एसिम्प्टोटिक गुणों (asymptotic properties) को स्थापित करते हुए और पैरामीटर चयन के लिए एक डेटा-संचालित विधि प्रदान करते हुए, उच्च-आयामी रैंडम वेक्टर्स की स्वतंत्रता का आकलन करने के लिए एक अनुकूलन योग्य परीक्षण प्रक्रिया प्रस्तावित करता है।

मूल लेखक: Haoran Li

प्रकाशित 2026-07-14

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Haoran Li

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक रहस्य सुलझाने की कोशिश कर रहे एक जासूस हैं: क्या सुरागों के दो विशाल समूह, जिन्हें हम ग्रुप X और ग्रुप Y कहेंगे, वास्तव में एक-दूसरे से बात करते हैं? या वे बस रात के अंधेरे में गुजरने वाले दो अजनबी हैं, जो पूरी तरह से स्वतंत्र हैं?

पुराने दिनों में, जब ये समूह छोटे होते थे (जैसे कुछ दर्जन सुराग), तो उनके पास एक मानक आवर्धक लेंस (magnifying glass) होता था जिसे कैनोनिकल कोरिलेशन एनालिसिस (CCA) कहा जाता था। यह बहुत अच्छा काम करता था। लेकिन आधुनिक दुनिया में, इन समूहों का आकार बहुत बढ़ गया है। अब, ग्रुप X और ग्रुप Y में सैकड़ों या हजारों सुराग हो सकते हैं, और कभी-कभी सुरागों की संख्या उन मामलों से भी अधिक हो सकती है जिनकी आप जांच कर रहे हैं (सैंपल साइज, $n$ )।

जब आप इन विशाल समूहों पर पुराने आवर्धक लेंस का उपयोग करने की कोशिश करते हैं, तो यह टूट जाता है। इसकी गणित "सिंगुलर" हो जाती है, जिसका एक शानदार तरीका यह है कि टूल जाम हो जाता है क्योंकि वेरिएबल्स बहुत अधिक हैं और उन्हें थामे रखने के लिए पर्याप्त डेटा नहीं है। यह एक पहेली को हल करने की कोशिश करने जैसा है जहाँ आपके पास टुकड़ों की संख्या बॉक्स में दी गई तस्वीरों से अधिक है; टुकड़े फिट नहीं बैठते, और गणित क्रैश हो जाता है।

बड़ा विचार: एक नया, लचीला टूल
इस शोध पत्र के लेखकों ने, जिनका नेतृत्व हाओरान ली (Haoran Li) कर रहे हैं, इस जाम को ठीक करने के लिए एक नया, सुपर-अनुकूलनीय टूल बनाया है। उन्होंने दो चतुर तरकीबों को मिलाया है:

रिज डिकुलराइजेशन (Ridge Regularization): इसे गणित में थोड़ा सा "गोंद" या "शॉक एब्जॉर्बर" जोड़ने के रूप में सोचें। यह टूल को तब बिखरने से रोकता है जब डेटा अव्यवस्थित हो जाता है या समूह बहुत बड़े हो जाते हैं।
प्रिंसिपल कंपोनेंट रिडक्शन (Principal Component Reduction): ग्रुप Y के हर एक सुराग को देखने के बजाय, उन्होंने केवल "शीर्ष खिलाड़ियों" पर ध्यान केंद्रित करने का निर्णय लिया। कल्पना कीजिए कि ग्रुप Y 1,000 गायकों का एक समूह है। उनमें से अधिकांश पृष्ठभूमि में धीरे-धीरे गुनगुना रहे हैं। लेखक कहते हैं, "आइए हम केवल उन शीर्ष 10 या 20 गायकों को सुनें जो वास्तव में धुन को आगे ले जा रहे हैं।" ये ही प्रिंसिपल कंपोनेंट्स (PCs) हैं।

इन शीर्ष गायकों पर ध्यान केंद्रित करके और "गोंद" जोड़कर, उन्होंने एक स्थिर तरीका बनाया है जिससे यह परीक्षण किया जा सके कि क्या ग्रुप X और ग्रुप Y आपस में जुड़े हुए हैं, भले ही समूह बहुत विशाल हों।

सुनने के दो अलग तरीके
इस नए टूल की खास बात यह है कि इसमें दो अलग-अलग मोड हैं, जो इस बात पर निर्भर करते हैं कि आप कितने "शीर्ष गायकों" (कम किया गया आयाम, $k$ ) को सुनने का निर्णय लेते हैं:

मोड 1: "ऑल-हैंड्स" दृष्टिकोण (ट्रेस-बेस्ड टेस्ट)
यदि आप केवल कुछ ही शीर्ष गायकों को सुनते हैं (मान लीजिए $k$ छोटा है, जैसे 20 से कम), तो टूल उन सभी से ऊर्जा को जोड़ देता है। यह पूरे गायक समूह से वोट लेने जैसा है। लेखकों ने पाया कि जब $k$ छोटा होता है, तो यह विधि बहुत ही अनुमानित व्यवहार करती है, और एक मानक "बेल कर्व" (नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन) का पालन करती है। यह उन कनेक्शनों को पकड़ने के लिए बेहतरीन है जो कई सुरागों में फैले हुए हैं।
मोड 2: "स्टार पावर" दृष्टिकोण (लार्जेस्ट-रूट टेस्ट)
यदि आप गायक समूह के एक बड़े हिस्से को सुनने का निर्णय लेते हैं (जहाँ $k$ , सैंपल साइज के बढ़ने के साथ बढ़ता है), तो टूल अपनी रणनीति बदल लेता है। पूरी मंडली को सुनने के बजाय, यह पूरी तरह से एक सबसे ऊँची आवाज़ (सबसे बड़ा आइजनवैल्यू) पर ध्यान केंद्रित करता है। यह बहुत शक्तिशाली है यदि समूहों के बीच का संबंध केवल एक या दो प्रमुख कारकों द्वारा संचालित होता है। इस मोड में, गणित एक बहुत ही विशिष्ट, दुर्लभ पैटर्न का पालन करता है जिसे ट्रेसी-विडोम लॉ (Tracy-Widom law) कहा जाता है (जो दो गणितज्ञों के नाम पर है, किसी कैंडी बार के नाम पर नहीं)।

उन्होंने क्या सिद्ध किया और क्या सिम्युलेट किया
लेखकों ने केवल यह अनुमान नहीं लगाया कि यह काम करेगा; उन्होंने इस बात को सिद्ध करने के लिए भारी गणितीय कार्य किया।

सिद्धांत: उन्होंने गणितीय रूप से सिद्ध किया कि यदि समूह वास्तव में स्वतंत्र हैं, तो उनके नए उपकरण बिल्कुल वैसे ही व्यवहार करेंगे जैसा कि भविष्यवाणी की गई है (जैसे-जैसे डेटा विशाल होता जाता है, वे बेल कर्व या ट्रेसी-विडोम लॉ का पालन करते हैं)।
सिमुलेशन: चूंकि वास्तविक दुनिया का डेटा अव्यवस्थित होता है, इसलिए उन्होंने यह देखने के लिए हजारों कंप्यूटर सिमुलेशन चलाए कि उनके टूल्स वास्तविक सैंपल साइज (जैसे $n=200$ $n = 200$ या $n=400$ $n = 400$ के साथ आयाम $p_1, p_2$ $p_{1}, p_{2}$ 200 तक) के साथ कैसा प्रदर्शन करते हैं।
- उन्होंने डेटा के विभिन्न "फ्लेवर्स" का परीक्षण किया: नॉर्मल बेल कर्व्स, हेवी-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशन (जैसे 6 डिग्री ऑफ फ्रीडम वाला $t$ -डिस्ट्रीब्यूशन), और यहाँ तक कि पॉइसन (Poisson) डिस्ट्रीब्यूशन।
- उन्होंने पाया कि ट्रेस-बेस्ड टेस्ट (मोड 1) सुपरस्टार है जब कनेक्शन फैला हुआ होता है। इसने लगभग हर उस परिदृश्य में पुराने तरीकों की तुलना में बेहतर सिग्नल पकड़ा जो उन्होंने सिम्युलेट किए थे।
- लार्जेस्ट-रूट टेस्ट (मोड 2) जब सिग्नल फैला हुआ होता है तो थोड़ा कम शक्तिशाली होता है, लेकिन जब उन्हें बहुत सारे प्रिंसिपल कंपोनेंट्स को देखने की आवश्यकता होती है, तो यह एकमात्र विश्वसनीय विकल्प है।

उन्होंने किसके विरुद्ध तर्क दिया
यह शोध पत्र उच्च आयामों (high dimensions) में पुराने, अन-रेगुलराइज्ड तरीकों का उपयोग करने के विरुद्ध स्पष्ट रूप से तर्क देता है।

उन्होंने दिखाया कि यदि आप नए "गोंद" (रेगुलराइजेशन) के बिना क्लासिक "रॉयज लार्जेस्ट रूट" टेस्ट का उपयोग करते हैं, जब आयाम सैंपल साइज के करीब होते हैं, तो टेस्ट अस्थिर हो जाता है या पूरी तरह से टूट जाता है।
उन्होंने यांग और पान (2015) के एक पिछले "रेगुलराइज्ड" तरीके से भी तुलना की। उन्होंने पाया कि जबकि यांग और पान का तरीका तब काम करता है जब ग्रुप Y सैंपल साइज से छोटा होता है, वह तब विफल हो जाता है जब ग्रुप Y बहुत बड़ा ( $n$ से बड़ा) होता है। लेखकों का नया तरीका, पहले से ही टॉप प्रिंसिपल कंपोनेंट्स पर ध्यान केंद्रित करके, ग्रुप Y के विशाल होने पर भी मजबूत बना रहता है।

"मैजिक" नंबर: $k$ और $\lambda$ चुनना
इन टूल्स का उपयोग करने का सबसे कठिन हिस्सा सही सेटिंग्स चुनना है:

$k$ (कितने गायक?): लेखक इसे चुनने के लिए एक डेटा-संचालित तरीका सुझाते हैं। आप छोटे से शुरुआत करते हैं और तब तक गायक जोड़ते रहते हैं जब तक कि बैकग्राउंड में "शोर" (noise) बहुत अधिक नहीं बदल जाता। वे तब तक चेक करने की सलाह देते हैं जब तक कि कुल ऊर्जा में परिवर्तन कुल ऊर्जा के 5% से कम न हो जाए।
$\lambda$ (कितना गोंद?): उन्होंने एक स्मार्ट, डेटा-संचालित तरीका विकसित किया है जो कनेक्शन पकड़ने की संभावना को अधिकतम करने के लिए रेगुलराइजेशन पैरामीटर (गोंद की मात्रा) को चुनता है। वे एक "मिनिमैक्स" रणनीति का उपयोग करते हैं, जिसका अर्थ है कि वे उस गोंद की मात्रा को चुनते हैं जो सबसे खराब स्थिति में भी सबसे अच्छा काम करती है।

फैसला
उनके सिमुलेशन में, नए तरीके ने "गलत अलार्म" दर (Type-I error) को लक्ष्य 5% स्तर के बहुत करीब रखा, जो कि एक अच्छे जासूसी टूल के लिए बिल्कुल सही है।

जब कनेक्शन फैला हुआ था (जैसे कई छोटी फुसफुसाहटें), तो ट्रेस-बेस्ड टेस्ट सबसे शक्तिशाली था।
जब कनेक्शन केंद्रित था (जैसे एक ज़ोरदार चिल्लाहट), तो दोनों टेस्टों ने काम किया, लेकिन ट्रेस-बेस्ड टेस्ट ने फिर भी अपना दबदबा बनाए रखा।
सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि नया तरीका वहां काम कर गया जहां पुराने विफल हो गए: जब वेरिएबल्स की संख्या ( $p_1, p_2$ ) सैंपल की संख्या ( $n$ ) के बराबर या उससे अधिक थी।

लेखक सुझाव देते हैं कि यह दृष्टिकोण—"गोंद" को "शीर्ष खिलाड़ियों पर ध्यान केंद्रित करने" के साथ मिलाना—उच्च-आयामी सांख्यिकी (high-dimensional statistics) के लिए एक गेम-चेंजर है। उनका मानना है कि यही विचार भविष्य में अन्य कठिन पहेलियों को हल करने में मदद कर सकता है, जैसे जटिल नेटवर्क या वित्तीय बाजारों का विश्लेषण करना, लेकिन फिलहाल, उन्होंने मजबूती से स्थापित किया है कि यह दो विशाल वेरिएबल समूहों के बीच स्वतंत्रता का परीक्षण करने के लिए काम करता है।

तकनीकी सारांश: उच्च-आयामी यादृच्छिक वेक्टर्स की स्वतंत्रता के लिए अनुकूलन योग्य नियमितीकृत CCA परीक्षण

समस्या विवरण
यह शोधपत्र एक i..i.d. नमूने के आकार $n$ पर आधारित दो उच्च-आयामी यादृच्छिक वेक्टर्स, $X \in \mathbb{R}^{p_1}$ और $Y \in \mathbb{R}^{p_2}$ के बीच स्वतंत्रता के परीक्षण की मौलिक सांख्यिकीय समस्या को संबोधित करता है। यह परिवेश "उच्च-आयामी शासन" (high-dimensional regime) द्वारा अभिलक्षित है जहाँ आयाम $p_1$ और $p_2$ , नमूना आकार $n$ के तुलनीय हैं, या उनसे भी अधिक हो सकते हैं।

शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण (multivariate analysis) में, स्वतंत्रता परीक्षण कैनोनिकल कोरिलेशन एनालिसिस (CCA) पर निर्भर करता है, विशेष रूप से सामान्यीकृत क्रॉस-कोवेरियन्स मैट्रिक्स के आइगन मानों (eigenvalues) के परीक्षण पर। हालाँकि, पारंपरिक परीक्षण सांख्यिकी (जैसे कि लाइक्लीहुड रेशियो टेस्ट और रॉय का लार्जेस्ट रूट टेस्ट) उच्च-आयामी परिवेश में अपरिभाषित या अस्थिर हो जाते हैं। विशेष रूप से, जब $n < p_1 + p_2$ होता है, तो आवश्यक नमूना कोवेरियन्स मैट्रिक्स सिंगुलर या लगभग सिंगुलर हो जाते हैं, जिससे शास्त्रीय परीक्षणों के लिए आवश्यक व्युत्क्रम (inversion) संचालन असंभव या संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो जाता है। मौजूदा उच्च-आयामी विस्तार अक्सर तब विफल हो जाते हैं जब दोनों आयाम नमूना आकार से अधिक होते हैं या वे विशिष्ट संरचनात्मक धारणाओं पर निर्भर करते हैं जो उनकी प्रयोज्यता को सीमित करती हैं।

कार्यप्रणाली
लेखक एक लचीला परीक्षण ढांचा प्रस्तावित करते हैं जो CCA ढांचे के भीतर रिज रेगुलराइजेशन (ridge regularization) को प्रिंसिपल कंपोनेंट (PC)-आधारित आयामी न्यूनीकरण के साथ एकीकृत करता है। मुख्य कार्यप्रणाली इस प्रकार है:

मॉडल धारणाएँ: लेखक यह मानते हैं कि $X$ और $Y$ के बीच कोई भी निर्भरता मुख्य रूप से $Y$ के अग्रणी $m$ प्रिंसिपल कंपोनेंट्स के माध्यम से कैप्चर की जाती है। $Y$ के अवशिष्ट (residual) घटकों को $X$ के लगभग स्वतंत्र माना जाता है। यह एक विषम मॉडल की ओर ले जाता है जहाँ $X$ , $Y$ के पहले $m$ PCs पर प्रोजेक्शन पर रैखिक रूप से निर्भर है।
आयामी न्यूनीकरण: $X$ को $Y$ के पूर्ण रो स्पेस (row space) पर प्रोजेक्ट करने के बजाय (जो सिंगुलैरिटी की समस्या उत्पन्न करता है जब $p_2 > n$ ), यह विधि $X$ को $Y$ के पहले $k$ नमूना प्रिंसिपल कंपोनेंट्स द्वारा स्पैन किए गए सबस्पेस पर प्रोजेक्ट करती है, जहाँ $k \le p_2$ एक न्यूनीकृत आयाम पैरामीटर है।
नियमितीकृत F-मैट्रिक्स: लेखक एक संशोधित $F$ $F$ -मैट्रिक्स निर्मित करते हैं, $F_{k\lambda} = W_{k1}(W_{k2} + \lambda I_{p_2})^{-1}$ $F_{k λ} = W_{k 1} (W_{k 2} + λ I_{p_{2}})^{- 1}$ , जहाँ:
- $W_{k1}$ और $W_{k2}$ क्रॉस-प्रोडक्ट मैट्रिसेस हैं जो $X$ के $k$ -आयामी PC सबस्पेस और इसके ऑर्थोगोनल कॉम्प्लीमेंट के प्रोजेक्शन से प्राप्त होते हैं।
- $\lambda > 0$ एक रिज रेगुलराइजेशन पैरामीटर है जिसे $W_{k2}$ में जोड़ा गया है ताकि $p_1 \gtrsim n - 1 - k$ होने पर भी व्युत्क्रमणीयता और स्थिरता सुनिश्चित की जा सके।
दोहरे परीक्षण प्रक्रियाएं: परीक्षण सांख्यिकी का चयन कम किए गए आयाम $k$ $k$ के परिमाण पर निर्भर करता है:
- छोटा $k$ शासन: एक नियमितीकृत ट्रेस-आधारित सांख्यिकी $T(k, \lambda) = \sum_{j=1}^k \ell_j(F_{k\lambda})$ का उपयोग किया जाता है। यह सभी $k$ आइगन मानों के माध्यम से सूचना को एकत्रित करता है।
- बड़ा $k$ शासन: एक नियमितीकृत लार्जेस्ट-रूट सांख्यिकी $\ell_{\max}(k, \lambda) = \ell_{\max}(F_{k\lambda})$ का उपयोग किया जाता है, जो सबसे बड़े आइगन मान पर निर्भर करता है।
पैरामीटर चयन: लेखक सिग्नल दिशा के पूर्व वितरणों (prior distributions) के वर्ग पर एसिम्प्टोटिक सिग्नल-टू-नॉइज़ रेशियो (SNR) को अधिकतम करने के लिए, बेयसियन-मिनिमैक्स सिद्धांत के आधार पर रेगुलराइजेशन पैरामीटर $\lambda$ के चयन के लिए एक डेटा-संचालित प्रक्रिया विकसित करते हैं। यह अज्ञात सिग्नल वेक्टर को सीधे अनुमानित करने की आवश्यकता के बिना किया जाता है।

प्रमुख योगदान

पद्धतिगत विस्तार: यह शोधपत्र PCA-आधारित आयामी न्यूनीकरण के साथ रिज रेगुलराइजेशन को जोड़कर $p_1, p_2 \ge n$ वाले परिवेशों में शास्त्रीय CCA परीक्षणों का विस्तार करता है। यह सुनिश्चित करता है कि परीक्षण सांख्यिकी आयामों और नमूना आकार के बीच के संबंध के बावजूद सुपरिभाषित और स्थिर रहे।
एसिम्प्टोटिक थ्योरी: लेखक दो अलग-अलग शासन के तहत प्रस्तावित दोनों सांख्यिकीओं के लिए एसिम्प्टोटिक नल डिस्ट्रीब्यूशन (null distributions) स्थापित करते हैं:
- निश्चित $k$ के लिए, सामान्यीकृत ट्रेस-आधारित सांख्यिकी एक मानक सामान्य वितरण (standard normal distribution) की ओर अभिसरित होती है।
- जब $k$ , $n$ के आनुपातिक रूप से बढ़ता है, तो सामान्यीकृत लार्जेस्ट-रूट सांख्यिकी ट्रेसी-विड (Tracy-Widow Type 1) वितरण की ओर अभिसरित होती है।
पावर विश्लेषण: लेखक प्रतिनिधि विकल्पों के तहत एक एसिम्प्टोटिक पावर विश्लेषण प्रदान करते हैं, जो कोवेरियन्स संरचनाओं, क्रॉस-कोवेरियन्स और ट्यूनिंग पैरामीटर्स ( $k, \lambda$ ) के प्रभाव को स्पष्ट करता है।
डेटा-संचालित ट्यूनिंग: रेगुलराइजेशन पैरामीटर $\lambda$ के चयन के लिए एक डेटा-संचालित प्रक्रिया विकसित की गई है, जिसे सुसंगत (consistent) दिखाया गया है और जो एसिम्प्टोटिक नल डिस्ट्रीब्यूशन को अमान्य नहीं करती है।

परिणाम
व्यापक सिमुलेशन अध्ययन प्रस्तावित विधियों के परिमित-नमूना प्रदर्शन का मूल्यांकन करते हैं:

साइज कंट्रोल: प्रस्तावित प्रक्रियाएं विभिन्न सेटिंग्स (परिवर्तित आयाम, नमूना आकार और कोवेरियन्स संरचनाएं) में टाइप-I त्रुटि दर पर संतोषजनक नियंत्रण बनाए रखती हैं। ट्रेस-आधारित परीक्षण छोटे $k$ (जैसे $k \lesssim 20$ ) के लिए अच्छा प्रदर्शन करता है, जबकि लार्जेस्ट-रूट परीक्षण बड़े $k$ के लिए प्रभावी है।
पावर प्रदर्शन:
- ट्रेस-आधारित प्रक्रिया आम तौर पर उच्चतम अनुभवजन्य शक्ति (empirical power) प्रदर्शित करती है, विशेष रूप से "Exp-Decay" कोरिलेशन मॉडल्स के तहत जहाँ सिग्नल कई आइगन-डायरेक्शंस में वितरित होता है।
- लार्जेस्ट-रूट प्रक्रिया "Low-rank" कोरिलेशन मॉडल्स (केंद्रित सिग्नल) के तहत तुलनीय प्रदर्शन करती है, लेकिन यह बड़े $k$ के लिए फायदेमंद है, क्योंकि यह सटीक साइज कंट्रोल बनाए रखती है जहाँ ट्रेस-आधारित परीक्षण में त्रुटि बढ़ सकती है।
तुलना: प्रस्तावित विधियाँ उन उच्च-आयामी परिवेशों में मौजूदा नियमितीकृत LRTs (जैसे Yang और Pan, 2015) और अन-रेगुलराइज्ड लार्जेस्ट-रूट परीक्षणों (जैसे Han et al., 2018) से बेहतर प्रदर्शन करती हैं, जहाँ रिज रेगुलराइजेशन द्वारा प्रदान की गई स्थिरता महत्वपूर्ण है।

महत्व और दावे
शोधपत्र का दावा है कि प्रस्तावित ढांचा आधुनिक उच्च-आयामी अनुप्रयोगों के लिए एक सांख्यिकीय रूप से स्थिर और अनुकूलन योग्य समाधान प्रदान करता है। यह इस धारणा का लाभ उठाते हुए कि निर्भरता कुछ प्रमुख कारकों (प्रमुख PCs) द्वारा संचालित होती है, आयामी न्यूनीकरण को प्रभावी ढंग से करता है और कोवेरियन्स मैट्रिक्स की सिंगुलैरिटी को संभालने के लिए रिज रेगुलराइजेशन का उपयोग करता है।

लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि उनकी प्रक्रियाएं रोटेशन इनवेरिएंट (rotation invariant) हैं, जो उन्हें समन्वय प्रणाली (coordinate system) के निरूपण के प्रति मजबूत बनाती हैं, और उन उच्च-आयामी समस्याओं के लिए लागू होती हैं जहाँ संरचनात्मक जानकारी (जैसे स्पर्सिटी) सीमित होती है। यह कार्य पिछले परिणामों को एकीकृत करता है, जो एक सामान्य ढांचा प्रदान करता है जो CCA, PC-आधारित आयामी न्यूनीकरण और रिज रेगुलराइजेशन को समाहित करता है, जिससे $p_1$ और $p_2$ दोनों के $n$ से अधिक होने की स्थितियों में स्वतंत्रता परीक्षणों की प्रयोज्यता का विस्तार होता है। शोधपत्र निष्कर्ष निकालता है कि ट्यूनिंग पैरामीटर्स के चयन के लिए डेटा-संचालित रणनीतियों द्वारा समर्थित, यह कार्य व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए तैयार है।

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